BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA

(1)

TINJAUAN PUSTAKA

2.1 Perkiraan Variansi Tipe SYG

Perkiraan ˆY2 tidak bias secara bersyarat untuk perkiraan tahap ˆY1 = Ps1 ˙yi ,

sebagai sampel tahap pertama s1, dimana ˙yi = _πy₁i

i = d1iyi. Sebagai contoh

E( ˆY₂|s1) = ˆY1. Karena itu, adalah tidak bias secara tidak bersyarat untuk total

Y =P

Uyi. Variansi ˆY2 diberikan sebagai berikut:

V ˆY2 = EjV ˆY2|s1 k + V jE ˆY2|s1 k = EjV ˆY₂|s1 k + V ˆY₁ (2.1)

Perkiraan variansi bersyarat V ˆY₂|s1

pada (2.1) dengan menggunakan perkiraan variansi SYG, di tentukan ukuran sampel tahap kedua adalah fix untuk s1 (Rao, 1979). Perkiraan variansi SYG adalah sebagai berikut:

Adalah tidak bias secara bersyarat untuk V ˆY₂|s1

dan karena itu tidak bias secara tidak bersyarat untuk EhV ˆY2|s1

i Langkah kedua dalam (2.1) diperoleh :

V ˆY1

=X X

i<j∈U

(π1iπ1j− π1ij) ( ˙yi− ˙yj)2 (2.3)

Dengan ukuran sampel tahap pertama adalah fix jika ukuran yi diketahui

untuk semua i ∈ s1, kemudian perkiraan variansi SYG dari V ˆY1

adalah sebagai berikut: v ˆY₁=X X i<j∈s1 π1iπ1j− π1ij

π_1ij ( ˙yi− ˙yj)

2 _(2.4)

(2)

Tetapi y1 hanya diketahui untuk i ∈ s2 karena perkiraan (2.4) merupakan

sampel tahap kedua s2 untuk memperoleh:

v2 ˆY1 =X X i<j∈s2 π1iπ1j− π1ij π1ijπ2ij|s1 ( ˙yi− ˙yj)2 (2.5)

Perkiraan variansi (2.5) adalah tidak bias untuk V ˆY₁. Oleh karena itu dari (2.1) perkiraan bias pola SYG dari V ˆY1

ditunjukkan oleh: vSY G ˆY2 = v ˆY₂|s1 + v2 ˆY1 (2.6) dimana v ˆY2|s1 dan v2 ˆY1

ditunjukkan oleh (2.2) dan (2.5) secara berurutan. Untuk menggambarkan analogi tahap tunggal SYG, perkiraan pola SYG adalah V ˆY₂, tetapi rumus untuk V ˆY₂|s1

terlihat tidak tepat karena meng-gunakan ( ˙yi− ˙yj)2 berdasarkan bentuk yang tepat

˙ y1 π2_i|s1 − ˙yj π2_j|s1 2 diberikan di persamaan (2.2).

Type-type dari perkiraan variansi HT, vHT ˆY2

adalah valid untuk kedua tahap variansi dan tidak fix pada pembuatan pola sampel yang tidak sejenis de-ngan type perkiraan variansi SYG (2.6). Bagaimanapun, perkiraan variansi SYG memberikan hasil yang valid untuk banyak pola dua tahap, dan analogi untuk ka-sus tahap umum dapat lebih stabil untuk perkiraan variansi HT dan memberikan hasil tidak negatif untuk beberapa pola yang dikenal dengan bentuk probability proportional to size (PPS). Rao (1973) memberikan bukti nyata bahwa perkiraan variansi SYG adalah lebih bagus dari perkiraan variansi HT untuk sampling tahap umum.

2.2 Pengaturan Umum

Di bagian ini, penulis mengevaluasi estimator variansi SYG (2.6) untuk sampling dua tahap untuk proses stratifikasi. Di tahap pertama, sebuah sampel yang be-sar s1 dengan ukuran n1 di buat berdasarkan desain yang ditentukan termasuk

perihal batasan peluang π1i dan peluang yang berhubungan π1ij. Menggunakan

informasi yang terkumpul untuk unit i ∈ s1, sampel tahap pertama s1

(3)

di strata g,P

gm1g = n1

. Di tahap kedua, sebuah sampel peluang s2g dengan

ukuran m2g dibentuk dari s1g, bebas terhadap zg, dan sifat dari keuntungan, y,

telah tercatat. Angka dari strata tahap kedua G (s1) dan ukuran sampel m1g

dan m2g tergantung pada s1, meskipun G (s1) mungkin dapat didefinisikan

ter-lebih dahulu, sebagai contoh, G (s1) ∞G. Sebagai kesederhanaan notasi, penulis

menyederhanakan persamaan yang tergantung pada s1.

