PARTISI BILANGAN p(5n + 4), p(7n + 5) DAN p(11n + 6) SECARA BERTURUT-TURUT KONGRUEN MODULO 5, 7 DAN 11 ABSTRACT

PARTISI BILANGAN p(5n + 4), p(7n + 5) DAN p(11n + 6) SECARA BERTURUT-TURUT KONGRUEN MODULO 5, 7 DAN 11

Abdul Akhyar¹, Syamsudhuha², Sri Gemawati²

1Mahasiswa Program Studi S1 Matematika

2Dosen Jurusan Matematika

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Riau Kampus Bina Widya Pekanbaru 28293, Indonesia

∗abdul.akhyar@yahoo.co.id

ABSTRACT

A partition of a positive integer is the representation of the positive integer its self or sums of the other positive integers, while the partition function is the number of partitions. This article disscusses a simple proof of partition numbers p(5n + 4), p(7n + 5) and p(11n + 6) consecutively congruent modulo 5, 7, and 11. The proof for modulo 5 and 7 are carried out via Jacobi identities, while for modulo 11 via Euler and Jacobi identities.

Keywords: Partition number, modulo, generating function, Euler and Jacobi identities

ABSTRAK

Partisi dari bilangan bulat positif merupakan suatu cara menuliskan bilangan tersebut sebagai dirinya sendiri ataupun juga sebagai jumlah dari bilangan bulat positif lainnya, sedangkan fungsi partisi adalah banyaknya partisi yang dimiliki oleh suatu bilangan. Artikel ini membahas tentang bukti sederhana dari partisi bilangan p(5n + 4), p(7n + 5) dan p(11n + 6) secara berturut-turut kongruen pada modulo 5, 7 dan 11. Untuk pembuktian pada modulo 5 dan 7 melalui identitas Jacobi, sedangkan untuk modulo 11 melalui identitas Euler dan identitas Jacobi.

Kata kunci: Partisi bilangan, modulo, fungsi pembangkit, identitas Euler dan identitas Jacobi

1. PENDAHULUAN

Berbicara tentang matematika tidak akan bisa lepas dari hal yang disebut dengan bilangan. Berdasarkan keanggotaannya, bilangan dibagi menjadi beberapa macam, salah satunya adalah bilangan bulat. Bilangan bulat positif dapat ditulis sebagai dirinya sendiri ataupun sebagai jumlah dari bilangan bulat positif lainnya yang dikenal sebagai partisi bilangan. Fungsi partisi menyatakan jumlah atau banyaknya partisi yang bisa dimiliki oleh suatu bilangan.

Dalam [12] dinyatakan bahwa pada tahun 1917 P.A MacMahon menemukan barisan partisi bilangan hingga n = 200, kemudian Ramanujan mengamati barisan tersebut dan menemukan bahwa terdapat fungsi partisi bilangan dengan jarak yang sama kongruen dengan nol modulo 5, 7 dan 11, yaitu p(5n + 4) ≡ 0 (mod 5), p(7n + 5)≡ 0 (mod 7) dan (p11n + 6) ≡ 0 (mod 11).

Bukti untuk partisi bilangan (p11n + 6)≡ 0 (mod 11) banyak ditemukan dalam banyak artikel diantaranya seperti dalam Atkin dan Swinnerton-Dyer[1], Ekin[6], Hardy et al.[7], Hirschhorn[9], [10], [11], tetapi pembuktian tersebut tidak sesederhana seperti yang ditulis disini. Karya tulis ini membahas tentang bukti partisi bilangan p(5n + 4)≡ 0 (mod 5), p(7n + 5) ≡ 0 (mod 7) dan (p11n + 6) ≡ 0 (mod 11) yang dilakukan melalui identitas Jacobi dan identitas Euler dengan me-review artikel yang berjudul ”A Short and Simple Proof of Ramanujans Mod 11 Partition Congruence” yang ditulis oleh Hirschhorn [12].

