ESTIMASI VARIANSI DALAM SAMPLING MULTI TAHAP

ESTIMASI VARIANSI DALAM SAMPLING MULTI TAHAP

TESIS

Oleh

HUSOR SITANGGANG 117021003/MT

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

MEDAN

ESTIMASI VARIANSI DALAM SAMPLING MULTI TAHAP

T E S I S

Diajukan Sebagai Salah Satu Syarat

Untuk Memperoleh Gelar Magister Sains dalam Program Studi Magister Matematika pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Universitas Sumatera Utara

Oleh

HUSOR SITANGGANG 117021003/MT

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

MEDAN 2013

Judul Tesis : ESTIMASI VARIANSI DALAM SAMPLING MULTI TAHAP

Nama Mahasiswa : Husor Sitanggang Nomor Pokok : 117021003

Program Studi : Matematika

Menyetujui, Komisi Pembimbing

(Dr. Sutarman, M.Sc) (Prof. Dr. Tulus, M.Si)

Ketua Anggota

Ketua Program Studi Dekan

(Prof. Dr. Herman Mawengkang) (Dr. Sutarman, M.Sc)

Telah diuji pada Tanggal : 3 Juni 2013

PANITIA PENGUJI TESIS Ketua : Dr. Sutarman, M.Sc Anggota : 1. Prof. Dr. Tulus, M.Si

2. Prof. Dr. Muhammad Zarlis 3. Dr. Yullita Moliq, M.Si

PERNYATAAN

ESTIMASI VARIANSI DALAM SAMPLING MULTI TAHAP

TESIS

Dengan ini saya menyatakan bahwa dalam tesis ini tidak terdapat karya yang pernah diajukan untuk memperoleh gelar magister di suatu perguruan tinggi dan sepanjang pengetahuan juga tidak terdapat karya atau pendapat yang pernah ditulis atau diterbitkan oleh orang lain, kecuali secara tertulis diacu dalam naskah ini dan desebutkan dalam daftar pustaka.

Medan, 3 Juni 2013 Penulis,

Husor Sitanggang

ABSTRAK

Biaya, tenaga dan waktu sering menjadi penghambat berlangsungnya penelitian.

Penarikan sampel salah satu solusi. Penarikan sampel dua-tahap sering digunakan untuk memperkirakan total populasi, stratifikasi pada tahap kedua (Neyman, tahun 1938, Rao, 1973) atau kedua tahap (Binder, et.al, 2000) dan untuk esti- masi regresi (S¨arndal, et.al, 1992, bab 9, Hidiroglou dan S¨arndal, 1998). Namun, varians estimator HT pada sampel fase umum dikenal sangat tidak stabil dan dapat menghasilkan nilai-nilai negatif ketika unit yang dipilih dengan probabili- tas yang tidak sama. Pada sisi lain, varians estimator Sen-Yates-Grundy (SYG) relatif stabil dan non-negatif. Perluasan dari penarikan sampel dua tahap dapat dilanjutkan ke tahap tiga.

Kata kunci: Gugus, Stratifikasi, Kerangka, Multi tahap, Varian, Penduga

ii

ABSTRACT

Cost, effort and time often become an obstacle to the course of study. Sampling one of the solutions. Two-stage sampling is often used to estimate the total population, stratification at the second stage (Neyman, 1938, Rao, 1973) or second phase (Binder, et.al, 2000) and for the estimation of regression (S¨arndal, et.al, 1992, chapter 9, Hidiroglou and S¨arndal, 1998). However, the sample variance estimator HT phase known generally very unstable and can result in negative values when units are selected with unequal probabilities. On the other hand, the variance estimator Sen-Yates-Grundy (SYG) is relatively stable and non-negative.

Expansion of the two-stage sampling procedure can proceed to stage three.

Keyword: Groups, Stratification, Frameworks, Multi-stage, Variance, Estimators

KATA PENGANTAR

Puji syukur kepada Tuhan Yang Maha Esa yang selalu memberikan rahmat dan berkat, hingga penulis dapat menyelesaikan tesis yang berjudul: ESTIMASI VARIANSI DALAM SAMPLING MULTI TAHAP. Pada kesempatan ini penulis menyampaikan terima kasih yang setulusnya kepada:

Bapak Prof. Dr. dr. Syahril Pasaribu, DTM&H, M.Sc(CTM), Sp.A(K) selaku Rektor Universitas Sumatera Utara.

Bapak Dr. Sutarman, M.Sc, selaku Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara, sekaligus sebagai pembimbing-I yang telah memberikan banyak masukan dan saran dalam penyelesaian tesis ini.

Bapak Prof. Dr. Herman Mawengkang, Ketua Program Studi Magister Matematika FMIPA Universitas Sumatera Utara yang telah memberikan bim- bingan, arahan dan ilmu pengetahuan dalam menyelesaikan tesis ini.

Bapak Prof. Dr. Saib Suwilo, M.Sc, selaku Sekretaris Program Studi Ma- gister Matematika FMIPA Universitas Sumatera Utara.

Bapak Prof. Dr. Tulus, M.Si, sebagai pembimbing-II yang sabar dan juga telah memberikan banyak masukan dan saran dalam penyelesaian tesis ini.

Bapak Prof. Dr. Muhammad Zarlis, Pembanding I didampingi Ibu Dr.

Yulita Moliq, M.Sc sebagai pembanding-II yang memberikan saran dan kritik dalam penyempurnaan tesis ini.

Bapak / Ibu Dosen Program Studi Magister Matematika FMIPA Universitas Sumatera Utara yang telah memberikan ilmunya selama masa perkuliahan.

Ibu Misiani, S.Si, staf administrasi Program Studi Magister Matematika FMIPA Universitas Sumatera Utara yang banyak membantu proses administrasi.

Ucapan terimakasih juga penulis sampaikan kepada :

iv

Ayaha / Ibu tercinta, Laon Sitaggang (alm) / Mariun Sinurat (alm), Abang / kakak, Kader Sitanggang dan Gutul Sitanggang / Minnauli br Tanggang dan Resdi br Tanggang serta adik Lastri br Tanggang yang telah memberikan kasih sayang dan dukungan baik moril maupun materiil selama penulis dalam pendidikan dan penyelesaian tesis ini.

Rekan-rekan mahasiswa Program Studi Magister Matematika FMIPA Universitas Sumatera Utara khususnya angkatan tahun 2011 ganjil, teristimewa kepada Ba- pak kepala BAPPEDA Provinsi Sumatera Utara tahun 2011 yang telah memberikan bantuan biaya Pendidikan hingga penulis menyelesaikan perkuliahan serta semua pihak yang tidak dapat penulis sebutkan satu persatu pada tesis ini.

Semoga Tuhan Yang Maha Kuasa membalas segala kebaikan dan bantuan yang telah diberikan.