Yang penting diperhatikan adalah π2ij|s1 = π2i|s1π2j|s1 jika i ∈ s1gdan j ∈ s1g

Persamaan (2.7) dapat digunakan untuk sampling tahap kedua tanpa strata dengan peluang yang bersifat bersyarat π2i|s1g dan π2ij|s1g memenuhiPs1π2i|s1g

diperlukan untuk menyelesaikan s1yang diberikan. Di kasus khusus dari sampling

random yang sederhana tanpa strata tahap kedua, diperoleh bahwa π2i|s1g = m2g

m1g

dan π2ij|s1g= _bmm2g_1g(m_(m1g_1g−1)_−1)c dan persamaan (3.1) disederhanakan menjadi

v ˆY2|s1 = G X g=1 m2_1g 1 − f2g m2g 1 m2g− 1 X i<j∈s2g X ( ˙yi− ˙yj)2 (2.9) dimana f2g = m 2g m1g

Sekarang menggunakan identitas Langrange

m X i<j=1 X (zi− zj)2 = m m X i = 1 (zi− ¯z)2 (2.10)

Persamaan (2.3) disederhanakan menjadi

v ˆY₂|s1 = G X g=1 1 − f2g m2g m2_1g 1 m2g− 1 ˆ S_{2g ˙y}2 (2.11)

dimana ˆS_{2g ˙y}2 adalah rata rata kuadrat dari sampel yang ada, dari pembobotan tahap pertama ˙yi = _πyi

(4)

HT (1.2), menggunakan sampling acak yang sederhana tanpa strata tahap kedua, menghasilkan nilai yang sejalan dengan persamaan (2.5), formula dari S¨arndal et.al,. Komponen v2 ˆY1

di estimator variansi SYG (2.6) berdasarkan sampling random yang sederhana tanpa strata tahap kedua, menyederhanakan persamaan tersebut menjadi v2 ˆY1 = G X g=1 m1g(m1g− 1) m_2g(m2g− 1) X i<j∈s2g X

41ij( ˙yi− ˙yj)2

+ G X g<l=1 Xm_1gm_1l m2gm2l X i∈s2g X j∈s2l

41ij( ˙yi− ˙yj)2

=v₂(1) ˆY1 + v₂(2) ˆY1 (2.12) dimana 41ij = π_1iπ_1j− π1ij π1ij (2.13)

Untuk penyederhanaan lebih lanjut yang mungkin untuk menggeneralisasi-kan tahap pertama dengan peluang π1i dan p1ij.

Contoh: Jika sampel tahap pertama s1 dengan ukuran n1 dipilih dengan

sam-pling acak sederhana dari sebuah populasi U dengan N, selanjutnya π1i= n_N1, π1ij = n1(n1−1)

[N (N −1)] dan 41ij = (1−f1)

(n1−1). Estimator kedua tahap ˆY2 disederhanakan menjadi

NP gW1gy¯2g dimana ¯y2g = m −1 2 P s2gyi . Menggunakan identitas

Langrange dan nilai π1i dan π1ij, di atas, komponen pertama di persamaan (2.6)

disederhanakan menjadi v₂(1) ˆY1 = N 2_{(1 − f} 1) n₁ G X g=1 w1g (m1g− 1) n₁− 1 Sˆ 2 2gy (2.14)

(5)

