APLIKASI MODEL ANTRIAN MULTISERVER DENGAN VACATION PADA SISTEM ANTRIAN DI BANK BCA CABANG UJUNG BERUNG
SKRIPSI
Diajukan untuk Memenuhi Sebagian dari Syarat untuk Memperoleh Gelar Sarjana sains
Jurusan Pendidikan Matematika
Oleh Elyzabeth NIM 1006638
JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA
FAKULTAS PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA
APLIKASI MODEL ANTRIAN MULTISERVER DENGAN VACATION PADA SISTEM ANTRIAN DI BANK BCA CABANG UJUNG BERUNG
Oleh Elyzabeth
Sebuah skripsi yang diajukan untuk memenuhi salah satu syarat memperoleh gelar Sarjana pada Fakultas Pendidikan Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
© Elyzabeth 2014
Universitas Pendidikan Indonesia Juli 2014
Hak Cipta dilindungi undang-undang.
vi Elyzabeth, 2014
Aplikasi Model Antrian Multiserver dengan Vacation Pada Sistem Antrian di Bank BCA Cabang Ujung Berung
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu |perpustakaan.upi.edu DAFTAR ISI
PERNYATAAN ... i
ABSTRAK ... ii
KATA PENGANTAR ... iii
UCAPAN TERIMAKASIH ... iv
DAFTAR ISI ... vi
DAFTAR TABEL ... viii
DAFTAR GAMBAR ... ix
DAFTAR LAMPIRAN ... x
BAB I PENDAHULUAN ... 1
1.1 Latar Belakang ... 1
1.2 Rumusan Masalah ... 3
1.3 Tujuan Penulisan ... 3
1.4 Batasan Masalah ... 3
1.5 Manfaat Penulisan ... 4
1.6 Sistematika Penulisan ... 4
BAB II LANDASAN TEORI ... 6
2.1 Peubah Acak ... 6
2.2 Nilai Ekspektasi ... 6
2.3 Fungsi Pembangkit ... 7
2.3.1 Fungsi Pembangkit Peluang ... 8
2.3.2 Fungsi Pembangkit Momen ... 8
2.4 Fungsi Kepadatan Peluang ... 8
2.4.1 Fungsi Kepadatan Peluang Peubah Acak Diskrit ... 9
2.4.2 Fungsi Kepadatan Peluang Peubah Acak Kontinu ... 9
2.5 Distribusi Poisson ... 9
2.6 Distribusi Eksponensial ... 10
vii
Elyzabeth, 2014
Aplikasi Model Antrian Multiserver dengan Vacation Pada Sistem Antrian di Bank BCA Cabang Ujung Berung
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu |perpustakaan.upi.edu
2.7.1 Sejarah Teori Antrian ... 10
2.7.2 Sistem Antrian ... 11
2.7.3 Struktur Antrian ... 13
2.8 Proses Markov ... 16
2.9 Proses Birth and Death ... 17
2.10 Notasi Model Antrian ... 20
2.11 Model Antrian M/M/c ... 21
BAB III MODEL ANTRIAN MULTISERVER DENGAN VACATION 28 3.1 Quasi Birth-Death (QBD) Process ... 29
3.2 Antrian M/M/c dengan Multiple Asynchronous Vacation ... 31
3.2.1 Rate matrix R ... 32
3.2.2 Matriks Generator B[R] ... 35
3.2.3 Banyaknya Customer dalam Sistem ... 36
3.2.4 Waktu Tunggu Customer dalam Sistem ... 38
BAB IV STUDI KASUS ... 39
4.1 Laju Kedatangan ... 39
4.2 Laju Pelayanan ... 41
4.3 Waktu Vacation ... 44
4.4 Faktor Utilitas Server atau Peluang Server Sibuk ... 46
4.5 Ukuran Keefektifan Sistem ... 47
BAB V PENUTUP ... 58
5.1 Kesimpulan ... 58
5.2 Saran ... 59
DAFTAR PUSTAKA ... 60
LAMPIRAN ... 62
Elyzabeth, 2014
Aplikasi Model Antrian Multiserver dengan Vacation Pada Sistem Antrian di Bank BCA Cabang Ujung Berung
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu |perpustakaan.upi.edu ABSTRAK
