STATISTIK PERTEMUAN VIII

STATISTIK

PERTEMUAN VIII

Pengertian Estimasi

 Merupakan bagian dari statistik inferensi

 Estimasi = pendugaan, atau menaksir harga

parameter populasi dengan harga-harga statistik sampelnya.

 Misal : suatu populasi yang besar akan diselidiki harga-harga parameternya, untuk mengetahuinya

akan dilakukan pengamatan terhadap unit-unit dalam sampel yang akan diestimasi meskipun akan

menimbulkan ketidak pastian

KLASIFIKASI ESTIMASI

(1) ESTIMASI HARGA MEAN (µ)

Dari suatu populasi akan ditaksir berapa besarnya harga rata-rata ( mean)

a)Jika digunakan sampel besar (n≥30)

Jika n ≥30 maka distribusi sampling harga X

didistribusikan normal dengan mean dan standard

deviasi.

Notasi interval untuk

estimasi sampel besar ( n

≥30) :

Z n

Z n X

X

^

^{*  }

^/2

^{* }

___

2 /

___

   

Z n

E 

_/2

*

max



__

X

2

/

Z

Dimana besar kesalahan maksimum dapat dicari dengan :

Keterangan : = nilai rata-rata suatu populasi  = deviasi standard

n = banyaknya data

= nilai dari tabel normal

b) Jika digunakan sampel kecil ( n < 30 )

 Maka notasi interval estimasi untuk sampel kecil sbb :

 Contoh Estimasi :

Perusahaan RST memproduksi hardisk X dengan berat bersih menyebar normal dengan simpangan baku =15 gram. Dari produksi tersebut dipilih satu contoh acak berukuran 64, setelah ditimbang dengan seksama diperoleh berat bersih rata-rata = 360 gr.

Taksirlah rerata berat bersih hardisk tersebut dengan selang kepercayaan 95%

n t s

n X t s

X *

_/2

*

__

2 / __





   



Contoh Soal Estimasi

Jawab :

Selang kepercayaan 95%. Maka sebagai acuan untuk Z/₂ digunakan tabel Normal.

caranya : cari  = 1 - 0,95 = 0,05

Z/₂ = 0,5 – 0,05/2 = 0.4750 Z/₂ = 1,96

Sehingga interval estimasi yang diperoleh sbb :

68 , 363 33

, 356

675 , 3 360 675

, 3 360

64

* 15 ) 96 , 1 ( 64 360

* 15 ) 96 , 1 ( 360



























(3) ESTIMASI HARGA PROPORSI (P)

 Jika sampel-sampel random sebesar n diambil dari suatu populasi yang besar dan a

banyaknya unit yang bersifat A dalam sampel- sampel tersebut, maka distribusi sampling

mendekati harga normal.

 Sehingga interval keyakinan untuk P adalah sebagai berikut :

n p Z p

n p a

n p Z p

n

a ( 1 )

) * 1

* (

_/2

2 /

 



 



_{ }

Nilai kesalahan Maksimum :

Z n E

_Max

2

* 1

2

/



Catatan : bila a tidak diketahui, maka diganti dengan P

Contoh soal :

Suatu sampel random yang terdiri dari 400 Keuarga di suatu daerah diketahui 10%

Diantaranya mempunyai pekerjaan (mata

Pencaharian) berdagang. Tentukan interval

Konvidensi 97% untuk menaksir proporsi

pedagang di daerah tersebut !

Contoh soal :

Jawab :

Diketahui : P = proporsi pedagang, a/n = 10%

N = banyaknya pedagang = 400

tingkat keyakinan 97% = 2,17 (lihat tabel normal)

Maka interval konfindensi proporsi pedagang sebagai berikut :

0,1 - 0,0325 ≤ P ≤ 0,1 + 0,0325 0.0675 ≤ P ≤ 0.1325

400 ) 1 , 0 1 (

* 1 ,

* 0 ) 17 , 2 ( 1 , 400 0

) 1 , 0 1 (

* 1 ,

* 0 ) 17 , 2 ( 1 ,

0    P   

(3) Estimasi Harga Standard Deviasi()

a) Jika digunakan sampel besar ( n ≥ 30) Jika sampel random sebesar n, ( n ≥ 30), maka akan didistribusikan normal.

