Analisis Vektor dan Fasor

EE

EE

2823

2823

ELEKTROMAGNETIKA I

ELEKTROMAGNETIKA I

Analisis Vektor dan

Fasor

Modul #02

Program Studi S1 Teknik Telekomunikasi Jurusan Teknik Elektro - Sekolah Tinggi Teknologi Telkom Bandung – 2006

Outline

„

Pendahuluan

„

Aljabar Skalar

„

Aljabar Vektor

„

Sistem Koordinat

„

Transformasi Koordinat

„

Jarak Antara 2 Titik

„

Integrasi dan Diferensiasi Vektor

EE2823 - Elektromagnetika I - Analisis Vektor dan Fasor 3

A. Berbagai Terminologi

Vektor

Besaran fisis yang harus dinyatakan dalam

magnitudo (besar) dan arah

Contoh : medan, gaya, kecepatan mobil , angin percepatan, dsb

Skalar

Besaran fisis yang cukup hanya dinyatakan dalam

magnitudo (besar) saja

Contoh : temperatur, massa, kelembaban, massa, panjang, berat jenis, resistivitas, dsb

Keterampilan dalam me mbaca vektor dan fasor sangat diperlukan dalam elektromagnetika. Analisa vektor adalah tool matematika yang sangat penting dikuasai dalam kuliah ini. Hal ini disebabkan besaran-besaran dalam Medan Elektromagnetik terutama adalah besaran-besaran vektor.

Definisi vektor dan skalar,

Berbagai Terminologi

Medan

Medan secara definitif berarti daerah pengaruh.

Secara lebih luas, medan kemudian menjadi besaran fisis dan merupakan daerah pengaruh besaran fisis.

Dilihat dari penyebabnya, vektor atau skalar, maka medan dibagi menjadi 2 ( dua ), yaitu :

ƒ Medan skalar, daerah pengaruh besaran skalar ƒ Medan vektor, daerah pengaruh besaran vektor

Notasi

Vektor A r atau A

Fasor _{A pengganti, A cos(wt+θ)} A∠θ atau, Aej(ωt+θ)

EE2823 - Elektromagnetika I - Analisis Vektor dan Fasor 5

B. Aljabar Skalar

Skalar ada 2 macam :

a. Skalar biasa,

Dinyatakan dengan bilangan riil

b. Skalar kompleks, atau FASOR

Memerlukan 2 angka riil sebagai bagian riil dan khayal. Biasa juga dinyatakan dalam amplituda dan sudut .

Fasor merupakan bentuk pengganti dari bentuk sinusoidal.

¾ Bentuk skalar kompleks

Ada 2 macam bentuk : ƒ Bentuk rectangular ƒ Bentuk polar

jb

a

A

A

=

=

+

dimana,

1

j

=

−

) ( j A A

e

A

A

A

=

∠

φ

=

φ

Aljabar Skalar

Misal diketahui dalam, ƒ Rectangular ƒ Polar A =a+ jb dan Bj =_A c+ jd A Ae A A = ∠φ = φ dan j B B Be B B = ∠φ = φ ƒ Penjumlahan dan pengurangan Rectangular, A + B = (a + jb) + (c + jd) = (a+c) + j(b+d) A - B = (a + jb) - (c + jd) = (a-c) + j(b-d) Polar

Ubah dulu ke bentuk rectangular, operasikan spt diatas, kembalikan lagi ke bentuk polar

ƒ Pangkat dan akar pangkat Polar A jn A n n e A n A A = ∠ φ = φ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ φ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛φ ∠ = _{n A n} j n n A e A n A A Rectangular

Lebih baik diubah dalam bentuk polar dulu

¾ Operasi-Operasi Bilangan Kompleks

EE2823 - Elektromagnetika I - Analisis Vektor dan Fasor 7 ƒ Perkalian

ƒ Pem bagian Rectangula rUbah dulu kebentuk polar, operasikan spt di bawah, kembal ikan lagi kebentuk rectangular

Polar B A j j B A.B A e .Be A AB = ∠φ ∠φ = φ φ ) ( j B A ) A Be A B ( B A ∠ φ +φ = φ +φ = B A j j B A e B e A B . A B A φ φ = φ ∠ φ ∠ = A B j( ) B A e B A ) ( B A _{φ −φ} = φ − φ ∠ =

