Bab VI Analisis dan Studi Kasus

(1)

Bab VI Analisis dan Studi Kasus

Studi kasus yang dilakukan dalam tesis ini dilakukan pada sistem delapan bus dengan dua generator dan sistem sembilan bus dengan tiga generator sesuai dengan sistem percobaan pada MATPOWER. Diagram alir dari perhitungan ekuilibrium Nash untuk satu kali lelang adalah sebagai berikut.

Mulai

Input data jaringan, biaya pembangkitan, strategi

pemain

Hitung aliran daya optimal

Hitung payoff yang didapat setiap pemain dengan membangkitkan daya sesuai dengan hasil perhitungan OPF

Bentuk matriks payoff dan hitung ekuilibrium Nash

permainan

Selesai

Gambar VI. 1 Diagram Alir Perhitungan Ekuilibrium Nash

Dalam penelitian ini akan ditunjukkan bahwa pada proses lelang berulang, solusi akhir stabil yang didapatkan merupakan ekuilibrium Nash permainan, meskipun strategi awal yang dimainkan semua pemain jauh dari ekuilibrium dan probabilitas awal pemilihan strategi yang merupakan ekuilibrium Nash kecil. Proses lelang yang berulang ini dihitung dengan menggunakan replikator dinamik seperti yang telah dijelaskan pada bab sebelumnya. Diagram alir dari algoritma perhitungan lelang berulang adalah sebagai berikut.

(2)

Mulai

Tentukan proporsi awal penggunaan strategi, jumlah

auksi (n)

Input matriks payoff pemain

Hitung payoff rata-rata

Update proporsi strategi setiap pemain

i = n

Selesai Ya

Tidak

(3)

VI.1 Kasus 8 Bus dengan 2 Generator/Pemain

Konfigurasi jaringan dari sistem 8 bus ini adalah sebagai berikut.

8 2 90 + j 30 MVA 1 4 5 6 7 9 125 + j 50 MVA 100 + j 35 MVA

Gambar VI. 3 Konfigurasi Jaringan Sistem 8 Bus

Data jaringan untuk sistem di atas ditampilkan pada tabel di bawah.

Tabel VI. 1 Data Jaringan Sistem 8 Bus Dari

Bus Ke Bus R (pu) X (pu) B (pu)

Kapasitas (MVA) 1 4 0 0.0576 0 250 4 5 0.017 0.092 0.158 250 5 6 0.039 0.17 0.358 150 6 7 0.0119 0.1008 0.209 150 7 8 0.0085 0.072 0.149 250 8 2 0 0.0625 0 250 8 9 0.032 0.161 0.306 250 9 4 0.01 0.085 0.176 250

Pemain 1 atau generator di bus 1 memiliki persamaan biaya pembangkitan yang dimodelkan dalam fungsi eksponensial sebagai berikut:

C1 = c0 + c1P1 + c2P12 = 100 + 5P1 + 0,09P12 dengan P1 adalah daya yang dibangkitkan oleh generator 1.

(4)

Pemain 1 dapat memainkan strategi dengan mengubah koefisien c2

Tabel VI. 2 Strategi Pemain 1

dari persamaan biaya pembangkitan.

c0 c1 c2 Strategi 1 100 5 0.09 Strategi 2 100 5 0.12 Strategi 3 100 5 0.15 Strategi 4 100 5 0.18 Strategi 5 100 5 0.21

Sedangkan pemain 2 memiliki persamaan biaya pembangkitan sebagai berikut. C2 = c0 + c1P2 + c2P22 = 600 + 2P2 + 0,085P22

dengan P2 adalah daya yang dibangkitkan oleh generator 2.

Pemain 2 juga memiliki lima strategi yang dapat dimainkan yaitu dengan mengubah koefisien c2

Total beban pada sistem adalah sebesar 315 + j115 MVA. Beban ini dilayani oleh 2 generator dengan fungsi biaya yang berbeda. Dari hasil perhitungan aliran daya optimal, didapatkan daya yang harus dibeli dari masing-masing pembangkit untuk total beban yang sama dan untuk setiap strategi biaya yang dimainkan oleh setiap pembangkit adalah sebagai berikut.