Komponen yang kedua dari persamaan (2.6) disederhanakan menjadi v₂(2) ˆY₁=N 2_{(1 − f} 1) n2 1(n1− 1) " 1 2 G X g=1 G X l=1 m1gm1l m_2gm_2l X i∈s2g X i∈s2l (yi− yj)2− G X g=1 m2_1gm2g− 1 m2g ˆ S_2gy2   =N 2_{(1 − f} 1) n1 " _G X g=1 n1− m1g n1− 1 n1Sˆ2gy2 + n1 n₁− 1 G X g=1 w1g(¯y2g− ¯y2a)2 # (2.15)

dimana ¯y2a = Yˆ_N2 = PG_g=1w1gy¯2g. Hasil penjumlahan dari (2.14) dan (2.15),

v2 ˆY1 ditunjukkan sebagai v2 ˆY1 = G X g=1 (1 − δg) w1gSˆ2gy2 + n1 n1 − 1 G X g=1 w1g(¯y2g− ¯y2a)2 (2.16) dimana δg = _m1₂ g n1−m1g n1−1

S¨arndal et.al, (1992) menyederhanakan komponen pertama dari estimator variansi HT(1.2) untuk kasus spesial dari sampling acak sederhana di tahap perta-ma (tanpa memberikan detailnya) untuk menghasilkan (2.16). Formula ini sejalan dengan persamaan v2 ˆY1

yang dihasilkan oleh persamaan (2.15).

2.3 Penarikan Sampel Dua-Tahap

Misalkan bahwa setiap unit dalam populasi dapat dibagi ke dalam sejumlah unit-unit atau subunit yang lebih kecil. Sebuah sampel dari n unit dipilih. Jika subunit dalam unit yang dipilih memberikan hasil yang sama, hal ini kelihatan-nya tidak ekonomis untuk mengukur sebuah sampel dari subunit dalam setiap unit yang dipilih. Teknik ini disebut subpenarikan sampel, karena unitnya tidak diukur dengan lengkap, tetapi diambil sampelnya. Nama lain, yang berhubungan dengan Mahalanobis, adalah penarikan sampel dua tahap, karena sampelnya di-ambil dalam dua tahap. Tahap pertama memilih sebuah sampel dari unti-unit utama dan tahap kedua memilih sebuah sampel dari unit-unit dari tahap kedua atau subunit dari setiap unit utama yang dipilih.

(6)

Subpenarikan sampel dapat diterapkan secara luas melebihi cakupan survei sampel. Kapan saja suatu proses yang mencakup pengujian secara kimia, fisika atau biologi dapat dilaksanakan dengan jumlah material yang kecil, yang lebih disukai dengan mengambilnya sebagai sebuah subsampel dari suatu jumlah yang besar yang mana jumlah itu sendiri adalah sebuah sampel.

Pertimbangan sederhana, yang setiap unit terdiri dari M subunit yang sama, m dipilih bila setiap unit subsampel. Sebuah penyajian secara skema dari pe-narikan sampel dua tahap, dimana M = 9 dan m = 2, ditunjukkan dalam gambar (2.1) berikut.

Gambar 2.1 Gambar secara skema dari penarikan sampel (N=81, n=5, M=9 dan m=2)

Keuntungan utama dari penarikan sampel dua tahap adalah bahwa cara ini lebih fleksibel dari penarikan sampel satu tahap. Ini mengurangi penarikan sampel satu tahap bila m = M, kecuali ini adalah pilihan terbaik dari m, kita mempun-yai kesempatan mengambil beberapa nilai yang lebih kecil yang kelihatan lebih efisien. Seperti biasa, persoalan ini mengurangi keseimbangan antara ketelitian secara statistik dan biaya. Bila subunit dalam unit yang sama sangat dekat, pertimbangan-pertimbangan ketelitian membutuhkan satu nilai m yang kecil.

Di lain pihak, hal ini kadang-kadang hampir semahal mengukur keseluruhan unit sebagai suatu subsampelnya, sebagai contoh bila unit itu adalah sebuah rumahtangga dan seorang responden dapat memberikan data yang tepat mengenai semua anggota rumahtangganya.