¾ Identitas Euler

3 2 1 3 2 1 ajiner Im al Re jm ) m sin( j ) m cos( e± = ±

¾ Integrasi dan diferensiasi fungsi sinusoidal

(...) j dt (...) d _{= ω} (...) j 1 dt (...) ω =

∫

dan

Aljabar Skalar

[ ]

cos( ) Ree±jm = m

[ ]

sin( ) Ime±jm =± m

C. Aljabar Vektor

Aljabar vektor adalah operasi-operasi matematis yang dilakukan pada besaran vektor. Dalam hal ini perlu diketahui kaidah-kaidah yang berlaku dalam aljabar vektor.

¾ Vektor Satuan

¾ Notasi Vektor Dalam Koordinat

w

w v v u

u

aˆ

D

aˆ

D

aˆ

D

D

r

=

+

+

dimana,

w v

u

a

dan

a

a

ˆ

,

ˆ

,

ˆ

adalah vektor satuan masing masing sumbu koordinat Misal :

¾ Representasi Vektor (anah panah)

• Panjang anak panah mewakili magnitudo vektor • Arah anak panah mewakili arah vektor

A

a

A

A

r

=

r

ˆ

maka,

EE2823 - Elektromagnetika I - Analisis Vektor dan Fasor 9

Aljabar Vektor

¾ Operasi vektor

Sifat-sifat yang dimiliki penjumlahan vektor adalah :

a. Memenuhi Hukum Komutatif

A

B

B

A

r

r

r

r

+

=

+

A

B

A

(

B

)

(

B

)

A

r

r

r

r

r

r

+

−

=

−

+

=

−

b. Memenuhi Hukum Asosiatif

A

(

B

C

)

(

A

B

)

C

r

r

r

r

r

r

+

+

=

+

+

Penjumlahan vektor berarti penjumlahan komponen-komponen vektor Br Ar A B r r + Ar Br B Ar+r

Tanda minus (-) pada vektor berarti besarnya sama, arah berlawanan

Penjumlahan vektor

w w v v u

uaˆ A aˆ A aˆ

A Ar = + +

jika

, maka

2 w 2 v 2 u A A A A A A A aˆ + + = = r r r Lanjutan….(vektor satuan).

Aljabar Vektor

Perkalian Dengan Skalar

(

)

z z y y x x z z y y x x

aˆ

mA

aˆ

mA

aˆ

mA

aˆ

A

aˆ

A

aˆ

A

m

A

m

+

+

=

+

+

=

r

A

r

A

2

r

EE2823 - Elektromagnetika I - Analisis Vektor dan Fasor 11

Aljabar Vektor

Scalar product

α

cos

B

A

B

A

r

•

r

=

r

r

a. Memenuhi hukum komutatif

A

B

B

A

r

•

r

=

r

•

r

b. Memenuhi hukum distribusi

)

C

A

(

)

B

A

(

)

C

B

(

A

r

•

r

+

r

=

r

•

r

+

r

•

r

α

Br Ar

α

cos

B

r α Br Ar α cos Ar

Vector (cross) product of two vectors

c c

A

B

sin

aˆ

aˆ

C

B

A

r

×

r

=

=

r

r

α

Dengan,

Adalah vektor satuan berarah sesuai vektor C, dan tegaklurus terhadap vektor A dan vektor B

c

aˆ

α

Br Ar Cr Arah vektor C sesuai dengan arah sekrup yang

diputar dari vektor A ke vektor B

Aljabar Vektor

Vector (cross) product of two vectors (lanjutan…)

w w v v u

uaˆ A aˆ A aˆ

A

Ar = + + dan Br =B_uaˆ_u+B_vaˆ_v+B_waˆ_w

Jika Maka,

u

aˆ

aˆ

_v

aˆ

_w

aˆ

_u

aˆ

_v

u

A

A

_v

A

_w

A

_u

A

_v u

B

B

_v

B

_w

B

_u

B

_v = × =A B Cr r r

+

+

+

-w u v v u v w u u w u v w w

vB A B )aˆ (A B A B )aˆ (A B A B )aˆ

A (

Cr = − + − + −

Pada cross product tidak berlaku hukum komutatif, jika : C

B

EE2823 - Elektromagnetika I - Analisis Vektor dan Fasor 13

Aljabar Vektor

Hubungan yang sering digunakan dalam manipulasi ...

