Rgd – Aljabar

Jurnal Ilmiah Matematika

Volume 2 No.6 Tahun 2017

ISSN 2301-9115

RGD ALJABAR

Dika Anggun Nandaningrum

(S1 Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Negeri Surabaya)

Email :

dikaanggunandaningrum@gmail.com

Raden Sulaiman

(Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Negeri Surabaya)

Email : Sulaimanraden@yahoo.com

Abstrak

RGD aljabar merupakan perluasan dari RG aljabar yang diperkenalkan pertama kali pada tahun 2014

oleh R. A. K. Omar. RGDFaljabar adalah suatu himpunan tak kosong : yang memuat konstanta r_Ð:,

dengan operasi Û sehingga untuk setiap IáJáVÐ: yang memenuhi aksioma-aksioma yang disebutkan

sebagai berikut IÛJL:IÛV;Û:JÛV;á:IÛJ;ÛVL:IÛV;ÛJáIÛrL_IáIÛILráIÛJLr

dan JÛILr _{mengakibatkan I}L_{J. Penelitian ini bertujuan untuk menjelaskan konsep RGD aljabar}

dan sifat-sifatnya. Hasil penelitian diperoleh konsep RGD aljabar dan sifat-sifatnya serta telah dibahas

hubungan RGD aljabar dengan grup abelian, ideal di RGD aljabar, elemen khusus di RGD aljabar dan

keterkaitan dengan beberapa kelas aljabar lain yang diperkenalkan lebih dulu. Kata Kunci: RG aljabar, RGD aljabar, medial, ideal.

Abstract

.RGD algebra is an extension of RG algebra wich was first introduced in 2014 by R.A.K Omar.

RGD-algebra is a non-empty set : that containing constants r_{Ð: , with operation Û so for each I}áJáVÐ:

meet the following axioms IÛJL:IÛV;Û:JÛV;á:IÛJ;ÛVL:IÛV;ÛJáIÛrL_IáIÛIL

ráIÛJLr _{dan JÛI}Lr _{and JÛI}Lr _{imply I}L_{J. This study aims to describe RGD-algebra}

concept and its properties, and then has been discussed about relationship between RGD-algebra with abelian group, ideal ini RGD-algebra, special element in RGD-algebra and related with in other structure which was introduced first.

Keywords: RG algebra, RGD algebra, medial, ideal.

PENDAHULUAN

Pada tahun 1966, K. Iseki dan Y. Imai memperkenalkan struktur aljabar baru yang disebut

BCKFaljabar. BCIFaljabar yang merupakan

perumunan dari BCKFaljabar, sehingga BCIFaljabar

memuat BCKFaljabar.

BCIFaljabar dan BCKFaljabar mempunyai

keterkaitan dengan RGFaljabar yang diperkenalkan

oleh R. A. K. Omar pada tahun 2014. RGFaljabar

adalah suatu himpunan tak kosong : yang memuat

konstanta r_{Ð:, dengan operasi Û sehingga untuk setiap}

IáJáVÐ: memenuhi aksioma-aksioma sebagai berikut:

(i) IÛrL_Iá (ii)IÛUL:IÛV;Û:UÛV;á (iii) IÛ

JLr _{dan JÛI}Lr _{mengakibatkan I}L_J.(Omar,

2014:60)

Selanjutnya Omar menurunkan dua teorema yang

berbunyi jika : adalah RG ± aljabar dan IáJáVÐ:

maka (i)IÛILr_{, (ii)} :_IÛJ;_ÛVL:_IÛV;_ÛJ.

Namun pada pembuktian teorema itu ada hal yang meragukan dan tidak dapat diterima. Padahal teorema itu sering dipakai dalam pembuktian teorema-teorema selanjutnya. Oleh karena itu, peneliti memasukan dua

teorema tersebut pada axioma RGD aljabar.

Skripsi ini membahas RGD aljabar yang

merupakan perluasan dari RG ± aljabar. Masalah yang

akan dibahas adalah konsep RGD aljabar dan

dan dipelajari ideal di RGDFaljabar, elemen khusus,

dan keterkaitan RGDFaljabar dengan struktur aljabar

lain.

LANDASAN TEORI A. Operasi Biner

Definisi 2.1.

Diketahui # adalah sebuah himpunan tak kosong.