2. TEORI PENDUKUNG

Pada bagian ini dijelaskan mengenai partisi bilangan, fungsi partisi fungsi pembangkit partisi bilangan dan teorema binomial.

Definisi 1 [3, h. 1] Partisi dari bilangan bulat positif n adalah barisan turun yang terbatas dari bilangan bulat positif λ₁, λ₂, . . . , λ_r sehingga

∑r i=1

λ_i = n. λ_i disebut bagian dari partisi.

Definisi 2 [3, h. 2] Fungsi partisi p(n) menyatakan banyaknya partisi yang dimiliki oleh bilangan bulat n, atau disebut juga sebagai jumlah partisi dari n.

Contoh 1 (4,2,2,1) adalah partisi dari 9 karena 4+2+2+1=9, sedangkan 1, 2 dan 4 disebut bagian partisi dari 9. Fungsi partisi untuk 9 adalah p(9) = 30 [8].

Teorema 3 Fungsi pembangkit untuk p(n) adalah

∑∞ n=0

p(n)qⁿ=

∏∞ n=1

1

1− qⁿ , dimana|q| < 1. (1)

Bukti. Dapat dilihat pada [4, h. 5]. 2

Jika dimisalkan E(q) =

∏∞ n=1

(1− qⁿ), maka persamaan (1) dapat ditulis menjadi

∑∞ n=0

p(n)qⁿ = 1

E(q). (2)

Teorema 4 (Teorema Binomial)Misalkan x dan y adalah bilangan real dan n adalah bilangan bulat tak negatif, maka

(x + y)ⁿ=

∑n i=0

(n i

)

xⁿ⁻ⁱyⁱ.

Bukti. Dapat dilihat pada [13, h. 167]. 2

3. IDENTITAS EULER DAN IDENTITAS JACOBI

Pada bagian ini diberikan teorema mengenai identitas Euler dan identitas Jacobi sebagai berikut.

Teorema 5 (Identitas Euler) Untuk|q| < 1 maka

E(q) =

∑∞ n=−∞

(−1)ⁿq^n(3n−1)/2. (3)

Bukti. Dapat dilihat pada [2, h:177]. 2

Dari persamaan (3) jika diuraikan dengan n = 0, 1,−1, 2, −2, 3, . . . maka diperoleh

E(q) = 1− q − q²+ q⁵+ q⁷− q¹²− q¹⁵± · · · . (4)

Teorema 6 (identitas Jacobi) Untuk|q| < 1 maka

E(q)³ =

∑∞ n=0

(−1)ⁿ(2n + 1)q^(n2+n)/2. (5)

Bukti. Dapat dilihat pada [5, h:14]. 2

Dari persamaan (5) jika diuraikan diperoleh

E(q)³ = 1− 3q + 5q³− 7q⁶+ 9q¹⁰− 11q¹⁵+ 13q²¹− 15q²⁸

+ 17q³⁶− 19q⁴⁵± · · · . (6)

4. PARTISI BILANGAN p(5n + 4), p(7n + 5) DAN p(11n + 6) SECARA BERTURUT-TURUT KONGRUEN MODULO 5, 7 DAN 11 4.1. FUNGSI PARTISI BILANGAN KONGRUEN NOL MODULO 5 Pada bagian ini dibahas mengenai bukti dari partisi bilangan p(5n + 4)≡ 0 (mod 5) yang dilakukan melalui identitas Jacobi.

Teorema 7 Untuk setiap bilangan bulat tak negatif n maka p(5n + 4)≡ 0 (mod 5).