( ) ( )

b

c

c

a

b

b

(

c

a

)

a

r

•

r

×

r

=

r

•

r

×

r

=

r

•

r

×

r

( )

a

b

0

a

r

•

r

×

r

=

( )

b

c

b

( )

a

c

c

( )

a

b

a

r

×

r

×

r

=

r

r

•

r

−

r

r

•

r

¾ Berbagai Identitas Vektor

Aljabar Vektor

) A ( B ) B ( A A ) B ( B ) A ( ) B A (r r r r r r r r r r r r r r r _{• ≡ •∇ + •∇ + × ∇× + × ∇×} ∇ B ) A ( A ) B ( ) A ( B ) B ( A ) B A (r r r r r r r r r r r r r r r_{× × ≡ ∇• − ∇• + ∇• − ∇•} ∇ C ) B A ( B ) C A ( ) C B ( Ar× r× r ≡ r •r r − r •r r B ) A C ( A ) C B ( ) C ) B A (r × r •r ≡ r× r • r ≡ r × r •r B A A B ) B A (r r r r r r r r r _{• × ≡ •∇× − •∇×} ∇ A V A V ) A V ( r r r r r r_{× ≡ ∇ × + ∇×} ∇ ) B ( ) A ( ) B A (r r r r r r r_{× + ≡ ∇× + ∇×} ∇ A ) A ( Ar r r r r2r r r_{×∇× ≡ ∇ ∇• −∇} ∇ ) B ( ) A ( ) B A (r r r r r r r _{• + ≡ ∇• + ∇•} ∇ A V V A ) A V ( r r r r r r _{• ≡ •∇ + ∇•} ∇ W V ) W V ( + ≡∇ +∇ ∇r r r V V ≡∇2 ∇ • ∇r r r 0 A≡ × ∇ • ∇r r r 0 V≡ ∇ × ∇r r

EE2823 - Elektromagnetika I - Analisis Vektor dan Fasor 15

D. Sistem Koordinat

¾ Posisi titik P dalam suatu sistem koordinat 3 dimensi

dinyatakan sebagai :

P(u, v, w)

¾ Notasi vektor D dalam koordinat 3 dimensi dinyatakan :

w w v v u u

a

D

a

D

a

D

D

r

=

ˆ

+

ˆ

+

ˆ

¾ 3 macam sistem koordinat yang diperkenalkan :

• Koordinat Kartesian

• Koordinat Tabung ( Silindris ) • Koordinat Bola ( Spheris )

x

y

z

a_x a_y a_z

x

y

z

P φ1 ρ1 z1 az aφ aρ

x

y

z

P aφ ar aθ θ φ r

x

y

z

a_x a_y a_z

x

y

z

P φ1 ρ1 z1 az aφ aρ

x

y

z

P aφ ar aθ θ φ r

Sistem Koordinat

Arah orientasi...

EE2823 - Elektromagnetika I - Analisis Vektor dan Fasor 17

Sistem Koordinat

Variabel Faktor skala

Sistem koordinat

u v w h_u h_v h_w

Kartesian x y z 1 1 1

Silindris ρ φ z 1 ρ 1

Spheris r θ φ 1 r r sinθ

Panjang sisi volume diferensial

dL =_u h_ud_u ; dL =_v h_vd_v ; dL =_w h_wd_w

Vektor lintasan diferensial

dLr =h_ud_uaˆ_u +h_vd_vaˆ_v +h_wd_waˆ_w ;

Luas sisi diferensial

dS =uv huhvdudv ; dS =vw hvhwdvdw ; dS =uw huhwdudw

Vektor normal luas diferensial

dSr_uv =dS_uvaˆ_w ; dSr_vw=dS_vwaˆ_u ; dSr_uw =dS_uwaˆ_v

Volume diferensial

dV=huhvhwdudvdw

Sistem Koordinat

Gradien dari skalar G

w w v v u u aˆ w G h 1 aˆ v G h 1 aˆ u G h 1 G ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∇r

