BAB III PEMBAHASAN. Pada bab ini akan dibahas mengenai ring embedding dan faktorisasi. tunggal pada ring komutatif tanpa elemen kesatuan.

14 BAB III PEMBAHASAN

Pada bab ini akan dibahas mengenai ring embedding dan faktorisasi tunggal pada ring komutatif tanpa elemen kesatuan.

A. Ring Embedding

Definisi 3.1 (Malik et al. 1997: 318)

Suatu ring R dikatakan embedded ke dalam suatu ring S jika ada suatu monomorfisma ring dari R ke S .

Definisi di atas mengandung arti bahwa suatu ring R dikatakan embedded ke dalam suatu ring S jika ada suatu subring T di S sehingga R≅T.

Proposisi 3.2

Untuk setiap ring R , himpunan S = ×R dengan operasi

( ) ( ) (

)

( )( ) (

)

, , , , , , , , , , a p b q a b p q a p b q ab qa pb pq a b R p q + = + + = + + ∀ ∈ ∀ ∈

merupakan ring dengan elemen kesatuan. Selain itu,

θ

:aa

( )

a, 0 _merupakan

suatu homomorfisma injektif (monomorfisma) dari R ke S . Bukti:

Misalkan R suatu ring dan S = ×R . ∀

( ) ( )

a p, , b q, ∈ ×R , definisikan

( ) ( ) (

a p, + b q, = a b p+ , +q

)

a) Akan ditunjukkan bahwa R× merupakan suatu ring dengan elemen kesatuan.

R× dikatakan ring dengan elemen kesatuan jika memenuhi: I. R× ≠ ∅

Karena R, merupakan suatu ring, maka R, suatu grup abelian akibatnya ada elemen nol, 0_R∈R dan 0 ∈ , sehingga

(

0 , 0_R

)

∈ ×R . II.

(

R× +,

)

grup abelian

i. Memenuhi sifat tertutup

Ambil sembarang

( ) ( )

a p, , b q, ∈ ×R , dengan ,a b∈R dan ,p q∈ .

( ) ( ) (

a p, + b q, = a b p+ , +q

)

=

( )

c r, .

Karena R dan merupakan suatu ring maka a b+ = ∈c R dan

p+ = ∈q r sehingga diperoleh

( )

c r, ∈ ×R . ii. Memenuhi sifat Asosiatif

Akan ditunjukkan bahwa ∀

( ) ( ) ( )

a p, , b q, , c r, ∈ ×R berlaku

( ) ( ) ( )

a p, +

(

b q, + c r,

)

=

(

( ) ( )

a p, + b q,

)

+

( )

c r, .

Ambil sembarang

( ) ( ) ( )

a p, , b q, , c r, ∈ ×R , dengan a b c, , ∈R dan , ,

p q r∈ .

( ) ( ) ( )

a p, +

(

b q, + c r,

)

=

( ) (

a p, + +b c q, +r

)

= + +

(

a

(

b c

)

,p+ +

(

q r

)

)

=

(

(

a b+ +

) (

c p, + +q

)

r

)

(

a b p, q

) ( )

c r, = + + +

( ) ( )

(

a p, b q,

)

( )

c r, = + + .

iii. Terdapat elemen nol yaitu

(

0 , 0_R

)

∈ ×R , dengan 0_R∈R dan 0 ∈ merupakan elemen nol.

Ambil sembarang

( )

a p, ∈ ×R , dengan a∈R dan p∈ . Sehingga,

( ) (

a p, + 0 , 0_R

) (

= a+0 ,_R p+0

)

( )

a p,

= .

iv. Memiliki elemen invers terhadap penjumlahan

Ambil sembarang

( )

a p, ∈ ×R , a∈R p, ∈ , misalkan

( )

x y, invers dari

( )

a p, . Sehingga,

( ) ( ) (

a p, + x y, = 0 , 0_R

)

(

a+x p, +y

) (

= 0 , 0_R

)

. Perhatikan,

karena a∈R p, ∈ dan R, merupakan ring maka ∃ −

( )

a ∈R, dan

( )

− ∈p .Sehingga, a+ =x 0_R p+ =y 0

( )

a a x

( )

a 0_R − + + = − +

( )

− + + = − +p p y

( )

p 0 0_R+ = −x

( )

a 0 + = −y

( )

p x= −

( )

a y= −

( )

p

diperoleh

( )

x y, = −

(

( )

a ,−p

)

.

Jadi, ∀

( )

a p, ∈ ×R , ∃ −

(

( )

a ,− ∈ ×p

)

R berlaku

( )

a p, + −

(

( )

a ,− = −p

)

(

a a p, + −

( )

p

)

=

(

0 , 0_R

)

. v. Memenuhi sifat komutatif

Akan ditunjukkan bahwa ∀

( ) ( )

a p, , b q, ∈ ×R berlaku

( ) ( ) ( ) ( )

a p, + b q, = b q, + a p, .

Ambil sembarang

( ) ( )

a p, , b q, ∈ ×R , dengan ,a b∈R dan ,p q∈ .

( ) ( ) (

a p, + b q, = a b p+ , +q

)

= +

(

b a q, +p

)

=

( ) ( )

b q, + a p, .

Karena i, ii, iii, iv, dan v terpenuhi maka

(

R× +,

)

grup abelian. III.

(

R× ×,

)

memenuhi sifat:

i. asosiatif

Akan ditunjukkan bahwa ∀

( ) ( ) ( )

a p, , b q, , c r, ∈ ×R berlaku

( ) ( )( )

a p,

(

b q, c r,

)

=

(

( )( )

a p b q, ,

)

( )

c r, .

Ambil sembarang

( ) ( ) ( )

a p, , b q, , c r, ∈ ×R , dengan a b c, , ∈R dan , ,

p q r∈ .

(

)

(

) ( )

(

a bc rb qc qra p bc rb qc ,p qr

)

= + + + + + +

( )

(

abc arb aqc qra pbc prb pqc pq r,

)

= + + + + + +

(

) (

)

( )

(

abc aqc pbc arb qra prb pqc pq r,

)

= + + + + + +

(

) (

)

( )

(

ab qa pb c ab qa pb r pqc pq r,

)

= + + + + + +

(

ab qa pb pq c r,

)( )

, = + +

( )( )

(

a p b q, ,

)

( )

c r, = .

ii. Terdapat elemen kesatuan yaitu

(

0 ,1_R

)

∈ ×R , dengan 0_R∈R merupakan elemen nol dan 1∈ merupakan elemen kesatuan.

Ambil sembarang

( )

a p, ∈ ×R , a∈R dan p∈ . Sehingga,

( ) (

a p, . 0 ,1_R

)

=

(

a.0_R +1.a+ p.0 ,_R

( )

p.1

)

=

( )

a p, .

IV. Bersifat distributif penjumlahan terhadap perkalian i. Distributif kiri

Akan ditunjukkan bahwa ∀

( ) ( ) ( )

a p, , b q, , c r, ∈ ×R berlaku

( ) ( ) ( )

a p,

(

b q, + c r,

)

=

( )( ) ( )( )

a p b q, , + a p, c r, .

Ambil sembarang

( ) ( ) ( )

a p, , b q, , c r, ∈ ×R , dengan a b c, , ∈R dan , , p q r∈ .