Tabel VI. 4 Daya Pembangkitan Tiap Pemain untuk Setiap Strategi Pembangkitan (MW) Pemain 1 2 1 2 Strategi 1 1 147.36 171 1 2 160.35 157.86 1 3 171.47 146.67 1 4 181.09 137.04

(5)

1 5 189.51 128.64 2 1 126.89 191.86 2 2 139.52 178.97 2 3 150.52 167.79 2 4 160.22 157.99 2 5 168.83 149.32 3 1 111.57 207.61 3 2 123.65 195.19 3 3 134.33 184.26 3 4 143.85 174.56 3 5 152.41 165.89 4 1 99.63 219.97 4 2 111.11 208.08 4 3 121.39 197.51 4 4 130.64 188.03 4 5 139.02 179.48 5 1 90.04 229.93 5 2 100.95 218.6 5 3 110.79 208.42 5 4 119.72 199.22 5 5 127.88 190.85

Setelah didapatkan besarnya daya yang dibangkitkan, dihitung biaya riil yang diperlukan oleh setiap pemain atau pembangkit untuk membangkitkan daya tersebut serta pendapatan yang diperoleh dari menjual listrik ke sistem. Kemudian dapat dihitung payoff yang didapat setiap pemain pada setiap strategi yang dimainkan. Payoff yang didapatkan setiap pemain dapat ditabelkan seperti pada tabel berikut.

Tabel VI. 5 Tabel Payoff Sistem 8 Bus dengan 2 Pembangkit

1 2 3 4 5 1 (0, 0) (0, 373.80) (0, 645.36) (0, 845.10) (0, 992.89) 2 (483.03, 0) (583.97, 480.45) (679.69, 844.60) (770.11, 1123.24) (855.11, 1337.79) 3 (746.87, 0) (917.36, 571.49) (1082.67, 1018.55) (1241.57, 1371.20) (1393.73, 1651.17) 4 (893.35, 0) (1111.09, 649.46) (1326.2, 1170.31) (1536.01, 1590.99) (1739.39, 1932.78) 5 (972.86, 0) (1222.91, 716.79) (1472.93, 1303.17) (1719.95, 1785.99) (1962.40, 2185.42) Strategi P2 (p2) Strategi P1 (p1)

Strategi (5, 5) merupakan ekuilibrium Nash dari permainan ini.

Setelah mendapatkan ekuilibrium Nash dari permainan ini, dilakukan perhitungan lelang berulang untuk mengamati dinamika dari permainan. Perhitungan ini dilakukan dengan menjalankan program yang dibuat dalam bahasa pemrograman Matlab. Skrip dari program yang digunakan dicantumkan dalam lampiran.

(6)

Misalkan pada lelang pertama, probabilitas pemain menggunakan beberapa strategi yang dimiliki merupakan distribusi seragam.

Tabel VI. 6 Probabilitas Pemilihan Strategi Setiap Pemain

Strategi 1 2 3 4 5

P1 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2

P2 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2

Setelah 100 kali lelang, distribusi probabilitas strategi masing-masing pemain berubah seperti pada tabel berikut.

Tabel VI. 7 Distribusi Probabilitas Setelah 100 Kali Lelang

Strategi 1 2 3 4 5

P1 0.0000 0.0000 0.0041 0.1123 0.8836 P2 0.0000 0.0000 0.0002 0.0247 0.9751

Setelah 400 kali lelang, distribusi probabilitas akan berubah lagi seperti pada tabel di bawah ini.

Strategi 1 2 3 4 5

P1 0.0000 0.0000 0.0000 0.0001 0.9999 P2 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 1

Dari distribusi probabilitas pemilihan strategi setelah 400 kali lelang seperti pada tabel di atas, terlihat bahwa lelang atau permainan yang dilakukan secara berulang ini pada akhirnya akan mengarah pada pemilihan strategi yang merupakan strategi ekuilibrium Nash yaitu strategi (5, 5).

Berikutnya diasumsikan bahwa distribusi strategi pada lelang pertama berada pada mendekati strategi yang terjauh dari strategi ekuilibrium Nash yaitu strategi (1, 1) seperti pada tabel berikut.

Tabel VI. 9 Distribusi Probabilitas Awal Permainan

Strategi 1 2 3 4 5

P1 0.9996 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 P2 0.9996 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001

(7)

Setelah seratus kali lelang, distribusi probabilitas akan berubah sebagai berikut.

Strategi 1 2 3 4 5

P1 0.1237 0.0026 0.0465 0.2365 0.5908 P2 0.0969 0.0007 0.0145 0.1388 0.7492

Kemudian setelah 250 kali auksi maka distribusinya akan menjadi seperti tabel berikut.