Medan, 3 Juni 2013 Penulis,

Husor Sitanggang

RIWAYAT HIDUP

Husor Sitanggang, dilahirkan di Parsopoan Kabupaten Tapanuli Utara (se- karang Kabupaten Samosir), tanggal 15 Februari 1970. Anak ke lima dari enam bersaudara dari ayah Laon Sitanggang (Alm) dan ibu Mariun Sinurat (Alm).

Penulis menyelesaikan Sekolah Dasar (SD) di SD Negeri No 173746 Siriaon Kabu- paten Tapanuli Utara pada tahun 1984, Sekolah Menengah Pertama (SMP) di SMP Negeri 2 Pangururan Kabupaten Tapanuli Utara pada tahun 1987 dan Seko- lah Menengah Atas (SMA) di SMA Negeri Pangururan Kabupaten Tapanuli Utara pada tahun 1990.

Pada tahun 1990, penulis melanjutkan pendidikan D-3 Matematika Fakultas Pendidikan Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam (FPMIPA) IKIP Negeri Medan (sekarang UNIMED) hingga tahun 1994. Melanjutkan Pendidikan Sarjana Matematika Strata-1 di FKIP Perguruan Tinggi Pelita Bangsa pada tahun 2005.

Dan pada tahun 2011 tepatnya bulan Agustus, penulis mendapat kesempatan mengikuti pendidikan S-2 Matematika di FMIPA Universitas Sumatera Utara dengan Program beasiswa dari BAPPEDA Provinsi Sumatera Utara.

Pada tahun 1994 adalah pengalaman penulis pertama kalinya mengajar, yaitu di SMP Negeri 1 Padangtualang, Langkat hingga 1999 mutasi ke SMP Negeri 19 Medan. Dari tahun 2000 hingga sekarang, penulis juga bekerja sebagai guru Matematika di SMA NURANI Belawan.

vi

DAFTAR ISI

Halaman

PERNYATAAN i

ABSTRAK ii

ABSTRACT iii

KATA PENGANTAR iv

RIWAYAT HIDUP vi

DAFTAR ISI vii

BAB 1 PENDAHULUAN 1

1.1 Latar Belakang 1

1.2 Perumusan Masalah 5

1.3 Tujuan Penelitian 5

1.4 Manfaat Penelitian 6

1.5 Metodologi Penelitian 6

BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA 8

2.1 Perkiraan Variansi Tipe SYG 8

2.2 Pengaturan Umum 9

2.3 Penarikan Sampel Dua-Tahap 12

2.4 Penarikan Sampel Tiga-Tahap 17

BAB 3 ESTIMASI VARIANSI DALAM SAMPLING MULTI TAHAP 20

BAB 4 KESIMPULAN DAN RISET LANJUTAN 24

4.1 Kesimpulan 24

4.2 Riset Lanjutan 24

DAFTAR PUSTAKA 25

viii

ABSTRAK

Biaya, tenaga dan waktu sering menjadi penghambat berlangsungnya penelitian.

Penarikan sampel salah satu solusi. Penarikan sampel dua-tahap sering digunakan untuk memperkirakan total populasi, stratifikasi pada tahap kedua (Neyman, tahun 1938, Rao, 1973) atau kedua tahap (Binder, et.al, 2000) dan untuk esti- masi regresi (S¨arndal, et.al, 1992, bab 9, Hidiroglou dan S¨arndal, 1998). Namun, varians estimator HT pada sampel fase umum dikenal sangat tidak stabil dan dapat menghasilkan nilai-nilai negatif ketika unit yang dipilih dengan probabili- tas yang tidak sama. Pada sisi lain, varians estimator Sen-Yates-Grundy (SYG) relatif stabil dan non-negatif. Perluasan dari penarikan sampel dua tahap dapat dilanjutkan ke tahap tiga.

Kata kunci: Gugus, Stratifikasi, Kerangka, Multi tahap, Varian, Penduga

ABSTRACT

Cost, effort and time often become an obstacle to the course of study. Sampling one of the solutions. Two-stage sampling is often used to estimate the total population, stratification at the second stage (Neyman, 1938, Rao, 1973) or second phase (Binder, et.al, 2000) and for the estimation of regression (S¨arndal, et.al, 1992, chapter 9, Hidiroglou and S¨arndal, 1998). However, the sample variance estimator HT phase known generally very unstable and can result in negative values when units are selected with unequal probabilities. On the other hand, the variance estimator Sen-Yates-Grundy (SYG) is relatively stable and non-negative.

Expansion of the two-stage sampling procedure can proceed to stage three.

Keyword: Groups, Stratification, Frameworks, Multi-stage, Variance, Estimators

iii

BAB 1 PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Setiap peneliti mengharapkan agar hasil penelitiannya representatif (menggam- barkan keadaan yang sebenarnya).

Agar hasil penelitian lebih dapat dipercaya, maka seorang peneliti seharus- nya melakukan sensus. Namun biaya, tenaga dan waktu sering menjadi faktor penghambat berlangsungnya penelitian, terlebih bila daftar populasi tidak terse- dia serta populasi meliputi daerah yang sangat luas. Sehingga boleh jadi peneliti tidak meneliti keseluruhan elemen atau unsur yang dimaksud.

Untuk mengatasi kendala tersebut maka sebaiknya dilakukanlah penarikan sampel. Namun perlu diingat teknik penarikan sampel (sampling techniques) adalah suatu hal yang sangat penting. Karena dalam sampel yang berjumlah besar bisa menyesatkan jika teknik penarikan sampelnya salah. Sebaliknya, sam- pel kecil sudah cukup memadai jika teknik penarikan sampelnya benar.

Cochran William G. (1977) Keuntungan utama dari penarikan sampel dua tahap lebih fleksibel dari penarikan sampel satu tahap. Jika penarikan sampel acak sederhana digunakan pada ketiga tahap, maka rata-rata sampel per-unit tahap ketiga adalah suatu perkiraan yang tidak bias.

Langkah-langkah yang perlu diperhatikan dalam pengambilan sampel de- ngan dua tahap adalah:

1. Menentukan cluster yang tepat, misalnya sesuai dengan kondisi geografis dan ukuran yang dapat dijangkau atau dikelola.

2. Memilih sampel acak sederhana (boleh juga sistematik) yang ditarik dari kerangka penarikan sampel berupa daftar semua cluster. Pemilihan ini dise-

2

3. Membentuk kerangka penarikan sampel tahap kedua berupa daftar semua elemen yang ada di setiap cluster sampel atau cluster yang terpilih dalam pemilihan pertama.

4. Memilih sampel acak sederhana (boleh juga sistematik) berupa sebagian elemen-elemen dari setiap cluster sampel atau cluster terpilih. Pemilihan ini disebut pemilihan tahap kedua yang menghasilkan sampel dua tahap.