( ) ( ) ( )

a p,

(

b q, + c r,

)

=

( )(

a p b c q, + , +r

)

(

) (

)

(

) (

)

(

a b c q r a p b c ,p q r

)

= + + + + + +

(

ab ac qa ra pb pc pq, pr

)

= + + + + + +

(

) (

)

(

ab qa pb ac ra pc ,pq pr

)

= + + + + + +

(

ab qa pb pq,

) (

ac ra pc pr,

)

= + + + + +

( )( ) ( )( )

a p b q, , a p, c r, = + .

ii. Distributif kanan

Akan ditunjukkan bahwa ∀

( ) ( ) ( )

a p, , b q, , c r, ∈ ×R berlaku

( ) ( )

(

a p, + b q,

)

( ) ( )( ) ( )( )

c r, = a p, c r, + b q c r, , .

Ambil sembarang

( ) ( ) ( )

a p, , b q, , c r, ∈ ×R , dengan a b c, , ∈R dan , , p q r∈ .

( ) ( )

(

a p, + b q,

)( ) (

c r, = +a b p, +q

)( )

c r,

(

)

(

) (

) (

)

(

a b c r a b p q c p, q r

)

= + + + + + +

(

ac bc ra rb pc qc pr, qr

)

= + + + + + +

(

) (

)

(

ac ra pc bc rb qc ,pr qr

)

= + + + + + +

(

ac ra pc pr,

) (

bc rb qc qr,

)

= + + + + +

( )( ) ( )( )

a p, c r, b q c r, , = + .

Karena I, II, III, dan IV terpenuhi maka R× merupakan ring dengan elemen kesatuan.

b) Misalkan R×

{ }

0 ⊆ ×R , selanjutnya akan ditunjukkan bahwa R×

{ }

0

subring dari S= ×R .

{ }

0

i. R×

{ }

0 ≠ ∅

Karena R merupakan suatu ring, maka R suatu grup abelian. Akibatnya terdapat elemen nol, yakni 0_R∈R sehingga

(

0 , 0_R

)

∈ ×R

{ }

0 . Dengan kata lain, R×

{ }

0 ≠ ∅.

ii. Ambil sembarang

( ) ( )

a, 0 , b, 0 ∈ ×R

{ }

0 .

( ) ( ) (

a, 0 − b, 0 = −a b, 0

)

, karena a b, ∈R dan R suatu ring maka

( )

b R

∃− ∈ sehingga a b− ∈R, akibatnya

(

a b− , 0

)

∈ ×R

{ }

0 . iii. Ambil sembarang

( ) ( )

a, 0 , b, 0 ∈ ×R

{ }

0 .

( )( ) (

a, 0 b, 0 = ab, 0

)

, karena a b, ∈R dan R suatu ring maka ab∈R

sehingga

(

ab, 0

)

∈ ×R

{ }

0 .

Karena i, ii, iii terpenuhi maka R×

{ }

0 subring dari R× .

c) Misalkan

θ

:R→ ×R

{ }

0 , r∀ ∈R definisikan

θ

:ra

θ

( ) ( )

r = r, 0 _.

Akan ditunjukkan θ merupakan homomorfisma injektif (monomorfisma). i. θ well defined

Ambil sembarang r r₁, ₂∈R, misalkan r₁=r₂

r₁− =r₂ 0

θ

(

r₁−r₂

) ( )

=

θ

0

( ) ( ) ( )

r1, 0 − r2, 0 = 0, 0

( ) ( )

r₁, 0 = r₂, 0

θ

( ) ( )

r1 =

θ

r2 .

ii. θ homomorfisma ring Ambil sembarang r r₁, ₂∈R,

(

r1 r2

) (

r1 r2, 0

)

θ

+ = +

( ) ( )

r1, 0 r2, 0 = +

( ) ( )

r1 r2

θ

θ

= +

(

r1 . r2

) (

= r1 . , 0r2

)

θ

(

)

(

r1 . r2 0 . r1 r2 . 0 , 0

)

= + +

( ) ( )

r1, 0 . r2, 0 =

( ) ( )

r1 . r2 =

θ

θ

.

iii. θ pemetaan injektif

Akan ditunjukkan jika

θ

( ) ( )

r1 =

θ

r2 maka r1 =r2.

Ambil sembarang

θ

( ) ( )

r₁ ,

θ

r₂ ∈ ×R

{ }

0 dengan ,r r_{1 2}∈R

( ) ( )

r1 r2

θ

=

θ

( ) ( )

r1, 0 = r2, 0

( ) ( ) ( )

r1, 0 − r2, 0 = 0, 0

r1− =r2 0

r₁=r₂.

Karena i, ii, dan iii terpenuhi maka θ suatu monomorfisma.

Selanjutnya akan disajikan suatu teorema yang menunjukkan bahwa setiap ring dapat embedded ke dalam suatu ring yang memuat elemen kesatuan.

Teorema 3.3

Setiap ring R dapat diembedded ke dalam suatu ring S dengan elemen kesatuan sedemikian sehingga R merupakan ideal di S . Jika R komutatif maka

S komutatif.

Pada karya tulis ini, pembuktian hanya dibatasi pada ring yang bersifat komutatif. Berikut ini akan ditunjukkan bahwa suatu ring komutatif dapat

embedded ke dalam ring komutatif yang memuat elemen kesatuan. Bukti:

Misalkan R suatu ring dan S = ×R . ∀

( ) ( )

a p, , b q, ∈ ×R , definisikan

( ) ( ) (

)

( )( ) (

)

, , , , , , , , , , . a p b q a b p q a p b q ab qa pb pq a b R p q + = + + = + + ∀ ∈ ∀ ∈

Telah dibuktikan sebelumnya pada Proposisi 3.2 bahwa S= ×R merupakan suatu ring dengan elemen kesatuan. Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa Jika R komutatif maka S komutatif, artinya ∀

( ) ( )

a p, , b q, ∈ ×R berlaku

( )( ) ( )( )

a p b q, , = b q, a p, .

( )( ) (

a p b q, , = ab qa+ +pb pq,

)

(

ba aq bp qp,

)

= + +

( )( )

b q, a p,

= .

Karena R× bersifat komutatif maka R× merupakan ring komutatif dengan elemen kesatuan.

Misalkan R×

{ }

0 ⊆ ×R , pada pembuktian Proposisi 3.2 diketahui bahwa

{ }

0

R× subring dari R× . Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa R×

{ }

0 ideal di

R× .

Ambil sembarang

( )

r, 0 ∈ ×R

{ }

0 dan

( )

a p, ∈ ×R .

( )( ) (

a p, r, 0 = ra+ pr, 0

)

∈ ×R

{ }

0 . Karena R× bersifat komutaif maka

( )( ) ( )( ) (

a p, r, 0 = r, 0 a p, = ra+ pr, 0

)

∈ ×R

{ }

0 , sehingga R×

{ }

0 merupakan ideal di R× .

Misalkan

θ

:R→ ×R

{ }

0 , r∀ ∈R definisikan

θ

( ) ( )

r = r, 0 .

