PENDAHULUAN
Pada bab ini dibahas mengenai latar belakang masalah, rumusan masalah, maksud dan tujuan, tinjauan pustaka, metodologi penelitian serta diakhiri dengan sistematika penulisan.
1.1. Latar Belakang Masalah
Semigrup adalah salah satu struktur aljabar yang terdiri atas himpunan tak kosong yang dilengkapi dengan operasi biner yang bersifat assosiatif. Semigrup merupakan generalisasi dari grup dengan menghilangkan syarat eksistensi elemen identitas dan eksistensi elemen invers setiap elemennya. Hal ini memotivasi dide- finisikannya elemen reguler. Elemen a disebut elemen reguler di semigrup S jika terdapat suatu elemen b di semigrup S sehingga aba = a. Dari definisi tersebut da- pat didefinisikan semigrup reguler yaitu semigrup dengan semua elemennya adalah elemen reguler.
Pada semigrup dikenal konsep ideal kiri, ideal kanan, dan ideal dua sisi.
Dalam hal ideal-ideal tersebut dibangun oleh satu elemen, ideal- ideal tersebut berturut-turut disebut dengan ideal kiri utama, ideal kanan utama dan ideal utama.
Hal tersebut mendasari terbentuknya konsep relasi Green pada sebarang semigrup yang diperkenalkan oleh Green (1951) dan relasi terurut natural pada sebarang se- migrup yang diperkenalkan oleh Mitsch (1986).
Salah satu contoh dari semigrup adalah semigrup transformasi penuh. Cli- fford dan Preston (1961) memberikan definisi semigrup transformasi penuh T (X) yaitu himpunan semua fungsi dari himpunan tak kosong X ke dirinya sendiri de- ngan operasi komposisi fungsi. Selanjutnya konsep semigrup transformasi penuh digeneralisasi oleh Sanwong dan Sommancee (2008) menjadi semigrup transfor-
1
masi parsial P T (X). Semigrup transformasi parsial adalah semua fungsi dari him- punan bagian X ke X terhadap operasi komposisi fungsi. Himpunan semua tran- sformasi parsial yang injektif membentuk suatu subsemigrup dalam P T (X) yang disebut semigrup transformasi injektif dan dinotasikan dengan I(X).
Pada perkembangan semigrup transformasi parsial, Sangwong dan Som- mancee (2008) mempelajari generalisasi semigrup P T (X), yaitu semigrup tran- sformasi dengan restriksi range yang dinotasikan dengan P T (X, Y ) untuk suatu Y himpunan bagian dari X. Semigrup P T (X, Y ) adalah himpunan semua transfor- masi parsial pada X yang imagenya termuat dalam Y terhadap operasi komposisi fungsi. Pada semigrup transformasi penuh dan semigrup transformasi injektif dapat dibentuk pula suatu semigrup dengan restriksi range yang berturut - turut dinota- sikan dengan T (X, Y ) dan I(X, Y ).
Semigrup transformasi dengan restriksi range merupakan subsemigrup dari semigrup transformasi dengan beberapa sifat yang tidak berlaku pada P T (X, Y ), seperti sifat reguleritas. Semigrup P T (X) adalah semigrup reguler, sedangkan se- migrup P T (X, Y ) belum tentu merupakan semigrup reguler. Sangwong dan Som- mancee (2008) dalam penelitiannya memberikan syarat perlu dan cukup agar suatu elemen dalam P T (X, Y ) merupakan elemen reguler, dan mengkarakterisasi syarat perlu dan cukup subsemigrup reguler dari P T (X, Y ).
Hasil lain dalam penelitian Sanwong dan Sommancee (2008) adalah karak- terisasi relasi Green pada P T (X, Y ). Karakterisasi tersebut berturut- turut akan menjadi syarat perlu dan cukup agar setiap dua elemen di semigrup P T (X, Y ) sa- ling berelasi R, L, J , D atau H.
Pengembangan lebih lanjut pada semigrup transformasi adalah semigrup transformasi linier pada ruang vektor. Sullivan (2007) memperkenalkan semigrup tranformasi linier penuh pada ruang vektor V yang dinotasikan dengan T (V ) yaitu himpunan semua transformasi linier penuh dari V ke V terhadap operasi komposisi fungsi. Berdasarkan hal tersebut, Sangkhanan dan Sanwong (2012) mendefinisikan semigrup transformasi linier injektif pada ruang vektor V yang dinotasikan dengan
I(V ) yang berisikan semua transformasi linier injektif pada ruang vektor S ke T de- ngan S dan T adalah subruang-subruang dari V terhadap operasi komposisi fungsi.
Lebih lanjut, Sangkhanan dan Sanwong (2014) menggeneralisasi I(V ) ke semigrup transformasi linier parsial pada ruang vektor yang dinotasikan dengan P T (V ). Se- migrup P T (V ) beranggotakan semua transformasi linier parsial dari S ke T dengan S dan T adalah subruang dari V serta dilengkapi dengan operasi komposisi fungsi.
Pada perkembangan semigrup transformasi linier pada ruang vektor dapat dibentuk semigrup transformasi linier dengan restriksi range pada ruang vektor yang dinotasikan dengan P T (V, W ). Semigrup P T (V, W ) terdiri dari semua tran- sformasi linier parsial pada ruang vektor V dengan restriksi range di W subruang V yang dilengkapi dengan operasi komposisi fungsi. Proses pada P T (V ) juga da- pat diterapkan pada T (V ) dan I(V ) yang berturut - turut terbentuk T (V, W ) dan I(V, W ). Berdasarkan perkembangan tersebut dikaji sifat- sifat pada P T (X, Y ) yang berlaku pada P T (V, W ) seperti karakterisasi relasi Green dan karakterisasi relasi terurut natural.