Operasi biner pada # adalah fungsi dari #H# ke

#.

(Gallian, 2010: 40) B. Grup

Definisi 2.2.

Suatu grup merupakan pasangan terurut ()áÛ;

dimana ) merupakan himpunan tak kosong dan Û

merupakan operasi biner pada ) yang memenuhi

aksioma berikut:

(i) :LÛM;Û?LLÛ:MÛ?;, ÊLáMá?Ð).

(asosiatif)

(ii) ÌAÐ), yang disebut identitas dari )

sedemikian hingga ÊLÐ) berlaku LÛAL

AÛLLL. (identitas)

(iii) ÊLÐ), Ì L?5_{Ð) sedemikian hingga L}?5_Û

LLLÛL?5_{LA. (invers)}

(Herstein, 1995:41) C. Grup Abelian

Definisi 2.3.

Jika suatu grup ()áÛ; memenuhi LÛMLMÛL,

ÊLáMÐ) maka ()áÛ; disebut grup abelian. (Herstein, 1995:43) D. BCI aljabar

Definisi 2.4.

BCIFaljabar merupakan himpunan tak kosong :

dengan konstanta r_{Ð: dan suatu operasi biner Û,}

yang memenuhi lima aksioma berikut:

Untuk setiap GáHáFÐ:

(BCI1) ::GÛH;Û:GÛF;;Û:FÛH;Lr_`

(BCI2) (GÛ:GÛH;;ÛHLr

(BCI3) GQG

(BCI4) GQG mengakibatkan GLr

(BCI5) GÛHLr _{dan UÛG}Lr _{maka G}L_U.

Dimana GQH didefinisikan dengan GÛHLr_.

(Omar, 2014:59) E. BCK aljabar

Definisi 2.5

BCKFaljabar merupakan himpunan tak kosong :

dengan konstanta r_{Ð: dengan suatu operasi biner}

Û, yang memenuhi lima aksioma berikut:

Untuk setiap GáHáFÐ:

(BCK1) ::GÛH;Û:GÛF;;Û:HÛF;Lr

(BCK2) :GÛ:GÛH;;ÛHLr

(BCK3) GÛGLr

(BCK4) r_ÛGLr

(BCK5) Jika GÛHLr _{dan UÛH}Lr _{maka G}L_H.

(Hong, 2003:549) PEMBAHASAN

A. RGD aljabar Definisi 3.1

RGDFaljabar adalah suatu himpunan tak kosong

: yang memuat konstanta r_{Ð:, dengan operasi Û}

sehingga untuk semua IáJáVÐ: memenuhi:

(RGD1) IÛJL:IÛV;Û:JÛV; (RGD2) :IÛJ;ÛVL:IÛV;ÛJ (RGD3) IÛrL_I (RGD4) IÛILr (RGD5) IÛJLr _{dan JÛI}Lr _{mengakibatkan} ILJ

RGD aljabar : dengan operasi Û kadang kala

ditulis ::á_Ûár; _{dan untuk semua IáJÐ: notasi}

IèJ diartikan sebagai IÛ:IÛJ;. Contoh 3.1

Misalkan :L<rá=á>á?= dengan operasi Û yang

didefinisikan pada tabel Cayley berikut: Tabel 3.1 Û r _{= > ?} r r _{= > ?} = = r _{? >} > > ? r ₌ ? ? > = r

: memenuhi kelima aksioma RGDFaljabar. Definisi 3.2.

(:á_Ûár; _BCIF_{aljabar disebut BCI}F_aljabar

medial jika untuk semua GáHáFáQÐ: berlaku

:GÛH;Û:FÛQ;L:GÛF;Û:HÛQ;.

(Omar, 2014:60) Teorema 3.1

Jika ::á_Ûár; _RGDF_{aljabar, maka} :_:á_Ûár; _adalah

Bukti:

Misalkan ::á_Ûár; _{merupakan RGD-aljabar, dan}

GáHáFÐ: (i) (:GÛH;Û:GÛF;;Û:FÛH;L::GÛH;Û:FÛ H;;Û:GÛF;((RGD2)) L:GÛF;Û:GÛF; ((RGD1)) Lr_((RGD4)) (ii) :GÛ:GÛH;;ÛHL:GÛH;Û:GÛH;((RGD2)) Lr _((RGD4))

(iii) GÛGLr _{. jelas terpenuhi karena (RGD4)}

(iv) GÛrLrá berdasarkan yang diketahui GL

r _(RGD3)

Sehingga GÛrLr _{mengakibatkan G}Lr_.