Divergensi dari suatu vektor D

(

)

(

)

(

)

⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = • ∇ _{v w u u w v u v w} w v u D h h w D h h v D h h u h h h 1 Dr r

Laplacian dari suatu skalar G

⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ + ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ + ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ = ∇ • ∇ = ∇ w G h h h w v G h h h v u G h h h u h h h 1 G G w v u v u w u w v w v u 2 r r r

Kurl (pusaran) dari vektor D

w w v v u u v u w w u v w v u D h D h D h u u u h h aˆ h h aˆ h h aˆ D ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = × ∇r r

EE2823 - Elektromagnetika I - Analisis Vektor dan Fasor 19

Sistem Koordinat

Representasi elemen volume dalam gambar

dxdy dxdz

x

y

z

a_x a_y a_z dydz

x

y

z

φ φ+dφ z z+dz _ρ ρ+d_ρ dρ ρdφ dz

x

y

z

θ φ r φ+dφ θ+dθ r+dr dr r sinθ dφ r dθ

E. Transformasi Koordinat

¾ Koordinat Silindris

←→ Koordinat Kartesian

• Transformasi Variabel ) z , y , x ( Ar ⇔Ar(ρ,φ,z)

Silindris ⇒ Kartesian Kartesian ⇒ Silindris φ ρ = cos x 2 2 y x + = ρ φ ρ = sin y ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = φ − x y tan1 z = z z = z

• Dot Product Vektor Satuan

• aˆ_ρ aˆ_φ aˆ_z

x

aˆ cos φ − sin φ

0

y

aˆ

sin φ cos φ

0

Tabel 1

EE2823 - Elektromagnetika I - Analisis Vektor dan Fasor 21 • Transformasi Vektor Ar(x,y,z)⇔Ar(ρ,φ,z) z z y y x

x

(

x

,

y

,

z

)

aˆ

A

(

x

,

y

,

z

)

aˆ

A

(

x

,

y

,

z

)

aˆ

A

)

z

,

y

,

x

(

A

r

=

+

+

z z

(

,

,

z

)

aˆ

A

aˆ

)

z

,

,

(

A

aˆ

)

z

,

,

(

A

)

z

,

,

(

A

r

ρ

φ

=

_ρ

ρ

φ

_ρ

+

_φ

ρ

φ

_φ

+

ρ

φ

Transformasi Koordinat

Langkah 1,

Ubah komponen !! Lihat tabel 2 dan rumus dibawah

z z A(x,y,z) aˆ A aˆ ) z , y , x ( A A aˆ ) z , y , x ( A A • = • = • = φ φ ρ ρ r r r z z y y x x aˆ ) z , , ( A A aˆ ) z , , ( A A aˆ ) z , , ( A A • φ ρ = • φ ρ = • φ ρ = r r r ) z , , ( A ) z , y , x ( Ar ⇒ r ρφ Ar(ρ,φ,z)⇒Ar(x,y,z) Langkah 2,

Ubah variabel !! Lihat tabel 1

Transformasi Koordinat

Koordinat Silindris ←→ Koordinat Kartesian...

Lihat bahwa komponen vektor tergantung pada posisi angular φ !

Lihat bahwa komponen vektor tergantung pada posisi angular φ ! y x A A cos A cos A A sin A cos A A = φ + φ = φ − φ = φ ρ φ ρ y x y x A A cos A sin A A sin A cos A A = φ + φ − = φ + φ = φ ρ

Contoh :

Mencari Aρ

(

)

(

)

(

)

4

3

42

1

4

3

42

1

4

3

42

1

0 z z sin y y cos x

x

(

x

,

y

,

z

)

aˆ

aˆ

A

(

x

,

y

,

z

)

aˆ

aˆ

A

(

x

,

y

,

z

)

aˆ

aˆ

A

A

_ρ φ ρ φ ρ ρ

=

•

+

•

+

•

φ = •aˆ_ρ 11cos aˆ_x x

aˆ φ _{aˆρ aˆρ}

φ − o 90 x y y x y aˆ

(

−φ

)