Antrian merupakan kegiatan yang sering dijumpai dalam kehidupan sehari-hari. Pelaku utama dalam antrian adalah customer yang membutuhkan pelayanan serta server yang memberikan pelayanan. Sistem antrian dengan laju kedatangan dan pelayanan yang berdistribusi Poisson dan waktu pelayanan yang berdistribusi Eksponensial dilambangkan dengan M/M/c, dimana c adalah banyaknya server. Vacation pada sistem antrian adalah waktu tunda server melayani customer dalam waktu tertentu saat jam operasional. Sistem antrian dengan laju kedatangan dan laju pelayanan yang berdistribusi Poisson serta waktu pelayanan dan waktu vacation yang berdistribusi Eksponensial dimana server yang ada lebih dari satu dan server tidak secara serentak melakukan vacation disebut dengan Asynchronous Multiple Vacation Model (M/M/c (AS, MV)). Berdasarkan studi kasus yang dilakukan di Bank BCA Cabang Ujung Berung dimana pengamatan dipusatkan pada antrian untuk transaksi tunai di atas 10 juta rupiah, dengan banyaknya server sebanyak 3 orang maka model antriannya menjadi (M/M/3 (AS,
SV)) dan diperoleh laju kedatangan (λ) 24 orang per jam dan laju pelayanan ( )
Elyzabeth, 2014
Aplikasi Model Antrian Multiserver dengan Vacation Pada Sistem Antrian di Bank BCA Cabang Ujung Berung
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu |perpustakaan.upi.edu ABSTRACT
Queuing is the most likely happensin daily life. Those who queue are customers who need service and server that gives service. Queuing system due to arrival and service rate which distribute in Poisson and service time which distributes in Exponensial are symbolized M/M/c, in which c is the quantity of server. Vacation on queuing system is the duration which server delays to serve the customers at a certain time during operational hour. Queuing system due to arrival and service rate which distribute in Poisson along with service and vacation time which distributes in Exponensial which has more than one server and it doesn’t do vacation at the same time is called Asynchronous Multiple Vacation Model (M/M/c (AS, MV)). Based on study which is done in BCA Ujung Berung, we focus on queuing for cash transaction of 10 million rupiahs above, whereas there are three servers and we pay attention to the vacation queuing model which becomes (M/M/3 (AS, MV)) and results arrival rate ( 24 people per hour and service rate ( 13 people per hour and expectation on the quantity of customer in the queue ( ) 4 people and expectation of customer’s queuing time ( )10 minutes.
1
Elyzabeth, 2014
Aplikasi Model Antrian Multiserver dengan Vacation Pada Sistem Antrian di Bank BCA Cabang Ujung Berung
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu |perpustakaan.upi.edu BAB I
PENDAHULUAN
1.1. Latar Belakang
Teori Antrian merupakan studi matematika dari suatu kejadian garis tungggu, yakni suatu garis dari pelanggan yang memerlukan layanan dari sistem pelayanan yang ada. Hal ini sering kita jumpai dalam kegiatan sehari-hari. Proses antrian merupakan suatu proses yang berhubungan dengan kedatangan pelanggan pada suatu fasilitas pelayanan, menunggu mendapatkan pelayanan sampai akhirnya mendapat pelayanan dan keluar dari fasilitas pelayanan tersebut.
Untuk mempertahankan pelanggan, sebuah organisasi selalu berusaha untuk memberikan pelayanan yang terbaik. Pelayanan yang terbaik tersebut diantaranya adalah memberikan pelayanan yang cepat sehingga pelanggan tidak dibiarkan menunggu (mengantri) terlalu lama. Namun demikian, dampak pemberian layanan yang cepat ini akan menimbulkan biaya bagi organisasi, karena harus menambah fasilitas layanan. Oleh karena itu, teori antrian merupakan salah satu cara untuk mendapatkan informasi guna meningkatkan kualitas pelayanan bagi pelanggan serta memberikan keuntungan maksimal kepada perusahaan.