(v) GÛHLr _{dan HÛG}Lr _{maka G}L_H

berdasarkan (RGD5).

Jadi, terbukti bahwa untuk setiap RGD-aljabar merupakan BCI-aljabar.

Teorema 3.2.

Jika ::á_Ûár; _RGDF_{aljabar, maka} :_:á_Ûár; _adalah

BCI aljabar Medial.

Bukti:

Misalkan ::á_Ûár; _RGF_{aljabar, dan GáHáFáQÐ:}

Berdasarkan Teorema 3.1. RGD aljabar adalah

BCI aljabar dan memenuhi

:GÛH;Û:FÛQ;L k:GÛQ;Û:FÛQ;oÛ:HÛQ;

((RGD2)) L:GÛF;Û:HÛQ; ((RGD1))

Jadi, terbukti bahwa untuk setiap RGD-aljabar merupakan BCI-aljabar Medial.

Proposisi 3.1.

Misalkan ::á_Ûár; _{RGD aljabar. Untuk semua}

IáJáVÐ: berlaku: (i) r_Û:_JÛI;L_IÛJ (ii) r_Û:r_ÛI;L_I (iii) IÛ:IÛJ;LJ (iv) IÛJL:VÛJ;Û:VÛI;. Bukti: (i) r_Û:_JÛI;L:_IÛI;_Û:_JÛI; LIÛJ (ii) r_Û:r_ÛI;L_IÛr L_I (iii) IÛ:IÛJ;L:IÛr;_Û:_IÛJ; L :IÛI;Û:r_ÛJ; Lr_Û:r_ÛJ; L_J (iv) IÛJLr_Û:_JÛI; L:_VÛV;_Û:_JÛI;L :VÛJ;Û:VÛI;

Jadi, terbukti bahwa proposisi 3.1 berlaku. Proposisi 3.2.

Misalkan ::á_Ûár; _RGDF_{aljabar, maka untuk}

semua IáJáVÐ: (i) :IÛJ;Û:r_ÛJ;L kI_Û:r_ÛJ;o_ÛJL_I (ii) IÛkIÛ:IÛJ;o LIÛJ (iii) :IÛJ;ÛVL:IÛJ;Û::VÛJ;Û:r_ÛJ;; L k:IÛJ;ÛJoÛ:VÛJ; L k:IÛV;ÛVoÛ:JÛV; L:IÛV;ÛJ. Bukti:

(i) Misalkan ::á_Ûár; _{merupakan RGD-aljabar,}

dan IáJÐ:

ILIÛrL:_IÛJ;_Û:r_ÛJ;

L kIÛ:JÛr;o_Û:r_ÛJ; L kI_Û:r_ÛJ;o_Û

:JÛr;L kI_Û:_JÛr;o_ÛJ

(ii) IÛkIÛ:IÛJ;o LIÛJ

(iii) Ada 4 pembuktian

1. :IÛJ;ÛVL:IÛJ;Û:VÛr; L :IÛJ;Û::VÛr;_Ûr;L:_IÛJ;_Û ::VÛr;_Û:_JÛJ;; L:_IÛJ;_Û ::VÛJ;Û:r_ÛJ; 2. :IÛJ;ÛVL k:IÛV;Û:JÛV;oÛV Misalkan :IÛV;LL dan :JÛV;LM k:IÛV;Û:JÛV;oÛVL:LÛM;ÛV L:LÛM;Û:VÛr; L:LÛV;Û:MÛr; L:LÛV;ÛM L:LÛV;ÛML k:IÛV;ÛVoÛ:JÛV; 3. Misalkan :IÛJ;LL :IÛJ;ÛVLLÛV L:LÛJ;Û:VÛJ; L k:IÛJ;ÛJoÛ:VÛJ; 4. :IÛJ;ÛVL:IÛV;ÛJ

Dari 1,2,3 dan 4 maka

:IÛJ;ÛVL:IÛJ;Û::VÛJ;Û:r_ÛJ;L

k:IÛV;ÛVoÛ:JÛV;L k:IÛJ;ÛJoÛ :VÛJ;L:IÛV;ÛJ

Jadi, terbukti bahwa ::á_Ûár; _{merupakan RGD ±}

aljabar, maka aksioma pada proposisi 3.3 berlaku. Teorema 3.3.