Strategi 1 2 3 4 5

P1 0.0000 0.0000 0.0000 0.0139 0.9861 P2 0.0000 0.0000 0.0000 0.0005 0.9995

Dari tabel di atas tampak bahwa setelah lelang berulang, distribusi probabilitas strategi akan memberikan probabilitas strategi ekuilibrium Nash yang mendekati satu setelah 250 kali lelang. Pada kasus ini, pemain hampir dapat dipastikan akan memilih strategi ekuilibrium Nash setelah proses auksi yang lebih sedikit dibandingkan dengan kasus sebelumnya ketika distribusi probabilitas pada awal permainan dibuat seragam. Hal ini terjadi karena ketika distribusi awal dibuat seragam, pemain memiliki kemungkinan yang sama untuk memilih lima strategi yang dimiliki. Dengan probabilitas yang sama pada setiap strategi, pemain memiliki kesempatan yang sama untuk mencoba setiap strategi, sehingga diperlukan tahapan yang lebih panjang untuk dapat mengamati strategi yang stabil yaitu ekuilibrium Nash.

VI.2 Kasus 9 Bus dengan 3 Generator/Pemain

Konfigurasi jaringan dari sistem 9 bus dengan 3 generator serupa dengan konfigurasi jaringan sistem 8 bus tetapi dengan menambahkan satu generator yang terhubung ke bus 6 seperti yang ditampilkan pada gambar berikut.

(8)

3 8 2 90 + j 30 MVA 1 4 5 6 7 9 125 + j 50 MVA 100 + j 35 MVA

Gambar VI. 4 Konfigurasi Jaringan Sistem 9 Bus

Pemain 1 atau generator di bus 1 memiliki persamaan biaya pembangkitan yang dimodelkan dalam fungsi eksponensial sebagai berikut:

Sedangkan pemain 2 memiliki persamaan biaya pembangkitan sebagai berikut. C2 = c0 + c1P2 + c2P22 = 600 + 1,2P2 + 0,085P22

dengan P2 adalah daya yang dibangkitkan oleh generator 2.

Pemain 2 memiliki empat strategi yang dapat dimainkan yaitu dengan mengubah salah satu koefisien dari persamaan biaya pembangkitan.

(9)

Tabel VI. 13 Strategi Pemain 2 c0 c1 c2 Strategi 1 600 1.2 0.085 Strategi 2 1000 1.2 0.085 Strategi 3 600 3.6 0.085 Strategi 4 600 1.2 0.1

Pemain 3 memiliki persamaan biaya pembangkitan sebagai berikut. C3 = c0 + c1P3 + c2P32 = 335 + 1P3 + 0,1225P32 dengan P3 adalah daya yang dibangkitkan oleh generator 3. Strategi yang dimainkan pemain 3 adalah mengubah koefisien c1

dari persamaan biaya pembangkitan. c0 c1 c2 Strategi 1 335 1 0.1225 Strategi 2 335 4 0.1225 Strategi 3 335 8 0.1225

Total beban pada sistem sama dengan kasus sebelumnya sebesar 315 + j115 MVA. Beban ini sekarang dilayani oleh 3 generator dengan fungsi biaya yang berbeda. Dari hasil perhitungan aliran daya optimal, didapatkan daya yang harus dibeli dari masing-masing pembangkit dan payoff setiap pemain untuk total beban yang sama dan untuk setiap strategi harga yang dimainkan oleh setiap pembangkit adalah sebagai berikut.

Tabel VI. 15 Daya Pembangkitan dan Payoff Setiap Pemain

Strategi Pembangkitan (MW) Payoff ($/h)

1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 1 1 89.8 134.32 94.19 0 0 0 1 2 1 89.8 134.32 94.19 0 400 0 1 3 1 94.12 126.01 98.05 0 302.42 0 1 4 1 96.37 121.69 100.06 0 222.13 0 1 1 2 93.56 139.15 85.52 0 0 256.56 1 2 2 93.56 139.15 85.52 0 400 256.56 1 3 2 97.87 130.84 89.38 0 314.02 268.14 1 4 2 100.35 126.07 91.61 0 238.4 274.83 1 1 3 98.56 145.59 73.98 0 0 517.86 1 2 3 98.56 145.59 73.98 0 400 517.86 1 3 3 102.86 137.29 77.85 0 329.5 544.95 1 4 3 105.65 131.91 80.36 0 261 562.52

(10)