Sampling dua tahap sering digunakan untuk memperkirakan total populasi atau rata-rata x ketika harga perunit dari pengumpulan data tambahan x lebih kecil dari harga perunit dari pengukuran bunga y. Skema sampling terdiri dari dua tahap. Pada tahap pertama, sampel besar s1 dari ukuran n1 diambil dari himpunan U berdasarkan pola sampling khusus dengan probabilitas {p (s1)} dan x untuk unit sampel i ∈ s1. s1 disebut sampel tahap pertama, s2 sampel tahap kedua, dipilih dari s1 berdasarkan pola sampling khusus probabilitas bersyarat {p (s2s₁)} dan (y, x) untuk unitnya i ∈ s2. Dalam beberapa kasus, total populasi dari beberapa komponen x1 dari x dapat juga diketahui.

Neyman (1938) pertama sekali mengajukan sampling dua tahap untuk stra- tifikasi. Sampel s1 tahap pertama, dipilih secara acak sederhana, distratifikasi pada basis dari sebuah variabel x tambahan konstanta yang dilihat pada unit di dalam konteks dari sebuah sampel acak sederhana dari tahap pertama s1 dan ukuran n1, i ∈ s1 : s1 = ∪gs_1g, dimana s1g adalah ukuran acak dari sampel tahap pertama, n1g, pada stratum g. Pada tahap ke dua, sampel acak sederhana s2g

dari ukuran n2g ditentukan dari sampel tahap pertama s1g dari ukuran acak n1g, P

gn_1g = n1. Dalam tahap ke dua, sampel acak sederhana s2g dari ukuran n2g

ditentukan dari sampel tahap pertama s1g secara bebas. Diasumsikan ukuran tepat dari n2g dibatasi oleh batas atas, namun demikian adalah tidak sama de- ngan prosedur sampling karena batas atas n2gdibatasi oleh variabel acak n1gyang bervariasi dari 0 hingga minus (n1, ng) dimana ng adalah jumlah satuan populasi dalam stratum g. Rao dan Hidiroglou (2003) manyatakan sebuah alokasi sampel yang menghindarkan kesulitan dalam metode Neyman (1938) atas alokasi sampel pada tahap kedua. Metode ini mengambil pecahan yang tepat Vg dari unit sampel pada tahap pertama, sebagai contoh, n2g = Vgn_1g,0 < Vg ≤ 1. Cochran (1977)

3

mempelajari rasio dan perkiraan pengurangan untuk kasus khusus dari sampling acak sederhana dalam kedua tahap.

Perkiraan variansi yang diajukan S¨arndal, et.al, (1992) memiliki bentuk yang sama dengan perkiraan variansi HT dalam sampling satu tahap. Secara umum pola tahap tunggal dengan penambahan probabilitas yang tidak sama, perkiraan variansi terakhir diketahui sangat tidak stabil dan mungkin memperoleh ukuran negatif. Alternatif lain untuk perkiraan variansi dikenal sebagai perkiraan variansi Sen-Yates-Grundy (SYG) adalah lebih stabil dari pada perkiraan variansi HT.

Karena itu sangat bermanfaat untuk mengembangkan perkiraan estimator SYG dalam metode sampling dua tahap.

Akhir-akhir ini, banyak penjelasan tentang sampling multi tahap, S¨arndal et.al, (1992) memberlakukan desain sampling di multi tahap. Misalkan π1i dan π_1ij menjadi perlakuan pertama dan kedua melingkupi peluang untuk sampel tahap pertama s1 dan π_2i|s1 dan π_2ij|s1 menjadi bersyarat dari perintah pertama dan juga perintah kedua yang melingkupi peluang untuk sampel tahap kedua s2, diberikan s1. Sebuah estimator tidak bias dari total populasi Y =P

Uyi adalah diberikan

Yˆ₂ =X

s2

y₁

π_1iπ_2i|s =X

s2

y_i

π_2i|s (1.1)

dimana ˙yi = yipi

li dan P

a dinotasikan untuk menghimpun semua unit i ∈ a.

Estimator ini disebut estimator ekspansi ganda dengan perluasan atau turunan dari estimator HT untuk sampling fase umum. S¨arndal et.al, (1992) menurunkan sebuah estimator tidak bias dari variansi ˆY₂ sebagai

v_HT ˆY₂

=X X

s2

41ij

π_ij^∗ ˙yi˙yj +X X

s2

42ij|s¹

π_ij|s1

˙y1˙yj

π_2i|s1π_2j|s1 (1.2) dimana π^∗_ij = π2ij|s1,41ij = π1ij− π1iπ_1j dan 42ij|s1 = π2ij|s1 − π2i|s1π_2j|s1

Formula (1.1) dan (1.2) dapat diperlihatkan dengan lengkap sebagai Yˆ₂ =X

s2

y_i

π_i^∗ (1.3)

Dan 4^∗

4

dimana π^∗_i = π1iπ_2i|s1dan4^∗_ij = π^∗_ij− π_i^∗π_j^∗, S¨arndal et.al, (1992).

Estimator variansi (1.4) dan (1.2) memiliki bentuk yang sama dengan esti- mator variansi HT di sampling fase tunggal. Untuk desain fase tunggal yang umum dengan pertidaksamaan yang mengandung peluang, estimator variansi yang terbaru memiliki ketidakstabilan yang tinggi dan memberikan nilai yang negatif (Rao, 1973 dan Cochran 1977). Di kasus lain, sebuah estimator varian- si alternatif, dikenal dengan estimator variansi SYG, yang memiliki kestabilan lebih dari pada estimator variansi HT lebih berguna untuk mengembangkan jenis estimator variansi SYG dengan sampling dua tahap.

S¨arndal,et.al, (1992) memperluas estimator tidak bias pada persamaan (1.1) termasuk data yang bersifat tambahan yaitu koleksi x di fase pertama menggu- nakan GREG. S¨arndal,et.al, menurunkan persamaan linier taylor (1.2). Estima- tor GREG mengkalibrasi nilai x pada estimator tahap pertama x, yang mana estimator GREG dari Y membentuk P

s2w_iy_i dengan bobot wi yang memenuhi P

s2w_ix_i = P

s1d_1ix_i. Hidroglou dan S¨arndal mengambil estimator GREG ber- dasarkan kalibrasi estimator fase pertama yang terkalibrasi seperti yang diketahui dari total x1, yaitu P

s2w_ix_i = P

s1 w_1ix_i dan P

s2w_1ix_1i = P

Ux_1i, yang juga bertujuan membentuk linierisasi estimator variansi (1.2).