Misalkan :)áé; _{grup abelian.} :)á_ÛáA; adalah

RGD aljabar jika ÊIáJÐ) berlaku IÛJL

Ié_J?5 _{dengan A identitas operasi} é_.

Bukti:

Misalkan :)áé; grup abelian, dan IáJáVÐ)

(i) :IÛV;Û:JÛV;L:IéV?5;_é:_JéV?5;?5 L:IéV?5;_é:_VéJ?5; LIé:_V?5é_V;é_J?5L_Ié_Aé_J?5L IéJ?5 (ii) :IÛJ;ÛVL:IéJ?5;_éV?5 LIé:_J?5é_V?5; LIé:V?5_éJ?5; L:Ié_V?5;é_J?5

(iii) IÛALIéA?5_LIéALI (iv) IÛILIéI?5_LA (v) Misalkan IÛJLJÛILAä Sehingga IéJ?5_LJéI?5_{LA, maka} ILIéA LAé_IL:_Jé_I?5;éI L_Ié_AL_{I Ö}

Jadi, grup abelian :)áé; _{adalah RGD aljabar dan}

IÛJLIéJ?5_{, ÊIáJÐ).} Teorema 3.4.

Misalkan ::á_Ûár; _RGDF_{aljabar dengan IÛJ}M

r_{. ÊI}M_JÐ:dengan :_:áé; _{adalah grup abelian}

dengan operasi é yang didefinisikan IéJLIÛ

:r_ÛJ;á_ÊIáJÐ:. Bukti:

Misalkan ::á_Ûár; _{RGD aljabar, dan I}áJáVÐ:

(i) Akan ditunjukkan bahwa operasi é _bersifat

asosiatif

:Ié_J;é_VL kI_Û:r_ÛJ;o_Û:r_ÛV;

L:IÛr;_Û::r_ÛJ;_ÛV; (Teorema 3.2.)L_TÛ::r_Ûr;_ÛkU_Û:r_ÛV;o;

LIÛ:r_ÛkJ_Û:r_ÛV;o; L_Ié:JéV;

(ii) Akan ditunjukan bahwa : memiliki elemen

identitas yaitu 0.

Ada ALr _{maka A}éILréILr_Û

:r_ÛI;L_{I dan I}éALIérL_IÛ

:r_Ûr; L_I)

(iii) Selanjutnya akan ditunjukan bahwa ÊIÐ:

mempunyai invers di : yaitu :r_ÛI;_.

Ié:r_ÛI;L_IÛkr_Û:r_ÛI;o Lr

:r_ÛI;é_IL:r_ÛI;_Û:r_ÛI;Lr

(iv) Akan ditunjukan bahwa operasi é _bersifat

komutatif

IéJLIÛ:r_ÛJ;

Lr_Û::r_ÛJ;_ÛI;

L:r_Ûr;_Ûk:r_ÛJ;_ÛIo

LIÛ:r_ÛJ;L_JéI

Jadi, RGD aljabar ::á_Ûár; _{dengan IÛJ}Mr_.

ÊIMJdengan ::áé; memenuhi IéJLIÛ

:r_ÛJ;_{áÊIáJÐ: adalah grup abelian.}

B. Ideal di RGD_Faljabar Definisi 3.3.

Misalkan ::á_Ûár; _{BCK aljabar, sub himpunan tak}

kosong # merupakan BCK F ideal di : jika:

(i) r_Ð#

(ii) IÛJÐ# dan JÐ# mengakibatkan IÐ

#, untuk setiap IáJÐ:.

(Omar, 2014:64) Definisi 3.4.

Misalkan ::á_Ûár; _RGDF_{aljabar, sub himpunan}

tak kosong # pada : disebut RGDFideal di : jika

memenuhi:

(i) r_Ð#

(ii) IáJÐ# dan r_{ÛIÐ# mengakibatkan} r_Û

JÐ#, untuk setiap IáJÐ:

(Omar, 2014:64)

Lemma 3.1.

