commit to user BAB II
LANDASAN TEORI
Materi pada landasan teori ini terdiri dari dua sub bab, yaitu tinjauan pustaka dan kerangka pemikiran. Tinjauan pustaka berupa uraian tentang penelitian sebelumnya dan juga pengertian-pengertian yang berhubungan dengan estimasi-MM. Melalui kerangka pemikiran akan digambarkan langkah dan arah penulisan untuk mencapai tujuan penelitian.
2.1 Tinjauan Pustaka
Anisah (2009) telah melakukan penelitian mengenai estimasi-MM yang diterapkan pada beberapa kasus antara lain pada kasus total curah hujan di kota Malang, produktivitas padi di Indonesia, dan tingkat pendapatan pengrajin pada industri kecil. Estimasi-MM tersebut digunakan sebagai pembanding terhadap metode kuadrat terkecil ketika terdapat pencilan dalam data. Dari penelitian tersebut disimpulkan bahwa estimasi-MM lebih baik dari metode kuadrat terkecil ketika terdapat pencilan dalam data.
Berikut dipaparkan teori-teori yang relevan dan mendukung dalam penelitian ini, meliputi model regresi linear, metode kuadrat terkecil, asumsi analisis regresi, pencilan, estimasi-M, estimasi-S, dan estimasi-MM.
2.1.1 Model Regresi Linear
Analisis regresi merupakan analisis statistik untuk mengetahui hubungan antara variabel independen dengan variabel dependen. Analisis regresi yang dilakukan untuk satu variabel independen dan satu variabel dependen disebut regresi sederhana. Apabila terdapat beberapa variabel independen dengan satu variabel dependen disebut regresi ganda.
Model regresi linear ganda dengan k variabel independen dapat ditulis dengan
(2.1) ∑
3
commit to user dengan
: variabel dependen pada pengamatan ke-i
, : pengamatan ke-i dari variabel independen ke-j : parameter koefisien regresi
: sisaan dengan ( )
Dengan menjalankan indeks i=1, .., n; dan j=1, . .,k maka persamaan (2.1) dapat ditulis dalam bentuk matriks
[ ] [
] [ ]+[ ]
Model regresi linear ganda dapat dituliskan dalam notasi matriks
(2.2) dengan Y adalah vektor (n x 1) pengamatan, X adalah matriks n x (k +1) variabel independen, adalah vektor (k + 1) x 1 koefisien regresi dan adalah vektor (n x 1) dari sisaan.
2.1.2 Metode Kuadrat Terkecil
Menurut Montgomery (1992), metode kuadrat terkecil (MKT) digunakan untuk mengestimasi koefisien model regresi pada persamaan (2.2). Prinsip MKT adalah meminimumkan jumlah kuadrat sisaan.
( ) ∑
( ) ( )
dengan adalah matriks (1 x 1), atau skalar, dan transposenya ( )
adalah skalar, sehingga diperoleh
( )
Estimator kuadrat terkecil diperoleh dengan menurunkan ( ) secara parsial terhadap dan disamadengankan nol sehingga diperoleh
|
̂ ̂
commit to user
̂ ( ) Untuk menyelesaikan persamaan (2.3), kedua sisinya dikalikan dengan invers dari ( ), sehingga estimator kuadrat terkecil dari adalah
( ) ̂ ( ) ̂ ( )
2.1.3 Uji Asumsi Regresi
Pada model regresi, perlu dilakukan uji untuk mengetahui apakah model regresi memenuhi asumsi regresi atau tidak. Uji asumsi yang dilakukan pada model regresi adalah
1. Uji Normalitas
Gujarati (2003) menjelaskan bahwa pada regresi linear klasik diasumsikan bahwa tiap didistribusikan secara normal dengan ( ).
Salah satu cara untuk menguji asumsi normalitas adalah dengan uji Kolmogorov- Smirnov. Uji ini didasarkan pada nilai D dengan,
{| ( ) ( )| }
dengan ( ) adalah fungsi distribusi frekuensi kumulatif relatif dari distribusi teoritis di bawah (dengan adalah hipotesis yang menyatakan sisaan berdistribusi normal) dan ( ) adalah distribusi frekuensi kumulatif pengamatan sebanyak sampel. Selanjutnya nilai ini dibandingkan dengan nilai kritis dengan signifikansi (tabel Kolmogorov-Smirnov). Apabila nilai >
atau , maka asumsi normalitas tidak dipenuhi.
2. Uji Non Multikolinearitas
Dalam suatu penelitian terkadang ada hubungan yang kuat antara dua variabel independen yang disebut kolinearitas. Jika ada lebih dari dua variabel independen yang saling berhubungan, maka disebut multikolinearitas.
Montgomery dan Peck (1992) menjelaskan bahwa multikolinear antara variabel-variabel independen akan menimbulkan pengaruh terhadap estimasi koefisien regresi di dalam model regresi linier ganda, jika metode kuadrat terkecil
commit to user
digunakan untuk estimasi koefisien model regresi. Pengaruh ini diantaranya yaitu invers kemungkinan tidak dapat ditentukan.
Untuk mendeteksi adanya multikolinearitas dalam model adalah dengan mencari nilai VIF (Variance Inflation Factors). Matriks ( ) adalah matriks untuk mendeteksi adanya multikolinearitas dengan merupakan diagonal matriks yang dapat ditulis
( )
dengan adalah nilai koefisien determinasi atau ketika yang diregresikan dengan variabel independen selain . Nilai adalah faktor perubahan variansi dalam variabel bebas ke-j. Nilai VIF > 10 menunjukkan multikolinearitas yang kuat.