(7)

Misalkan populasi U adalah populasi U adalah populasi yang distratifikasi dengan menggunakan strata H, Uh dengan Nh adalah anggota di tahap ke h −

thPH

h=1Nh = N

. Di dalam tahap pertama, digunakan contoh s1h sederhana

dari tahap pertama strata Uh dan menyelidiki sebuah variabel skalar x untuk i ∈

s1h, h = 1, · · · , H, dimana ukuran s1h adalah n1h

PH

h=1n1h = n1

. Kemudian dilakukan stratifikasi ulang sampel y dengan s1 = ∪Hh=1s1hke dalam G tahapan ˜s1g

dengan populasi m1g

PG

g=1m1g = n1

, menggunakan vaiabel tambahan untuk diselidiki di tahap pertama, sampel acak sederhana s2g dengan populasi m2g dan

kemudian diambil secara acak dari strata kedua ˜s_1g(g = 1, · · · , G). Untuk gambaran diatas, π1i= n_N1_hh jika i ∈ s1h dengan i 6= j,

π1ij =      n1h(n1h− 1) Nh(Nh− 1) jika i 6= j ∈ s1h n1hn1k NhNk jika i ∈ s1h, j ∈ s1k, h6= k (2.17)

Estimator fase kedua ˆY₂ dapat disederhanakan menjadi ˆ Y2 = H X h=1 Nh n_1h G X g=1 m1g m_2g X i∈s2gh yi (2.18)

dimana s2gh = s1hs2g, dengan catatan bahwa beberapa s,_2ghs mungkin kosong, di

beberapa kasus penggunaan P

i∈s2ghyi menjadi nol di persamaan (2.2).

Beralih ke permasalahan estimasi variansi, komponen v( ˆY2|s1) diberikan oleh

(2.5) dengan ˙y1 = y1(_nN_1hh) jika i ∈ s1h. Untuk mengevaluasi v2 ˆY1

diberikan oleh persamaan (2.6), dibutuhkan nilai41ij. Dengan menggunakan (2.3), diperoleh

41ij =      1 − f1h n_1h− 1 jika ij ∈ ˜s2h = 0 jika i ∈ ˜s2h, j ∈ ˜s2k, h6= k (2.19) dimana ˜s2h= ∪gs2gh dan f1h= n_N1h_h.

Substiusi yang dilakukan pada batas atas 41ij di persamaan (2.6),

kompo-nen pertama v(1)₂ ˆY1 disederhanakan menjadi v₂(1) ˆY₁= G X g=1 m1g(m1g− 1) m_2g(m2g− 1) X h=Ag Nh n_1h 2 1 − f1h n_1h− 1 X i<j∈s2gh X (yi− yj)2 (2.20)

(8)

dimana Ag adalah himpunan dari strata h fase pertama dengan menggunakan

paling sedikit dua unit di s2gh, untuk sisa strata fase pertama tidak memberikan

kontribusi v(1)₂ ˆY1

, menggunakan identitas Langrange (2.4), menggunakan (2.7) mereduksi persamaan menjadi

v(1)₂ ˆY₁= G X g=1 m1g(m1g− 1) m2g(m2g− 1) X h∈Ag Nh n1h 2 1 − f1h n1h− 1 m_2gh(m2gh− 1) ˆS2ghy2 (2.21)

dimana mgh adalah banyaknya unit s2gh dan ˆS2ghy2 adalah kuadrat sampel

rata-rata dari nilai yi untuk i ∈ S2gh.

Dapat dituliskan bahwa v(2)₂ ˆY₁ sebagai gambaran dari

v₂(2) ˆY1 = G X g<l m_1g(m1l) m2g(m2l) X h∈∪2gl Nh n1h 2 1 − f1h n1h− 1    X i∈s2gh X j∈s2lh (yi− yj)2    (2.22)

dimana ∪2gl adalah himpunan strata h fase pertama dengan paling sedikit satu

unit di kedua s2gh dan s2gl. Untuk kesederhanaan dari persamaan (2.10) adalah

tidak mungkin sederhana tanpa memenuhi m2gh ≥ 2 untuk semua (gh). Tipe

variansi estimator SYG, v ˆY2

, sekarang diberikan oleh perpaduan persamaan (2.5), (2.15) dan (2.16), dan selalu menghasilkan angka yang tidak negatif.