Misalkan ::á_Ûár; _{RGD aljabar. Setiap}

RGD ideal di : adalah BCK ideal di :.

Bukti:

Misalkan ::á_Ûár; _{RGD aljabar. # merupakan}

RGD ideal di :. Maka r_{Ð#. Misalkan IÛJÐ}

# dan JÐ# JLJÛr _((RGD3)) LJÛ:IÛI; ((RGD4)) L:JÛr;_Û:_IÛI; _((RGD3)) L:JÛI;Û:r_ÛI;_{Ð# (Teorema 3.2.)} Berdasarkan RGD ideal :JÛI;Û:r_ÛI;_{Ð# dan} r_Û:_JÛI;L_IÛJÐ

# (Proposisi 3.1. (i)) maka r_Û:r_ÛI;L_IÐ#

(Proposisi 3.1. (ii)). Ö

Jadi, untuk setiap RGD ideal adalak BCK-ideal

Lemma 3.2.

Misalkan ::á_Ûár; _BCKF_{aljabar. #}?:. Jika #

merupakan BCKFideal maka # merupakan

RGDFideal.

Bukti:

Misalkan ::á_Ûár; _{BCK-aljabar. # merupakan}

BCKFideal di :. Maka r_Ð#.

Misalkan IÛJÐ# dan r_ÛIÐ#

r_ÛILr _((BCK1))

L:r_ÛJ; _((BCK1))

r_ÛILr_{ÛJÐ# Ö}

Jadi, ada BCK ideal yang merupakan RGD ideal

C. Elemen Khusus di RGD aljabar Definisi 3.5.

Misalkan ::á_Ûár; _{RGD aljabar. Elemen = di :}

disebut elemen medial jika memenuhi :IÛ=;Û

IL=, untuk setiap IÐ:. Himpunan semua

elemen medial di :dinotasikan /::;.

Proposisi 3.3.

Dalam RGDFaljabar ::á_Ûár; _{maka berlaku:}

(i) r_{Ð /}:_:;

(ii) =Ð /::; jika dan hanya jika ::IÛ=;Û

I;Ð /::;

(iii) =Ð /::; jika dan hanya jika r_Û=L₌

(iv) =Ð /::; jika dan hanya jika :=èI; Ð

/::;

(v) Jika =Ð /::; maka =Û:r_ÛJ;L_JÛ

=á_ÊJÐ :

(vi) Jika =á>Ð /::; maka =Û>L>Û=.

Bukti:

Misalkan ::á_Ûár; _{RGD aljabar, dan IÐ:}

(i) rL:_IÛr;_{ÛI maka} r_{Ð /}:_:;

(ii) ::) Misalkan =Ð /::; maka :IÛ=;Û

IL= berlaku: :IÛ=;ÛIL= Lr_Û:r_Û=; Lr_Û::_IÛI;_Û=; Lr_Û::_IÛI;_Û:_=Ûr;; Lr_Û::_IÛ=;_Û:_IÛr;; Lr_Û::_IÛ=;_ÛI; L:IÛI;Û::IÛ=;ÛI; L@IÛk:IÛ=;ÛIoAÛI :IÛ=;ÛIL@IÛk:IÛ=;ÛIoAÛI :IÛ=;ÛIL=, =Ð /::;

(iii) ::) Misalkan =Ð /::;, maka

:

IÛ=

;

ÛIL

@

IÛ

k

:

IÛ=

;

ÛI

o

A

ÛI L:IÛI;Û::IÛ=;ÛI; Lr_Û::_IÛ=;_ÛI; Lr_Û::_IÛ=;_Û:_IÛr;; Lr_Û::_IÛI;_Û:_=Ûr;; Lr_Û::_IÛI;_Û=; Lr_Û:r_Û=; L=

:

IÛ=

;

ÛIL= =Ð /::;, r_Û=L₌ :9; Misalkan r_Û=L_{= maka} =Lr_Û= L:IÛI;Û= L:IÛI;Û:=Ûr; L:IÛ=;Û:IÛr; L:_IÛ=;_ÛI =L:IÛ=;ÛI, =Ð /::;