Interval Estimasi dapat ditulis sbb :

n Z

s n

Z s

1 2

1 ^2^{/2 /2}











b) Jika digunakan sampel kecil ( n < 30 )

Jika sampel random sebesar n, maka

distribusi sampling didistribusikan menurut

distribusi Chi Kuadrat

Interval konvidensi jika n < 30

 Dinotasikan sebagai berikut :

 Contoh Soal :

Suatu sampel random yang terdiri dari 15 unit diambil dari suatu populasi yang dapat dianggap mendekati normal, dan didapat S=21,6. Tentukan interval konvidensi 96%

untuk mengestimasi  dari populasi tersebut.

2 /

2

2 /

2

( 1 )

) 1 (









 

 

X

s n

X

s

n

Contoh Soal :

Jawab :

Diketahui : n = 15, S =21,6

Tingkat konfidensi ( 1 -  ) = 96%, /2=2%

Sehingga X² (2%; 15-1) = 26,873 dan X² (98%; 15 – 1) = 5,368

Jadi interval konvidensi untuk 96% adalah :

368 ,

5

6 . 21 ) 1 15 ( 873

, 26

6 . 21 ) 1 15

(

²



²



 

 9 , 34 6

,

15   

Klasifikasi Estimasi untuk 2 Populasi

(1) Estimasi Harga Perbedaan dua mean

jika digunakan populasi ke – 1 dan populasi ke-2 untuk dilakukan estimasi perbedaan kedua meannya, yaitu : ( µ₁ - µ₂ ) maka perlu diambil sampel random untuk kedua populasi tersebut.

a) Jika digunakan sampel besar ( n ≥ 30 )

Jika sampel random sebesar n1 dan n2, berturut-turut diambil dari populasi ke – 1 dan ke – 2 dan misalkan X1 = mean sampel dari populasi ke – 1 dan X2 = mean sampel dari populasi ke – 2, maka distribusi sampling harga statistik mendekati distribusi normal.

Notasi Interval untuk harga-harga dua mean

2 2 2 1

2 1 2

2 / ___

1 ___

2 1 2

2 2 1

2 1 2

2 / ___

1 ___

* )

(

* )

( X X Z n n

n Z n

X

X      



       





2 2 2 1

2 1 2

/ 2

___

1 ___

2

1

) ( )

( n

S n

Z S X

X

E      







Besarnya kesalahan Maksimum :

b) Jika digunakan sampel kecil ( n₁ < 30 dan n₂ < 30 )

 Kedua populasi didistribusikan menurut

distribusi normal dengan mengacu pada pada tabel student

 Notasi Interval konvidensi untuk harga rata- rata dua mean sbb :

) (

) (

) (

)

( ²

___

1 ___

2 2 /

___

1 ___

2 2 1

___

1 ___

2 2 /

___

1 ___

X X

S X

X X

X S t X

X   _       _ 

Contoh Soal :

(1) Suatu perusahaan rokok mengirim ke laboratorium dua jenis tembakau yang digunakan di dalam produksinya, guna menduga perbedaan rata-rata kadar nikotinnya. Dari jenis I dilakukan 5 kali analisa dan dari jenis II dilakukan 6 kali analisa. Dari hasil analisa ini diketahui bahwa kadar nikotin pada setiap batang sebagai

berikut ( dalam mg) :

Jenis I : 25, 21, 23, 26, 20 Jenis II : 24, 25, 28, 22, 21, 24

Tentukan interval konfidensi 98% untuk perbedaan rata-rata kadar nikotin kedua jenis tembako tersebut !