Sekarang gunakan kasus spesial m2gh ≥ 2 untuk semua (gh). Di kasus

v(1)₂ ˆY₁diberikan oleh (2.15) dengan P Ag berubah menjadiPH_h=1 Untuk lebih

jauh dapat ditulis bahwa v2(2) ˆY1

sebagai gambaran dari

v₂(2) ˆY1 =1 2 G X g=1 G X l=1 m1gm1l m_2gm_2l X i∈s2gh X j∈s2lh ( ˙yi− ˙yj)2 − G X g=1 m1g m_2g 2 4lij X i<j∈s2g X ( ˙yi− ˙yj)2 =I − II (2.23)

Mengikuti langkah yang digunakan untuk mendapatkan persamaan (2.15), dipe-roleh −II = − G X g=1 m1g m₂g 2 H X h=1 Nh n_1h 2 1 − f1h n_1h− 1m2gh(m2gh− 1) ˆS 2 2ghy (2.24)

(9)

Kombinasi dari (2.15) dengan (2.18), diperoleh v₂(2) ˆY1 − II = G X g=1 m1g m_2g 2 1 − f2g m_2g− 1 H X h=1 Nh n_1h 2 1 − f1h n_1h− 1m2gh(m2gh− 1) ˆS 2 2ghy (2.25)

Kedalam bentuk I pada (2.17), dapat ditulis

I = H X h=1 N2 h1 − f1h n2 1hn1h− 1    1 2 G X g=1 G X l=1 m_1gm_1l m_2gm_2l X i∈s2gh X ( ˙yi− ˙yj)2    (2.26) dimana ˆ n1h = G X g=1 m1g m2g m2ghdan ¯yah = ˆn−1_1h G X g=1 m1g m2g m2gh X k=1 yk ! (2.27)

Estimator variansi v ˆY₂ sekarang diberikan dengan menjumlahkan per-samaan (2.5), (2.12) dan (2.13). Estimator variansi HT dari Binder et.al, (2000) diturunkan dari persamaan (1.2), adalah berbeda dari hasil v ˆY2

, tetapi v ˆY2 |s1

yang dihasilkan dari persamaan (2.5) adalah sejenis dengan formula yang ditemukan Binder et.al, Perumusan Binder et.al, (2000) tersebut berkores-pondensi dengan persamaan (2.19) yang diberikan

G X g=1 = m1g m2g 2 1 − f2g m2g− 1 L X h=1 Nh n1h 2 1 − f1h n1h− 1 m2g (m2gh− 1) S2ghy2 + m2gh 1 −m2gh m2g ¯ y_2gh2 (2.28)

dimana ¯y2gh adalah rata-rata dari y untuk s2gh. Persamaan Binder et.al, (2000)

berkorespondensi dengan persamaan (2.13) di berikan

H X h=1 =N 2 h n2 1h 1 − fh n1h− 1 " _G X g=1 _m2 1g m_2g 1 − f2g m_2g− 1 m2gh m_2g m2gh X i=1 (yi− ¯yah)2+ ˆn1h ˆ n1h n_1h− 1 ¯ y_ah2 # (2.29)

(10)

Estimasi variansi Binder et.al, (2000) sekarang diberikan dengan menjum-lahkan (2.5), (2.12) dan (2.13). Dengan catatan bahwa bentuk nˆ1h

n1h − 1

dapat menghasilkan positif atau negatif.

2.4 Penarikan Sampel Tiga-Tahap

Misalkan yiju adalah nilai yang diperoleh untuk unit ke-u tahap ketiga pada unit

ke-j tahap kedua diambil dari unit utama ke-i. Rata-rata unit yang sesuai popu-lasi per-unit ketiga adalah

¯ Yij = ΣK uyiju K , ¯Y¯ = ΣM j ΣKuyiju M K ,¯¯¯Y = ΣN i ΣMj ΣKuyiju N M K (2.30)

Varians populasi yang dibutuhkan:

S₁2 = PN i ¯¯Yi− ¯¯¯Y 2 N − 1 S₂2 = PN i Σ M j ¯Yij − ¯¯Yi 2 N(M − 1) S₃2 = PN i Σ M j ΣKu ¯ Yijk− ¯¯Yi 2 N M(K − 1)

Jika penarikan sampel acak sederhana digunakan pada ketiga tahap, rata-rata sampel ¯¯¯Y per-unit tahap ketiga adalah suatu perkiraan yang tidak bias dari

¯¯¯ Y, dengan varians v¯¯¯Y = 1 − f1 n S 2 1 + 1 − f2 nm S 2 2 + 1 − f3 nmk S 2 3 (2.31)

dimana f1 = _Nn, f2 = _Mm, f3 = _Kk adalah fraksi penarikan sampel pada tahap

ketiga. Selanjutnya :