Akan ditunjukkan θ merupakan suatu isomorfisma, berdasarkan Proposisi 3.2 diketahui bahwa θ merupakan suatu monomorfisma, dan karena ∀

( )

r, 0 ∈ ×R

{ }

0

( ) ( )

∃ ∈r R ∋

θ

r = r, 0 maka θ merupakan pemetaan surjektif. Akibatnya θ suatu isomorfisma, sehingga R≅ ×R

{ }

0 . Berdasarkan Definisi 3.1, maka R

dikatakan embedded ke dalam suatu ring S dengan elemen kesatuan. Karena

( )

{ }

dengan , 0 0

Berikut akan diberikan suatu contoh embedding ring, di mana contoh tersebut sangat menunjang pada bab berikutnya.

Contoh 3.4

Diketahui bahwa merupakan ring komutatif dengan elemen kesatuan 1.

{

, dan elemen prima di

}

p = pr r∈ p merupakan subring dari yang

tidak memuat elemen kesatuan.

Akan ditunjukkan bahwa p × dengan operasi biner

(

) (

) (

)

(

) (

) (

)

1 2 3 4 1 3 2 4 1 2 3 4 1 3 4 1 3 2 2 4 , , , , , . . . , . pr r pr r pr pr r r pr r pr r pr pr r pr pr r r r + = + + ⋅ = + +

dengan pr pr₁, ₃∈p dan r r₂, ₄∈ , merupakan ring komutatif dengan elemen kesatuan.

(

p × + ⋅, ,

)

dikatakan ring dengan elemen kesatuan jika memenuhi: I. p × ≠ ∅

Karena merupakan suatu ring dan p subring dari maka p dan merupakan suatu grup abelian akibatnya terdapat elemen nol, yakni 0_R∈R

dan 0 ∈ , sehingga

(

0 , 0R

)

∈ ×R .

II.

(

p × +,

)

grup abelian i. Memenuhi sifat tertutup

Ambil sembarang

(

pr r₁, ₂

) (

, pr r₃, ₄

)

∈p × , dengan pr pr₁, ₃∈p dan

2, 4

(

pr r1, 2

) (

+ pr r3, 4

) (

= pr1+pr r3, 2+r4

)

.

Perhatikan bahwa p dan merupakan suatu ring karena pr pr₁, ₃∈p

dan r r₂, ₄∈ ,

maka pr₁+pr₃ = p r

(

₁+r₃

)

= pr∈p , r₂+ = ∈r₄ r . Sehingga

(

pr r1, 2

) (

+ pr r3, 4

) (

= pr1+pr r3, 2+r4

)

(

pr r,

)

p

= ∈ × .

ii. Memenuhi sifat asosiatif

Akan ditunjukkan bahwa ∀

(

pr r₁, ₂

) (

, pr r₃, ₄

) (

, pr r₅, ₆

)

∈p × berlaku

(

) (

)

(

pr r1, 2 + pr r3, 4

)

+

(

pr r5, 6

) (

= pr r1, 2

) (

+

(

pr r3, 4

) (

+ pr r5, 6

)

)

. Ambil sembarang

(

pr r₁, ₂

) (

, pr r₃, ₄

) (

, pr r₅, ₆

)

∈p × , dengan

1, 3, 5 pr pr pr ∈p dan r r r₂, ,_{4 6}∈ ,

(

) (

)

(

pr r1, 2 + pr r3, 4

)

+

(

pr r5, 6

) (

= pr r1, 2

) (

+

(

pr r3, 4

) (

+ pr r5, 6

)

)

=

(

pr₁+pr r₃, ₂+r₄

) (

+ pr r₅, ₆

)

=

(

(

pr₁+pr₃

)

+pr₅,

(

r₂+r₄

)

+r₆

)

=

(

pr1+

(

pr3+pr5

)

,r2+

(

r4 +r6

)

)

=

(

pr r₁, ₂

) (

+

(

pr r₃, ₄

) (

+ pr r₅, ₆

)

)

.

iii. Terdapat elemen nol yaitu

(

0 , 0p

)

∈p × , dengan 0p ∈p dan

0 ∈ merupakan elemen nol.

(

pr r1, 2

)

+

(

0 , 0p

) (

= pr1+0 ,p r2+0

)

=

(

pr r₁, ₂

)

.

iv. Memiliki elemen invers terhadap penjumlahan

Ambil sembarang

(

pr r₁, ₂

)

∈p × , pr₁∈R dan r₂∈ , dan misalkan

(

px y,

)

invers dari

(

pr r1, 2

)

, sehingga

(

pr r1, 2

) (

+ px y,

)

=

(

0 , 0p

)

(

pr1+px r, 2 +y

)

=

(

0 , 0p

)

.

Perhatikan,

karena pr1∈p dan r2∈ serta R, merupakan ring maka

( )

pr1 p , ∃ − ∈ dan

( )

− ∈r₂ sehingga, pr₁+px=0_p r₂+ =y 0

( )

pr1 pr1 px

( )

pr1 0p − + + = − +

( )

− + + = − +r₂ r₂ y

( )

r₂ 0 0p + = −x

( )

pr1 0 + = −y

( )

r2 x= −

( )

pr₁ y= −

( )

r₂ diperoleh

(

px y,

)

= −

(

( )

pr₁ ,−r₂

)

.

v. Memenuhi sifat komutatif

Akan ditunjukkan bahwa ∀

(

pr r₁, ₂

) (

, pr r₃, ₄

)

∈p × berlaku

(

pr r1, 2

) (

+ pr r3, 4

) (

= pr r3, 4

) (

+ pr r1, 2

)

.

Ambil sembarang

(

pr r₁, ₂

) (

, pr r₃, ₄

)

∈p × , dengan pr pr₁, ₃∈p dan 2, 4 r r ∈ .

(

pr r1, 2

) (

+ pr r3, 4

) (

= pr1+ pr r3, 2+r4

)

=

(

pr₃₁+pr r, ₄+r₂

)

=

(

pr r₃, ₄

) (

+ pr r₁, ₂

)

.

Karena i, ii, iii, iv, dan v terpenuhi maka

(

p × +,

)

grup abelian. III.

(

p × ×,

)

memenuhi sifat:

i. asosiatif

Akan ditunjukkan bahwa ∀

(

pr r₁, ₂

) (

, pr r₃, ₄

) (

, pr r₅, ₆

)

∈p × berlaku

(

pr r1, 2

) (

(

pr r3, 4

)(

pr r5, 6

)

)

=

(

(

pr r1, 2

)(

pr r3, 4

)

)(

pr r5, 6

)

.

Ambil sembarang

(

pr r1, 2

) (

, pr r3, 4

) (

, pr r5, 6

)

∈p × , dengan 1, 3, 5 pr pr pr ∈p dan r r r₂, ,_{4 6}∈ .

