PELUANG & ATURAN BAYES MA 2181 ANALISIS DATA, 15 AGUSTUS 2011 UTRIWENI MUKHAIYAR

(1)

1

PELUANG & ATURAN BAYES

MA 2181 ANALISIS DATA, 15 AGUSTUS 2011 UTRIWENI MUKHAIYAR

(2)

Eksperimen Eksperimen

2

Ciri-ciri eksperimen acak (Statistik):

 Dapat dulangi baik oleh si pengamat sendiri maupun orang lain.

 Proporsi keberhasilan dapat diketahui dari hasil-hasil sebelumnya.

 Bisa diukur (diamati).

 Hasilnya tidak bisa ditebak karena adanya

 Bisa diukur (diamati).

 Hasilnya tidak bisa ditebak karena adanya

 Hasilnya tidak bisa ditebak karena adanya galat/error.

(3)

Ruang Sampel Ruang Sampel

3

l h d

Ruang sampel S , yaitu himpunan dari semua kemungkinan hasil dari suatu

semua kemungkinan hasil dari suatu

percobaan acak (statistik).

(4)

Ruang Sampel Diskrit Ruang Sampel Diskrit

4

A. Diskrit: banyaknya (number) elemen d S t b d t dihit /di h

pada S tsb dapat dihitung/dicacah (countable). Hasil pencacahannya mungkin saja berhingga atau tidak mungkin saja berhingga atau tidak berhingga.

Contoh 1.S pada (percobaan) pengecekan sepatu hasil kiriman dari pabrik AAA sepatu hasil kiriman dari pabrik AAA.

Setiap pasang sepatu dipilih (acak), diperiksa, lalu digolongkan sebagai sepatu

t t tid k cacat atau tidak .

(5)

Ruang Sampel Kontinu Ruang Sampel Kontinu

5

B. Kontinu: elemen-elemen dari S tsb adalah bagian dari suatu interval adalah bagian dari suatu interval.

C h d b k

Contoh 2. S pada percobaan pengukuran tinggi mahasiswa Matematika ITB (satuan cm) misalnya S = {x: 100 < x <

(satuan cm), misalnya S = {x: 100 < x <

200}.

Jika kita pilih seorang siswa secara acak, J a ta p seo a g s swa seca a aca , maka dia mungkin memiliki tinggi 160,01 cm, atau 180,02, atau 199,99, atau nilai lainn a ang berkisar antara atau nilai lainnya yang berkisar antara 100< x <200.

(6)

Kejadian (Event) Kejadian (Event)

6



Himpunan bagian (subset) dari p g ( ) suatu ruang sampel S .



Notasi untuk even (kejadian)



Notasi untuk even (kejadian)

umumnya huruf kapital, misal A, B, d l i l i Jik k j di

dan lain-lain. Jika kejadiannya

banyak, bisa ditulis sebagai barisan,

misal E

₁

, E

₂

, ...dst.

(7)

R S l d K j di

Ruang Sampel dan Kejadian

 Ruang sampel, dinotasikan

S

Ruang Sampel Diskrit

S = { }

R u

Ruang Sampel Kontinu

 Event (kejadian)

S = { , , ... , }

 Event (kejadian)

E { }

7 7

E = { , }

(8)

Populasi dan sampel Populasi dan sampel

8



Pada Contoh 1: Semua sepatu yang diproduksi AAA disebut populasi,

d k t t di b t l

sedangkan sepatu-sepatu disebut sampel.

Ruang sampel pada contoh ini adalah semua keadaan sepatu yang mungkin semua keadaan sepatu yang mungkin terpilih, yaitu {cacat, tidak cacat} dan

termasuk jenis diskrit, karena banyaknya j , y y

elemen pada S ini dapat dihitung, yaitu

ada 2 buah, n(S ) = 2.

(9)

Contoh 3 Contoh 3

9

D i dib i b k i

 Dua pasien diberi obat untuk satu minggu.

Sukses atau tidaknya pengobatan untuk tiap pasien dicatat setelah 1 minggu Tentukan pasien dicatat setelah 1 minggu. Tentukan ruang sampelnya dan berilah contoh

kejadian/eventnya kejadian/eventnya.