(iv) ::) Misalkan =Ð /::;, maka

:IÛ=;ÛIL= :IÛ:IÛ:IÛ=;;ÛILIÛ:IÛ=; :IÛ:=èI;;ÛIL=èI, =èIÐ /::; :9; Misalkan =èIÐ /::; maka kIÛ:=èI;oÛIL=èT :IÛkIÛ:IÛ=;o;ÛILIÛ:IÛ=; :IÛ=;ÛIL=, =Ð /::;

(v) Misalkan =Ð /::;, dan ÊJÐ: berlaku

=L:IÛ=;ÛI =Û:r_ÛJ;L::_IÛ=;_ÛI;_Û:r_ÛJ; L k:IÛ=;Ûro_Û:_IÛJ; L:IÛ=;Û:IÛJ; L:IÛI;Û:=ÛJ; Lr_Û:_=ÛJ; LJÛ=

(vi) Misalkan =á>Ð /::; maka berlaku

=Û>L k:IÛ=;ÛIoÛk:IÛ>;ÛIo L k:IÛ=;Û:IÛ>;oÛ:IÛI; L k:IÛ=;Û:IÛ>;oÛr L:IÛ=;Û:IÛ>; L:IÛI;Û:=Û>; Lr_Û:_=Û>; L>Û=

Jadi, terbukti bahwa ::á_Ûár; _{merupakan RGD ±}

aljabar, maka aksioma pada proposisi 3.4 berlaku. Definisi 3.6.

Misalkan ::á_Ûár; _BCIF_{aljabar, : disebut quasi}

right alternate jika untuk setiap IáJÐ: berlaku IÛ:JÛJ;L:IÛJ;ÛJ.

(Omar, 2014:67) Lemma 3.3.

Misalkan ::á_Ûár; _RGDF_{aljabar sedemikian}

hingga /::;L: maka : adalah quasi right

alternate berlaku IÛJLJÛI, ÊIáUÐ:. Bukti:

Misalkan ::á_Ûár; _RGDF_{aljabar dan} :_:;L_:

ÊIáJÐ:,IáJÐ /::; berlaku:

IÛ:JÛJ;L:IÛr;_Û:_JÛJ;

L:IÛJ;Û:r_ÛJ;

L:

I

_Û

J

;

_Û

J

: adalah quasi right

alternate.

Karena IáJÐ/::; maka IÛJLJÛI

(Proposisi 3.4. (vi)).

Jadi, ::á_Ûár; _RGDF_{aljabar sedemikian hingga}

/::;L: maka : adalah quasi right alternate dan IÛJLJÛI.

Teorema 3.5.

Misalkan ::á_Ûár; _RGDF_{aljabar maka himpunan}

/::; adalah RGDFaljabar di :.

Bukti:

Misal ::á_Ûár; _{RGD-aljabar, dan I}áJÐ:

(i) Berdasarkakn Proposisi 3.3(i) maka jelas r_Ð

/::;. Ö

(ii) IÛJÐ/::; dan r_ÛIÐ/:_:; _maka

r_ÛIL kI_Û:r_ÛI;o_ÛI

L:IÛI;Û:r_ÛI;

Lr_Û:r_ÛI; L_I r_ÛIL_{I, maka IÐ/}:_:;

(Proposisi 3.3. (iii))

r_ÛJL:r_Ûr;_Û:r_ÛJ; Lr_Û:r_ÛJ;L_J r_ÛJL_{J maka JÐ/}:_:; _{(Proposisi 3.3}

(iii)), karena JÐ/::; maka :IÛJ;ÛIÐ

/::; (Proposisi 3.3 (ii))

:IÛJ;ÛIL:IÛI;Û:JÛr;

L:IÛI;ÛJ Lr_ÛJ

Karena :IÛJ;ÛILr_{ÛJ maka} r_ÛJÐ

/::;.

Jadi, ::á_Ûár; _RGDF_{aljabar maka himpunan /}:_:;

adalah RGDFideal di :.

Definisi 3.7.

Misalkan ::á_Ûár; _{RGD ± aljabar I}áJÐ:, J

konjuget I jika memenuhi :IÛJ;ÛILI.

Kumpulan semua elemen yang konjuget IÐ: di

notasikan dengan %:I;.

(Omar, 2014:68) Teorema 3.6.

Misalkan ::á_Ûár; _{RGD ± aljabar IáJÐ: berlaku}

JÐ%:I; jika dan hanya jika r_ÛJL_I.