Pelaku utama dalam antrian adalah pelanggan (customer) dan pelayan (server). Sedangkan Vacation dalam sistem antrian merupakan suatu keadaan dimana tidak terjadi pelayanan untuk beberapa waktu tertentu. Pelayanan tidak dapat dilakukan karena beberapa hal, misalnya kerusakan mesin, persiapan server untuk melayani pelanggan dengan nomor antrian berikutnya, server yang harus melaksanakan tugas sekundernya, ataupun server yang harus beristirahat sejenak. Jika dalam suatu sistem antrian terdapat satu atau lebih server yang tidak dapat melayani pelanggan pada rentang waktu tertentu saat jam operasional, maka server dikatakan sedang melakukan vacation.
2
Elyzabeth, 2014
Aplikasi Model Antrian Multiserver dengan Vacation Pada Sistem Antrian di Bank BCA Cabang Ujung Berung
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu |perpustakaan.upi.edu
serentak oleh seluruh server dan dapat juga dilakukan tak serentak oleh seluruh server.
Contoh terjadinya vacation adalah saat teller sebuah bank melayani nasabah, namun kemudian sebuah mesin yang digunakan rusak, maka nasabah harus menunggu mesin tersebut hingga dapat beroperasi kembali. Contoh lainnya jika seorang teller melayani nasabah yang menyetorkan dana yang besar, maka teller tersebut membutuhkan waktu untuk memproses setoran dana tersebut
sehingga nasabah dengan nomor antrian berikutnya harus menunggu dalam waktu tertentu hingga teller selesai menyelesaikan tugasnya yang berkaitan dengan setoran dana nasabah nomor antrian sebelumnya. Waktu untuk menunggu perbaikan mesin maupun waktu untuk menunggu teller memproses setoran dana dalam jumlah yang besar pada contoh kasus di atas disebut waktu vacation dalam sistem antrian.
Adanya vacation menyebabkan terjadinya waktu penundaan pelayanan, walaupun waktu penundaan tersebut hanya sesaat namun waktu vacation dapat menurunkan kualitas pelayanan yang diberikan. Pada model antrian biasa, waktu penundaan pelayanan diabaikan, oleh sebab itu model antrian biasa tidak sesuai jika digunakan untuk menganalisis model antrian dengan vacation.
Suatu sistem antrian multiserver dengan kedatangan customer yang berdistribusi Poisson dan waktu pelayanan yang berdistribusi Eksponensial disebut sistem antrian Markovian yang dinotasikan dengan M/M/c, dengan c menyatakan banyaknya server. Suatu model antrian multiserver dengan beberapa kali vacation yang dapat dilakukan secara individual disebut Asynchronous Multiple Vacations Model, dan dinotasikan dengan (M/M/c (AS,MV)). Waktu vacation berdistribusi Eksponensial dan disiplin antrian FIFO (First In First Out).
Berhubungan dengan studi kasus yang akan dibahas dalam skripsi ini maka skripsi ini diberi judul “APLIKASI MODEL ANTRIAN MULTISERVER DENGAN VACATION PADA SISTEM ANTRIAN DI BCA CABANG
3
Elyzabeth, 2014
Aplikasi Model Antrian Multiserver dengan Vacation Pada Sistem Antrian di Bank BCA Cabang Ujung Berung
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu |perpustakaan.upi.edu 1.2. Rumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang di atas, penulis merumuskan masalah yang akan dibahas dalam skripsi ini adalah sebagai berikut:
1. Apa model yang paling tepat digunakan untuk sistem antrian multiserver dengan vacation?
2. Bagaimana langkah-langkah menganalisis model antrian untuk sistem antrian multiserver dengan vacation?
3. Berapa laju kedatangan, laju pelayanan, waktu vacation, banyaknya customer dan waktu tunggu pada sistem antrian multiserver dengan vacation?