 Jawab: Ruang sampelnya adalah S =

{SS ST TS TT} dimana S = Sukses; T = Tidak {SS,ST,TS,TT}, dimana S = Sukses; T = Tidak sukses (nominal)

 Contoh kejadian mis kejadian E dimana kedua

 Contoh kejadian, mis kejadian E₁ dimana kedua pasien pengobatannya sukses, maka E₁ ={SS};

dan E₂ dimana salah satu pasien tetap sakit dan E₂ dimana salah satu pasien tetap sakit E₂={ST,TS}

(10)

Contoh 4 Contoh 4

10

Dilakukan survey mencatat

 Dilakukan survey mencatat

indeks prestasi mahasiswa yang ada di ITB Tentukan ruang

ada di ITB. Tentukan ruang sampelnya dan berilah contoh eventnya.y

 Jawab: Misalkan S = {IP-nya lebih dari 0, tetapi kurang dari 4} dan E₂ adalah kejadian indeks prestasi

h i di k

mahasiswa di atas 3, maka

E₂ = {IP-nya antara 3 sampai 4}

(11)

Gabungan Gabungan

11

 Union dua peristiwa E₁ dan E₂ ditulis E₁E₂ adalah himpunan semua elemen E₁E₂, adalah himpunan semua elemen yang ada di dalam E₁ atau di dalam E₂ (termasuk di dalam keduanya jika ada) (termasuk di dalam keduanya jika ada).

 Contoh. Perhatikan Contoh 3.

Misal E₁ adalah kejadian salah seorang

pasien sembuh, dan E₂ adalah kejadian tidak

p , ₂ j

ada pasien yang sembuh. Maka E₁  E₂= {ST,TS,TT}.

(12)

Irisan Irisan

12

 Irisan dua peristiwa E₁ dan E₂, ditulis E₁∩E₂ adalah himpunan semua elemen E₁∩E₂, adalah himpunan semua elemen yang ada di dalam E₁ dan di dalam E₂.

Misalkan E₁: himpunan mahasiswa dengan tinggi lebih dari 165 cm, dan E₂: himpunan mahasiswa dengan tinggi kurang dari 170 cm. Maka E₁∩ E₂ = {x: 165 < x < 170}.

(13)

Komplemen Komplemen

13

 Komplemen suatu peristiwa E₁, ditulis E ^c adalah himpunan semua elemen E₁ , adalah himpunan semua elemen yang tidak di dalam E₁.

E₂^c= {0 ≤ IP ≤ 3}, yaitu himpunan nilai IP dari 0 sampai dengan 3.

(14)

Peluang Suatu Kejadian Peluang Suatu Kejadian

14

 Prinsip dasar : frekuensi relatif

 Jika suatu ruang sampel mempunyai n(S )

 Jika suatu ruang sampel mempunyai n(S ) elemen, dan suatu event E mempunyai

n(E) elemen maka probabilitas E adalah:

n(E) elemen, maka probabilitas E adalah:

( )E ( ) ( )

( ) P E n E

 n S

(15)

Contoh 5 Contoh 5

15

 Seorang pengusaha sukses merencanakan untuk berlibur

keliling Indonesia 1 bulan penuh (terhitung tanggal 1 sampai tanggal terakhir bulan ybs) tahun 2010. Perusahaannya

tanggal terakhir bulan ybs) tahun 2010. Perusahaannya

mewajibkan setiap anggotanya membuat surat izin tertulis dengan menyertakan lama waktu izin (dalam hari). Berapa

l b h h k t b t j k i i 31

peluang bahwa pengusaha sukses tersebut mengajukan izin 31 hari?

Jawab: n(S) = 12 (banyak bulan dalam 1 thn). Misal E : kejadian bulan dengan 31 hari, maka n(E) = 7

( ) 7 n E

yaitu E = {Jan, Mar, Mei, Jul, Agt, Okt, Des}

( ) 7 ( ) ( ) 12 P E n E

 n S 

(16)

Aksioma Peluang Aksioma Peluang

16

1. 0 ≤ P(E) ≤ 1.

2. P(S) = 1.( )

3. Jika E₁ dan E₂ adalah dua kejadian yang saling lepas maka berlaku:

saling lepas,maka berlaku:

P(E₁E₂ ) = P(E₁) + P(E₂)

4. Jika E₁, E₂,…,E_n adalah kejadian yang saling lepas mutual, maka berlaku :

saling lepas mutual, maka berlaku : P(E₁E₂…E_n) = P(E₁) + P(E₂) +…+

P(E ) P(E_n)

(17)

Peluang Bersyarat g y

17



Peluang bersyarat (conditional probability) dikatakan bersyarat karena eventnya sudah dibatasi.