Contoh Soal

Jawab :

SAMPEL JENIS I SAMPEL JENIS I X₁ (X₁ – X₂)² X₂ (X₁ – X₂)²

25 4 24 0

21 4 25 1

23 0 28 16

26 9 22 4

20 9 21 9

24 0

115 26 144 30

Contoh Soal

 Dimana :

n₁ = 5 n₂ = 6

X₁ = 115/5 = 23 X₂ = 144/6 = 24

S₁ = 26/4 S₂ = 30/5

Tingkat konvidensi ( 1 -  ) = 98%, 2 _/2= 1 % t(1%; 5+6 – 2) = 2.821

Sehingga interval konvidensi untuk dua mean sbb :

Contoh Soal

25 , 3 ) (

25 , 5

25 , 4 1 ) (

25 , 4 1

) 506 , 1 (

* ) 821 , 2 ( ) 24 23 ( ) (

) 506 , 1 (

* ) 821 , 2 ( ) 24 23 (

6 1 5 1 2

6 5

305 ) 5 4 ( )26 4 (

* 821 , 2 ) 24 23 ( ) 6 (

1 5 1 2

6 5

305 ) 5 4 ( )26 4 (

* 821 , 2 ) 24 23 (

2 1

2 1

2 1

2 1







































 

 





 











 

 





 



















Sehingga interval konvidensi untuk dua mean sbb :

(2) Estimasi Harga Dua Proporsi (P₁-P₂)

2 2 2 1

1

1(1 ) (1 )

n P P n

P

P   

 

• Jika P1 dan P2 tidak terlalu kecil dan tidak selalu besar, maka harga distribusi sampling harga

statistik akan didistribusikan mendekati distribusi

normal dengan harga mean = ( p1 – p2) dan standard

deviasi adalah :

Interval Konfidensi untuk Dua Proporsi ( P1 – P2) adalah sbb :

2 2 2 2

2

1 1 1 1

1

2 / 2

1 2

2 2 2

2

1 1 1 1

1

2 / 2

2 1 1

) 1

( 1

( )

( ) 1

( 1

(

n n a n

a n

n a n

a Z

P n P

n a n

a n

n a n

a n Z

a n

a 

 





 

 







  _{ }

Dimana : jika tidak diketahui a1 atau a2 dapat diganti

dengan P1 atau P2

Contoh Soal Estimasi Dua Proporsi

(1) Sebuah perusahaan komputer membuat dua buah software anti virus yakni jenis A dan B. Untuk keperluan penelitian, maka diinstal pada dua buah komputer yang berisi 1000 jenis virus, setelah kedua

komputer diisi dengan virus tersebut, kemudian diinstal anti virus jenis A untuk komputer I dan anti virus jenis B untuk komputer II.

Beberapa saat kemudian diketahui dalam komputer I terdapat 825 virus yang dapat dinonaktifkan dan pada komputer II terdapat 760 virus yang berhasil dinonaktifkan. Tentukan selang kepercayaan 95%

bagi beda proporsi kematian virus oleh anti virus jenis A dan B.

1005 , 0 ) ( 0295 , 0

) 0181 , 0 )(

96 , 1 ( 65 , 0 ) ( ) 0181 , 0 )(

96 , 1 ( 65 , 0

1000 1000) 1 760 1000( 760 1000

1000) 1 825 1000( 825 96 , 1000 1

760 1000 ) 825 1000 (

1000) 1 760 1000( 760 1000

1000) 1 825 1000( 825 96 , 1000 1

760 1000

825

2 1

2 1

2 1

















 

 



 



 





 

 





 



 

P P

P P

P P

Contoh Soal Estimasi Dua Proporsi

Jawab :

Diketahui : a

₁

= 825 a

₂

= 760 n

₁

= 1000 n

₂

= 1000 Konfidensi 95% =  /2 = 0,025

Z  /

₂

= 0,5 – 0.025 = 0,4750

Berdasarkan tabel normal 0.4750 = 1,96 (Z  /

₂

)