2 1 1 80.29 140.11 98.21 128.93 0 0 2 2 1 80.29 140.11 98.21 128.93 400 0 2 3 1 84.15 132.07 102.25 141.62 316.97 0 2 4 1 86.44 127.32 104.64 149.44 243.16 0 2 1 2 83.65 145.16 89.71 139.95 0 269.13 2 2 2 83.65 145.16 89.71 139.95 400 269.13 2 3 2 87.5 137.12 93.75 153.13 329.09 281.25 2 4 2 90 131.92 96.38 162 261.04 289.14 2 1 3 88.13 151.9 78.4 155.34 0 548.8 2 2 3 88.13 151.9 78.4 155.34 400 548.8 2 3 3 91.96 143.88 82.44 169.13 345.31 577.08 2 4 3 94.75 138.05 85.38 179.55 285.87 597.66 3 1 1 72.62 144.79 101.46 210.95 0 0 3 2 1 72.62 144.79 101.46 210.95 400 0 3 3 1 76.12 136.97 105.65 231.77 328.73 0 3 4 1 78.39 131.91 108.37 245.8 261 0 3 1 2 75.66 150.03 93.09 228.98 0 279.27 3 2 2 75.66 150.03 93.09 228.98 400 279.27 3 3 2 79.15 142.21 97.29 250.59 341.3 291.87 3 4 2 81.62 136.68 100.26 266.47 280.22 100.26 3 1 3 79.72 157.02 81.96 254.21 0 573.72 3 2 3 79.72 157.02 81.96 254.21 400 573.72 3 3 3 83.19 149.2 86.16 276.82 358.08 603.12 3 4 3 85.93 143.05 89.46 295.36 306.95 626.22 4 1 1 66.31 148.66 104.15 263.82 0 0 4 2 1 66.31 148.66 104.15 263.82 400 0 4 3 1 69.5 141.02 108.47 289.82 338.45 0 4 4 1 71.73 135.71 111.47 308.71 276.26 0 4 1 2 69.08 154.05 95.9 286.32 0 287.7 4 2 2 69.08 154.05 95.9 286.32 400 287.7 4 3 2 69.5 141.02 108.47 289.82 338.45 325.41 4 4 2 74.69 140.63 103.48 334.72 296.65 310.44 4 1 3 72.79 161.24 84.91 317.9 0 594.37 4 2 3 72.79 161.24 84.91 317.9 400 594.37 4 3 3 75.96 153.6 89.23 346.2 368.64 624.61 4 4 3 78.64 147.19 92.85 371.05 324.97 649.95 5 1 1 61.01 151.91 106.42 297.78 0 0 5 2 1 61.01 151.91 106.42 297.78 400 0 5 3 1 63.95 144.43 110.82 327.17 346.63 0 5 4 1 66.12 138.93 114.08 349.75 289.52 0 5 1 2 63.57 157.43 98.25 323.29 0 294.75 5 2 2 63.57 157.43 98.25 323.29 400 294.75 5 3 2 66.5 149.94 102.67 353.78 359.86 308.01 5 4 2 68.85 143.98 106.19 379.23 310.95 318.57 5 1 3 66.97 164.79 87.4 358.8 0 611.8 5 2 3 66.97 164.79 87.4 358.8 400 611.8 5 3 3 69.91 157.3 91.81 390.99 377.52 642.67 5 4 3 72.49 150.7 95.71 420.38 340.66 669.97

(11)

Ekuilibrium Nash dari permainan ini adalah ketika pemain 1 memilih strategi 5

(payoff 358,8), pemain 2 memilih strategi 2 (payoff 400), dan pemain 3

memainkan strategi 3 (payoff 611,8).

Asumsikan bahwa distribusi probabilitas di awal permainan merupakan distribusi seragam.

Tabel VI. 16 Distribusi Probabilitas Strategi di Awal Permainan

Strategi 1 2 3 4 5

P1 1/5 1/5 1/5 1/5 1/5

P2 1/4 1/4 1/4 1/4 -

P3 1/3 1/3 1/3 - -

Setelah 100 kali lelang, distribusi probabilitas strategi masing-masing pemain berubah seperti pada tabel berikut.

Strategi 1 2 3 4 5

P1 0.0111 0.0567 0.1589 0.3037 0.4697 P2 0.0083 0.4814 0.3166 0.1936 -

P3 0.0020 0.0380 0.9600 - -

Setelah lelang berulang, distribusi probabilitas akan berubah lagi seperti pada tabel di bawah.