Binder (2000) menyederhanakan estimator variansi HT (1.2) ketika fase per- tama membuat stratifikasi dari sampel acak yang sederhana yang distratifikasi ulang, menggunakan data tambahan, koleksi x di fase pertama dan sampel acak yang tergambar dengan tidak ada perubahan berasal dari fase kedua untuk me- nemukan y. Kott (1997) mempelajari desain fase dua tahap yang hampir sama kecuali sampel-sampel fase pertamanya dengan perubahan sampel cluster tahap pertama. Kott (1997) bertujuan mengganti bobot yang sudah ada pada daerah hasil estimator tersebut. Pada kasus umum sangatlah sulit untuk memperluas daerah hasil pada estimator double expansion dan menjadikan estimator variansi tersebut jackknife. Kott (1997) juga mendemonstrasikan metode jackknife tidak efektif untuk estimator double expansion. Lee dan Kim (2002) juga mempelajari hal yang sama kecuali sampel fase pertamanya distratifikasi oleh sampel sampel tahap tunggal tanpa ada penggantian.

5

Estimator double expansion dan estimator Reweighted adalah indentik un- tuk desain Kott (1997). Lee dan Kim (2002) mengembangkan sebuah estimator variansi Jackknife, yang diperhitungkan dalam pemecahan sampling untuk dua fase. Bagaimanapun, informasi tambahan digunakan untuk memperkirakan jum- lah total, estimator variansi biasanya melakukan perhitungan berdasarkan infor- masi sampel dua tahap. Sangatlah masuk akal ketika informasi tambahan yang cocok untuk elemen yang tidak termasuk dalam sampel fase kedua, dan dapat digunakan secara luas untuk estimator variansi sebagaimana baiknya. Dorfman 1993, Rao dan Sitter 1995, Sitter 1997 dan Axelson 1998 bertujuan untuk meng- gunakan data tambahan fase pertama di estimasi variansi.

1.2 Perumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang di atas, maka rumusan masalah yang diajukan dalam penelitian ini adalah:

1. Bagaimana peranan pola perkiraan variansi dalam penarikan sampel dengan metode sampling multi tahap?

2. Apa kelebihan metode sampling multi tahap dibandingkan terhadap metode sampling satu tahap?

1.3 Tujuan Penelitian Tujuan penelitian ini adalah:

1. Untuk mengetahui peranan pola perkiraan variansi dalam penarikan sampel dengan metode sampling multi tahap.

2. Untuk mengetahui kelebihan metode sampling multi tahap dibandingkan terhadap metode sampling satu tahap.

6

1.4 Manfaat Penelitian

Hasil penelitian ini dapat dimanfaatkan untuk perhitungan bunga tabungan dan bermanfaat bagi pembaca untuk menambah literatur tentang masalah perkiraan variansi pada metode sampling multi tahap.

1.5 Metodologi Penelitian

Adapun langkah-langkah yang dilakukan oleh penulis adalah sebagai berikut

1. Pengaturan Umum

Pada tahap ini, penulis mengevaluasi perkiraan variansi SYG untuk meng- klasifikasi sampling kedua tahap. Pada tahap pertama, sampel besar s1 pa- da ukuran n1 adalah gambaran yang sesuai dengan bentuk yang ditentukan dengan probabilitas inklusi marjinal π1i dan bersama probabilitas inkluisi π_1ij. Menggunakan kumpulan informasi tambahan sederhana pada semua unit i ∈ s1 pada sampel tahap pertama s1 menjadi tingkat G (s1), dino- tasikan dengan s1g(g = 1, · · · , G (s1)) , dengan m1g adalah anggota pada tingkat g,

P

gm_1g= n1

. Pada tahap ke dua, probabilitas s2g pada ukur- an m2g adalah gambaran dari s1g, bebas di semua g, dan memperhitungkan sifat yang menarik dari y

2. Stratifikasi Sampling Dua-Tahap

Misalkan populasi I tambahan ditingkatkan menjadi I, Uk dengan Nk ang- gota pada h − th tingkat 

PH

h=1N_h = N

. Pada tahap pertama, diam- bil sampel s1h sederhana yang bebas dari tingkat Uh tahap pertama dan mengamati variabel skalar, x, untuk i ∈ s1h, h = 1, · · · , H, dimana ukuran s_1h adalah n1h

PH

h=1n_1h = n1

. Sampel s1 = ∪^H_h=1s_1k tahap pertama di- stratifikasi ulang menjadi G tingkat ˜s_1gpada ukuran m1g

PG

h=1m_1g = n1

, menggunakan variabel tambahan x pada pengamatan tahap pertama.

3. Penarikan Sampel Tiga-Tahap

Proses sub–penarikan sampel dapat dilanjutkan dengan suatu tahap keti- ga dengan penarikan sampel sub-unit pengganti pencacahan lengkapnya.

Hasilnya adalah perluasan dari penarikan sampel dua tahap yang mudah.

7

Populasinya terdiri dari N unit tahap pertama, yang masing-masing berisi M unit tahap kedua, dimana masing-masing dari M memiliki K unit tahap ketiga. Masing-masing diambil sampelnya sebanyak n, m dan k.

BAB 2

TINJAUAN PUSTAKA

2.1 Perkiraan Variansi Tipe SYG

Perkiraan ˆY₂ tidak bias secara bersyarat untuk perkiraan tahap ˆY₁ = P

s1 ˙yi , sebagai sampel tahap pertama s1, dimana ˙yi = _π^y₁ⁱ

i = d1iyi. Sebagai contoh E( ˆY₂|s1) = ˆY₁. Karena itu, adalah tidak bias secara tidak bersyarat untuk total Y =P

Uy_i. Variansi ˆY₂ diberikan sebagai berikut:

V  ˆY₂



= Ej

V  ˆY₂|s1

k + V j

E ˆY₂|s1

k

= Ej

V  ˆY₂|s1

k+ V  ˆY₁

(2.1)

Perkiraan variansi bersyarat V  ˆY₂|s1



pada (2.1) dengan menggunakan perkiraan variansi SYG, di tentukan ukuran sampel tahap kedua adalah fix untuk s₁ (Rao, 1979). Perkiraan variansi SYG adalah sebagai berikut:

v ˆY₂|s1

=X X

i<j∈s2

π_2i|siπ_2j|s1

π2ij|s1

 ˙yi

π2i|s1

− ˙yj

π_2j|s1

2

(2.2)

Adalah tidak bias secara bersyarat untuk V  ˆY₂|s1

 dan karena itu tidak bias secara tidak bersyarat untuk Eh

V  ˆY₂|s1

i Langkah kedua dalam (2.1) diperoleh :

V  ˆY₁

=X X

i<j∈U

(π1iπ_1j− π1ij) ( ˙yi− ˙yj)² (2.3)

Dengan ukuran sampel tahap pertama adalah fix jika ukuran yi diketahui untuk semua i ∈ s1, kemudian perkiraan variansi SYG dari V  ˆY₁

adalah sebagai berikut:

v ˆY₁

=X X

i<j∈s¹

π_1iπ_1j− π1ij

π_1ij ( ˙yi− ˙yj)² (2.4)

8

9

Tetapi y1 hanya diketahui untuk i ∈ s2 karena perkiraan (2.4) merupakan sampel tahap kedua s2 untuk memperoleh:

v₂ ˆY₁

=X X

i<j∈s2

π_1iπ_1j− π1ij

π_1ijπ_2ij|s1 ( ˙yi− ˙yj)² (2.5)

Perkiraan variansi (2.5) adalah tidak bias untuk V  ˆY₁

. Oleh karena itu dari (2.1) perkiraan bias pola SYG dari V  ˆY₁

ditunjukkan oleh:

v_{SY G} ˆY₂

= v ˆY₂|s1

+ v2 ˆY₁

(2.6) dimana v ˆY₂|s1

dan v2 ˆY₁

ditunjukkan oleh (2.2) dan (2.5) secara berurutan.