3. Uji Non Heteroskedastisitas
Uji non heteroskedastisitas bertujuan untuk mengetahui apakah variansi pada tiap sisaan ei konstan. Menurut Gujarati (2003), salah satu cara untuk mendeteksi heteroskedastisitas adalah dengan pengujian rank korelasi Spearman
[ ∑ ( )]
dengan di adalah selisih antara masing-masing rank variabel independen dengan variabel dependen dan n adalah banyaknya data yang di rank. Adapun tahapannya adalah
a. melakukan analisis regresi dengan menggunakan MKT untuk mendapatkan sisaan ei,
b. mengabsolutkan nilai ei, kemudian meranking nilai absolut ei dan sesuai dengan urutan yang meningkat atau menurun dan menghitung koefisien rank korelasi Spearman yang telah diberikan sebelumnya,
c. mengasumsikan bahwa koefisien rank korelasi populasi ρs adalah nol dan n >
8, signifikan dari rs dapat diuji dengan pengujian t, √
√
commit to user dengan derajat bebas .
Jika nilai t yang dihitung melebihi nilai t kritis maka ditolak, artinya asumsi non heteroskedastisitas tidak dipenuhi. Jika model regresi meliputi lebih dari satu variabel , dapat dihitung antara | | dan tiap-tiap variabel secara terpisah dan dapat diuji secara statistik dengan pengujian yang diberikan di atas.
4. Uji Non Autokorelasi
Salah satu asumsi penting dari regresi linear adalah bahwa tidak ada autokorelasi antara serangkaian pengamatan yang diurutkan menurut waktu. Salah satu cara mendeteksi autokorelasi, yaitu dengan uji Durbin-Watson (Gujarati, 2003). Adapun langkah-langkahnya adalah
a. melakukan perhitungan metode kuadrat terkecil untuk memperoleh nilai , b. mencari besarnya nilai d yang diperoleh dengan rumus
∑ ( )
∑
c. untuk ukuran sampel n dan k = p-1, dengan p adalah banyaknya parameter sehingga diperoleh nilai kritis dan ,
d. untuk uji Durbin-Watson ada lima himpunan daerah untuk d, agar lebih jelas dapat dilihat pada Gambar 2.1.
Gambar 2.1 Statistik d Durbin-Watson
Tidak dapat disimpulkan
2 4- 4-
Ho ditolak tidak dapat
disimpulkan tidak dapat
disimpulkan Ho ditolak
Ho diterima
commit to user 2.1.4 Pencilan
Menurut Soemartini (2007), pencilan adalah suatu data yang jauh berbeda dibandingkan terhadap keseluruhan data. Pencilan dapat muncul karena kesalahan dalam memasukkan data atau kesalahan pengukuran.
Keberadaan dari pencilan akan menyebabkan kesulitan dalam proses analisis data dan perlu untuk dihindari. Permasalahan yang muncul akibat adanya pencilan antara lain:
1. sisaan yang besar dari model yang terbentuk ( ) , 2. variansi dari data akan menjadi lebih besar, dan
3. estimasi interval akan memiliki rentang yang lebih besar.
Metode yang digunakan dalam mengidentifikasi pencilan adalah a. metode DFFITS
Perhitungan DFFITS adalah sebagai berikut ( ) (
)
dengan adalah studentized deleted residual untuk kasus ke-i dan adalah nilai leverage untuk kasus ke-i. Selanjutnya, suatu data dikatakan pencilan apabila nilai absolute dari ( ) lebih besar dari √ (Neter et al., 1996).
b. metode Cook’s distance
Cook’s distance merupakan suatu ukuran untuk mendeteksi besarnya pengaruh adanya pencilan terhadap semua estimator koefisien model regresi, yang diturunkan dari konsep daerah kepercayaan bagi semua p koefisien model regresi
( ) secara bersama-sama, yaitu
( )
dengan adalah nilai leverage untuk kasus ke-i. Suatu data disebut pencilan apabila nilai (Neter et al., 1996).
commit to user 2.2 Kerangka Pemikiran
Berdasarkan tinjauan pustaka, dapat dibuat kerangka pemikiran bahwa dalam suatu regresi, hubungan yang sebenarnya biasanya jarang diketahui secara pasti, tetapi model hubungan tersebut dapat diestimasi berdasarkan data pengamatan. Menurut Sembiring (1995), adanya pencilan dalam data dapat mengakibatkan estimator koefisien model regresi yang diperoleh tidak tepat.
Namun demikian tindakan membuang begitu saja suatu pencilan bukanlah tindakan yang bijaksana karena adakalanya pencilan memberikan informasi yang cukup berarti.
Untuk menyelesaikan masalah tersebut, maka diperlukan suatu metode yang kekar terhadap adanya pencilan yaitu dengan menggunakan estimasi regresi robust dengan estimasi-MM. Estimasi-MM menggabungkan metode yang memiliki high breakdown point yaitu estimasi-S dan metode yang memiliki efisiensi tinggi yaitu estimasi-M. Prosedur estimasi-MM diawali dengan mengestimasi parameter model regresi dengan estimasi-S dan dilanjutkan dengan mengestimasi parameter model regresi dengan estimasi-M. Fungsi pembobot yang digunakan dalam estimasi-S dan estimasi-M adalah fungsi pembobot Tukey bisquare. Estimasi-MM diterapkan pada data produksi kedelai di Indonesia tahun 2010.