Tabel VI. 18 Distribusi Probabilitas Setelah Lelang Berulang Jumlah Lelang Pemain/Strategi 1 2 3 4 5 200 P1 0.0003 0.009 0.0723 0.2712 0.6472 P2 0.0002 0.5899 0.2919 0.118 - P3 0 0.0015 0.9985 - - Jumlah Lelang Pemain/Strategi 1 2 3 4 5 300 P1 0.0000 0.0012 0.0285 0.2082 0.7621 P2 0.0000 0.6724 0.2574 0.0702 - P3 0.0000 0.0001 0.9999 - - Jumlah Lelang Pemain/Strategi 1 2 3 4 5 500 P1 0.0000 0.0000 0.0038 0.1048 0.8914 P2 0.0000 0.7896 0.1867 0.0237 - P3 0.0000 0.0000 1.0000 - -

(12)

Jumlah Lelang Pemain/Strategi 1 2 3 4 5 700 P1 0.0000 0.0000 0.0005 0.0485 0.9510 P2 0.0000 0.8638 0.1285 0.0077 - P3 0.0000 0.0000 1.0000 - -

Dari distribusi probabilitas pemilihan strategi setelah lelang berulang, terbukti bahwa lelang atau permainan yang dilakukan secara berulang ini pada akhirnya akan mengarah pada pemilihan strategi yang merupakan strategi stabil yaitu ekuilibrium Nash: strategi (5, 2, 3).

VI.3 Kasus 8 Bus dengan 2 Pemain dan Beban Berubah

Kasus dengan 2 pemain dengan kondisi beban yang berubah-ubah dapat dianggap sebagai permainan dengan 3 pemain yaitu dengan menganggap kondisi beban yang berubah-ubah tersebut sebagai strategi seorang pemain. Asumsikan bahwa sistem yang digunakan sama dengan sistem 8 bus yang digunakan sebelumnya. Pemain 1 atau generator di bus 1 memiliki persamaan biaya pembangkitan yang dimodelkan dalam fungsi eksponensial sebagai berikut:

Sedangkan pemain 2 memiliki persamaan biaya pembangkitan sebagai berikut. C2 = c0 + c1P2 + c2P22 = 600 + 1,2P2 + 0,085P22

(13)

Pemain 2 memiliki empat strategi yang dapat dimainkan yaitu dengan mengubah salah satu koefisien dari persamaan biaya pembangkitan.

c0 c1 c2

Strategi 1 600 1.2 0.085

Strategi 2 1000 1.2 0.085

Strategi 3 600 3.6 0.085

Strategi 4 600 1.2 0.1

Kondisi beban total di sistem dianggap sebagai strategi pemain ke-3. Asumsikan terdapat tiga macam kondisi beban. Kondisi yang pertama adalah kondisi normal, kita anggap sebagai strategi 1 dengan beban seperti pada gambar VI.3. Kondisi yang kedua adalah kondisi beban yang tinggi yaitu 20% lebih tinggi dari kondisi normal. Kondisi yang ketiga adalah kondisi beban rendah yaitu beban 20% di bawah kondisi normal. Dengan tiga kondisi beban tersebut, dari analisis aliran daya optimal didapatkan daya yang dibeli dari setiap pembangkit untuk mendapatkan biaya pembangkitan yang minimum.

Tabel VI. 21 Daya Pembangkitan dan Payoff Setiap Pemain

Strategi Pembangkitan (MW) Payoff ($/h)

1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 1 1 131.05 187.61 0 0 0 0 1 2 1 131.05 187.61 0 0 400 0 1 3 1 136.98 181.56 0 0 435.74 0 1 4 1 143.97 174.44 0 0 456.44 0 1 1 2 159.91 223.27 0 0 0 0 1 2 2 159.91 223.27 0 0 400 0 1 3 2 165.76 217.28 0 0 521.47 0 1 4 2 175.1 207.75 0 0 647.4 0 1 1 3 102.46 151.98 0 0 0 0 1 2 3 102.46 151.98 0 0 400 0 1 3 3 108.43 145.91 0 0 350.18 0 1 4 3 113 141.27 0 0 299.36 0 2 1 1 119.52 199.43 0 285.7 0 0 2 2 1 119.52 199.43 0 285.7 400 0 2 3 1 124.92 193.88 0 312.1 465.31 0 2 4 1 132.1 186.54 0 349.01 521.96 0 2 1 2 146.05 237.55 0 426.61 0 0 2 2 2 146.05 237.55 0 426.61 400 0 2 3 2 151.39 232.03 0 458.38 556.87 0 2 4 2 160.87 222.29 0 517.58 741.19 0 2 1 3 93.36 161.27 0 174.32 0 0

