PERMASALAHAN KOMBINATORIAL DALAM
MENYELESAIKAN SISTEM LINIER
TESIS
Oleh
MELIYA NINGRUM 137021009/MT
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
PERMASALAHAN KOMBINATORIAL DALAM
MENYELESAIKAN SISTEM LINIER
T E S I S
Diajukan Sebagai Salah Satu Syarat
Untuk Memperoleh Gelar Magister Sains dalam Program Studi Magister Matematika pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Sumatera Utara
Oleh:
MELIYA NINGRUM 137021009/MT
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
Judul Tesis : PERMASALAHAN KOMBINATORIAL DALAM MENYELESAIKAN SISTEM LINIER
Nama Mahasiswa : Meliya Ningrum Nomor Pokok : 137021009
Program Studi : Magister Matematika
Menyetujui, Komisi Pembimbing
(Prof. Dr. Saib Suwilo, M.Sc) (Prof. Dr. Opim Salim S, M.Sc)
Ketua Anggota
Ketua Program Studi Dekan
(Prof. Dr. Herman Mawengkang) (Dr. Sutarman, M.Sc)
Telah diuji pada Tanggal : 1 Juni 2015
PANITIA PENGUJI TESIS
Ketua : Prof. Dr. Saib Suwilo, M.Sc Anggota : 1. Prof. Dr. Opim Salim S, M.Sc
PERNYATAAN
PERMASALAHAN KOMBINATORIAL DALAM MENYELESAIKAN SISTEM LINIER
T E S I S
Saya mengakui bahwa tesis ini adalah hasil karya sendiri, kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing-masing dituliskan sumbernya.
Medan, Penulis,
Meliya Ningrum
ABSTRAK
Sistem linier dan kombinatorial optimisasi merupakan topik yang luas. Hampir semua kasus terdapat gagasansparsityuntuk masalah kombinatorial yang muncul. Matriks sparse merupakan bentuk dasar dari interaksi kedua subyek yang tam-paknya berbeda. Sebagai inti dari banyak perhitungan aljabar linier yang terdiri dari solusi sistem linier sparse dilakukan dengan metode langsung atau metode iteratif. Akan diteliti beberapa masalah kombinatorial, ide-ide dan algoritma yang berkaitan dengan perhitungan. Pada metode langsung, akan didiskusikan tentang matriksordering(pengalamatan matriks), pencocokan bipartisi dan matriks skala untukpivoting yang lebih baik, penugasan dan penjadwalan untuk menyelesaikan
multifrontal paralel.
Kata kunci: Kombinatorial optimisasi, Matriks jarang, Penyelesaian sistem linier
ABSTRACT
Linear system and combinatorial optimization are vast topics. In virtually all cases there should be a notion of sparsity for a combinatorial problem to arise. Sparse matrices form the basis of the interaction of these two seemingly disparate subjects. As the core of many linear algebra computations consists of the solution of sparse linear system by direct or iterative methods. Would survey some com-binatorial problems, ideas and algorithms relating to these computations. On the direct methods side, will discuss issues such as matrix ordering, bipartite matching and matrix scaling for better pivoting, task assignment and scheduling for parallel multifrontal solvers.
Keywords: Combinatorial optimization, Sparse matrices, Linear system solution
KATA PENGANTAR
Setinggi puji dan sedalam syukur penulis serahkan kehadirat Allah SWT yang telah memberikan berkat dan rahmadNya sehingga penulis dapat menye-lesaikan tesis yang berjudul PERMASALAHAN KOMBINATORIAL DALAM MENYELESAIKAN SISTEM LINIER. Tesis ini merupakan salah satu syarat untuk menyelesaikan studi pada Program Studi Magister Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam (FMIPA) Universitas Sumatera Utara.
Pada kesempatan ini, penulis menyampaikan terima kasih sebesar-besarnya kepada :
Prof. Subhilhar, PhD selaku Pejabat Rektor Universitas Sumatera Utara.
Dr. Sutarman, M.Sc selaku Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam (FMIPA) Universitas Sumatera Utara.
Prof. Dr. Herman Mawengkang selaku Ketua Program Studi Magister Matema-tika FMIPA USU.
Prof. Dr. Saib Suwilo, M.Sc selaku Sekretaris Program Studi Magister Matema-tika FMIPA USU dan juga merupakan Pembimbing Pertama yang telah banyak memberikan bimbingan dan arahan serta motivasi kepada penulis dalam penulisan tesis ini.
Prof. Dr. Opim Salim S, M.Sc selaku Pembimbing Kedua yang juga telah banyak memberikan bimbingan kepada penulis dalam penulisan tesis ini.
Dr. Mardiningsih, M.Si selaku Penguji Pertama yang telah banyak memberikan bimbingan serta kepada penulis dalam penulisan tesis ini.
Prof. Dr. Muhammad Zarlis selaku Penguji Kedua yang juga telah banyak mem-berikan bimbingan kepada penulis dalam penulisan tesis ini.
Seluruh Staf Pengajar pada Program Studi Magister Matematika FMIPA USU yang telah banyak memberikan ilmu pengetahuan selama masa perkuliahan.