Jika event pembatas itu A dan event yang

probabilitasnya ingin dihitung adalah B maka probabilitasnya ingin dihitung adalah B, maka peluang bersyaratnya adalah:

( )

( ) P A B P B A

P A

 

( ) P A

(18)

Peluang Bersyarat Peluang Bersyarat

18



Dalam P ( B | A ), event A adalah

k j di t j di t l bih d h l kejadian yang terjadi terlebih dahulu atau yang diamati lebih dulu, baru

kemudian B.

Jik A d B d l h d k j di



Jika A dan B adalah dua kejadian yang saling bebas, maka

P ( B | A ) = P ( B )

(19)

Contoh 6

19

Jenis Rambut Warna

Hitam Tidak Hitam

L 2 0

Lurus 2 0

Ikal 2 4

Keriting 1 2

P(L Hi ) 2 5 2

P(Lurus Hitam) 2 5 2

P(Lurus | Hitam) = :

P(Hitam) 11 11 5

  

(20)

Kejadian Saling Bebas dan Saling Lepas Kejadian Saling Bebas dan Saling Lepas

20

 Dua kejadian E dan F dikatakan saling bebas (independent) jika berlaku:

bebas (independent) jika berlaku:

( ) ( ) ( ) P EF ( ) P E P F ( ). ( ) P EF  P E P F

 Dua kejadian E dan F dikatakan saling

 Dua kejadian E dan F dikatakan saling lepas jika berlaku:

( ) 0

P EF 

(21)

Contoh 7 Contoh 7--

21

 Sebuah kartu dipilih secara acak dari

serangkai kartu bridge yang berjumlah 52 kartu Jika E adalah kejadian terpilih

kartu. Jika E adalah kejadian terpilih kartu As dan F adalah kejadian terpilih gambar hati. Tunjukkan bahwa E dan F

li b b A k h E d F li l ? saling bebas. Apakah E dan F saling lepas?

(22)

Contoh 7 --Contoh 7

22

( ) 1/ 52 P EF 

Jawab: karena hanya terdapat P EF( ) 1/ 52

Jawab: , karena hanya terdapat satu As yang bergambar hati.

( ) 4 / 52 P E 

 , karena terdapat 4 As dalam

( ) 13 / 52 P F 

kartu bridge

 , karena terdapat 13 kartu

4 13 52 1

( ) 13 / 52 P F

 , karena terdapat 13 kartu bergambar hati

4 13 52 1

( ). ( ) . ( )

52 52 52.52 52

P E P F     P EF

J di E d F li b b t i tid k li Jadi E dan F saling bebas, tapi tidak saling lepas.

(23)

Peluang Bersyarat

B k k j di Banyak kejadian

23

B

A

B₅ B₁

A  B₅ A  B₁

A B

B B

B₄

A  B₂ A  B₃

A  B₄

S ^B² ^B³

(24)

Peluang Bersyarat

B k k j di Banyak kejadian

24

(25)

Aturan Bayes Aturan Bayes

25

(26)

Contoh 8 Contoh 8

26

(27)

Solusi Solusi

27

(28)

Referensi Referensi

28

D kki F M l A M d I d i P b bili d

 Dekking F.M., et.al., A Modern Introduction to Probability and Statistics, London : Springer, 2005.

 Devore J L and Peck R Statistics – The Exploration and

 Devore, J.L. and Peck, R., Statistics – The Exploration and Analysis of Data, USA: Duxbury Press, 1997.

 Walpole, Ronald E. dan Myers, Raymond H., Ilmu Peluang dan p y y g Statistika untuk Insinyur dan Ilmuwan, Edisi 4, Bandung:

Penerbit ITB, 1995.

W l l R ld E t l St ti titi f S i ti t d E i i

 Walpole, Ronald E., et.al, Statistitic for Scientist and Engineering, 8th Ed., 2007.

 Wild C J and Seber G A F Chance Encounters – A first Course

 Wild, C.J. and Seber, G.A.F., Chance Encounters A first Course in Data Analysis and Inference, USA: John Wiley&Sons,Inc.,

2000.

 Pasaribu, U.S., 2007, Catatan Kuliah Biostatistika.