Bukti. Perhatikan pangkat q dari deret E(q)³ pada persamaan (6), yaitu 0, 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, . . . . Diperoleh bahwa bilangan - bilangan tersebut kongruen dengan 0, 1 atau 3 (mod 5). Jika dimisalkan i = 0, 1 atau 3, dan J_i adalah suku - suku dimana pangkat dari q kongruen dengan i (mod 5) maka diperoleh

E(q)³ = J0+ J1+ J3. (7)

Tetapi karena (2n + 1) ≡ 0 (mod 5) jika (n² + n)/2 ≡ 3 (mod 5), maka J3 ≡ 0 (mod 5), sehingga persamaan (7) menjadi

E(q)³ ≡ J0+ J₁. Berdasarkan Teorema 4 diperoleh

(1− q)⁵ ≡ (1 − q⁵) (mod 5), sehingga

E(q)⁵ = (1− q)⁵(1− q²)⁵(1− q³)⁵· · · ,

≡ (1 − q⁵)(1− q¹⁰)(1− q¹⁵)· · · (mod 5),

E(q)⁵ ≡ E(q⁵) (mod 5). (8)

Dari persamaan (2) diperoleh bahwa

∑∞ n=0

p(n)qⁿ= 1

E(q) = (E(q)³)³ (E(q)⁵)². Dari kekongruenan (8), diperoleh

∑∞ n=0

p(n)qⁿ≡ (E(q)³)³

E(q⁵)² (mod 5)

= (J₀+ J₁)³

E(q⁵)² (mod 5)

= J₀³+ 3J₀²J₁+ 3J₀J₁² + J₁³

E(q⁵)² (mod 5), (9)

dari pembilang N (q) = J₀³ + 3J₀²J₁ + 3J₀J₁² + J₁³ pada persamaan (9) diperoleh beberapa suku pertama sebagai berikut.

J₀³ = 1 + 15q¹⁰+ . . . , 3J₀²J₁ =−q(9 + 21q⁵+ . . . ), 3J0J₁² = q²(27 + 126q⁵ + . . . ),

J₁³ =−q³(27 + 189q⁵+ . . . ),

sehingga diperoleh bahwa pangkat dari q dalam J₀³ kongruen 0 (mod 5), dalam 3J₀²J₁ kongruen 1 (mod 5), dalam 3J₀J₁² kongruen 2 (mod 5), dalam J₁³ kongruen 3 (mod 5), dan tidak terdapat pangkat dari q yang kongruen dengan 4 (mod 5), sehingga koefisien q⁵ⁿ⁺⁴ adalah 0 (mod 5). Dengan demikian maka

∑

n≥0

p(5n + 4)q⁵ⁿ⁺⁴ ≡ 0 (mod 5),

dan

p(5n + 4)≡ 0 (mod 5).

2

4.2. FUNGSI PARTISI BILANGAN KONGRUEN NOL MODULO 7 Pada bagian ini dibahas mengenai bukti dari partisi bilangan p(7n + 5)≡ 0 (mod 7) yang dilakukan melalui identitas Jacobi.

Teorema 8 Untuk setiap bilangan bulat tak negatif n maka p(7n + 5)≡ 0 (mod 7).

Bukti. Dengan memperhatikan kembali pangkat q dari suku-suku pada deret E(q)³ dalam persamaan (6) diperoleh bahwa bilangan - bilangan pangkat tersebut kongruen dengan 0, 1, 3 atau 6 (mod 7). Jika dimisalkan i = 0, 1, 3 atau 6, dan J_i adalah suku - suku dimana pangkat dari q kongruen dengan i (mod 7) maka diperoleh

E(q)³ = J0+ J1+ J3+ J6. (10) Tetapi karena (2n + 1) ≡ 0 (mod 7) jika (n² + n)/2 ≡ 6 (mod 7), maka J6 ≡ 0 (mod 7), sehingga persamaan (10) menjadi

E(q)³ ≡ J0 + J1+ J3. Berdasarkan Teorema 4 diperoleh bahwa

(1− q)⁷ ≡ (1 − q⁷) (mod 7),

sehingga

E(q)⁷ = (1− q)⁷(1− q²)⁷(1− q³)⁷· · · ,

≡ (1 − q⁷)(1− q¹⁴)(1− q²¹)· · · (mod 7),

E(q)⁷ ≡ E(q⁷) (mod 7). (11)

Dari persamaan (2) diperoleh bahwa

∑∞ n=0

p(n)qⁿ= 1

E(q) = (E(q)³)² E(q)⁷ .

