Efesiensi Interpolasi Spatial menggunakan Metode Dekomposisi Gelanggang

1

Efesiensi Interpolasi Spatial menggunakan Metode Dekomposisi

Gelanggang

Amran1), Nur Iriawan2), Irhamah3), dan Subiono4) 7 Nopember 2009

1) Jurusan Matematika FMIPA Univ. Hasanuddin dan Mahasiswa S3, Jurusan Statistika FMIPA ITS, Surabaya

Email : amran@mhs.statistika.its.ac.id 2), 3) Jurusan Statistika FMIPA ITS, Surabaya 4) Jurusan Matematika, FMIPA ITS, Surabaya

ABSTRAK

Masalah yang sering ditemui pada implementasi Interpolasi Spasial menggunakan data real adalah ukuran data dan grid yang sangat besar, hal ini mengakibatkan dimensi matriks covariansi (C) spasial yang terbentuk sangat besar. Dalam penelitian ini, akan diselidiki tentang aplikasi metode Dekomposisi Gelanggang terhadap matriks Kovariansi Spatial dalam konteks Interpolasi Spasial menggunakan metode Simulasi Bersyarat. Dengan menganggap bahwa matriks kovariansi spasial sebagai suatu matriks gelanggang atas lapangan riil ( ), matriks ini dapat dinyatakan sebagai jumlah langsung dari sub modul. Selanjutnya dengan dekomposisi LU pada sub modul ini diperoleh matriks segitiga bawah L yang digunakan untuk membangun realisasi dekomposisi ring. Untuk mengukur efesiensi, metode ini akan dibandingkan dengan metode dekomposisi Lower Upper(LU) yang sering digunakan dalam berbagai aplikasi. Menggunakan data eksperimental dan ukuran grid yang sama, metode dekomposisi LU dan metode dekomposisi ring membangun realisasi yang serupa dan variogram yang direproduksi kedua metode ini dapat mempertahankan bentuk variogram data eksperimental. Dekomposisi ring secara signifikan memberi peningkatan ukuran data eksperimental dan grid yang akan disimulasikan.

Kata Kunci : Simulasi bersyarat,semivariogram, dekomposisi LU, matriks kovariansi spasial,

sub modul, dekomposisi gelanggang.

Seminar Nasional Statistika IX

2

1. Pendahuluan

Metode geostatistik biasanya digunakan untuk tujuan: Mengestimasi hubungan spasial nilai variabel pada lokasi yang belum diamati dan melakukan simulasi ketidakpastian hasil interpolasi. Kedua hal tersebut dilakukan dengan metode kriging dan simulasi stokastik dengan data sampel berfungsi sebagai data control (syarat) atau dikenal sebagai Simulasi Bersyarat. Perbedaan kedua metode ini terletak pada tujuannya ( Journel dan Huijbregts, 1978).

Jika ingin mengetahui variabilitas spasial atau distribusi variabel di suatu lokasi deposit maka digunakan simulasi stokastik. Pada simulasi stokastik gambaran variabilitas sebenarnya dapat diperoleh karena momen orde duanya sama dengan momen orde dua data eksperimental. Momen orde dua menunjukkan variabilitas variabel spasial, sehingga untuk mendapatkan gambaran tentang variabilitas spasial lokasi deposit dapat dilakukan melalui simulasi stokastik.

Salah satu metode interpolasi yang biasa digunakan dalam simulasi bersyarat ialah Simulasi Stokastik dengan Dekomposisi Lower Upper (LU), disingkat dengan SSDLU. Dalam melakukan interpolasi dan mensimulasi ketidakpastiannya, digunakan parameter variogram model. Parameter yang dimaksud antara lain : range(a), sill(Co) dan lain-lain. Berdasarkan nilai parameter ini dilakukan proses interpolasi di lokasi lainnya.

Dalam prakteknya SSDLU membagi suatu lokasi deposit menjadi beberapa grid, seluruh grid yang dibuat menutupi lokasi pengamatan, nilai interpolasi dihitung berdasarkan nilai interpolasi setiap lokasi grid yang telah dibuat. Dari hasil ini diperoleh deskripsi reservoir yang dikenal dengan model numerik reservoir. Simulasi stokastik yang menggunakan grid sebagai representasi lokasi sebenarnya disebut simulasi berbasis grid.

