ANALISIS VARIANSI. Utriweni Mukhaiyar. 2 November 2011

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ANALISIS VARIANSI

Utriweni Mukhaiyar

MA 2181 Analisis Data

2 November 2011

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Analisis Variansi Analisis Variansi

2 1. Tujuan Analisis Variansi

2. Asumsi-asumsi dalam Analisis Variansi

3. Hipotesis yang diuji dalam analisis variansi 3. Hipotesis yang diuji dalam analisis variansi 4. Tabel Analisis Variansi

5 Contoh Kasus

5. Contoh Kasus

(3)

Ilustrasi

3 Angkatan 1 Angkatan 2 Gabungan angkatan 1 & 2

x x x x x x x x x x x x

x x x x x x x x y y

x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x y y x x x x x x x x

x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x

y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y

x x x x x x x x y y

x x x x x x x x x x x y y y y x x x x x x x x x x x x y y y y y y y x x x x x x x x x x x x x x y y y y y y y y y x x x x x x x x x x x x x y y y y y y y y y y y y x x x x x x x x x x x y y y y y y y y y y y y y x x x x x x x x x x x

x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x

y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y

x x x x x x x x x x x y y y y y y y y y y y y y x x x x x x x x x y y y y y y y y y y y y y y x x x x x x x y y y y y y y y y y y y y x x x x x y y y y y y y y y y y y x x x y y y y y y y y y y x x x

x x x

y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y

x x y y y y y y y y x y y y y y y y y y y y y y y y y y

y y

Bila rata-rata setiap angkatan/kelompok hampir sama, maka variansi distribusi p g / p p

hasil penggabungan semua angkatan hampir minimal.

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Ilustrasi

x x x x

Gabungan angkatan 1 & 2

4

x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x

x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x

Angkatan 2

x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x

x x x x x x x x x x x x x x x x x

y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y

x x x x x x x y y x x x x x y y y y x x x y y y y y y y x x y y y y y y y y y x y y y y y y y y y y y y

x y y y y y y y y y y y y

y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y

x y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y

Angkatan 1

y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y

Angkatan 1

y y y

y y y y y y

Bila rata-rata setiap angkatan/kelompok jauh berbeda, maka variansi distribusi

hasil penggabungan semua angkatan jauh lebih besar dibanding variansi setiap

angkatan.

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Populasi 1 ……

μ _1, σ ₁

Populasi 2 μ _2, σ ₂

Populasi k μ _k, σ _k

x x x x x x

z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z x x x x

x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x

y y y y y y

z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z

x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x

y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y

z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z x x x x x x x

x x x x x x x x x x x

y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y

z

y y y y y y y y y y y

/

Membandingkan beberapa angkatan /kelompok yang terkait dapat dilakukan dengan membandingkan masing-masing rataannya.

5

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Tujuan Analisis Variansi Tujuan Analisis Variansi

6 menguji apakah terdapat perbedaan yang menguji apakah terdapat perbedaan yang signifikan antara rata-rata beberapa kelompok

populasi (lebih dari dua), melalui ukuran-ukuran populasi (lebih dari dua), melalui ukuran ukuran

penyebaran (variansi) dari masing-masing kelompok populasi tersebut.

kelompok populasi tersebut.

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Hubungan Beberapa Variansi Terkait g p

Konsep Dasar Analisis Variansi 7

Variansi hasil penggabungan semua angkatan data terdiri atas

rata-rata variansi setiap angkatan d

dan

variansi dari semua rata-rata angkatan

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Asumsi-asumsi dalam Analisis Variansi Asumsi asumsi dalam Analisis Variansi

8  Populasi ke-i berdistribusi normal;

i = 1, 2, …, k

 σ ₁ ² = σ ₂ ² = … = σ _k ² = σ ²

 Populasi-populasi tidak berhubungan satu dengan

yang lainnya (saling bebas)

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Susunan Data Susunan Data

9 k k k k

Angkatan 1 Angkatan 2 … Angkatan k

y ₁₁ y ₂₁ y _k1

y ₁₂ y ₂₂ y _k2

. . .

y y

y _1n ₁ y _kn _k

y _n ₂ Jumlah:

Keterangan:

- y _ij : pengamatan ke-j dalam perlakuan (populasi) ke-i ; i = 1,2,…,k ; j =1, 2, …, n _i

- N = ( n ₁ + n ₂ + …+ n _i + …+ n _k ) : total banyak pengamatan

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Beberapa Besaran Anova Beberapa Besaran Anova

10 JKT = b – a

Jumlah Kuadrat Total

JKP = c – a

Jumlah Kuadrat Perlakuan

JKG = JKT – JKP

= b – c

l h d G l

Jumlah Kuadrat Galat

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Tiap pengamatan dapat ditulis dalam bentuk : y _ij = μ _i + ε _ij

dengan

y _ij : pengamatan ke-j dalam perlakuan ke-i

l i d l k k i

μ _i : rata-rata populasi pada perlakuan ke-i

ε _ij : penyimpangan pengamatan ke-j pada perlakuan ke-i dari rataan perlakuan padanannya.

dari rataan perlakuan padanannya.