Dari kekongruenan (11), diperoleh

∑∞ n=0

p(n)qⁿ≡ (E(q)³)²

E(q⁷) (mod 7),

= (J0+ J1+ J3)²

E(q⁷) (mod 7),

= J₀²+ J₁²+ J₃²+ 2J0J1+ 2J0J3 + 2J1J3

E(q⁷) (mod 7). (12)

dari pembilang N (q) = J₀²+ J₁²+ J₃²+ 2J₀J₁+ 2J₀J₃+ 2J₁J₃ pada persamaan (12) diperoleh beberapa suku pertama debagai berikut.

J₀² = 1 + 26q²¹+· · · , J₁² = q²(9 + 66q¹⁴+· · · ), J₃² = q⁶(25 + 90q⁷+· · · ), 2J₀J₁ = q(−6 − 22q¹⁴+· · · ), 2J₀J₃ = q³(10 + 18q⁷+· · · ), 2J₁J₃ = q⁴(−30 − 54q⁷+· · · ).

Dapat dilihat bahwa pangkat dari q dalam J₀² kongruen 0 (mod 7), dalam J₁² kongruen 2 (mod 7), dalam J₃² kongruen 6 (mod 7), dalam 2J₀J₁ kongruen 1 (mod 7), dalam 2J₀J₃ kongruen 3 (mod 7), dalam 2J₁J₃ kongruen 4 (mod 7), dan tidak terdapat pangkat dari q yang kongruen dengan 5 (mod 7), sehingga koefisien q⁷ⁿ⁺⁵ adalah 0 (mod 7). Dengan demikian maka

∑∞ n=0

p(7n + 5)q⁷ⁿ⁺⁵ ≡ 0 (mod 7),

dan

p(7n + 5)≡ 0 (mod 7).

2

4.3. FUNGSI PARTISI BILANGAN KONGRUEN NOL MODULO 11 Pada bagian ini dibahas mengenai bukti dari partisi bilangan p(11n + 6) ≡ 0 (mod 11). Pembuktian dilakukan melalui identitas Euler dan identitas Jacobi.

Teorema 9 Untuk setiap bilangan bulat tak negatif n maka p(11n + 6)≡ 0 (mod 11).

Bukti. Dari persamaan (4) diperoleh bahwa bilangan pangkat q dari suku-suku pada deret E(q) kongruen dengan 0, 1, 2, 4, 5 atau 7 (mod 11). Jika dimisalkan i = 0, 1, 2, 4, 5 atau 6, dan E_i adalah suku - suku dimana pangkat dari q kongruen dengan i (mod 11) maka diperoleh

E(q) = E0+ E1+ E2+ E4+ E5 + E7,

dan dari persamaan (6) diperoleh bahwa bilangan pangkat q dari suku-suku pada deret E(q)³ kongruen dengan 0, 1, 3, 4, 6 atau 10 (mod 11). Jika dimisalkan i = 0, 1, 3, 4, 6 atau 10, dan J_i adalah suku - suku dimana pangkat dari q kongruen dengan i (mod 11), diperoleh

E(q)³ = J0 + J1+ J3+ J4+ J6+ J10. (13) Tetapi karena (2n + 1) ≡ 0 (mod 11) jika (n² + n)/2 ≡ 4 (mod 11), maka J4 ≡ 0 (mod 11), sehingga persamaan (13) menjadi

E(q)³ = J₀+ J₁+ J₃+ J₆+ J₁₀. Berdasarkan Teorema 4 diperoleh bahwa

(1− q)¹¹ ≡ (1 − q¹¹) (mod 11), sehingga

E(q)¹¹ = (1− q)¹¹(1− q²)¹¹(1− q³)¹¹· · · ,

≡ (1 − q¹¹)(1− q²²)(1− q³³)· · · (mod 11),

E(q)¹¹ ≡ E(q¹¹) (mod 11). (14)