Untuk menggambarkan analogi tahap tunggal SYG, perkiraan pola SYG adalah V  ˆY₂

, tetapi rumus untuk V  ˆY₂|s1

terlihat tidak tepat karena meng- gunakan ( ˙yi− ˙yj)² berdasarkan bentuk yang tepat 

˙ y1

π2i|s1 − _π ^˙yj

2j|s1

2

diberikan di persamaan (2.2).

Type-type dari perkiraan variansi HT, vHT ˆY₂

adalah valid untuk kedua tahap variansi dan tidak fix pada pembuatan pola sampel yang tidak sejenis de- ngan type perkiraan variansi SYG (2.6). Bagaimanapun, perkiraan variansi SYG memberikan hasil yang valid untuk banyak pola dua tahap, dan analogi untuk ka- sus tahap umum dapat lebih stabil untuk perkiraan variansi HT dan memberikan hasil tidak negatif untuk beberapa pola yang dikenal dengan bentuk probability proportional to size (PPS). Rao (1973) memberikan bukti nyata bahwa perkiraan variansi SYG adalah lebih bagus dari perkiraan variansi HT untuk sampling tahap umum.

2.2 Pengaturan Umum

Di bagian ini, penulis mengevaluasi estimator variansi SYG (2.6) untuk sampling dua tahap untuk proses stratifikasi. Di tahap pertama, sebuah sampel yang be- sar s1 dengan ukuran n1 di buat berdasarkan desain yang ditentukan termasuk perihal batasan peluang π1i dan peluang yang berhubungan π1ij. Menggunakan informasi yang terkumpul untuk unit i ∈ s , sampel tahap pertama s distrati-

10

di strata g, P

gm_1g = n1



. Di tahap kedua, sebuah sampel peluang s2g dengan ukuran m2g dibentuk dari s1g, bebas terhadap zg, dan sifat dari keuntungan, y, telah tercatat. Angka dari strata tahap kedua G (s1) dan ukuran sampel m1g

dan m2g tergantung pada s1, meskipun G (s1) mungkin dapat didefinisikan ter- lebih dahulu, sebagai contoh, G (s1) ∞G. Sebagai kesederhanaan notasi, penulis menyederhanakan persamaan yang tergantung pada s1.

Yang penting diperhatikan adalah π_2ij|s1 = π_2i|s1π_2j|s1 jika i ∈ s1gdan j ∈ s1g

dan j ∈ s1l(g 6= l), v ˆY₂|s1

dapat menjadi

V  ˆY₂|s1

=

G

X

g=1

X

i<j∈s2g

X42ij|s1g

 ˙yi

π_2i|s1g

− ˙yj

π_2j|s1g

2

(2.7)

dimana

42ij|s1g = π_2i|s1gπ_2j|s1g − π2ij|s1g

π_2ij|s1g

(2.8)

Persamaan (2.7) dapat digunakan untuk sampling tahap kedua tanpa strata dengan peluang yang bersifat bersyarat π2i|s1g dan π2ij|s1g memenuhiP

s1π_2i|s1g

diperlukan untuk menyelesaikan s1yang diberikan. Di kasus khusus dari sampling random yang sederhana tanpa strata tahap kedua, diperoleh bahwa π2i|s1g = ^m_m^2g₁

g

dan π2ij|s1g= _bm^m2g(m1g−1)

1g(m1g−1)c dan persamaan (3.1) disederhanakan menjadi v ˆY₂|s1

=

G

X

g=1

m²_1g 1 − f2g

m_2g

  1 m_2g− 1

 X

i<j∈s2g

X( ˙yi− ˙yj)² (2.9)

dimana f2g = ^m_m²₁^g

g

Sekarang menggunakan identitas Langrange

m

X

i<j=1

X(zi− zj)² = m

m

X

i

= 1 (zi− ¯z)² (2.10)

Persamaan (2.3) disederhanakan menjadi

v ˆY₂|s1

=

G

X

g=1

 1 − f_2g m_2g

 m²_1g

 1

m_2g− 1



Sˆ_{2g ˙y}² (2.11)

dimana ˆS_{2g ˙y}² adalah rata rata kuadrat dari sampel yang ada, dari pembobotan tahap pertama ˙yi = _π^yi

i untuk i ∈ s2g. Komponen kedua dari estimator variansi

11

HT (1.2), menggunakan sampling acak yang sederhana tanpa strata tahap kedua, menghasilkan nilai yang sejalan dengan persamaan (2.5), formula dari S¨arndal et.al,. Komponen v2 ˆY₁

di estimator variansi SYG (2.6) berdasarkan sampling random yang sederhana tanpa strata tahap kedua, menyederhanakan persamaan tersebut menjadi

v₂ ˆY₁

=

G

X

g=1

m_1g(m1g− 1) m_2g(m2g− 1)

X

i<j∈s2g

X41ij( ˙yi− ˙yj)²

+

G

X

g<l=1

Xm_1gm_1l m_2gm_2l

X

i∈s2g

X

j∈s2l

41ij( ˙yi− ˙yj)²

=v₂⁽¹⁾ ˆY₁

+ v₂⁽²⁾ ˆY₁

(2.12)

dimana

41ij = π_1iπ_1j− π1ij

π_1ij (2.13)

Untuk penyederhanaan lebih lanjut yang mungkin untuk menggeneralisasi- kan tahap pertama dengan peluang π1i dan p1ij.

Contoh: Jika sampel tahap pertama s1 dengan ukuran n1 dipilih dengan sam- pling acak sederhana dari sebuah populasi U dengan N, selanjutnya π1i= ⁿ_N¹, π_1ij =

n1(n1−1)

[N (N −1)] dan 41ij = _(n^(1−f₁₋₁₎¹⁾. Estimator kedua tahap ˆY₂ disederhanakan menjadi NP

gW_1gy¯_2g dimana ¯y_2g = m⁻¹₂ P

s2gy_i . Menggunakan identitas

Langrange dan nilai π1i dan π1ij, di atas, komponen pertama di persamaan (2.6) disederhanakan menjadi

v₂⁽¹⁾ ˆY₁

= N²(1 − f1) n₁

G

X

g=1

w_1g(m1g− 1)

n₁− 1 Sˆ_2gy² (2.14)

dimana ˆS_2gy² adalah rata – rata kuadarat dari sampel y − 1 untuk i ∈ S2.