(

pr r1, 2

) (

(

pr r3, 4

)(

pr r5, 6

)

)

=

(

pr r1, 2

)(

pr pr3. 5+r pr6. 3+r pr r r4. 5, .4 6

)

(

)

(

) ( )

1 3 5 6 3 4 5 4 6 1 2 3 5 6 3 4 5 2 4 6 . . . . . . . . , . pr pr pr r pr r pr r r pr r pr pr r pr r pr r r r + + +   =_ _ + + +  

( )

1 3 5 1 6 3 1 4 5 4 6 1 2 3 5 2 6 3 2 4 5 2 4 6 . . . . . . . , . pr pr pr pr r pr pr r pr r r pr r pr pr r r pr r r pr r r r + + +   =  + + +  

(

)

(

)

( )

1 3 5 1 4 5 2 3 5 1 6 3 4 6 1 2 6 3 2 4 5 2 4 6 . . . . . . . , . pr pr pr pr r pr r pr pr pr r pr r r pr r r pr r r pr r r r + +   =_ _ + + + +  

(

)

(

)

( )

1 3 4 1 2 3 5 1 3 4 1 2 3 6 2 4 5 2 4 6 . . . . . . , . pr pr r pr r pr pr pr pr r pr r pr r r r pr r r r + +   =_ _ + + + +  

(

pr pr1. 3 r pr4. 1 r pr r r r2. 3, .2 4 6

)(

pr r5, 6

)

= + +

(

)(

)

(

pr r1, 2 pr r3, 4

)

(

pr r5, 6

)

= .

ii. Terdapat elemen kesatuan yaitu

(

0 ,1_p

)

∈p × , dengan 0_p ∈p

merupakan elemen nol dan 1∈ merupakan elemen kesatuan.

Ambil sembarang

(

pr r1, 2

)

∈p × , dengan pr1∈R dan r2∈ . Sehingga

(

pr r1, 2

)

. 0 ,1

(

p

)

=

(

pr1.0p +1.pr1+r2.0 ,p

( )

r2.1

)

=

(

pr r1, 2

)

. iii. Komutatif

Akan ditunjukkan bahwa ∀

(

pr r₁, ₂

) (

, pr r₃, ₄

)

∈p × berlaku

(

pr r1, 2

) (

+ pr r3, 4

) (

= pr r3, 4

) (

+ pr r1, 2

)

.

Ambil sembarang

(

pr r1, 2

)

dan

(

pr r3, 4

)

∈p × , dengan pr pr1, 3∈p

dan r r₂, ₄∈ ,

(

pr r1, 2

)(

pr r3, 4

) (

= pr pr1. 3+r pr4. 1+ pr r r r3. , .2 2 4

)

=

(

pr pr3. 1+r pr2. 3+r pr r r4. 1, .4 2

)

=

(

pr r₃, ₄

)(

pr r₁, ₂

)

.

IV. Bersifat distributif penjumlahan terhadap perkalian i. Distributif kiri

Akan ditunjukkan bahwa ∀

(

pr r1, 2

) (

, pr r3, 4

) (

, pr r5, 6

)

∈p × berlaku

Ambil sembarang

(

pr r₁, ₂

) (

, pr r₃, ₄

) (

, pr r₅, ₆

)

∈p × , dengan 1, 3, 5 pr pr pr ∈p dan r r r₂, ,_{4 6}∈ .

(

pr r1, 2

) (

(

pr r3, 4

) (

+ pr r5, 6

)

)

=

(

pr r1, 2

)(

pr3+ pr r5, 4+r6

)

(

) (

)

(

)

(

)

(

pr pr1 3 pr5 r4 r6 pr1 pr3 pr r r r5 2, 2 4 r6

)

= + + + + + +

(

pr pr1. 3 pr pr1. 5 r pr4. 1 r pr6. 1 pr r3.2 pr r r r5. , .2 2 4 r r2.6

)

= + + + + + +

(

) (

)

(

pr pr1. 3 r pr4. 1 pr r3.2 pr pr1. 5 r pr6. 1 pr r5.2 , .r r2 4 r r2.6

)

= + + + + + +

(

pr pr1. 3 r pr4. 1 r pr r r2. 3, .2 4

) (

pr pr1. 5 r pr6. 1 r pr r r2. 5, .2 6

)

= + + + + +

(

pr r1, 2

)(

pr r3, 4

) (

pr r1, 2

)(

pr r5, 6

)

= + .

ii. Distributif kanan

Akan ditunjukkan bahwa ∀

(

pr r₁, ₂

) (

, pr r₃, ₄

) (

, pr r₅, ₆

)

∈p × berlaku

(

(

pr r₁, ₂

) (

+ pr r₃, ₄

)

)(

pr r₅, ₆

) (

= pr r₁, ₂

)(

pr r₅, ₆

) (

+ pr r₃, ₄

)(

pr r₅, ₆

)

. Ambil sembarang

(

pr r1, 2

) (

, pr r3, 4

) (

, pr r5, 6

)

∈p × , dengan

1, 3, 5 pr pr pr ∈p dan r r r₂, ,_{4 6}∈ .

(

(

pr r₁, ₂

) (

+ pr r₃, ₄

)

)(

pr r₅, ₆

) (

= pr₁+ pr r₃, ₂+r₄

)(

pr r₅, ₆

)

(

)

(

) (

)

(

)

(

pr1 pr3 pr5 r6 pr1 pr3 r2 r4 pr5, r2 r r4 6

)

= + + + + + +

(

pr pr1. 5 pr pr3. 5 r pr6. 1 r pr6. 3 r pr2. 5 r pr r r4. 5, .2 6 r r4.6

)

= + + + + + +

(

) (

)

(

pr pr1. 5 r pr6. 1 r pr2. 5 pr pr3. 5 r pr6. 3 r pr4. 5 , .r r2 6 r r4.6

)

= + + + + + +

(

)

(

pr pr1. 5 r pr6. 1 r pr2. 5 , .r r2 6

)

(

(

pr pr3. 5 r pr6. 3 r pr4. 5

)

, .r r4 6

)

= + + + + +

(

pr r1, 2

)(

pr r5, 6

) (

pr r3, 4

)(

pr r5, 6

)

= + .

Karena I, II, III, dan IV terpenuhi maka p × merupakan ring komutatif dengan elemen kesatuan.

Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa θ : p → p × , dengan

θ

( ) (

pr = pr, 0

)

merupakan suatu monomorfisma. I. θ suatu pemetaan Ambil sembarang pr pr₁, ₂∈p . 1 2 pr = pr 1 2 0 pr − pr =

(

pr1 pr2

) ( )

0

θ

− =

θ

(

pr1− pr2, 0

) ( )

= 0, 0

(

pr₁, 0

) (

− pr₂, 0

) ( )

= 0, 0

(

pr1, 0

) (

= pr2, 0

)

. II. θ suatu homomorfisma

Ambil sembarang pr pr₁, ₂∈p .

(

pr1 pr2

) (

= pr1 pr2, 0

)

θ

+ + =

(

pr1, 0

) (

+ pr2,0

)

=

θ

( ) ( )

pr₁ +

θ

pr₂

(

pr pr1. 2

) (

= pr pr1. 2, 0

)

θ

=

(

pr pr1. 2+0.pr1+ pr2.0, 0

)

=

(

pr₁, 0 .

) (

pr₂, 0

)

=

θ

( ) ( )

pr₁ .

θ

pr₂ . III. θ pemetaan injektif

Ambil sembarang

(

pr₁, 0

)(

pr₂, 0

) ( )

∈

θ

p .

(

pr₁, 0

) (

= pr₂, 0

)

(

pr1, 0

) (

− pr2, 0

) ( )

= 0, 0

(

pr1− pr2, 0 0− =

) ( )

0, 0 pr₁− pr₂ =0 pr₁= pr₂.