Sehingga interval estimasi beda dua proporsi sbb :

CARA MEMBACA TABEL NORMAL

LANGKAH-LANGKAHNYA :

1. Lihat nilai konfidensinya, misal 95% sehingga

 /2 = 0,5/2 = 0.025 , maka untuk distribusi normal Z  /

₂

= 0,5 – 0.025 = 0,4750

2. Lihat ke tabel normal. Silahkan di download.

3. Berdasarkan tabel maka nilai 0.4750 berada pada

baris ke 1.9 kolom 0.6. Sehingga nilai konfidensi

95% Z  / = 1,96

CARA MEMBACA TABEL STUDENTS (t)

LANGKAH-LANGKAHNYA :

(1) Lihat nilai konfidensinya, misal 95% sehingga

/

₂

= 5/2 = 0.025 , maka untuk distribusi normal untuk students t /

₂

= (/

₂

; n – 1 ). Andaikan n = 10  t /

₂

= ( 0,025; 9)

Kolom Baris

(2) Lihat ke tabel Student’s. Silahkan di download.

Berdasarkan tabel maka pertemuan antara baris ( 9) dan kolom ( 0,025) bertemu pada titik = 2,262 sehingga

nilai konfidensi 95% t /

₂

= 2,262

CARA MEMBACA TABEL CHI KUADRAT ( x²)

LANGKAH-LANGKAHNYA :

(1) Lihat nilai konfidensinya, misal 96% sehingga

/2 = 4/2 = 2% , maka untuk distribusi normal untuk Chi Kuadrat X

²

/2 = (2% ; 10 – 1 ) dan X

²

/

₂

= (98%l;

10-1 ) (Andaikan n = 10  X

²

/2 = ( 2%; 9) dan X

²

/

₂

= (98%l; 9 )

(2) Lihat ke tabel Chi Kuadrat . Silahkan di download.

Berdasarkan tabel maka pertemuan antara baris ( 9) dan

kolom ( 0,02) bertemu pada titik = 19.679 dan baris (9)

dan kolom (0.98) bertemu pada titik = 2.532 sehingga

nilai konfidensi 96% X

²

/2 = 19.679 dan X

²

/2 =

2.532

LATIHAN SOAL

(1) Suatu contoh acak berukuran n = 500 rumah tangga yang koneksi internet di suatu kota. Berdasarkan contoh ini

kemudian diketahui bahwa terdapat 340 pemilik yang terkoneksi ke internet di rumahnya.

Tentukan ukuran contoh yang diperlukan jika tingkat

kepercayaan 98% bagi proporsi rumah tangga yang

koneksi ke internet di kota tersebut.

LATIHAN SOAL

(2) Suatu proses produksi menghasilkan produk harian dengan simpangan baku σ = 10 ton.

Seorang peneliti ingin menduga rataan produk

harian µ dengan selang kepercayaan 96% dan

galat tidak lebih dari 2,5 ton. Tentukan ukuran

contoh yang diperlukan

LATIHAN SOAL

(3) Dua contoh acak masing-masing dipilih dari dua populasi A dan B yang seragam dan menyebar normal. Hasil dari pengamatan contoh tersebut adalah sbb :

Berdasarkan pengamatan contoh, tentukan selang kepercayaan 95%

bagi selisih rerataan populasi A dan B.

Contoh A

12, 5 9,4

11, 7 11, 3

9,9 8,7

9,6 11,5

10, 3 10, 6

9,6 9,7

Contoh B

9,4 8,4

11, 6 7,2

9,7 7,0

10,4 8,2

6,9 12, 7

7,3 9,2

Petunjuk

 Silahkan anda mencoba soal latihan

tersebut selama 30 menit. Bagi yang sudah dapat melihat kunci jawabannya dengan

mendownload. Ingat anda tidak akan paham jika tidak mencoba soal latihan.

Jangan melihat kunci jawaban sebelum anda mengerjakan terlebih dahulu.

Silahkan didownload.