Bukti: Misal ::á_Ûár; _{RGD ± aljabar I}áJÐ: ::)Misalkan JÐ%:I; maka :IÛJ;ÛILI :IÛJ;Û:IÛr;L_I :IÛI;Û:JÛr;L_J r_Û:_JÛr;L_I r_ÛJL_I :9; Misalkan r_ÛJL_{I maka} r_ÛJL_I r_Û:_JÛr;L_I :IÛI;Û:JÛr;L_I :IÛJ;Û:IÛr;L_I :IÛJ;ÛILI, maka JÐ%:I;

Jadi, ::á_Ûár; _{RGD ± aljabar I}áJÐ: berlaku JÐ

%:I; jika dan hanya jika r_ÛJL_I.

Lemma 3.4.

Misalkan ::á_Ûár; _RGDF_{aljabar , maka semua}

IáJáVÐ: berlaku:

(i) r_Ð%:r;

(ii) JÐ%:I; jika dan hanya jika IÐ%:J;

(iii) IÐ/:I; jika dan hanya jika IÐ%:I;

(iv) IÐ%:J; maka IèJ Ð%:J;

(v) IÐ%:J; dan JÐ%:V;maka ILV.

Bukti:

Misalkan ::á_Ûár; _{RGD ± aljabar, dan I}áJáVÐ:

(i) rLr_ÛrL:r_Ûr;_Ûr _{(RGD3) maka} r_Ð

%:r;_.

(ii) ::)Misalkan JÐ%:I; maka

r_ÛJL_I JLr_Û:r_ÛJ; JLr_ÛI JLr_{ÛI, maka IÐ%}:_J;_. :9;Misalkan IÐ%:J; maka r_ÛIL_J ILr_Û:r_ÛI; ILr_ÛJ ILr_{ÛJ, maka JÐ%}:_I;_.

(iii) ::)Misalkan IÐ/::; maka r_ÛIL_I

(Proporsisi 3.3. (iii)) sehingga r_ÛTL_T

maka IÐ%:I; (Teorema 3.6.).

:9; Misalkan IÐ%:I; maka ILr_ÛI

(Teorema 3.6.), sehingga TLr_{ÛI maka}

IÐ/::; (Proporsisi 3.3. (iii)).

(iv) Misalkan IÐ%:J; maka r_ÛIL_J

(Teorema 3.6.) JLr_ÛI

Lr_Û:_JÛ:_JÛI;

JLr_Û:_IèJ;_{, IèJÐ%}:_J; _Misalkan

IÐ%:J; dan JÐ%:V; maka r_ÛIL_{J dan}

r_ÛJL_{V (Teorema 3.6.).}

ILr_Û:r_ÛI;

Lr_{ÛJ (IÐ%}:_J;₎

LV (JÐ%:V;;

ILV

Jadi, terbukti bahwa ::á_Ûár; _{merupakan RGD ±}

aljabar, maka aksioma pada lemma 3.4 berlaku.. PENUTUP

A. Kesimpulan

Dalam skripsi ini telah dibahas mengenail konsep

RGD ± aljabar, sifat ±sifanya serta idela di RGD ±

aljabar, elemen khusus di RGD ± aljabar serta

keterkaitan dengan beberapa kelas aljabar lain yang diperkenalkan lebih dulu

B. Saran

Penulis menyarankan pada pembaca untuk dapat mendalami dan mengembangkan sifat sifat maupun keterkaitan dengan kelas aljabar lain yang belum dibahas dalam skripsi ini. DAFTAR PUSTAKA

Gallian, J.A. 2010. Contemporary Abstract Algebra.

Seventh Edition. Duluth: University of Minnesota Duluth.

Herstein, I.N. 1995. Abstract Algebra. Third Edition.

Chicago: University of Chicago.

Omar, R. A. K. 2014. On RG-Algebra. Pure

Mathematical Sciences, Vol 3: Hal 59-70.

Hong, Sung Min, Jun, Young Bae, Ozturk, M.

Ali.2003. Generalizations of

BCK-Algebra. Scientiae Mathematicae Japonicae, Vil 8: Hal 549-557.

Winarsih dan Suryoto. 2014. Kelas-Kelas BCI-aljabar dan Hubungannya Satu dengan yang lain. Jurusan MATEMATIKA FSM Universitas Diponegoro.