Karena I, II dan III terpenuhi maka θ suatu monomorfisma, sehingga berdasarkan

Definisi 3.1 p dapat embedded ke p × . _■

B. Faktorisasi Tunggal pada Ring Komutatif tanpa Elemen Kesatuan Sebelum membahas faktorisasi tunggal pada ring komutatif tanpa elemen kesatuan, terlebih dahulu akan diulas generalisasi dari definisi sifat-sifat elemen pada ring komutatif yang memuat elemen kesatuan.

B.1 Definisi dan Contoh Elemen Neo-Irreducible dan Associate

Di bawah ini merupakan generalisasi dari definisi elemen irreducible dan elemen associate yang sangat menunjang terhadap faktorisasi tunggal pada ring komutatif tanpa elemen kesatuan.

Definisi 3.4 (Fletcher and Agargun, 1997: 402)

Misalkan R merupakan ring komutatif dengan elemen kesatuan, p∈R

dan p bukan unit disebut elemen neo-irreducible jika p dapat dinyatakan sebagai yp= ya₁... , a_n ∀ ∈y R, maka ya_i yp , untuk suatu i .

Pada bab sebelumnya telah dibuktikan bahwa p × , dengan p elemen

prima di merupakan ring komutatif dengan elemen kesatuan. Proposisi berikut memberikan gambaran mengenai elemen neo-irreducible di p × . Proposisi tersebut sangat menunjang pada pembuktian proposisi selanjutnya.

Proposisi 3.5

Misalkan p elemen prima di , elemen neo-irreducible di p ×

yakni,

i.

(

− ±

ρ

1,

ρ

)

, dengan ρ merupakan suatu elemen prima di dan

(

)

1 mod p

ρ

≡ ± ;

ii.

(

ρ

m1, 1±

)

_{, dengan} ρ _{merupakan suatu elemen prima di dan}

(

)

1 mod p

ρ

≡ ± ;

iii.

(

σ τ τ

− ,

)

, dengan σ τ, merupakan elemen prima di dan

σ

≡ ±/ 1 mod p

(

)

,

(

mod p

)

σ τ

≡ ;

iv.

(

0,±p

) (

, ±p, 0 ,

) (

±2 ,p mp

)

;

Bukti:

i. Akan ditunjukkan

(

− ±

ρ

1,

ρ

)

, dengan ρ merupakan suatu elemen prima di dan

ρ

≡ ±1 mod p

(

)

merupakan elemen neo-irreducible.

a) Untuk

(

− +

ρ

1,

ρ

)

dengan ρ prima di dan

ρ

≡1 mod p

(

)

.

Karena

ρ

≡1 mod p

(

)

maka p

ρ

−1 jika dan hanya jika ρ− =1 pk, untuk suatu k∈ . Dengan kata lain, ρ= pk+1.

Diperoleh,

(

− +

ρ

1,

ρ

) (

= −pk pk, +1

)

. Karena pk+1 prima maka faktor dari 1

pk+ hanya 1 dan dirinya sendiri.

Sehingga

(

−pk pk, + =1

) ( )(

0,1 −pk pk, +1

)

. Misalkan ∀

(

pz z,

)

∈p × berlaku

(

pz z,

)(

−pk pk, + =1

) (

pz z,

)( )(

0,1 −pk pk, +1

)

.

Karena

(

pz z,

)(

−pk pk, +1

) (

pz z,

)(

−pk pk, +1

)

, begitu juga sebaliknya maka

(

pz z,

)(

−pk pk, +1

) (

pz z,

)(

−pk pk, +1

)

. Sehingga

(

− +

ρ

1,

ρ

)

merupakan neo-irreducible di p × .

b) Untuk

(

− −

ρ

1,

ρ

)

dengan ρ prima di dan

ρ

≡ −1 mod p

(

)

.

Karena

ρ

≡ −1 mod p

(

)

maka p

ρ

+1 jika dan hanya jika ρ+ =1 pk, untuk suatu k∈ . Dengan kata lain, ρ= pk−1.

Diperoleh,

(

− −

ρ

1,

ρ

) (

= −pk pk, −1

)

. Karena pk−1 prima maka faktor dari 1

Sehingga

(

−pk pk, − =1

) ( )(

0,1 −pk pk, −1

)

. Misalkan∀

(

pz z,

)

∈p × , berlaku

(

pz z,

)(

−pk pk, − =1

) (

pz z,

)( )(

0,1 −pk pk, −1

)

.

Karena

(

pz z,

)(

−pk pk, −1

) (

pz z,

)(

−pk pk, −1

)

, begitu juga sebaliknya maka

(

pz z,

)(

−pk pk, −1

) (

pz z,

)(

−pk pk, −1

)

. Sehingga

(

− −

ρ

1,

ρ

)

merupakan neo-irreducible di p × .

ii. Akan ditunjukkan

(

ρ

m1, 1±

)

_{, dengan} ρ _{merupakan suatu elemen prima di}

dan

ρ

≡ ±1 mod p

(

)

merupakan elemen neo-irreducible .

a) Untuk

(

ρ

−1,1

)

dengan ρ prima di dan

ρ

≡1 mod p

(

)

.

Karena

ρ

≡1 mod p

(

)

maka p

ρ

−1 jika dan hanya jika ρ− =1 pk, untuk suatu k∈ .

Diperoleh,

(

ρ

−1,1

) (

= pk,1

)

. Karena faktor dari 1 hanya dirinya sendiri maka

(

pk,1

) ( )(

= 0,1 pk,1

)

. Misalkan ∀

(

pz z,

)

∈p × , berlaku

(

pz z,

)(

pk,1

) (

= pz z,

)( )(

0,1 pk,1

)

.

Karena

(

pz z,

)(

pk,1

) (

pz z,

)(

pk,1

)

, begitu juga sebaliknya maka

(

pz z,

)(

pk,1

) (

pz z,

)(

pk,1

)

. Sehingga diperoleh

(

ρ

−1,1

)

merupakan

neo-irreducible di p × .

Karena

ρ

≡ −1 mod p

(

)

maka p

ρ

+1 jika dan hanya jika ρ+ =1 pk, untuk suatu k∈ .

Diperoleh,

(

ρ

+ − =1, 1

) (

pk, 1−

)

. Karena faktor dari -1 hanya 1 dan dirinya sendiri, sehingga

(

pk, 1− =

) ( )(

0,1 pk, 1−

)

. Misalkan ∀

(

pz z,

)

∈p × , berlaku

(

pz z,

)(

pk, 1− =

) (

pz z,

)( )(

0,1 pk, 1−

)

.

Karena

(

pz z,

)(

pk, 1 −

) (

pz z,

)(

pk, 1−

)

, begitu juga sebaliknya maka

(

pz z,

)(

pk, 1−

) (

pz z,

)(

pk, 1−

)

. Sehingga diperoleh

(

ρ

+ −1, 1

)

merupakan

neo-irreducible di p × .

iii. Akan ditunjukkan

(

σ τ τ

− ,

)

, dengan σ τ, merupakan elemen prima di

dan

σ

≡ ±/ 1 mod p

(

)

dan

σ τ

≡

(

mod p

)

merupakan elemen neo-irreducible.

Karena

σ τ

≡

(

mod p

)

maka p

σ τ

− jika dan hanya jika σ τ− = pk, untuk suatu k∈ .