12

Komponen yang kedua dari persamaan (2.6) disederhanakan menjadi v₂⁽²⁾ ˆY₁

=N²(1 − f1) n²₁(n1− 1)

"

1 2

G

X

g=1 G

X

l=1

m_1gm_1l m_2gm_2l X

i∈s2g

X

i∈s2l

(yi− yj)²−

G

X

g=1

m²_1gm_2g− 1 m_2g Sˆ_2gy²





=N²(1 − f1) n₁

" _G X

g=1

n₁− m1g

n₁− 1 n₁Sˆ_2gy² + n₁

n₁− 1

G

X

g=1

w_1g(¯y_2g− ¯y_2a)²

#

(2.15)

dimana ¯y_2a = ^Yˆ_N² = PG

g=1w_1gy¯_2g. Hasil penjumlahan dari (2.14) dan (2.15), v₂ ˆY₁

ditunjukkan sebagai

v₂ ˆY₁

=

G

X

g=1

(1 − δg) w1gSˆ_2gy² + n₁ n₁ − 1

G

X

g=1

w_1g(¯y_2g− ¯y_2a)² (2.16) dimana δg = _m¹₂

g

n1−m1g

n1−1

S¨arndal et.al, (1992) menyederhanakan komponen pertama dari estimator variansi HT(1.2) untuk kasus spesial dari sampling acak sederhana di tahap perta- ma (tanpa memberikan detailnya) untuk menghasilkan (2.16). Formula ini sejalan dengan persamaan v2 ˆY₁

yang dihasilkan oleh persamaan (2.15).

2.3 Penarikan Sampel Dua-Tahap

Misalkan bahwa setiap unit dalam populasi dapat dibagi ke dalam sejumlah unit-unit atau subunit yang lebih kecil. Sebuah sampel dari n unit dipilih. Jika subunit dalam unit yang dipilih memberikan hasil yang sama, hal ini kelihatan- nya tidak ekonomis untuk mengukur sebuah sampel dari subunit dalam setiap unit yang dipilih. Teknik ini disebut subpenarikan sampel, karena unitnya tidak diukur dengan lengkap, tetapi diambil sampelnya. Nama lain, yang berhubungan dengan Mahalanobis, adalah penarikan sampel dua tahap, karena sampelnya di- ambil dalam dua tahap. Tahap pertama memilih sebuah sampel dari unti-unit utama dan tahap kedua memilih sebuah sampel dari unit-unit dari tahap kedua atau subunit dari setiap unit utama yang dipilih.

13

Subpenarikan sampel dapat diterapkan secara luas melebihi cakupan survei sampel. Kapan saja suatu proses yang mencakup pengujian secara kimia, fisika atau biologi dapat dilaksanakan dengan jumlah material yang kecil, yang lebih disukai dengan mengambilnya sebagai sebuah subsampel dari suatu jumlah yang besar yang mana jumlah itu sendiri adalah sebuah sampel.

Pertimbangan sederhana, yang setiap unit terdiri dari M subunit yang sama, m dipilih bila setiap unit subsampel. Sebuah penyajian secara skema dari pe- narikan sampel dua tahap, dimana M = 9 dan m = 2, ditunjukkan dalam gambar (2.1) berikut.

Gambar 2.1 Gambar secara skema dari penarikan sampel (N=81, n=5, M=9 dan m=2)

Keuntungan utama dari penarikan sampel dua tahap adalah bahwa cara ini lebih fleksibel dari penarikan sampel satu tahap. Ini mengurangi penarikan sampel satu tahap bila m = M, kecuali ini adalah pilihan terbaik dari m, kita mempun- yai kesempatan mengambil beberapa nilai yang lebih kecil yang kelihatan lebih efisien. Seperti biasa, persoalan ini mengurangi keseimbangan antara ketelitian secara statistik dan biaya. Bila subunit dalam unit yang sama sangat dekat, pertimbangan-pertimbangan ketelitian membutuhkan satu nilai m yang kecil.

Di lain pihak, hal ini kadang-kadang hampir semahal mengukur keseluruhan unit sebagai suatu subsampelnya, sebagai contoh bila unit itu adalah sebuah rumahtangga dan seorang responden dapat memberikan data yang tepat mengenai

14

Misalkan populasi U adalah populasi U adalah populasi yang distratifikasi dengan menggunakan strata H, Uh dengan Nh adalah anggota di tahap ke h − th

PH

h=1N_h = N

. Di dalam tahap pertama, digunakan contoh s1h sederhana dari tahap pertama strata Uh dan menyelidiki sebuah variabel skalar x untuk i ∈ s_1h, h = 1, · · · , H, dimana ukuran s1h adalah n1h

PH

h=1n_1h = n1

. Kemudian dilakukan stratifikasi ulang sampel y dengan s1 = ∪^H_h=1s_1hke dalam G tahapan ˜s_1g dengan populasi m1g

PG

g=1m_1g = n1



, menggunakan vaiabel tambahan untuk diselidiki di tahap pertama, sampel acak sederhana s2g dengan populasi m2g dan kemudian diambil secara acak dari strata kedua ˜s_1g(g = 1, · · · , G).

Untuk gambaran diatas, π1i= ⁿ_N^1h

h jika i ∈ s1h dengan i 6= j,

π_1ij =







n_1h(n1h− 1)

N_h(Nh− 1) jika i 6= j ∈ s1h

n_1hn_1k

N_hN_k jika i ∈ s1h, j ∈ s1k, h6= k

(2.17)

Estimator fase kedua ˆY₂ dapat disederhanakan menjadi Yˆ₂ =

H

X

h=1

N_h n_1h

G

X

g=1

m_1g m_2g

X

i∈s2gh

y_i (2.18)

dimana s2gh = s1hs_2g, dengan catatan bahwa beberapa s^,_2ghs mungkin kosong, di beberapa kasus penggunaan P

i∈s2ghy_i menjadi nol di persamaan (2.2).

Beralih ke permasalahan estimasi variansi, komponen v( ˆY₂|s1) diberikan oleh (2.5) dengan ˙y1 = y1(_n^Nh

1h) jika i ∈ s1h. Untuk mengevaluasi v2 ˆY₁

diberikan oleh persamaan (2.6), dibutuhkan nilai41ij. Dengan menggunakan (2.3), diperoleh

41ij =







1 − f1h

n_1h− 1 jika ij ∈ ˜s_2h

= 0 jika i ∈ ˜s_2h, j ∈ ˜s_2k, h6= k

(2.19)

dimana ˜s_2h= ∪gs_2gh dan f1h= ⁿ_N^1h

h.