Hasil interpolasi SSDLU selain mendapatkan nilai variabel pada lokasi yang tidak mempunyai sampel, juga dapat mereproduksi variogram eksperimental baru, dengan memeriksa variogram yang direproduksi dari data interpolasi dapat diukur keakuratan hasil interpolasi. Jika variogram data interpolasi secara signifikan tidak berbeda atau ‘mirip’ dengan variogram data eksperimental dikatakan hasil tersebut cukup akurat.

Jika jumlah data dan grid dan jumlah realisasi yang diinginkan sedikit maka SSDLU mampu memberikan solusi yang cepat.(Deutsch, dan Journel, 1992), namun

3

disisi lain SSDLU cukup efektif jika jumlah data dan grid kurang dari seribu ( Dowd, dan Sarac, 1992). Sehingga untuk jumlah data dan grid yang lebih dari seribu dan beberapa realisasi yang diinginkan, SSDLU sudah tidak akurat lagi mengukur variabilitas spasial variabel di lokasi deposit yang diamati. Hal ini disebabkan karena keterbatasan kemampuan proses komputasi yang harus digunakan pada metode ini.

Untuk mengatasi masalah tersebut, dapat digunakan Simulasi Stokastik dengan Dekomposisi Ring (SSDR). SSDR merupakan pengembangan baru dari SSDLU. SSDR dapat dilakukan untuk jumlah data dan grid serta realisasi yang lebih banyak.

2. Simulasi Bersyarat

Variabel teregional z(s), dapat dinyatakan sebagai suatu realisasi dari variabel acak stationer Z(s) dengan ekspektasi m dan covariansi C(h) atau variogram 2 (h).

Dalam simulasi stokastik akan dibuat suatu realisasi dari variabel acak Zcs(s) yang isomorpik dengan Z(s), yakni suatu variabel acak dengan nilai ekspektasi dan C(h) atau

(h) yang sama. Selanjutnya realisasi Zcs(s) pada lokasi data eksperimen, menghasilkan

nilai simulasi yang sama dengan nilai data eksperimental :

Zcs(s ) = Z(s ) , s I. I himpunan data.

2.1 Sifat-Sifat Aljabar Dekomposisi LU

Untuk menyelesaikan suatu system persamaan yang mengandung banyak variabel, sistem persamaan tersebut ditransformasi menjadi sistem persamaan segitiga. Metode eliminasi gauss mengkonversikan sistem :

Ax = y (1)

ke suatu sistem segitiga yang equivalen. Konversi dilakukan pada kombinasi linier yang bersesuaian dengan persamaan dalam (1).

Berikut akan diberikan prosedur konversi pada dekomposisi matriks segitiga bawah(L) dan matriks segitiga atas (U) sehingga :

A = LU

Penyelesaian persamaan (1), ditentukan dengan dua tahap penyelesaian yakni :

4

3. Metode Dekomposisi Gelanggang

Metode dekomposisi gelanggang merupakan pengembangan metode dekomposisi LU yang terbatas pada jumlah data eksperimental dan grid yang kecil. Dengan dekomposisi ring kita dapat melakukan dekomposisi matriks yang mempunyai jumlah grid dan data eksperimental yang besar. Metode dekomposisi gelanggang dapat digunakan untuk mereduksi pemakaian memori secara signifikan.

Suatu R-modul adalah perumuman dari suatu ruang vektor dengan skalar merupakan unsur suatu gelanggang. Jumlah subgroup suatu R-modul adalah sub-modul. R-modul adalah jumlah langsung ( ) dari sub-modul. (Kasch, 1982). M

disebut jumlah langsung dari himpunan { Bi i I } sub-modul dari M, dilambangkan dengan : M = _i I i

B

] 0 [ , ). 2 ). 1 j i I i i I i i B Bj I j B M  dimana, i i finite i I i i b b B B M = _i I i

B

,

disebut juga sebagai dekomposisi langsung M atas sub-modul { Bi i I} dan

diasumsikan, 0 Bi, i I.

