JACOBSON RADIKAL PADA RING DAN PERLUASANNYA
SKRIPSI
Diajukan untuk Memenuhi Sebagian dari
Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sains Matematika
Program Studi Matematika
Oleh
RIZDKI YUNITA ANGGRAINI
0807617
JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA
FAKULTAS PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA
BANDUNG
JACOBSON RADIKAL PADA RING DAN PERLUASANNYA
Oleh
Rizdki Yunita Anggraini
Sebuah skripsi yang diajukan untuk memenuhi salah satu syarat memperoleh gelar Sarjana pada Fakultas Pendidikan Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
© Rizdki Yunita Anggraini 2013
Universitas Pendidikan Indonesia
Juni 2013
Hak Cipta dilindungi undang-undang.
Skripsi ini tidak boleh diperbanyak seluruhya atau sebagian,
LEMBAR PENGESAHAN
JACOBSON RADIKAL PADA RING DAN PERLUASANNYA
Oleh:
Rizdki Yunita Anggraini
NIM. 0807617
Disetujui dan Disahkan Oleh,
Pembimbing I
Dr. Elah Nurlaelah, M.Si.
NIP. 196411231991032002
Pembimbing II
Ririn Sispiyati, S.Si., M.Si.
NIP. 198106282005012001
Mengetahui,
Ketua Jurusan Pendidikan Matematika
Drs. Turmudi, M.Ed., M.Sc., Ph.D.
JACOBSON RADIKAL PADA RING DAN PERLUASANNYA Oleh
Rizdki Yunita Anggraini 0807617
Jurusan Pendidikan Matematika FPMIPA UPI
ABSTRAK
Pada artikel ini akan diperkenalkan Jacobson radikal pada ring serta perluasannya. Jacobson radikal dari ring adalah irisan dari semua ideal maksimal di ring tersebut. Jika setiap elemen pada suatu ideal pada ring merupakan elemen nilpoten, maka ideal tersebut adalah nilradikal. Nilradikal pada suatu ring termuat pada Jacobson radikal dari ring tersebut. Pada artikel ini diasumsikan merupakan ring komutatif dengan elemen kesatuan. Beberapa karakteristik dari adalah jika dan hanya jika merupakan suatu unit di untuk setiap , elemen idempoten pada hanyalah nol, , serta jika maka . Jacobson radikal pada ring diperluas menjadi ring Jacobson semisimple yang selanjutnya diperluas menjadi ring Jacobson. Selain pada ring, Jacobson radikal juga diperluas pada himpunan modul, yaitu konstruksi dari Jacobson radikal pada modul dan pendefinisian modul Jacobson.
JACOBSON RADIKAL PADA RING DAN PERLUASANNYA Oleh
Rizdki Yunita Anggraini 0807617
Jurusan Pendidikan Matematika FPMIPA UPI
ABSTRACT
This article will introduce the Jacobson radical on ring with the generalization. Jacobson radical equals intersection of all maximal ideal of the ring. If all elements of an ideal is nilpotent, then it is called nil radical. The Jacobson radical contains all nil radical. Assume the ring is commutative with unity. Some characteristic of Jacobson radical are if and only if is a unit in for all , is the only idempotent elements in , , also if then . Jacobson radical on the ring was generalized become Jacobson semisimple ring then also was generalized become ring Jacobson. Jacobson radical on ring was generalized on module too, it was construction of Jacobson radical on modules and definition of Jacobson module.