1.2. Rumusan Masalah
Berdasarkan uraian yang diberikan dalam latar belakang, rumusan masalah dalam tesis ini adalah sebagai berikut.
1. Apa syarat perlu dan cukup agar elemen dalam semigrup P T (V, W ) merupakan elemen reguler dan syarat perlu dan cukup agar semigrup P T (V, W ) merupakan semigrup reguler?
2. Bagaimana karakterisasi relasi Green pada semigrup P T (V, W )?
3. Bagaimana karakterisasi relasi terurut natural pada semigrup P T (V, W )?
1.3. Tujuan dan Manfaat Penelitian
Maksud dan tujuan dalam penulisan tesis ini adalah sebagai berikut.
1. Mempelajari konsep - konsep dari semigrup transformasi parsial dengan restriksi
range.
2. Mempelajari syarat perlu dan cukup agar elemen dalam P T (V, W ) merupakan elemen reguler dan syarat perlu dan cukup agar semigrup P T (V, W ) merupakan semigrup reguler.
3. Mengetahui karakterisasi relasi Green pada semigrup P T (V, W ).
4. Mengetahui karakterisasi relasi terurut natural pada semigrup P T (V, W ).
1.4. Tinjauan Pustaka
Dalam penulisan tesis ini diperlukan beberapa buku dan artikel sebagai re- ferensi. Untuk dasar teori mengenai semigrup, elemen reguler dan relasi Green digunakan buku Cliford dan Preston (1961), Howie (1995) dan artikel dari Green (1951). Pembahasan mengenai ruang vektor dan transformasi linier diacu dari buku Roman (2008). Definisi dari relasi terurut natural semigrup diambil dari artikel dari Mitsch (1986) sebagai dasar teori.
Pembahasan mengenai semigrup transformasi P T (X), T (X) danI(X) ser- ta sifat-sifat yang berkaitan seperti reguleritas, ideal utama kanan, ideal utama kiri, ideal utama dan relasi Green diacu dari buku Ganyushkin dan Mazorchuk (2009).
Sanwong dan Sommancee (2008) membahas reguleritas dan karakterisasi relasi Green pada semigrup P T (X, Y ). Sullivan (2007) memberikan syarat perlu dan cu- kup agar suatu elemen merupakan elemen reguler, ideal utama kanan, ideal utama kiri, ideal utama dua sisi serta karakterisasi relasi Green pada semigrup T (V, W ).
Sangkhanan dan Sanwong (2012) membahas mengenai elemen reguler, ideal utama kanan, ideal utama kiri, ideal utama dua sisi serta karakterisasi relasi Green pada semigrup I(V, W ). Lebih lanjut, Sangkhanan dan Sanwong (2014) membahasan mengenai elemen reguler, ideal utama kanan, ideal utama kiri, ideal utama dua sisi serta karakterisasi relasi Green pada semigrup P T (V, W ).
Pembahasan mengenai relasi terurut natural dan karakterisasi dua elemen saling terurut pada P T (X) dijelaskan dalam artikel Sullivan (2005), yang selanjut-
nya dikhususkan pada P T (V ) dengan V ruang vektor. Lebih lanjut, pembahasan mengenai relasi terurut natural pada semigrup P T (V, W ) dijelaskan dalam artikel Sangkhanan dan Sanwong (2011).
1.5. Metode Penelitian
Metode yang digunakan penulis dalam penulisan tesis ini adalah dengan menggunakan studi literatur berkaitan dengan reguleritas, relasi Green dan relasi terurut natural dari semigrup transformasi linier dengan restriksi range pada ruang vektor. Penelitian ini dimulai dengan mempelajari beberapa pengertian dasar di dalam semigrup secara umum beserta sifatnya, seperti mengenai elemen reguler, ideal utama, relasi Green serta relasi terurut natural. Setelah itu dilanjutkan dengan mendalami contoh dari semigrup khusus yaitu semigrup transformasi, terutama se- migrup transformasi linier dengan restriksi range pada ruang vektor. Pembahasan utama dalam tesis ini adalah karakterisasi relasi Green dan relasi terurut natural pada semigrup P T (V, W ).
1.6. Sistematika Penulisan
Sistematika yang digunakan dalam tesis ini adalah sebagai berikut.
BAB I PENDAHULUAN
Bab ini berisi mengenai latar belakang masalah, rumusan masalah, maksud dan tu- juan, tinjauan pustaka, metodologi penulisan serta sistematika penulisan.
BAB II DASAR TEORI
Pada bab ini diberikan definisi, proposisi, lemma, dan teorema yang diperlukan dan menjadi dasar untuk bab-bab selanjutnya.
BAB IIII RELASI GREEN DAN RELASI TERURUT NATURAL PADA SE- MIGRUP TRANSFORMASI LINIER DENGAN RESTRIKSI RANGE
Bab ini berisikan pembahasan untuk menjawab permasalahan yang diungkapkan pada BAB I.
BAB IV KESIMPULAN
Bab ini berisikan kesimpulan yang diperoleh dari pembahasan pada BAB III.