Dari persamaan (2) diperoleh bahwa

∑∞ n=0

p(n)qⁿ = 1

E(q) = (E(q)³)⁷ (E(q)¹¹)². Dari kekongruenan (14), diperoleh

∑∞ n=0

p(n)qⁿ ≡ (E(q)³)⁷ E(q¹¹)²

= (J₀+ J₁+ J₃+ J₆+ J₁₀)⁷

E(q¹¹)² (mod 11). (15)

Dari pembilang N (q) = (J₀+ J₁ + J₃+ J₆+ J₁₀)⁷ pada persamaan (15) jika dicari pangkat dari q yang kongruen dengan 6 (mod 11) diperoleh

∑∞ n=0

p(11n + 6)q¹¹ⁿ⁺⁶= P E(q¹¹)², dimana

P ≡ 7J₀⁶J₆+ 10J₀⁵J₃²+ J₀⁴J₁J₆J₁₀+ 8J₀³J₁³J₃+ 2J₀³J₁J₃²J₁₀+ 8J₀³J₆³J₁₀ + 3J₀²J₁²J₃J₆²+ 3J₀²J₁²J₆J₁₀² + J₀²J₃²J₆²J₁₀+ 2J₀²J₃J₆J₁₀³ + 10J₀²J₁₀⁵ + 7J₀J₁⁶+ J₀J₁⁴J₃J₁₀+ 2J₀J₁²J₃²J₆+ 3J₀J₁²J₃²J₁₀² + J₀J₁J₃J₆⁴ + 2J0J1J₆³J₁₀² + J0J₃⁴J6J10+ 8J0J₃³J₁₀³ + 10J₁⁵J₆²+ 2J₁³J3J₆²J10

+ 8J₁³J₆J₁₀³ + 10J₁²J₃⁵+ 8J₁J₃³J₆³+ 3J₁J₃²J₆²J₁₀² + J₁J₃J₆J₁₀⁴ + 7J₁J₁₀⁶ + 7J₃⁶J₁₀+ 7J₃J₆⁶+ 10J₆⁵J₁₀² ,

maka harus ditunjukkan bahwa P ≡ 0 (mod 11) sebagai berikut.

Perhatikan bahwa

(E(q)³)⁴ = E(q)¹²= E(q)¹¹E(q) ≡ E(q¹¹)E(q)

≡ E(q¹¹)(E0+ E1+ E2+ E4+ E5+ E7), sehingga

(J0+ J1+ J3+ J6 + J10)⁴ ≡ E(q¹¹)(E0+ E1+ E2+ E4+ E5+ E7). (16) Di ruas kanan dari persamaan (16) diperoleh bahwa tidak terdapat suku - suku dimana pangkat dari q kongruen dengan 3, 6, 8, 9, dan 10 (mod 11), karena persamaan (16) kongruen maka hal ini juga terjadi diruas kiri. Sehingga jika ruas kirinya dikalikan atau diekspansikan, akan diperoleh lima polinomial berderajat empat yang kongruen dengan nol modulo 11. Sebagai contoh,

4J₀³J₃+ 4J₀J₁³+ 24J₀J₁J₃J₁₀+ 6J₁²J₆² + 12J₁J₆²J₁₀+ 4J₆J₁₀³ ≡ 0. (17) Jika persamaan (17) dikali 3, lalu dalam modulo 11 diperoleh

J₀³J₃+ J₀J₁³+ 6J₀J₁J₃J₁₀+ 7J₁²J₆²+ 3J₁J₆²J₁₀+ J₆J₁₀³ ≡ 0. (18) Dengan cara yang sama diperoleh