DAFTAR ISI
LEMBAR PENGESAHAN
LEMBAR PERNYATAAN
ABSTRAK ... i
KATA PENGANTAR ... ii
UCAPAN TERIMA KASIH ... iii
DAFTAR ISI ... iv
DAFTAR SIMBOL ... v
BAB 1 PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang ... 1
1.2 Rumusan Masalah ... 2
1.3 Pembatasan Masalah ... 2
1.4 Tujuan Penulisan ... 2
BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Ring, Daerah Integral dan Field ... 3
2.2 Ideal, Nilpoten dan Idempoten ... 5
2.3 Modul ... 15
BAB 3 PEMBAHASAN 3.1 Jacobson Radikal pada Ring ... 21
3.2 Modul Jacobson ... 29
BAB 4 KESIMPULAN DAN IMPLIKASI 4.1 Kesimpulan ... 47
4.2 Saran ... 48
DAFTAR PUSTAKA
1
BAB 1
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Berdasarkan Kamus Besar Bahasa Indonesia, aljabar merupakan
cabang matematika yang menggunakan simbol-simbol dan huruf-huruf untuk
menggambarkan atau mewakili bilangan-bilangan yang tidak diketahui,
misalnya . Sedangkan struktur aljabar adalah “suatu himpunan yang tak
kosong bersama-sama dengan satu atau lebih operasi yang berlaku pada
himpunan tersebut” (Wahyudin, 2000:32). Teori-teori penting dalam struktur
ajabar diantaranya meliputi grup, ring dan modul. Grup merupakan suatu
himpunan tak kosong dengan suatu operasi di dalamnya yang memenuhi sifat
assosiatif serta memiliki elemen identitas dan invers yang bergantung pada
operasi tersebut. Jika pada grup hanya berlaku satu operasi, pada ring berlaku
dua operasi biner yang biasanya dinotasikan sebagai operasi penjumlahan dan
perkalian. Suatu himpunan tak kosong disebut ring jika dengan operasi
penjumlahan himpunan tersebut merupakan grup komutatif, memenuhi sifat
ketertutupan dan assosiatif pada operasi perkalian, serta memenuhi sifat
distributif. Teori modul merupakan perluasan dari ruang vektor yaitu grup
komutatif dengan skalar yang merupakan anggota dari suatu ring.
Pada konsep ring dipelajari konsep ideal, yang popular diantaranya
yaitu ideal maksimal dan ideal prima. Adapun ideal lainnya adalah nilradikal
dan Jacobson radikal. Berangkat dari konsep Jacobson radikal pada ring,
diperluaslah konsep tersebut pada modul. Jacobson radikal memiliki peranan
yang cukup penting pada teori ring dan modul, seperti kaitannya dengan
Nakayama Lemma, ring Noetherian dan ring Artinian serta teorema Hilbert
Nullstellensatz. Oleh karena itu penulis mengangkat tema skripsi yang
berjudul “Jacobson Radikal pada Ring dan Perluasannya”.
Pada skripsi ini penulis akan mengkaji karakteristik dari Jacobson
2
ring, penulis mengkaji sifat-sifat Jacobson radikal pada ring, seperti kaitannya
dengan elemen unit dan elemen idempoten, serta berbagai karakteristik
lainnya. Selanjutnya akan dipelajari kaitan Jacobson radikal dengan
nilradikal. Lebih jauh, penulis juga mendefinisikan ring Jacobson semisimple
dan ring Jacobson itu sendiri. Sebelum mengkaji teori modul Jacobson, perlu
pemahaman mengenai konsep lokalisasi ring. Hal ini dikarenakan sifat-sifat
yang akan dipelajari pada modul Jacobson berkaitan dengan teori support dari
modul yang merupakan hasil pengembangan dari lokalisasi ring. Selain
mendefinisikan modul Jacobson, penulis mengkaji kaitan antara ring
Jacobson dengan modul Jacobson, serta salah satu kriteria dari modul
Jacobson sendiri.
1.2 Rumusan Masalah
Dari latar belakang yang telah dipaparkan, penulis merumuskan
beberapa masalah, yaitu:
1. Bagaimanakah kaitan antara nilradikal dan Jacobson radikal?
2. Bagaimanakah sifat-sifat Jacobson radikal pada ring?
3. Bagaimanakah kaitan antara ring Jacobson dan modul Jacobson?
1.3 Pembatasan Masalah
Konsep Jacobson radikal sangatlah luas dan dapat dipelajari pada
sembarang ring. Oleh karena itu penulis membatasi pembahasan skripsi ini
pada ring yang komutatif dan memiliki elemen kesatuan.