Diperoleh,

(

σ τ τ

− ,

) (

= pk,

τ

)

. Karena τ prima maka faktor dari τ hanya 1 dan dirinya sendiri. Sehingga

(

pk,

τ

) ( )(

= 0,1 pk,

τ

)

.

Misalkan ∀

(

pz z,

)

∈p × , berlaku

(

pz z,

)(

pk,

τ

) (

= pz z,

)( )(

0,1 pk,

τ

)

.

Karena

(

pz z,

)(

pk,τ

) (

pz z,

)(

pk,τ

)

, begitu juga sebaliknya maka

(

pz z,

)(

pk,

τ

) (

pz z,

)(

pk,

τ

)

. Sehingga diperoleh

(

σ τ τ

− ,

)

merupakan

iv. Akan ditunjukkan

(

0,±p

) (

, ±p, 0 ,

) (

±2 ,p mp

)

_{elemen neo-irreducible di}

p × .

a) Untuk

(

0, p±

)

, karena p prima maka faktor dari p hanya 1 dan dirinya sendiri. Sehingga,

(

0,± =p

) ( )(

0,1 0,±p

)

. Misalkan ∀

(

pz z,

)

∈p × berlaku

(

pz z,

)(

0,± =p

) (

pz z,

)( )(

0,1 0,±p

)

.

Karena

(

pz z,

)(

0,±p

) (

pz z,

)(

0,±p

)

, begitu juga sebaliknya maka

(

pz z,

)(

0,±p

) (

pz z,

)(

0,±p

)

. Sehingga diperoleh

(

0, p±

)

merupakan elemen neo-irreducible di p × .

b) Untuk

(

±p, 0

)

, karena p prima maka faktor dari p hanya 1 dan dirinya sendiri. Sehingga,

(

±p, 0

) ( )(

= 0,1 ±p, 0

)

.

Misalkan ∀

(

pz z,

)

∈p × berlaku

(

pz z,

)(

±p, 0

) (

= pz z,

)( )(

0,1 ±p, 0

)

.

Karena

(

pz z,

)(

±p, 0

) (

pz z,

)(

±p, 0

)

, begitu juga sebaliknya maka

(

pz z,

)(

±p, 0

) (

pz z,

)(

±p, 0

)

. Sehingga diperoleh

(

±p, 0

)

merupakan elemen neo-irreducible di p × .

c) Untuk

(

±2 ,p mp

)

_{, karena p prima maka faktor dari p hanya 1 dan} dirinya sendiri. Sehingga,

(

±2 ,p mp

) ( )(

= 0,1 ±2 ,p mp

)

_.

(

pz z,

)(

±2 ,p mp

) (

= pz z,

)( )(

0,1 ±2 ,p mp

)

_.

Karena

(

pz z,

)(

±2 ,p mp

) (

pz z,

)(

±2 ,p mp

)

_{, begitu juga sebaliknya maka}

(

pz z,

)(

±2 ,p mp

) (

pz z,

)(

±2 ,p mp

)

_{. Sehingga diperoleh}

(

±_{2 ,p} m_p

)

_elemen

neo-irreducible di p × .

v. Akan ditunjukkan bahwa

(

±p,mp

)

_{elemen neo-irreducible di p} × _.

Untuk

(

±p,mp

)

_{, karena p prima maka faktor dari p hanya 1 dan dirinya} sendiri. Sehingga,

(

±p,mp

) ( )(

= 0,1 ±p,mp

)

_.

Misalkan ∀

(

pz z,

)

∈p × berlaku

(

pz z,

)(

±p,mp

) (

= pz z,

)( )(

0,1 ±p,mp

)

_.

Karena

(

pz z,

)(

±p,mp

) (

pz z,

)(

±p,mp

)

_{, begitu juga sebaliknya maka}

(

pz z,

)(

±p,mp

) (

pz z,

)(

±p,mp

)

_{. Sehingga diperoleh}

(

±_p,m_p

)

_elemen

neo-irreducible di p × .

Definisi 3.6 (Fletcher and Agargun, 1997: 402)

Misalkan R merupakan ring komutatif dengan elemen kesatuan, dan

T ⊆R. ,a b∈R dikatakan ass T( ) jika y∀ ∈T , ya yb ditulis a _T b.

T merupakan relasi ekuivalen yang mereduksi ke relasi biasa jika 1 T∈ .

B.2 Definisi dan Contoh UFR terhadap Suatu Monomorfisma Ring

Misalkan R ring komutatif, R′ suatu ring komutatif dengan elemen kesatuan, dan θ: R→R′ suatu monomorfisma ring. Melalui embedding ring

diperoleh bahwa R dapat di embedded ke dalam ring R′ dengan R≅

θ

( )

R , sehingga faktorisasi elemen-elemen di R dapat ditentukan melalui faktorisasi elemen-elemen dari

θ

( )

R di R′.

Berikut ini merupakan definisi faktorisasi tunggal ring terhadap suatu monomorfisma.

Definisi 3.7 (Fletcher and Agargun, 1997: 403)

Misalkan R suatu ring komutatif, R′ suatu ring komutatif dengan elemen kesatuan, serta θ : R→R′ suatu monomorfisma dengan

θ

( )

R merupakan ideal di R′. R dikatakan suatu UFR terhadap : Rθ →R′ jika

1

UFR : Setiap non unit elemen

θ

( )

a di R′ mempunyai U-Decomposition dalam neo-irreducible di R′.

2

UFR : Jika

θ

( ) (

a = p₁′...p′_k

)(

p₁...p_n

)

=

(

q₁′ ′...ql

)(

q₁...q_m

)

merupakan dua

U-Decomposition pada non unit elemen

θ

( ) ( )

a ∈

θ

R maka m=n dan pi θ_{( )}R qi untuk i=1,...,n setelah pengindeksan kembali pada

q .

Karena setiap hasil kali dari elemen-elemen neo-irreducible dapat dinyatakan ke dalam suatu U-Decomposition, maka sifat dari UFR ekuivalen dengan setiap 1

non unit elemen

θ

( )

a di R′ dapat dinyatakan sebagai hasil kali elemen-elemen

neo-irreducible di R′.

Berikut akan diuraikan beberapa proposisi yang merupakan contoh dari faktorisasi tunggal ring terhadap suatu monomorfisma.

Proposisi 3.8

Misalkan p elemen prima di maka p merupakan suatu UFR terhadap : pθ → p × , dengan

θ

( ) (

pr = pr, 0 .

)

Bukti:

I. Pada bab sebelumnya telah dibuktikan bahwa p × dengan operasi biner pada Proposisi 3.2 merupakan ring komutatif dengan elemen kesatuan

( )

0,1 , dan

θ

:pa

(

pr, 0

)

_{merupakan suatu monomorfisma dari p ke p} × _.

Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa

θ

( ) (

pr = pr, 0

)

ideal di p × . a) Akan ditunjukkan terlebih dahulu bahwa

θ

( )

p subring dari p ×

i.