1.3. Tujuan Penulisan
Berdasarkan rumusan masalah di atas, maka tujuan penulisan skripsi ini adalah sebagai berikut:
1. Mengetahui model yang tepat digunakan untuk sistem antrian multiserver dengan vacation.
2. Mengetahui langkah-langkah menganalisis model antrian untuk sistem antrian multiserver dengan vacation.
3. Mengetahui laju kedatangan, laju pelayanan, waktu vacation, banyaknya customer dan waktu tunggu pada sistem antrian multiserver dengan
vacation.
1.4. Batasan Masalah
Batasan-batasan dalam skripsi ini, antara lain:
4
Elyzabeth, 2014
Aplikasi Model Antrian Multiserver dengan Vacation Pada Sistem Antrian di Bank BCA Cabang Ujung Berung
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu |perpustakaan.upi.edu 1.5. Manfaat Penulisan
1.5.1.Manfaat Teoritis
Manfaat penulisan skripsi ini secara teoritis adalah menambah wawasan mengenai pemodelan matematika dalam sistem antrian, khususnya sistem antrian multiserver dengan vacation.
1.5.2.Manfaat Praktis
Dengan adanya pembahasan mengenai sistem antrian multiserver dengan vacation diharapkan para pengusaha dapat meningkatkan kualitas pelayanannya dalam melayani pelanggan dengan memperbaiki sistem serta meningkatkan kinerja server yang dimiliki sehingga dapat meningkatkan keuntungan perusahaan.
1.6. Sistematika Penulisan
Adapun sistem penulisan pada skripsi ini adalah sebagai berikut: BAB I Pendahuluan
Pada bab ini berisi latar belakang masalah, rumusan masalah, tujuan penulisan, batasan masalah, manfaat penulisan, metode penelitian dan sistematika penulisan.
BAB II Landasan Teori
Pada bab ini berisi teori-teori pendukung yang berhubungan dengan masalah yang diteliti, dan digunakan sebagai dasar pemikiran penulis dalam memecahkan permasalahan.
BAB III Model Antrian Multiserver dengan Vacation
Pada bab ini dijelaskan langkah-langkah untuk menentukan model dari sistem antrian multiserver dengan vacation.
BAB IV Studi Kasus
5
Elyzabeth, 2014
Aplikasi Model Antrian Multiserver dengan Vacation Pada Sistem Antrian di Bank BCA Cabang Ujung Berung
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu |perpustakaan.upi.edu BAB V Kesimpulan dan Saran
28
Elyzabeth, 2014
Aplikasi Model Antrian Multiserver dengan Vacation Pada Sistem Antrian di Bank BCA Cabang Ujung Berung
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu |perpustakaan.upi.edu BAB III
MODEL ANTRIAN MULTISERVER DENGAN VACATION
Dalam sebuah sistem antrian akan terdapat individu yang datang untuk mendapatkan pelayanan yang disebut dengan customer, juga individu yang akan memberikan pelayanan kepada pelanggan yang disebut dengan server. Sebuah sistem antrian yang memiliki satu server disebut dengan single server sedangkan sistem antrian dengan lebih dari satu server disebut multiserver. Dalam menjalankan tugasnya untuk melayani pelanggan, para server mungkin saja mempunyai tugas sekunder. Seperti halnya dalam sistem antrian di sebuah bank, tugas customer service selain melayani customer atau pelanggan dan mempunyai tugas sekunder saat tidak melayani customer seperti merapikan data customer tersebut, memeriksa kembali mesin hitung yang digunakan, ataupun untuk beristirahat sejenak, maka waktu ketika server tersebut melakukan tugas sekunder ataupun saat server tidak melayani pelanggan pada jam operasional maka server disebut sedang melakukan vacation. Vacation dapat dianggap sebagai waktu istirahat server, waktu bagi server ketika melakukan tugas sampingan, atau gangguan teknis pada saat melakukan pelayanan (Tian & Zhang, 2006:193).