Substiusi yang dilakukan pada batas atas 41ij di persamaan (2.6), kompo- nen pertama v⁽¹⁾₂  ˆY₁

disederhanakan menjadi

v₂⁽¹⁾ ˆY₁

=

G

X

g=1

m_1g(m1g− 1) m_2g(m2g− 1)

X

h=Ag

 N_h n_1h

2

1 − f1h

n_1h− 1 X

i<j∈s2gh

X(yi− yj)² (2.20)

15

dimana Ag adalah himpunan dari strata h fase pertama dengan menggunakan paling sedikit dua unit di s2gh, untuk sisa strata fase pertama tidak memberikan kontribusi v⁽¹⁾₂  ˆY₁

, menggunakan identitas Langrange (2.4), menggunakan (2.7) mereduksi persamaan menjadi

v⁽¹⁾₂  ˆY₁

=

G

X

g=1

m_1g(m1g− 1) m_2g(m2g− 1)

X

h∈Ag

 Nh

n_1h

2

1 − f1h

n_1h− 1m_2gh(m2gh− 1) ˆS_2ghy² (2.21) dimana mgh adalah banyaknya unit s2gh dan ˆS_2ghy² adalah kuadrat sampel rata- rata dari nilai yi untuk i ∈ S2gh.

Dapat dituliskan bahwa v⁽²⁾₂  ˆY₁

sebagai gambaran dari

v₂⁽²⁾ ˆY₁

=

G

X

g<l

m_1g(m1l) m_2g(m2l)

X

h∈∪2gl

 Nh

n_1h

2

1 − f1h

n_1h− 1





 X

i∈s2gh

X

j∈s2lh

(yi− yj)²







(2.22)

dimana ∪2gl adalah himpunan strata h fase pertama dengan paling sedikit satu unit di kedua s2gh dan s2gl. Untuk kesederhanaan dari persamaan (2.10) adalah tidak mungkin sederhana tanpa memenuhi m2gh ≥ 2 untuk semua (gh). Tipe variansi estimator SYG, v ˆY₂

, sekarang diberikan oleh perpaduan persamaan (2.5), (2.15) dan (2.16), dan selalu menghasilkan angka yang tidak negatif.

Sekarang gunakan kasus spesial m2gh ≥ 2 untuk semua (gh). Di kasus v⁽¹⁾₂  ˆY₁

diberikan oleh (2.15) dengan P Ag berubah menjadiPH

h=1 Untuk lebih jauh dapat ditulis bahwa v₂⁽²⁾ ˆY₁

sebagai gambaran dari

v₂⁽²⁾ ˆY₁

=1 2

G

X

g=1 G

X

l=1

m_1gm_1l m_2gm_2l

X

i∈s2gh

X

j∈s2lh

( ˙yi− ˙yj)²

−

G

X

g=1

 m1g

m_2g

2

4lij

X

i<j∈s2g

X( ˙yi− ˙yj)²

=I − II

(2.23)

Mengikuti langkah yang digunakan untuk mendapatkan persamaan (2.15), dipe- roleh

G  m 2 H

 N 2

1 − f

16

Kombinasi dari (2.15) dengan (2.18), diperoleh

v₂⁽²⁾ ˆY₁

− II =

G

X

g=1

 m_1g m_2g

2

1 − f2g

m_2g− 1

H

X

h=1

 Nh

n_1h

2

1 − f1h

n_1h− 1m_2gh(m2gh− 1) ˆS_2ghy²

(2.25)

Kedalam bentuk I pada (2.17), dapat ditulis

I =

H

X

h=1

N_h²1 − f1h

n²_1hn_1h− 1





 1 2

G

X

g=1 G

X

l=1

m_1gm_1l m_2gm_2l

X

i∈s2gh

X( ˙yi− ˙yj)²







(2.26)

dimana

ˆ n_1h =

G

X

g=1

m_1g

m_2gm_2ghdan ¯y_ah = ˆn⁻¹_1h

G

X

g=1

m_1g m_2g

m2gh

X

k=1

yk

!

(2.27)

Estimator variansi v ˆY₂

sekarang diberikan dengan menjumlahkan per- samaan (2.5), (2.12) dan (2.13). Estimator variansi HT dari Binder et.al, (2000) diturunkan dari persamaan (1.2), adalah berbeda dari hasil v ˆY₂

, tetapi v ˆY₂

|s1

yang dihasilkan dari persamaan (2.5) adalah sejenis dengan formula yang ditemukan Binder et.al, Perumusan Binder et.al, (2000) tersebut berkores- pondensi dengan persamaan (2.19) yang diberikan

G

X

g=1

= m_1g m_2g

2

1 − f2g

m_2g− 1

L

X

h=1

 Nh

n_1h

2

1 − f1h

n_1h− 1m_2g



(m2gh− 1) S_2ghy² + m2gh



1 −m_2gh m_2g



¯ y_2gh²



(2.28)

dimana ¯y_2gh adalah rata-rata dari y untuk s2gh. Persamaan Binder et.al, (2000) berkorespondensi dengan persamaan (2.13) di berikan

H

X

h=1

=N_h² n²_1h

1 − fh

n_1h− 1

" _G X

g=1

m²_1g m_2g

 1 − f2g

m_2g− 1 m_2gh

m_2g

m2gh

X

i=1

(yi− ¯y_ah)²+ ˆn_1h

 nˆ_1h n_1h− 1



¯ y_ah²

# (2.29)

17

Estimasi variansi Binder et.al, (2000) sekarang diberikan dengan menjum- lahkan (2.5), (2.12) dan (2.13). Dengan catatan bahwa bentuk 

ˆ n1h

n1h − 1

dapat menghasilkan positif atau negatif.

2.4 Penarikan Sampel Tiga-Tahap

Misalkan yiju adalah nilai yang diperoleh untuk unit ke-u tahap ketiga pada unit ke-j tahap kedua diambil dari unit utama ke-i. Rata-rata unit yang sesuai popu- lasi per-unit ketiga adalah

Y¯_ij = Σ^K_uy_iju

K , ¯Y¯ = Σ^M_j Σ^K_uyiju

M K ,¯¯¯Y = Σ^N_i Σ^M_j Σ^K_uyiju

N M K (2.30)

Varians populasi yang dibutuhkan:

S₁² = PN

i  ¯¯Yi− ¯¯¯Y ² N − 1 S₂² =

PN

i Σ^M_j  ¯Yij − ¯¯Yi

2

N(M − 1)

S₃² = PN

i Σ^M_j Σ^K_u 

Y¯ijk− ¯¯Yi

2

N M(K − 1)

Jika penarikan sampel acak sederhana digunakan pada ketiga tahap, rata- rata sampel ¯¯¯Y per-unit tahap ketiga adalah suatu perkiraan yang tidak bias dari Y¯¯¯, dengan varians

v

¯¯¯Y  = 1 − f¹

n S₁²+1 − f2

nm S₂²+ 1 − f3

nmk S₃² (2.31)

dimana f1 = _Nⁿ, f₂ = _M^m, f₃ = _K^k adalah fraksi penarikan sampel pada tahap ketiga. Selanjutnya :