θ

( )

p ≠ ∅

Karena merupakan suatu ring, maka suatu grup abelian akibatnya ada elemen nol, 0 ∈ . Ambil r=0 ∈ sehingga ,

(

pr, 0

) (

= p.0 , 0

) (

= 0 , 0

)

∈p × .

ii. Ambil sembarang

(

pr1, 0 ,

) (

pr2, 0

) ( )

∈

θ

p

(

pr1, 0

)(

pr2, 0

) (

= pr1 . pr2+ 0 . pr1+ 0 . pr2, 0

)

(

pr1 . pr2, 0

)

=

(

)

(

p pr r1 2 , 0

)

=

(

pr, 0

) ( )

θ

p = ∈

(

pr1, 0

) (

− pr2, 0

)

=

(

pr1+ −

(

pr2

)

, 0

)

(

pr1 pr2, 0

)

= −

(

)

(

p r1 r2 , 0

)

= −

(

pr, 0

) ( )

θ

p = ∈ .

b) Akan ditunjukkan bahwa

θ

( )

p ideal di p × .

Ambil sembarang

(

pr1, 0

) ( )

∈

θ

p dan

(

pr r2, 3

)

∈p ×

(

pr1, 0

)(

pr r2, 3

) (

= pr1 . pr2+r3 . pr1+0 . pr2, 0

)

=

(

p pr r

(

_{1 2}

) ( )

+p r r_{3 1} , 0

)

=

(

pr, 0

) ( )

∈

θ

p . Karena p × bersifat komutatif, maka

(

pr r2, 3

)(

pr1, 0

) (

= pr1, 0

)(

pr r2, 3

) (

= pr, 0

) ( )

∈

θ

p .

II. Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa p merupakan suatu UFR terhadap

: p p

θ → × .

i. Setiap elemen tak unit

(

pr, 0

)

dapat dinyatakan sebagai U-Decomposition

dari elemen neo-irreducible. Berdasarkan Proposisi 3.5 faktor-faktor dari

(

pr, 0

)

adalah

(

ρ

m1, 1±

)

_,

( )

_0,

σ

_{, dan}

(

±_{p, 0}

)

_{. Misalkan}

1... 1...

k

m

pr= p r r sl s

merupakan faktorisasi prima dengan r_i ≡ ±1 mod

(

p

)

dan s_γ ≡ ±/ 1 mod

(

p

)

, maka

(

, 0

) ( ) (

, 0 1 1, 1 ...

) (

1, 1 ... 0,

) ( ) (

1 ... 0,

)

.

k

m

ii. Untuk menunjukkan ketunggalan, misalkan elemen neo-irreducible pada

(

, 0

)

U pr dengan r≠0 adalah

{

(

− ±

ρ

1,

ρ

)

}

, jika

(

)

(

)

(

) (

)(

) (

) (

)

(

) (

)

1 1, 1 ... 1, 1 1 1, 1 ... , ... 0, 1, ... . , 0 2 , h k k k m n p p p p

ρ

ρ

σ τ τ

σ τ τ

ρ

ρ

 ± ± − − ±  − ±  _{± ±}    l m m m

Merupakan suatu U-Decomposition pada

(

pr, 0

)

, maka diperoleh

( ) ( ) ( )

1... 1...

m n

h k

pr =ρ ρ σ σ ±p l ±p ±p ,

dengan

ρ

_i ≡ ±1 mod

(

p

)

dan

σ

_i ≡ ±/ 1 mod

(

p

)

. Karena h dan k tunggal, begitu juga dengan l+ +m n_{. Sehingga UFR 2 terpenuhi karena} neo-irreducible pada bagian ii, iii, dan iv pada Proposisi 3.5 berkorespondensi

dengan ,h k dan l+ +m n _{dan merupakan ass}

(

θ

( )

_p

)

_.

Jika r=0.

(

pr, 0

) ( )

= 0, 0 maka U-Decomposition pada

( )

0, 0 dinyatakan sebagai

( ) (

0, 0 = beberapa elemen irreducible dengan jumlah terbatas

) (

(

±p,mp

)(

±p, 0 .

)

)

Sehingga, pada

{

(

±p,mp

)(

±p, 0

)

}

_{setiap pasangan elemen-elemen pada}

(

±p,mp

)

_{dan setiap pasangan elemen-elemen pada}

(

±_{p, 0}

)

_merupakan

( )

(

)

ass

θ

p .

Karena I dan II terpenuhi maka p merupakan suatu UFR terhadap

: p p

Proposisi 3.9

Misalkan n elemen bukan unit dan bukan prima di maka n bukan suatu UFR terhadap : nθ →n × , dengan

θ

( ) (

nr = nr, 0 .

)

Bukti:

Karena n∈ merupakan suatu elemen bukan unit maka

θ

( ) ( )

n = n, 0 bukan unit . Karena n∈ bukan prima maka n komposit, misalkan n=n n_{1 2} dengan

1 2 1 2

1<n, n <n dan ,n n ∈ sehingga

( ) (

n, 0 = n₁, 0

)(

n₂, 0

)

. Akan diselidiki bahwa

( )

n, 0 elemen neo-irreducible.

Misalkan ∀

( )

y, 0 ∈n × ,

( )( ) ( )(

y, 0 n, 0 = y, 0 n1, 0

)(

n2, 0

)

.

Karena n n faktor dari ₁, ₂ n dengan 1<n₁, n₂ <n, maka n n|/ ₁ dan n n/| ₂.

Sehingga

( ) (

n, 0 |/ n1, 0

)

dan

( ) (

n, 0 |/ n2, 0

)

. Akibatnya

( )( ) ( )(

y, 0 n, 0 |/ y, 0 n1, 0

)

,

( )( ) ( )(

y, 0 n, 0 |/ y, 0 n2, 0

)

dengan kata lain

( )( ) ( )(

y, 0 n, 0 / y, 0 n1, 0

)

dan

( )( ) ( )(

y, 0 n, 0 / y, 0 n2, 0

)

sehingga

( )

n, 0 bukan elemen neo-irreducible. Karena setiap faktorisasi pada

( )

n, 0 adalah

(

±n, 0

)

akibatnya UFR 1 tidak terpenuhi. Jadi, n bukan suatu UFR terhadap : nθ →n × .

B.3 Keterkaitan antara UFR pada Ring Komutatif dengan Elemen Kesatuan dan UFR terhadap Suatu Monomorfisma Ring

Berikut ini akan diuraikan suatu lemma yang menjelaskan keterkaitan antara elemen irreducible dengan elemen neo-irreducible pada suatu UFR . Serta

keterkaitan elemen irreducible dengan elemen neo-irreducible pada suatu UFR terhadap 1: R→R .

Lemma tersebut merupakan penunjang untuk membuktikan bahwa suatu

UFR ekuivalen dengan UFR terhadap 1: R→R.

Lemma 3.10

Misalkan R suatu ring komutatif dengan elemen kesatuan.

i. Jika R suatu UFR maka setiap elemen irreducible di R merupakan elemen neo-irreducible.

ii. Jika R merupakan suatu UFR terhadap 1: R→R maka setiap elemen

irreducible di R merupakan elemen neo-irreducible.