J₀³J₆+ 7J₀²J₃²+ 6J₀J₁J₆J₁₀+ J₁³J₃+ 3J₁J₃²J₁₀+ J₆³J₁₀≡ 0, (19) 3J₀J₁²J₆+ 6J₀J₃J₆J₁₀+ J₀J₁₀³ + 7J₁²J₃²+ J₁J₆³+ J₃³J₁₀≡ 0, (20) 3J₀²J3J6+ 7J₀²J₁₀² + J0J₃³+ 6J1J3J6J10+ J₁³J6+ J1J₁₀³ ≡ 0, (21) J₀³J10+ 6J0J1J3J6+ 3J0J1J₁₀² + J1J₃³ + J3J₆³+ 7J₆²J₁₀² ≡ 0. (22) Jika kelima polinomial (18) sampai (22) secara berturut-turut dimisalkan sebagai Q , Q , Q , Q , Q , dan juga sudah diketahui bahwa P berderajat tujuh, maka akan

dicari pengali berderajat tiga katakanlah M₁, M₂, M₃, M₄, M₅ sedemikian hingga P ≡ M1Q₁+ M₂Q₂+ M₃Q₃+ M₄Q₄+ M₅Q₅. Karena suku-suku di P mengandung q yang pangkatnya kongruen dengan 6 (mod 11), maka pangkat dari q di suku-suku dalam M₁, M₂, M₃, M₄, M₅ haruslah kongruen dengan 3, 0, 9, 8 dan 7 (mod 11).

Dengan demikian diperoleh

M₁ = 7J₁J₃J₁0 + 5J₀²J₃+ 7J₁³, M₂ = 7J₀J₁J₁₀+ 5J₆²J₁₀+ 7J₀³, M₃ = 7J₀J₃J₆+ 5J₀J₁₀² + 7J₃³, M₄ = 7J₃J₆J₁₀+ 5J₁²J₆+ 7J₁₀³, M5 = 7J0J1J6+ 5J1J₃² + 7J₆³, sehingga

P ≡ 0 (mod 11).

2

5. KESIMPULAN

Berdasarkan pembahasan yang telah diuraikan pada artikel ini, maka dapat disimpulkan bahwa fungsi partisi bilangan p(5n + 4), p(7n + 5) dan p(11n + 6) untuk bilangan bulat tak negatif n secara berturut-turut akan selalu kongruen pada modulo 5, 7 dan 11. Untuk fungsi partisi p(11n + 6) dibuktikan dengan menggunakan identitas Euler dan identitas Jacobi, sedangkan untuk fungsi partisi p(5n + 4) dan p(7n + 5) dapat dibuktikan hanya dengan menggunakan identitas Jacobi.

DAFTAR PUSTAKA

[1] A. O. L. Atkin dan P. Swinnerton-Dyer, Some properties of partitions, Proceedings of the London Mathematical Society, 3 (1953), 84-106.

[2] G. E. Andrews, Number Theory, W. B. Saunders Company, Philadelphia, 1971.

[3] G. E. Andrews, The Theory of Partitions, Cambridge University Press, London, 1984.

[4] Z. S. Aygin, Ramanujan’s Congruences for the Partition Function, Tesis Magister, Bilkent University, 2009.

[5] B. C. Berndt, Number Theory in the Spirit of Ramanujan, American Mathematical Society, Providence, Rhode Island, 2006.

[6] A. B. Ekin, Inequalities for the crank, Journal of Combinatorial Theory Series A, 83 (1998), 283-289.

[7] G. H. Hardy, P. V. S. Aiyar dan B. M. Wilson, Collected papers of Srinivasa Ramanujan, Cambridge University Press, London, 1927.

[8] A. Hassen dan T. J. Osler, Playing With Partitions On The Computer, pMathematics and Computer Education, 35 (2001), 5-17.

[9] M. D. Hirschhorn, A birthday present for Ramanujan, American Mathematical Monthly, 97 (1990), 398400.

[10] M. D. Hirschhorn, A generalisation of Winquists identity and a conjecture of Ramanujan, Journal of the Indian Mathematical Society, 51 (1987), 49-55.

[11] M. D. Hirschhorn, Ramanujans partition congruences, Discrete Mathematics, 131 (1994), 351-355.

[12] M. D. Hirschhorn, Short and simple proof of Ramanujan’s mod 11 partition congruence, Journal of Number Theory, 00 (2014), 1-4.

[13] J. J. Siang, Matematika Diskrit dan Aplikasinya pada Ilmu Komputer, Andi, Yogyakarta, 2002.