¯¯¯y − ¯¯¯Y = ¯¯¯y − ¯¯¯Ynm

 ¯¯¯Ynm− ¯¯¯Yn

+

¯¯¯Yn−Y¯¯¯

(2.32) dimanaY¯¯¯_nmadalah rata-rata populasi nm unit tahap kedua yang telah dipilih dan Y¯¯¯_n adalah rata-rata populasi n unit utama yang telah dipilih. Bila dikuadratkan

18

Kontribusi dari bentuk yang telah dikuadratkan akan menjadi:

E ¯¯¯y − ¯¯¯Ynm

2

= 1 − f3

nmk S₃² E

¯¯¯Y_nm−Y¯¯¯_n2

= 1 − f2

nm S₂² E

Y¯¯¯_n− ¯¯¯Y ² = 1 − f1

n S₁²

Bila ketiga bentuk tersebut dijumlahkan, teorema diatas diperoleh suatu perkiraan tidak bias pada V (¯¯¯Y ) dari samplenya

vY¯¯¯

= 1 − f1

n S₁² +f₁(1 − f2)

nm S₂²+ f₁f₂(1 − f3)

nmk S₃² (2.33) dimana S₁², S₂², S₃² adalah perkiraan varians sampel dari S₁², S₂², S₃². Hal ini dapat dibuktikan dengan menunjukkan

E(S₁²) = S₁²+ 1 − f2

m S₂²+1 − f3

mk S₃² E(S₂²) = S₂²+ 1 − f3

k S₃²

(2.34)

dan E(S₃²) = S₂². Untuk mendapatkan hasil yang pertama, misalkan ¯¯y_ik menya- takan rata-rata m unit tahap kedua pada unit utama ke-i, dengan syarat bahwa seluruh K elemen telah dihitung pada tahap ketiga. Misalkan ¯¯¯y_K adalah rata-rata dari n nilai ¯¯y_ik. Maka penarikan sampel dua tahap menjadi

E

"Pn ¯¯y_iK − ¯¯¯y_K
2

n− 1

#

= S₁² +1 − f2

m S₂² (2.35)

Sekarang bila ¯¯y_i adalah rata-rata sampel untuk unit utama ke-i menjadi

¯¯y_i − ¯¯¯y
= ¯¯y_iK − ¯¯¯y_K
+ (¯¯y_i− ¯¯y_iK) − ¯¯¯y− ¯¯¯y_K


(2.36)

Dengan diawali merata-ratakan seluruh sampel yang mana unit-unit tahap pertama dan tahap kedua tetap, dapat ditunjukkan bahwa:

1 n− 1E

n

X (¯¯y_i− ¯¯y_iK) − ¯¯¯y− ¯¯¯y_K
2

= (1 − f3)S₃²

mk (2.37)

dan bahwa produk silang dari (2.11) tidak bisa memberikan kontribusi apa-apa.

Ini membentuk hasil E(s²₁). Untuk E(s²₂) didapat dengan cara yang sama.

19

Oleh karena itu, Ev ¯¯¯y
 =1 − f1

n



S₁²+ 1 − f2

m S₂²+1 − f3

mk S₃²



+ f₁(1 − f2) nm



S₂²+ 1 − f3

k S₃²



+f₁f₂(1 − f3) nmk S₃²

=1 − f1

n S₁²+1 − f2

nm S₂²+1 − f3

nmk S₃²

=V (y)

(2.38)

Seperti dengan penarikan sampel dua tahap, hal ini hal ini jelas dari (2.33), bahwa jika f1 diabaikan v ¯¯¯y
menjadi

v ¯¯¯y
= S₁² n =

Pn

(¯¯y_i− ¯¯y)²

n(n − 1) (2.39)

Perkiraan ini konservatif bila f1 tidak diabaikan. Dengan sebuah fungsi biaya dari bentuk

C = c1n+ c2nm+ c3nmk (2.40)

Nilai k dan m optimum adalah

kopt = s₃ qS2²−S3²

K

r c₂

c₃, mopt =

qS2²−S3²

K

qS1²−S3²

M

c₁

c₂ (2.41)

Perluasan hasil ini dalam bagian ini untuk penambahan tahap penarikan sampel akan lebih jelas dari struktur rumusnya.

BAB 3

ESTIMASI VARIANSI DALAM SAMPLING MULTI TAHAP

Data tambahan yang digunakan mungkin berasal dari sumber-sumber yang berbe- da dalam sampling dua tahap. Dianggap kasus di mana tersedia data tambahan dari rangkaian U, serta dari sampel tahap pertama s1. Data tambahan yang tersedia dari U dinotasikan sebagai x1i, sedangkan data yang tersedia dari sampel tahap pertama s1 dinotasikan sebagai x2i. Vektor data tambahan xi = (x⁰_1ix⁰_2i)⁰ berisi data dari U dan s1 keduanya. Data (yi, x⁰_i) dikumpulkan dengan menggu- nakan sampel dari tahap kedua s2. Perkiraan regresi ˆY_2,REG dari total Y yang menggabungkan data tambahan dari kedua tahap memberikan

Yˆ_2,REG= ˆY₂+ (X1,1− ˆX_1,1) ˆB₁ + ( ˆX₁− ˆX₂) ˆB₂ (3.1)

Dipersamaan (3.1), ˆY₂ = ^Σs2_π∗^yi

i , X1,1 = ΣUx_1i adalah kumpulan dari penam- bahan data x1i yang dapat digunakan yang berasal dari U dan ˆX_1,1 = ^Σs1_π^x1i

1i , ˆX₁ =

Σs1x1

π1i dan ˆX₂^Σs1_π∗^x1i

1i . Vektor ˆB₁ dan ˆB₂ diestimasikan dengan Bˆ₁ = Σs2x_i1x⁰_i1

λ_i1π_i^∗

−1

Σs2x_1iy_i λ_1iπ_i^∗ dan

Bˆ₂ = Σs2x_ix⁰_i λ_iπ_i^∗

−1

Σs2x_iy_i λ_iπ_i^∗

Konstanta yang diketahui λ1i dan λi adalah factor dari perhitungan dan bentuk yang berbeda dari estimator regresi total data. Sebagai contoh jika data tambahan xi diketahui hanya untuk i ∈ s1 dan λi adalah proporsional ke xi, kemudian (3.1) mengurangi estimator rasio dua tahap ˆY_2,RAT = ˆY₂_ˆ

X1

Xˆ2



Hasil dari estimasi variansi dapat diterima untuk ˆY_2,REG dengan melinear- kannya terlebih dahulu. Selanjutnya, selisih antara ˆY_2,REG dengan Y adalah

Yˆ_2,REG− Y = ( ˆY₂− Y ) + (X1,1− ˆX_1,1)⁰Bˆ₁ + (X − ˆX₂)⁰Bˆ₂+ ( ˆX₁− X)⁰Bˆ₂ (3.2)

20