Dalam kasus I = {1, 2, …, n} hingga, M juga ditulis sebagai:

M = B1 B2 … Bn .

Teorema 1:

Misal { Bi i I } sub-modul, Bi M dan M =

I i i

B

, persamaan 2) ekuivalen dengan : x M, penulisan x = ' I i i

b

, dengan bi Bi, I’ I, I’ hingga, adalah tunggal.

Corollary 2:

Jika M adalah suatu matriks gelanggang atas lapangan , maka M adalah suatu jumlah langsung Bi, dengan Bi adalah baris ke-i elemen M.

5

Berdasarkan corollary ini dan karena C dapat juga dipandang sebagai matriks gelanggang atas lapangan , maka C adalah jumlah langsung dari Bi.

Misal C = (Cij )nxn. ei = (0, …, 0, I, 0, …, 0), I matriks identitas.

definisikan

Bi = eiC

maka

C = Bi dan eiC = (Ci1, Ci2, …, Cin)

karena vektor (Ci1, Ci2, …, Cin) dapat diidentifikasi dengan Bi, akibatnya :

C = e1C e2C … enC

= B1 B 2 … B n

Selanjutnya dekomposisikan Bi menjadi matrik segitiga bawah dan matriks segitiga

atas, sebagai berikut :

dapat digunakan dekomposisi :

L11U11 = C11 (gunakan dekomposisi LU)

Li1 = Ci1 i 2

Lij = Ci,j-1 - Cij 2 j i-1

LiiUii = Ci,i-1 - Cii i 2 (gunakan dekomposisi LU)

Lij = 0 j > i

4. Contoh Numerik

Untuk melihat dan menganalisis hasil yang dicapai oleh metode dekomposisi ring, metode ini akan dibandingkan dengan metode dekomposisi LU. Akan ditunjukkan bahwa nilai interpolasi kedua metode ini serupa untuk data dan lokasi data eksperimental yang sama. Pengambilan data untuk keperluan ini dilakukan pada jumlah data dan grid yang dapat dijangkau oleh dekomposisi LU, selanjutnya dengan data tersebut dilakukan dekomposisi ring untuk dibandingkan hasilnya. Disini digunakan tujuh lokasi data eksperimental, 93 realisasi dan 5 x 6 lokasi grid yang berukuran 200m

i i nn n n nn n n in i i i i LU u u u u u u L L L L L L C C C C e B                          0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 22 1 12 11 2 22 1 12 11 2 1

6

x 200m dan diambil dari 7 lokasi sumur produksi lapangan minyak Jatibarang. Lapangan minyak Jatibarang terletak di kabupaten Indramayu memanjang dari timur ke barat 16 km dan dari utara ke selatan 10 km. Minyak dan gas-bumi ditemukan pada basin Jawa Barat yang merupakan suatu antiklinal di bawah permukaan yang tidak selaras dari zona 400 sampai 1200m, memanjang dari timur-barat. Dua patahan besar melintang dari utara-selatan membagi lapangan menjadi tiga blok atau patahan. Selain patahan besar juga terdapat beberapa patahan kecil. Dalam penelitian ini akan digunakan 83 data sumur sampel dengan koordinat : 11700m sampai 18300m arah timur-barat dan -3400m sampai 3400m arah utara-selatan.

Dari ketujuh data eksperimental yang diberikan, model variogram dapat dihampiri dengan variogram model isotropik dengan parameter :

Model variogram : Spherikal Range : 390 Sill : 3.5

Jika kedua metode dilakukan pada data eksperimental ini, diperoleh hasil dalam Tabel 1:

Tabel 1:Hasil interpolasi dekomposisi LU dan dekomposisi Ring menggunakan 7 data eksperimental 30 lokasi grid.