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Hipotesis yang diuji dalam Analisis p y g j Variansi

H ₀ : rata-rata seluruh k populasi/perlakuan adalah sama H ₁ : paling sedikit terdapat dua populasi yang

H ₁ : paling sedikit terdapat dua populasi yang rata-ratanya tidak sama,

atau

H ₀ : μ ₁ = μ ₂ = … = μ _k

H ₁ : μ _i ≠ μ _j , untuk paling sedikit sepasang i dan j, dengan i,j

= 1, 2, …, k

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Tabel Analisis Variansi Tabel Analisis Variansi

13 T _ 2

Sumber Jumlah dk (derajat

Rata-rata Kuadrat F N

 

²



^k ⁿⁱ



^k ⁿⁱ ²

Variansi Kuadrat kebebasan) Rata rata Kuadrat F Antar

JKP k 1  RKP = JKP/(k 1) 

²

1 1

  



^ij



i j

y y

_ij²

i=1 j=1

 y

2 Angkatan JKP k – 1 RKP = JKP/(k – 1) F _hitung = RKP/RKG Dalam

A k t JKG N – k RKG = JKG/(N – k)

 

k 2

i i

i 1

n y _ y _



  ^k ⁱ ²

i=1 i

T n

 

Angkatan /( )

Total JKT N – 1

 

n

i

k 2

ij i

i 1 j 1

y y _

 

 

(14)

Keputusan Keputusan

14  = P (H ditolak | H benar)

 = P (H ₀ ditolak | H ₀ benar) 1 – 

F _α(k-1,N-k)

H ₀ benar F _(hitung) berdistribusi F dengan derajat kebebasan k – 1 dan N – k

F _(hitung) > F _α(k-1,N-k) H ₀ ditolak

K F l d b F d d k b b k 1 d N k

Ket : F _α(k-1,N-k) nilai distribusi F dengan derajat kebebasan k – 1 dan N – k

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C h K

Contoh Kasus

 Tabel berikut menyatakan waktu kesembuhan (jam) yang

diakibatkan tiga merek obat sakit kepala yang berlainan yang diberikan pada 25 penderita.

Obat Waktu kesembuhan (jam) (j )

A 5 4 8 6 3 3 5 2

B 9 7 8 6 9 3 7 4 1

C 7 6 9 4 7 2 3 4

Ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa rata-rata waktu

kesembuhan yang diakibatkan oleh ketiga merk obat tersebut tidak berbeda (gunakan tingkat signifikansi 5%)

15 tidak berbeda (gunakan tingkat signifikansi 5%)

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Solusi So us

H ₀ : μ _A = μ _B = μ _C

H ₁ : Paling sedikit dua diantara rata-rata tersebut tidak sama

Untuk membuat tabel analisis variansi, kita

No A B C

1 5 9 7

lakukan beberapa perhitungan :

2 4 7 6

3 8 8 9

4 6 6 4

5 3 9 7

6 3 3 2

7 5 7 3

8 2 4 4

9 1

Jumlah 36 54 42

Jumlah total 132

y _ ¹⁶

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Beberapa Besaran Anova Beberapa Besaran Anova

17 JKT = b – a = 137 04 JKT = b – a = 137,04 JKP = c – a = 9,54

JKG = JKT – JKP = b – c = 127,5

(18)

T ^ABEL ANOVA T ^ABEL ANOVA

Sumber Variasi

Jumlah Kuadrat

Derajat Kebebasan

Rata-rata Kuadrat

F _(hitung)

Perlakuan 9.54 2 9 54

Perlakuan 9.54 2 9.54

2  4.77

4.77 0.772 5.54 

Galat 127.5 22 127.5

22  5.79

.

Total 137.04 24

18

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P ^UTUSAN & S ^IMPULAN

19 P ^UTUSAN & S ^IMPULAN

 Karena F _hitung = 0.772 < F 0.05(2,22) = 3.443, maka H ₀ tak ditolak.

 Simpulkan bahwa rata-rata waktu kesembuhan

yang diakibatkan oleh ketiga merk obat tersebut

tidak berbeda secara signifikan.

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ANALISIS VARIANSI. Utriweni Mukhaiyar. 2 November 2011

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