¯¯¯y − ¯¯¯Y = ¯¯¯y − ¯¯¯Ynm

¯¯¯Ynm− ¯¯¯Yn +¯¯¯Yn−Y¯¯¯ (2.32) dimanaY¯¯¯nmadalah rata-rata populasi nm unit tahap kedua yang telah dipilih dan

¯¯¯

Yn adalah rata-rata populasi n unit utama yang telah dipilih. Bila dikuadratkan

(11)

Kontribusi dari bentuk yang telah dikuadratkan akan menjadi: E ¯¯¯y − ¯¯¯Ynm 2 = 1 − f3 nmk S 2 3 E¯¯¯Ynm−Y¯¯¯n 2 = 1 − f2 nm S 2 2 EY¯¯¯n− ¯¯¯Y 2 = 1 − f1 n S 2 1

Bila ketiga bentuk tersebut dijumlahkan, teorema diatas diperoleh suatu perkiraan tidak bias pada V (¯¯¯Y ) dari samplenya

vY¯¯¯= 1 − f1 n S 2 1 + f₁(1 − f2) nm S 2 2 + f₁f₂(1 − f3) nmk S 2 3 (2.33) dimana S2

1, S22, S32 adalah perkiraan varians sampel dari S12, S22, S32. Hal ini

dapat dibuktikan dengan menunjukkan E(S₁2) = S₁2+ 1 − f2 m S 2 2 + 1 − f3 mk S 2 3 E(S₂2) = S₂2+ 1 − f3 k S 2 3 (2.34) dan E(S2

3) = S22. Untuk mendapatkan hasil yang pertama, misalkan ¯¯yik

menya-takan rata-rata m unit tahap kedua pada unit utama ke-i, dengan syarat bahwa seluruh K elemen telah dihitung pada tahap ketiga. Misalkan ¯¯¯y_K adalah rata-rata dari n nilai ¯¯y_ik. Maka penarikan sampel dua tahap menjadi

E "_P_n ¯¯y_iK − ¯¯¯y_K2 n− 1 # = S₁2 +1 − f2 m S 2 2 (2.35)

Sekarang bila ¯¯y_i adalah rata-rata sampel untuk unit utama ke-i menjadi ¯¯yi − ¯¯¯y = ¯¯yiK − ¯¯¯yK + (¯¯yi− ¯¯yiK) − ¯¯¯y− ¯¯¯yK

(2.36)

Dengan diawali merata-ratakan seluruh sampel yang mana unit-unit tahap pertama dan tahap kedua tetap, dapat ditunjukkan bahwa:

1 n− 1E n X (¯¯y_i− ¯¯y_iK) − ¯¯¯y− ¯¯¯y_K2 = (1 − f3)S 2 3 mk (2.37)

dan bahwa produk silang dari (2.11) tidak bisa memberikan kontribusi apa-apa. Ini membentuk hasil E(s2

(12)

Oleh karena itu, Ev ¯¯¯y =1 − f1 n S₁2+ 1 − f2 m S 2 2 + 1 − f3 mk S 2 3 + f1(1 − f2) nm S₂2+ 1 − f3 k S 2 3 +f1f2(1 − f3) nmk S 2 3 =1 − f1 n S 2 1 + 1 − f2 nm S 2 2 + 1 − f3 nmk S 2 3 =V (y) (2.38)

Seperti dengan penarikan sampel dua tahap, hal ini hal ini jelas dari (2.33), bahwa jika f1 diabaikan v ¯¯¯y menjadi

v ¯¯¯y = S 2 1 n = Pn (¯¯y_i− ¯¯y)2 n(n − 1) (2.39)

Perkiraan ini konservatif bila f1 tidak diabaikan. Dengan sebuah fungsi biaya dari

bentuk

C = c1n+ c2nm+ c3nmk (2.40)

Nilai k dan m optimum adalah

kopt = s3 q S2 2−S 2 3 K r c2 c3 , mopt = q S2 2−S 2 3 K q S2 1−S 2 3 M c1 c2 (2.41)

Perluasan hasil ini dalam bagian ini untuk penambahan tahap penarikan sampel akan lebih jelas dari struktur rumusnya.