No Lokasi Dekomposisi LU Dekomposisi Ring

X Y rata-rata st.deviasi rata-rata st.deviasi

1 12600 1000 15.08812 1.95632 15.13757 1.932775 2 12800 1000 15.95026 1.91714 16.15292 2.01688 3 13000 1000 14.95458 2.057326 14.92562 1.898842 4 13200 1000 14.35647 2.076481 14.72724 1.952511 5 13400 1000 15.31425 1.95879 15.42538 1.965266 6 13600 1000 14.68382 2.031659 14.66926 2.084172 7 12600 1200 14.9228 2.173611 14.91776 1.995565 8 12800 1200 15.23984 1.978063 15.22667 1.943167 9 13000 1200 14.95404 1.899578 15.02974 1.967002 10 13200 1200 15.20775 2.112962 15.27591 1.987563 11 13400 1200 15.8553 1.955988 15.45392 1.559778 12 13600 1200 15.12135 2.066828 15.16977 1.076847 13 12600 1400 14.86355 1.850654 14.87961 0.982529 14 12800 1400 15.04433 1.969477 15.03143 0.984684 15 13000 1400 14.83949 1.852726 15.05937 1.092067 16 13200 1400 15.06286 2.134841 14.93545 0.96079 17 13400 1400 15.57465 1.930876 15.46954 0.031277 18 13600 1400 17.47146 1.892682 17.03093 5.62E-07 19 12600 1600 15.25547 1.607811 14.95398 0 20 12800 1600 14.75028 2.226693 14.88288 0 21 13000 1600 14.91935 2.199754 15.29712 2.22701 22 13200 1600 14.64834 1.854326 14.51389 2.167284 23 13400 1600 14.97383 1.802835 15.27452 2.066833 24 13600 1600 15.5099 1.949269 15.45889 2.135546

7 25 12600 1800 14.92322 2.099788 15.11702 2.188001 26 12800 1800 13.65861 2.08937 13.5673 2.132713 27 13000 1800 14.33166 2.142766 13.81395 2.111895 28 13200 1800 13.1066 1.95197 12.88394 1.907026 29 13400 1800 14.1455 2.076257 14.24395 1.867297 30 13600 1800 14.8784 2.057805 14.7151177 1.982898

Berdasarkan perbandingan nilai pada Tabel 1, terlihat bahwa nilai rata-rata hasil yang dicapai oleh kedua metode interpolasi hampir sama di setiap lokasi grid, lebih jelasnya dapat dilihat pada kontur hasil interpolasi pada Gambar 1 :

12600.00 12800.00 13000.00 13200.00 13400.00 13600.00 1000.00 1100.00 1200.00 1300.00 1400.00 1500.00 1600.00 1700.00 1800.00 12.80 13.00 13.20 13.40 13.60 13.80 14.00 14.20 14.40 14.60 14.80 15.00 15.20 15.40 15.60 15.80 16.00 16.20 16.40 16.60 16.80 a. dekomposisi ring 12600.00 12800.00 13000.00 13200.00 13400.00 13600.00 1000.00 1100.00 1200.00 1300.00 1400.00 1500.00 1600.00 1700.00 1800.00 13.00 13.20 13.40 13.60 13.80 14.00 14.20 14.40 14.60 14.80 15.00 15.20 15.40 15.60 15.80 16.00 16.20 16.40 16.60 16.80 17.00 17.20 b. dekomposisi LU

gambar 1 : Kontur hasil dekomposisi ring dan dekomposisi LU.

dari gambar 1 terlihat bahwa hasil yang dicapai oleh kedua metode ini hanya memiliki sedikit perbedaan, yakni pada 12800 < x < 13200 dan 1500 < y < 1600, pada lokasi ini dekomposisi ring masih dapat menggambarkan perbedaan kadar porositas yakni sebesar 14.80, 15.00 dan 15.20 sedangkan dekomposisi LU menganggap di lokasi itu perbedaan kadar porositas, yakni hanya 14.80 dan 15.00. Hal ini terjadi karena adanya perbedaan elemen matriks LGD dan LGG yang bersesuaian untuk lokasi yang dimaksud,

8

matriks LGD dan LGG dekomposisi LU. Nilai elemen matriks LGD dan LGG yang

bersesuaian dengan lokasi lainnya pada kedua metode ini memiliki nilai relatif sama, sehingga pada lokasi tersebut kadar porositas oleh kedua metode ini relatif sama.