1.4 Tujuan Penulisan
Adapun tujuan dari penulisan skripsi ini adalah:
1. Untuk mengetahui kaitan antara nilradikal dengan Jacobson radikal.
2. Untuk mengetahui sifat-sifat Jacobson radikal.
47
BAB 4
KESIMPULAN DAN IMPLIKASI
4.1 Kesimpulan
Perluasan dari Jacobson radikal adalah Jacobson semisimple ring,
yaitu ring yang Jacobson radikalnya hanyalah nol. Selanjutnya dari ring
Jacobson semisimple, diperluas menjadi ring Jacobson yaitu ring yang setiap
ideal primanya merupakan irisan dari suatu keluarga ideal-ideal maksimal.
Adapun perluasan dari ring Jacobson adalah modul Jacobson, yaitu modul
yang setiap ideal prima pada support modulnya merupakan irisan dari
keluarga anggota-anggota pada himpunan support modul tersebut yang juga
merupakan ideal maksimal ringnya. Berdasarkan pemaparan pada
pembahasan, dapat ditarik kesimpulan bahwa
1. Jacobson radikal pada suatu ring memuat semua nilradikal pada ring
tersebut.
2. Misalkan ring komutatif dengan elemen kesatuan, berikut ini beberapa
sifat dari Jacobson radikal dari :
a. Misalkan , merupakan anggota jika dan hanya jika
merupakan suatu unit di , untuk setiap di .
b. Elemen idempoten pada hanyalah nol.
c.
d. Misalkan terdapat suatu ideal dari sedemikian sehingga
, maka .
3. Kaitan dari ring Jacobson dan modul Jacobson adalah jika suatu ring
merupakan ring Jacobson maka setiap modul atas ring tersebut merupakan
modul, dan jika setiap modul atas suatu ring merupakan modul Jacobson
48
4.2 Implikasi
Penulisan skripsi ini hanya sebagian kecil dari konsep Jacobson radikal. Namun
dari penulisan skripsi ini diharapkan pembaca dapat mudah memahami konsep
Jacobson radikal dan dapat berguna untuk bahan pembelajaran ataupun sebagai
referensi untuk penelitian lebih lanjut. Penulis menyadari bahwa konsep Jacobson
radikal sangatlah luas, sehingga diharapkan dapat memotivasi pembaca untuk
mengkaji lebih lanjut mengenai sifat-sifat pada ring Jacobson dan modul Jacobson
serta kaitannya dengan ring atau modul lainnya seperti pada ring dan modul
DAFTAR PUSTAKA
Adkins, W. A. and Weintraub, S. H. (1992). Algebra: an Approach via Module
Theory. New York: Springer-Verlag.
Bhattacarya, P.B, et al. (1994). Basic Abstract Algebra. New York: Cambridge
University Press.
Bourbaki, N. (1972). Commutative Algebra. Paris: Hermann.
Chung, S. C. dan Ko, H. J. (2001). On Jacobson Modules. 38, (1), 121-128.
Gilmer, R. (2006). Multiplicative Ideal Theory in Commutative Algebra. New York:
Springer.
Herstein, I. N. (1975). Topic in Algebra. New York: John Wiley and Sons.
Hungerford, T. W. (1996). Algebra. New York: Springer.
Kaplansky, I. (1974). Commutative Rings. Chicago: The University of Chicago
Press.
Malik, D.S., et al. (1997). Fundamental of Abstract Algebra. Singapore:
The-McGraww-Hill Companies, Inc.
Matsumura, H. (1980). Commutative Ring Theory. New York: Cambridge University
Press.
Rotman, J. J. (2009). An Introduction to Homological Algebra. (second ed). New
York: Springer.