Kakanda Misiani, S.Si selaku Staf Administrasi Program Studi Magister Mate-matika FMIPA USU yang telah banyak memberikan pelayanan yang baik kepada penulis selama mengikuti perkuliahan.
Seluruh rekan-rekan Mahasiswa Program Studi Magister Matematika FMIPA USU tahun 2013 yang telah memberikan bantuan moril serta motivasi kepada penulis dalam penulisan tesis ini.
Tidak lupa penulis mengucapkan terima kasih sebesar-besarnya dan peng-hargaan setinggi-tingginya kepada ibunda tercinta Muliati dan ayahanda Amran yang mencurahkan kasih sayang dan dukungan kepada penulis, serta adik-adik terkasih M. Rizki Ramadhan dan Nanda Kurnia Farhani. Terima kasih juga untuk Nano Sulistio yang telah memberikan semangat dan motivasi kepada penulis da-lam penulisan tesis ini. Terima kasih kepada sahabat-sahabatku, khususnya M. Romi Syaputra, Isnaini Halimah Rambe dan Evi Syafitri Pohan serta rekan-rekan lainnya yang tidak dapat disebutkan satu-persatu. Semoga Allah SWT mem-berikan balasan atas jasa-jasa mereka yang telah dimem-berikan kepada penulis.
Penulis menyadari bahwa tesis ini masih jauh dari sempurna, untuk itu penulis mengharapkan kritik saran untuk penyempurnaan tesis ini. Semoga tesis ini dapat bermanfaat bagi pembaca dan pihak-pihak lain yang memerlukannya. Terima kasih.
Medan, Penulis,
Meliya Ningrum
RIWAYAT HIDUP
Meliya Ningrum dilahirkan di Bandar Setia pada tanggal 03 April 1990 dari pasangan Bapak Amran & Ibu Muliati. Penulis lulus dari pendidikan Sekolah Dasar Negeri 106811 pada tahun 2002, Sekolah Menengah Pertama (SMP) Negeri 1 Percut Sei Tuan pada tahun 2005, Sekolah Menengah Atas (SMA) Negeri 1 Percut Sei Tuan tahun 2008. Pada tahun 2008 memasuki tingkat Perguruan Tinggi di Universitas Sumatera Utara Fakultas MIPA jurusan (S-1) Matematika bidang Statistik dan lulus tahun 2012.
Pada tahun 2013, penulis melanjutkan pendidikan pada Program Studi Ma-gister (S-2) Matematika di Universitas Sumatera Utara. Selain kegiatan akademik, penulis juga aktif di berbagai kegiatan organisasi baik internal maupun ekster-nal kampus. Pada tahun 2013 penulis dipercayakan sebagai asisten laboratorium komputer D-3 Statistik, Universitas Sumatera Utara.
DAFTAR ISI
BAB 1 PENDAHULUAN 1
1.1 Latar Belakang 1
1.2 Perumusan Masalah 3
1.3 Tujuan Penelitian 3
1.4 Manfaat Penelitian 4
1.5 Metodologi Penelitian 4
BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA 5
2.1 Sistem Sparse 5
2.2 Preconditioner 6
2.3 Beberapa Penelitian Permasalahan Kombinatorik dalam
Menye-lesaikan Sistem Linier 7
BAB 3 SISTEM LINIER DAN GRAF 9
3.1 Sistem Linier 9
3.2 Graf 10
3.2.1 Matriks diagonal dan matriks ketetanggaan 14
3.2.2 Matriks bersisian (incidence) 15
BAB 4 METODE LANGSUNG 19
4.1 Eliminasi Gauss 19
4.2 Ordering untuk Sparsity 21
4.3 Pencocokkan dan Penskalaan 27
4.4 Eliminasi Pohon 30
4.5 Metode Multifrontal 31
4.6 Pendekatan Pohon Eliminasi dan Multifrontal 34
BAB 5 KESIMPULAN 40
5.1 Kesimpulan 40
5.2 Saran 40
DAFTAR PUSTAKA 41
DAFTAR TABEL
Nomor Judul Halaman
4.1 Algoritma Gauss 20
4.2 Algoritma minimumdegree 24
4.3 Beberapa kode program dan webpage/ alamat email 33
4.4 Kode program, pemilihan ordering dan algoritma faktorisasi 33
DAFTAR GAMBAR
Nomor Judul Halaman
3.1 Graf tak berarah dengan 5 verteks 12
3.2 Graf berarah dengan 4 verteks 13
3.3 Graf bipartisi dengan 9 verteks 14
3.4 Hubungan graf dengan matriks 16
4.1 (a)Matriks sparse simetris dan (b)Graf eliminasi 21
4.2 Gambaran proses eliminasi dari pivot 1 23
4.3 Contoh pemotongan bertingkat 25
4.4 Graf pohon matriks simetris yang berfill 36
4.5 Inisialisasi graf 13 titik 36
4.6 Penggabungan graf 37
4.7 Matriks yang berfill dan graf eleminasinya 37