Untuk menguji apakah kedua variogram yang direproduksi dari hasil interpolasi ini berbeda atau tidak secara signifikan terhadap variogram data eksperimental, dilakukan dengan menggunakan uji fit comparison dan hasilnya sebagai berikut :

Tabel 2 : Uji kecocokan variogram hasil interpolasi dan variogram data eksperimental pada tingkat kepercayaan 95%.

Metode p-value kesimpulan

Dekomposisi LU 0.927022 tidak berbeda

secara signifikan.

Dekomposisi Ring 0.878988 tidak berbeda

secara signifikan.

Dari Tabel 2 dapat disimpulkan bahwa variogram metode dekomposisi ring dan dekomposisi LU tidak berbeda secara signifikan terhadap variogram data eksperimental. Jadi kedua metode ini dapat mempertahankan bentuk variogram data eksperimental.

Berikut ditampilkan statistik deskriptif hasil interpolasi :

Tabel 3 : Statistik deskriktif data eksperimental dan hasil interpolasi

Statistik Data eksperimental Hasil interpolasi dekomposisi LU Hasil interpolasi dekomposisi ring Mean 14.96714 15.08812 14.97469 St.Deviasi 1.964202 0.741956 0.73502 Koef.variasi 0.131234 0.049175 0.049084 Minimum 12.81 13.1066 12.88394 Maksimum 17.46 17.47146 17.03039

Dari tabel 3 dapat disimpulkan bahwa nilai rata-rata hasil interpolasi sangat dekat dengan nilai rata-rata data eksperimental, selisih nilai rata-rata untuk dekomposisi LU = 0.12098 dan dekomposisi gelanggang = 0.007548 yang menunjukkan bahwa rata-rata distribusi hasil interpolasi dan rata-rata distribusi data eksperimental sangat mirip. Hal ini sesuai dengan asumsi kestasioneran variabel acak Z(s).

Dari uraian di atas dapat disimpulkan bahwa hasil interpolasi yang diperoleh metode dekomposisi ring serupa dengan hasil interpolasi yang diperoleh melalui metode dekomposisi LU, baik metode dekomposisi ring maupun dekomposisi LU tetap mempertahankan struktur analisis atau variogram data eksperimental.

9

5. Aplikasi Metode Dekomposisi Ring Pada Lapangan Minyak Jatibarang

Berdasarkan 83 data eksperimental yang diberikan, diperoleh statistik deskriptif seperti yang disajikan pada Tabel 4:

Tabel 4: Statistik deskriktif 83 data eksperimental

Statistik 83 Data eksperimental

Mean 13.19518

St.Deviasi 2.766257

Koef.variasi 0.209641

Minimum 5.57

Maksimum 21.14

Model variogram 83 data eksperimental ini dapat dihampiri dengan : - Model(isotropik) : Spherikal

- Range : 2000m dan - Sill : 7.5

Lokasi 83 data eksperimental didefinisikan pada grid 33 x 35 berukuran 200m x 200m sehingga jumlah grid keseluruhannya ialah 1155, total data dan grid yaitu : 1155 + 83 = 1238, ukuran matriks kovariansi yang akan terbentuk yakni 1238 x 1238 merupakan jumlah yang sangat besar bagi dekomposisi LU.

Dengan menggunakan dekomposisi gelanggang pada matrik kovariansi grid, diperoleh hasil interpolasi dengan statistik deskriptif pada Tabel 5:

Tabel 5: Statistik deskriptif hasil interpolasi dekomposisi gelanggang

Statistik 83 Data eksperimental

Mean 13.36273

St.Deviasi 1.946215

Koef.variasi 0.209641

Minimum 6.252587

Maksimum 20.51739

dan grafik histogramnya :

10

Jika dibandingkan antara hasil interpolasi dekomposisi ring matriks kovariansi grid dengan data eksperimental maka dapat disimpulkan bahwa nilai rata-rata distribusinya mempunyai selisih yang amat kecil yakni hanya : 0.16755, sehingga boleh dikatakan bahwa nilai rata-rata distribusi metode dekomposisi ring hampir sama dengan nilai rata-rata distribusi data eksperimental.