Apabila hanya terdapat satu server pada sistem antrian, maka menggunakan Single Server Vacation Models. Tetapi apabila terdapat lebih dari satu server pada sistem antrian, maka digunakan Multiserver Vacation Models. Dalam skripsi ini hanya akan dibahas mengenai model antrian multiserver dengan vacation yang dilakukan beberapa kali oleh satu atau lebih server secara tidak
bersamaan. Model antrian yang demikian disebut Asynchronous Multiple Vacation Model (AS, MV).
Diasumsikan bahwa laju pelayanan ( , laju kedatangan customer (λ) dan waktu vacation ( ketiganya saling bebas. Diberikan Lv(t) adalah jumlah
pelanggan dalam sistem pada waktu t, dan diberikan J(t) adalah jumlah server yang bekerja atau tidak melakukan vacation pada waktu t. Sehingga {( Lv(t), J(t)),
29
Elyzabeth, 2014
Aplikasi Model Antrian Multiserver dengan Vacation Pada Sistem Antrian di Bank BCA Cabang Ujung Berung
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu |perpustakaan.upi.edu 3.1 Quasi Birth-Death (QBD) Process
QBD process merupakan generalisasi dari Birth-Death Process dari suatu state space berdimensi satu menjadi state space berdimensi lebih dari satu. Sistem
antrian markovian dapat dimodelkan dengan QBD process dengan menggunakan Matrix Analytical Method (MAM)
Untuk sebuah proses Markov berdimensi dua {(Lv(t), J(t)), t dengan
state space
� = {(k, j) : k
Dimana k merupakan level dari proses, j merupakan fase proses, dan m suatu bilangan bulat berhingga atau tak berhingga, memiliki matriks generator infinitesimal sebagai berikut:
[
]
(3.1)
Matriks Q memiliki elemen diagonal bernilai negatif dan elemen non-diagonal bernilai positif. Untuk sebuah sistem dengan c server, tidak hanya berlevel k = 0 tetapi k = 1, 2, ..., c – 1. Dapat dinotasikan state ke k dengan mk , .
Submatriks-submatriks matriks generator infinitesimal Q adalah sebegai berikut:
[ ]
[
]
[
]
(3.2)
30
Elyzabeth, 2014
Aplikasi Model Antrian Multiserver dengan Vacation Pada Sistem Antrian di Bank BCA Cabang Ujung Berung
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu |perpustakaan.upi.edu [ ]
Dengan untuk
31
Elyzabeth, 2014
Aplikasi Model Antrian Multiserver dengan Vacation Pada Sistem Antrian di Bank BCA Cabang Ujung Berung
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu |perpustakaan.upi.edu
Suatu QBD process yang memiliki state-state yang saling terhubung disebut dengan QBD process yang irreducible. Untuk menganalisis suatu QBD process, terlebih dahulu dicari solusi non-negatif minimum dari suatu persamaan matriks kuadratik sebagai berikut
(3.5) (Tian & Zhang, 2006:198)
Matriks R disebut dengan rate matrix yang mempunyai entri-entri non-negatif dengan struktur sebagai berikut
[
] (3.6)
Selain persamaan (3.5) memiliki solusi non-negatif, persamaan (3.5) juga dapat dibentuk menjadi persamaan linier homogen
[ ] yang mempunyai solusi positif, dimana
[ ]
[
]
3.2. Antrian M/M/c dengan Multiple Asynchronous Vacation
Antrian M/M/c dengan Multiple Asynchronous Vacation adalah sistem antrian dengan server lebih dari satu, dimana server-server dalam sistem antrian tersebut melakukan beberapa vacation dengan tidak serempak. Sedangkan bila server-server tersebut melakukan vacation beberapa kali dengan serempak maka
server tersebut melakukan apa yang disebut dengan Multiple Synchronous
Vacation. Dalam skripsi ini diambil studi kasus pada sistem antrian di Bank BCA
Cabang Ujung Berung sehingga model antrian yang digunakan adalah antrian M/M/c dengan Multiple Asynchronous Vacation.