Bukti:

i. Misalkan R suatu UFR , akan ditunjukkan setiap elemen irreducible di R

merupakan elemen neo-irreducible. Ambil sembarang q∈R dengan q

merupakan elemen irreducible . Sehingga q dapat dinyatakan sebagai

1... n

q=a a , dengan a merupakan faktor dari q untuk 1 i_i ≤ ≤n. Misalkan ∀ ∈ y R berlaku

1... n

yq= ya a ...(1)

Akan ditunjukkan bahwa yq ya untuk suatu i , artinya _i ya yq_i dan yq ya_i . i. Akan ditunjukkan ya yq_i .

Untuk y∈R y, ≠0. Karena a merupakan faktor dari q untuk suatu i , _i

Untuk y∈R y, =0. Karena a merupakan faktor dari q untuk suatu i , i

maka a q_i untuk y=0 diperoleh 0 . a_i 0 . q=0 0 artinya 0=0 . k, untuk setiap k∈ .

ii. Akan ditunjukkan yq yai .

a) Jika y merupakan nol atau unit .

Karena y=0 dan yq= ya₁...a_n maka 0q=0 ...a₁ a_n =0, sehingga diperoleh

0 0, untuk setiap k∈ .

b) Jika y bukan nol dan bukan unit .

Karena y∈R dengan y bukan elemen nol dan bukan elemen unit maka

y dapat dinyatakan sebagai dekomposisi dari elemen-elemen irreducible ,

tulis y=y₁... .y_s

Karena q merupakan elemen irreducible .

Misalkan q U y∈

(

₁...y_s

)

akibatnya ∃ ∈α R sehingga y₁...y_s =q y

α

₁...y_s, karena y=y1...ys maka dapat ditulis y=q yα dan ∀ ∈ai R,

( )

i i

ya = yq

α

a . Dengan kata lain yq ya_i .

Misalkan q U y∉

(

1...ys

)

, dalam hal ini melibatkan U-Decomposition.

Tulis kedua sisi pada persamaaan (1) sebagai suatu U-Decomposition

(

yt+1...ys

)(

y1...y qt

)

=

(

yj...pj...

)

(

yi... ...pi

)

,

dengan p merupakan faktor irreducible dari elemen- elemen a. Karena

Misalkan q p , maka i pi =q

β

dan ai =q

β

' sehingga yai = yq

β

',

dengan kata lain yq ya_i .

Misalkan q y , dalam hal ini dibagi dalam dua kasus. _i

Untuk t+ ≤ ≤1 i s, maka y_i∈U y

(

₁...y q_t

)

akibatnya ∃ ∈γ R sehingga diperoleh y₁...y q_t = y y_iγ ₁...y q_t . Karena q y_i maka y_i =qδ dan

1... t i 1... t i

y y y = y y yγδq y=yγδq.

Sehingga , ya_i =yq

(

γδ

a_i

)

dengan kata lain yq ya_i.

Untuk 1 i≤ ≤t, maka

(

yt+1...ys

)(

y1... ...yi y qt

)

=

(

yj...pj...

)

(

yi... ...pi

)

i

y yang kedua dapat dipasangkan dengan q yang associate dengan suatu

k

y , dan proses diulang. Sehingga diperoleh q merupakan elemen

neo-irreducible.

ii. Misalkan R suatu UFR terhadap 1: R→R, akan ditunjukkan bahwa setiap elemen irreducible di R merupakan elemen neo-irreducible.

Ambil sembarang q∈R dengan q merupakan elemen irreducible . sehingga

q dapat dinyatakan sebagai q=a₁...a_n, dengan a_i merupakan faktor dari q untuk 1 i≤ ≤n.

Misalkan y∀ ∈R berlaku

1... n

yq=ya a ... 2

( )

i. Akan ditunjukkan ya yq_i .

Untuk y∈R dan y≠0. Karena a merupakan faktor dari q untuk suatu i , _i

maka a qi sehingga ya yqi .

Untuk y∈R dan y=0. Karena a_i merupakan faktor dari q untuk suatu i , maka a q_i untuk y=0 diperoleh 0. a_i 0 . q=0 0 artinya 0=0 . k untuk setiap k∈ .

ii. Akan ditunjukkan yq ya_i Misalkan

y₁... . ...y q_{s 1} q_k =y_j... . ...y p_{s i} ... 3

( )

Merupakan hasil kali dari elemen neo-irreducible pada UFR terhadap 1: R→R, dengan p merupakan faktor neo-irreducible pada _i a . Karena _i

q irreducible di R maka q₁=q

σ

, dan q₂...q_k∈U q

( )

₁ .

Misalkan q₁∈U y

(

₁...y_s

)

maka ∃ ∈α R sehingga y₁...y_s =q₁

α

y₁...y_s, karena y1...ys = y maka y=q1

α

y=yq

σα

dan yai = yq

(

σα

ai

)

. Dengan

kata lain yq ya_i .

Misalkan q₁∉U y

(

₁...y_s

)

maka U-Decomposition akan berbentuk

(

yt+1...y qs 2...qk

)(

y1... ...yi y qt 1

)

=

(

yj...pj...

)

(

yi... ...pi

)

untuk proses pembuktian selanjutnya, sama seperti pada proses pembuktian sebelumnya pada bagian i.

Teorema 3.11

Misalkan R merupakan ring komutatif dengan elemen kesatuan, R suatu

UFR jika dan hanya jika R merupakan suatu UFR terhadap 1: R→R. Bukti:

( )

⇒ Jika R suatu UFR maka R suatu UFR terhadap 1: R→R.

i. Misalkan R suatu UFR , maka setiap elemen bukan unit pada R dapat

dinyatakan sebagai U-Decomposition dari elemen-elemen irreducible . Karena

setiap elemen irreducible pada R merupakan elemen neo-irreducible

(berdasarkan Lemma 3.10) maka elemen bukan unit pada R dapat dinyatakan

sebagai U-Decomposition dari elemen neo-irreducible.

ii. Misalkan

(

p₁′...p_k′

)(

p₁...p_n

)

=

(

q₁′ ′...ql

)(

q₁...q_m

)

dua U-Decomposition dari elemen-elemen neo-irreducible, maka berdasarkan Lemma 3.10 diperoleh U-Decomposition dari elemen-elemen irreducible . Karena R suatu UFR , maka

setelah pengindeksan kembali p_i q untuk i, dengan _i i=1...n, dan karena

R⊆R maka diperoleh p_i q adalah _i ass R ( ).

Karena i dan ii terpenuhi maka R suatu UFR terhadap 1: R→R .

( )

⇐ Jika R suatu UFR terhadap 1: R→R maka R suatu UFR .

i. Misalkan R suatu UFR terhadap 1: R→R, maka setiap elemen bukan unit pada R dapat dinyatakan sebagai U-Decomposition dari elemen-elemen

neo-irreducible. Karena setiap elemen neo-irreducible pada R merupakan elemen

irreducible (berdasarkan Lemma 3.10) maka elemen bukan unit pada R

ii. Misalkan

(

p₁′...p′_k

)(

p₁...p_n

)

=

(

q₁′ ′...ql

)(

q₁...q_m

)

dua U-Decomposition dari elemen-elemen irreducible , maka berdasarkan Lemma 3.10 diperoleh

U-Decomposition dari elemen-elemen neo-irreducible. Karena R suatu UFR terhadap 1: R→R, maka setelah pengindeksan kembali p_i q untuk suatu i, _i

dengan i=1...n.

Karena i dan ii terpenuhi maka R suatu UFR .