Pada Gambar 3, ditunjukkan perbandingan variogram data eksperimental dengan variogram hasil interpolasi dekomposisi ring yang menunjukkan kemiripan bentuk dan nilai parameternya. 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 0 5 10 15 20 25 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 0 5 10 15 20 25 hasil ring N ila i Va rio gra m Jarak (m) sampel

Gambar 3 : Perbandingan variogram hasil interpolasi dekomposisi ring dan variogram data eksperimental

Berdasarkan uji fit comparison untuk kedua variogram diperoleh nilai p-value = 0.848401 > 0.05 = , sehingga disimpulkan bahwa kedua grafik tidak berbeda secara signifikan pada tingkat kepercayaan 95%. Dari hasil ini dapat dilihat bahwa hasil interpolasi pada lapangan minyak Jatibarang menunjukkan bahwa distribusi dan variogram hasil interpolasi dekomposisi ring serupa dengan distribusi dan variogram data eksperimental. Berikut disajikan hasil interpolasi porositas pada lapangan minyak jatibarang menggunakan 83 data eksperimental melalui dekomposisi ring matriks kovariansi grid dengan 103 realisasi yang ditampilkan dalam kontur kadar porositas:

11 12000.00 13000.00 14000.00 15000.00 16000.00 17000.00 18000.00 -3000.00 -2000.00 -1000.00 0.00 1000.00 2000.00 3000.00 6.00 7.00 8.00 9.00 10.00 11.00 12.00 13.00 14.00 15.00 16.00 17.00 18.00 19.00 20.00

Gambar 4 : Kontur kadar porositas dengan dekomposisi ring.

Dari Gambar 4, terlihat bahwa pada koordinat x > 17.000 dan y > 2000; 14.000 < x < 16.000 dan y > 2200; 13600 < x < 15000 dan y < -2600; serta 13600 < x < 15600 dan 0 < y < 1800 merupakan daerah yang memiliki nilai rata-rata kadar porositas lebih tinggi daripada kadar porositas lokasi lainnya.

4. Kesimpulan

Metode Dekomposisi Lower-Upper(LU) banyak digunakan dalam karakterisasi reservoir karena mudah untuk digunakan, menjalankan simulasi dengan data bersyaratnya secara serempak, tidak terbatas pada bentuk fungsi kovariansi, sehingga dapat pula digunakan pada kasus anisotropik.

Metode Dekomposisi Ring merupakan pengembangan dari metode dekomposisi LU untuk dimensi matriks kovariansi yang cukup besar. Dengan asumsi bahwa matriks kovariansi sebagai suatu matriks gelanggang atas lapangan riil ( ), matriks ini selanjutnya dinyatakan sebagai jumlah langsung dari sub modul. Dekomposisi LU dilakukan pada sub modul ini untuk membuat suatu realisasi dekomposisi ring.

Dengan menggunakan delapan puluh tiga data eksperimental pada lapangan minyak Jatibarang, dapat dilihat bahwa hasil interpolasi pada lapangan minyak jatibarang menunjukkan bahwa distribusi dan variogram hasil interpolasi dekomposisi

12

ring serupa dengan distribusi dan variogram data eksperimental.hal terlihat dari nilai rata-rata distribusinya mempunyai selisih yang amat kecil yakni hanya : 0.16755.

Penggunaan dekomposisi ring pada matrik kovariansi lokasi grid, dapat meningkatkan ukuran data eksperimental dan grid yang akan disimulasikan.

Daftar Pustaka

Armstrong, M., (1998). Basic Linear Geostatistics, Springer, Berlin.

Cressie, N. A. C., (1993). Statistics for Spatial Data, Edisi Revisi, John Wiley & Sons, New York.

Deutsch, C.V., dan Journel, A.G., (1992), GSLIB Geostatistical Software Library and

User’s Guide. Oxford University Press, New York.

Fetkovich, M. J., (1980). Decline Curve Analysis Using Type Curves , SPE 4629.1065-1077.

Hohn, M.E., (1999), Geostatistics and Petroluem Geology, Second Edition, Kluwer Academic Publisher, Dardrecht.

Kitanidis, P.K., (1999). Introduction To Geostatistics: Applications to Hydrogeology, Cambridge University Press, New York.