32
Elyzabeth, 2014
Aplikasi Model Antrian Multiserver dengan Vacation Pada Sistem Antrian di Bank BCA Cabang Ujung Berung
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu |perpustakaan.upi.edu 3.2.1 Rate Matrix R
Rate matrix R merupakan matriks yang memiliki entri-entri non-negatif.
Rate matrix R digunakan untuk mencari solusi non-negatif minimum dari suatu persamaan matriks kuadratik (3.5) dalam suatu Quasi Birth and Death process . Entri-entri diagonal rate matrix R dapat dicari dengan mensubstitusikan
yang berturut-turut merupakan entri pada kolom terakhir dan baris terakhir dari matriks Ak, Bk, dan Ck ke dalam persamaan (3.6), diperoleh persamaan
[ ]
r merupakan entri dari rate matrix R
Teorema 3.1 (Tian & Zhang, 2006:222) pada kondisi steady-state, persamaan:
[ ]
Mempunyai dua akar, yaitu rk < rk* dan 0 < rk < 1, rk*
Bukti :
Akar-akar dari persamaan (3.8) dapat dicari dengan rumus abc, dengan
[ ]
√
Maka
√
dan
√
33
Elyzabeth, 2014
Aplikasi Model Antrian Multiserver dengan Vacation Pada Sistem Antrian di Bank BCA Cabang Ujung Berung
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu |perpustakaan.upi.edu
√
(3.11)
√[ ]
(3.12) Selanjutnya persamaan (3.11) dikalikan dengan (k + 1) , diperoleh
√
[ ]
{[ ] √[ ] }
(3.13) Selanjutnya persamaan (3.12) dikalikan dengan , diperoleh
√
(3.14) Substitusikan persamaan (3.14) ke dalam persamaan (3.13), diperoleh
[ ]
(3.15) Nilai dari digunakan untuk mengkontruksi elemen diagonal dari rate
matrix R. Sedangkan untuk dan nilainya adalah
34
Elyzabeth, 2014
Aplikasi Model Antrian Multiserver dengan Vacation Pada Sistem Antrian di Bank BCA Cabang Ujung Berung
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu |perpustakaan.upi.edu
∑ [ ] (3.16)
Dimana
Dengan menggunakan (3.16) nilai entri-entri nondiagonal dapat dihitung secara rekursif dari entri-entri pada diagonal matriks. Tentukan kemudian substitusikan pada persamaan (3.16), diperoleh
∑ [ ]
( )
[ ]
( ) [ ]
(3.17) Dengan .
Persamaan (3.16) dikalikan dengan – 1, diperoleh
{
Substitusikan persamaan (3.15) ke dalam persamaan (3.17), diperoleh
( ) ( )
Dengan cara yang sama substitusikan ke dalam persamaan (3.16), sehingga diperoleh
( )
(
)
35
Elyzabeth, 2014
Aplikasi Model Antrian Multiserver dengan Vacation Pada Sistem Antrian di Bank BCA Cabang Ujung Berung
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu |perpustakaan.upi.edu 3.2.2 Matriks Generator B[R]
Menurut (Tian & Zhang, 2006:200) QBD process yang irreducible merupakan suatu positif recurrent jika dan hanya jika persamaan matriks (3.5) memiliki solusi non-negatif minimum R, dan suatu persamaan linier homogen.