(14)

2 2 3 93.36 161.27 0 174.32 400 0 2 3 3 98.8 155.72 0 195.23 373.73 0 2 4 3 103.6 150.83 0 214.66 341.25 0 3 1 1 109.91 209.32 0 483.21 0 0 3 2 1 109.91 209.32 0 483.21 400 0 3 3 1 114.87 204.21 0 527.8 490.1 0 3 4 1 122.1 196.78 0 596.34 580.84 0 3 1 2 135.69 248.27 0 736.47 0 0 3 2 2 135.69 248.27 0 736.47 400 0 3 3 2 139.41 244.42 0 777.41 586.61 0 3 4 2 148.87 234.63 0 886.49 825.77 0 3 1 3 85.78 169.04 0 294.33 0 0 3 2 3 85.78 169.04 0 294.33 400 0 3 3 3 90.77 163.93 0 329.57 393.43 0 3 4 3 95.68 158.9 0 366.19 378.74 0 4 1 1 101.77 217.74 0 621.43 0 0 4 2 1 101.77 217.74 0 621.43 400 0 4 3 1 106.36 212.99 0 678.75 511.18 0 4 4 1 113.55 205.57 0 773.62 633.89 0 4 1 2 135.69 248.27 0 1104.71 0 0 4 2 2 135.69 248.27 0 1104.71 400 0 4 3 2 135.69 248.27 0 1104.71 595.85 0 4 4 2 138.62 245.24 0 1152.93 902.14 0 4 1 3 79.36 175.64 0 377.88 0 0 4 2 3 79.36 175.64 0 377.88 400 0 4 3 3 83.97 170.9 0 423.06 410.16 0 4 4 3 88.91 165.83 0 474.3 412.49 0 5 1 1 94.78 225 0 718.66 0 0 5 2 1 94.78 225 0 718.66 400 0 5 3 1 99.06 220.56 0 785.03 529.34 0 5 4 1 106.15 213.21 0 901.43 681.88 0 5 1 2 135.69 248.27 0 1472.94 0 0 5 2 2 135.69 248.27 0 1472.94 400 0 5 3 2 135.69 248.27 0 1472.94 595.85 0 5 4 2 135.69 248.27 0 1472.94 924.57 0 5 1 3 73.85 181.32 0 436.31 0 0 5 2 3 73.85 181.32 0 436.31 400 0 5 3 3 78.14 176.9 0 488.47 424.56 0 5 4 3 83.06 171.84 0 551.92 442.93 0

Permainan ini memiliki tiga ekuilibrium Nash yaitu set strategi (5, 4, 1), (5, 4, 2), dan (5, 4, 3) atau dengan kata lain untuk ketiga kondisi beban, solusi stabil adalah jika pemain 1 memainkan strategi 5 dan pemain 2 memainkan strategi 4.

Perhitungan lelang berulang dengan replikator dinamik dilakukan dengan cara yang sama dengan perbedaan pada distribusi probabilitas strategi pemain 3 dibuat

(15)

tetap karena probabilitas kondisi beban normal, rendah, atau tinggi adalah tetap. Misalkan besarnya sama yaitu 1/3. Maka kondisi distribusi probabilitas setelah lelang berulang dapat diamati pada tabel berikut.

Tabel VI. 22 Distribusi Probabilitas Setelah Lelang Berulang Jumlah Lelang Pemain/Strategi 1 2 3 4 5 1 P1 1/5 1/5 1/5 1/5 1/5 P2 1/4 1/4 1/4 1/4 - P3 1/3 1/3 1/3 - - Jumlah Lelang Pemain/Strategi 1 2 3 4 5 100 P1 0.0001 0.0018 0.0214 0.1442 0.8325 P2 0.0010 0.0612 0.1784 0.7594 - P3 1/3 1/3 1/3 - - Jumlah Lelang Pemain/Strategi 1 2 3 4 5 200 P1 0.0000 0.0000 0.0006 0.0287 0.9707 P2 0.0000 0.0045 0.0428 0.9527 - P3 1/3 1/3 1/3 - - Jumlah Lelang Pemain/Strategi 1 2 3 4 5 300 P1 0.0000 0.0000 0.0000 0.0050 0.9950 P2 0.0000 0.0003 0.0083 0.9914 - P3 1/3 1/3 1/3 - -

Dari tabel di atas, kembali didapatkan strategi stabil setelah lelang berulang merupakan strategi ekuilibrium Nash.