[ ] (3.19)
Dan { {
Untuk . Jika maka semua merupakan vektor baris berdimensi c + 1
Dari matriks generator Q pada (3.1), matriks persegi B[R] dapat dikontruksi sebagai berikut
[ ]
[
]
(3.20) B[R] merupakan suatu generator irreducible untuk state berhingga. Selanjutnya distribusi stationernya dapat dinyatakan sebagai matriks geometrik yang berbentuk
(3.21) Persamaan (3.21) disebut modified matrix geometric distribution. Secara umum
representasi dari matrix geometric distribution adalah
(3.22) (Latouche & Ramaswami, 1999:131)
Jika , maka distribusi dari { diberikan oleh
36
Elyzabeth, 2014
Aplikasi Model Antrian Multiserver dengan Vacation Pada Sistem Antrian di Bank BCA Cabang Ujung Berung
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu |perpustakaan.upi.edu
Dimana dengan merupakan solusi positif untuk (0, Bc), dan
konstanta K adalah
{∑
}
3.2.3 Banyaknya Customer Dalam Sistem
Misal banyaknya customer dalam sistem antrian M/M/c (AS, MV) dinotasikan dengan . Nilai banyaknya customer yang berada pada sistem antrian M/M/c (AS, MV) merupakan jumlahan dari banyak customer pada waktu server belum melakukan vacation dan banyak customer yang datang pada saat
server melakukan vacation, atau dapat dituliskan dengan persamaan berikut
Dengan
: menyatakan nilai harapan banyaknya customer pada sistem antrian multiserver biasa.
: menyatakan nilai harapan panjang antrian tambahan saat terjadi penundaan pelayanan
sebagai akibat dari adanya vacation.
Misal sebanyak k customer memasuki sistem antrian pada saat d server melakukan vacation. Menurut (Tian & Zhang, 2006:227) peluang didefinisikan sebagai berikut
{ {
(3.24) dengan dan merupakan vektor
37
Elyzabeth, 2014
Aplikasi Model Antrian Multiserver dengan Vacation Pada Sistem Antrian di Bank BCA Cabang Ujung Berung
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu |perpustakaan.upi.edu
[
] [
]
Dengan demikian persamaan (3.24) dapat diringkas menjadi
{ {
Selanjutnya akan dicari fungsi pembangkit peluang dari
∑ {
∑ ( { )
∑
{
[ { ] [ { ] [ { ]
{ (3.25)
Kemudian dari definisi fungsi pembangkit peluang dan persamaan (3.24) nilai harapan adalah
Jadi nilai harapan banyaknya customer dalam sistem antrian M/M/c (AS, MV) adalah
38
Elyzabeth, 2014
Aplikasi Model Antrian Multiserver dengan Vacation Pada Sistem Antrian di Bank BCA Cabang Ujung Berung
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu |perpustakaan.upi.edu
(3.26)
3.2.4 Waktu Tunggu Customer Dalam Sistem
Waktu menunggu dalam sistem antrian M/M/c (AS, MV) yang dinotasikan
dengan , dapat dicari menggunakan Little’s Law seperti pada sistem antrian M/M/c. Berdasarkan persamaan (2.50) dan (3.28), dapat ditentukan rumus untuk
, yaitu
(3.27)
Substitusikan λ ke dalam persamaan (3.30), diperoleh
(3.27)
Sedangkan untuk menghitung faktor utilitas server dan persentase pemanfaatan sarana pelayanan, formula yang digunakan sama dengan yang
digunakan pada model antrian M/M/c, yaitu
58
Elyzabeth, 2014
Aplikasi Model Antrian Multiserver dengan Vacation Pada Sistem Antrian di Bank BCA Cabang Ujung Berung
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu |perpustakaan.upi.edu BAB V
PENUTUP
5.1 Kesimpulan
Dari pembahasan skripsi dengan judul “Model Antrian Multiserver dengan
Vacation Pada Sistem Antrian Di Bank BCA Cabang Ujung Berung” dapat
disimpulkan sebagai berikut:
1. Model antrian yang paling tepat digunakan untuk sistem antrian di Bank BCA cabang Ujung Berung adalah M/M/3 (AS, MV) dimana waktu penundaan pelayanan diperhatikan.
2. Sistem antrian multiserver dengan vacation dianalisis dengan terlebih dahulu dimodelkan dengan Quasi Birth-Death (QBD) Process dengan terlebih dahulu dilakukan uji kesesuaian distribusi untuk data banyaknya customer, waktu pelayanan, dan waktu vacation, selanjutnya dicari nilai untuk faktor utilitas dan nilai untuk ukuran keefektifan sistem menggunakan Matrix Analytical Method (MAM) sehingga diperoleh nilai harapan banyaknya customer dalam sistem dan nilai harapan waktu tunggu customer dalam
sistem.
3. Rata-rata untuk laju kedatangan ( adalah 24 orang kedatangan per jam. Sedangkan rata-rata pelayanan adalah orang per jam dan orang per jam. Vacation terjadi saat server tidak memberikan pelayanan kepada customer di saat jam operasional. Waktu rata-rata untuk vacation adalah jam atau 13 menit. Ukuran kinerja atau keefektifan model antrian M/M/c (AS, MV) adalah sebagai berikut:
a. Nilai harapan banyak customer di dalam sistem
59
Elyzabeth, 2014
Aplikasi Model Antrian Multiserver dengan Vacation Pada Sistem Antrian di Bank BCA Cabang Ujung Berung
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu |perpustakaan.upi.edu
Pada kasus antrian multiserver pada sistem antrian di Bank BCA cabang Ujung Berung diperoleh nilai sebesar 0,167 jam atau 10 menit.
5.2 Saran
Skripsi ini membahas mengenai model antrian multiserver dengan vacation yang tidak dilakukan serempak oleh setiap server, maka pada penulisan berikutnya dapat dikaji model antrian multiserver dengan vacation yang dilakukan serempak oleh setiap server atau mengkaji suatu keadaan dimana server melakukan waktu setup atau warm up setelah selesai melakukan vacation
60
Elyzabeth, 2014
Aplikasi Model Antrian Multiserver dengan Vacation Pada Sistem Antrian di Bank BCA Cabang Ujung Berung
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu |perpustakaan.upi.edu DAFTAR PUSTAKA
Bhat, U. 2008. An Introduction to Queueing Theory, Modeling and Analysis in Application. New York: Springer Science and Business Media.
Budiyanto, E. 2007. Analisis Model Antrian Non Poisson Menggunakan Imbedded Markov Chain. Tugas akhir Jurusan Pendidikan Matematika
FPMIPA UPI. Bandung: tidak diterbitkan
Ecker, J, & Kupferschimd, M. (1988). Introduction to Operation Research. New York : John Wiley and Sons.
Gross, D. & Harris, C. M. 1998. Fundamental of Queuing Theory 3rd ed. New York : John Wiley and Sons.
Herrhyanto, N & Gantini, T. 2009. Pengantar Statistika Matematis. Bandung: Yrama Widya.
Kakiay, Thomas J. 2004. Dasar teori antrian untuk kehidupan nyata. Yogyakarta: Penerbit Andi.
Latouche, G & Ramaswami, V. (1999). Introduction to Matrix Analytic Methods in Stochastic Modeling. Philadelphia : ASA-SIAM publishing.
Nur, E. 2012. Pemodelan Sistem Antrian Multiserver dengan Multitask Server Menggunakan Vacation Queueing Model. Tugas Akhir Jurusan
Pendidikan Matematika FPMIPA UNY. Yogyakarta: tidak diterbitkan Ross, S. M. 1983. Stochastic Processes. New York : John Wiley & Sons Inc. Sutrisno. 2010. Model Antrian Multiple Channel Multiple Phase. Tugas Akhir
Jurusan Pendidikan Matematika FPMIPA UPI. Bandung: tidak diterbitkan. Taha, Hamdy A. (2003). Operation Research, An Introduction 8th ed. Upper
Saddle River : Pearson Publishing, Inc.
61
Elyzabeth, 2014
Aplikasi Model Antrian Multiserver dengan Vacation Pada Sistem Antrian di Bank BCA Cabang Ujung Berung
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu |perpustakaan.upi.edu
Walpole, R.E. dan Myres, R.H. 1986. Ilmu Peluang Dan statistika Untuk Insinyur Dan Ilmuwan. Bandung: Penerbit Institut Teknologi Bandung.
Winston, Wayne L. 2003.Operations Research, Applications and Algorithms. Belmont : Duxbury Press
Wospakrik, H. (1996). Teori dan Soal-Soal Operations Research. Bandung :