= φ =

•aˆ_ρ 11cos90 sin

aˆ_y o aˆ_z•aˆ_ρ =11cos90o =0

EE2823 - Elektromagnetika I - Analisis Vektor dan Fasor 23

¾ Koordinat Spheris

←→ Koordinat Kartesian

Transformasi Koordinat

• Transformasi Variabel

) z , y , x ( Ar ⇔Ar(r,θ,φ) 0 ≥ r dan 0≤θ ≤π

Spheris ⇒ Kartesian Kartesian ⇒ Spheris

φ θcos sin r x= 2 2 2 z y x r= + + φ θsin sin r y= ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = − r z 1 cos θ z = r cos θ _⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = − x y 1 tan φ

• Dot Product Vektor Satuan

• aˆ_r aˆ _θ aˆ_φ

x

aˆ sinθcosφ cosθ cosφ −sinφ y

aˆ sinθsinφ cosθ sinφ cosφ z

aˆ cosθ −sinθ 0

Tabel 1 Tabel 2 • Transformasi Vektor Ar(x,y,z)⇔Ar(r,θ,φ) z z y y x

x

(

x

,

y

,

z

)

aˆ

A

(

x

,

y

,

z

)

aˆ

A

(

x

,

y

,

z

)

aˆ

A

)

z

,

y

,

x

(

A

r

=

+

+

φ

θ

+

φ

θ

+

φ

θ

=

φ

θ

r

Transformasi Koordinat

Langkah 1,

Ubah komponen !! Lihat tabel 2 dan rumus dibawah

φ φ θ θ • = • = • = aˆ ) z , y , x ( A A aˆ ) z , y , x ( A A aˆ ) z , y , x ( A A_{r r} r r r z z y y x x aˆ ) , , r ( A A aˆ ) , , r ( A A aˆ ) , , r ( A A • φ θ = • φ θ = • φ θ = r r r ) z , , ( A ) z , y , x ( Ar ⇒ r ρφ Ar(r,θ,φ)⇒Ar(x,y,z) Langkah 2,

Ubah variabel !! Lihat tabel 1

EE2823 - Elektromagnetika I - Analisis Vektor dan Fasor 25

Transformasi Koordinat

Koordinat Spheris ←→ Koordinat Kartesian...

θ − θ = φ + φ θ + φ θ = φ − φ θ + φ θ = θ φ θ φ θ sin A cos A A cos A sin cos A sin sin A A sin A cos cos A cos sin A A r z r y r x

Contoh :

Mencari A_r φ θ =

•aˆ sin cos aˆ_{r x}

φ θ =

•aˆ sin sin aˆ_{r y}

θ = •aˆ cos aˆ_{r z}

Dengan cara yang sama akan dapat dicari komponen vektor yang lain , sbb :

φ + φ − = θ − φ θ + φ θ = θ + φ θ + φ θ = φ θ cos A sin A A cos A sin cos A cos cos A A cos A sin sin A cos sin A A y x z y x z y x r

(

)(

)

(

)

(

)

(

)(

)

4

3

42

1

4

3

42

1

4

3

42

1

θ φ θ φ θ

•

+

•

+

•

=

cos r z z sin sin r y y cos sin r x x

r

A

x

,

y

,

z

aˆ

aˆ

A

x

,

y

,

z

aˆ

aˆ

A

x

,

y

,

z

aˆ

aˆ

A

proyeksikan vektor satuana_r pada bidangx-y, lalu proyeksikan sekali lagi pada vektor satuana_x(atau sumbu-x)

r

aˆ

θ x-y z θ θ − o 90 ) y x ( r

aˆ

₋ φ x y x aˆ

aˆ

r(x−y)

φ Dapatkan pengertian bahwa

notasi dot adalah proyeksi !!!

Dapatkan pengertian bahwa notasi dot adalah proyeksi !!!

F. Jarak Antara Dua Titik

Jarak antara 2 titik P dan Q

adalah magnitudo dari perbedaan

vektor

P

dan

Q

z z y y x

x

aˆ

p

aˆ

p

aˆ

p

P

r

=

+

+

z z y y x x

a

q

a

q

a

q

Q

r

=

ˆ

+

ˆ

+

ˆ

(

q

x

p

x

)

aˆ

x

(

q

y

p

y

)

aˆ

y

(

q

z

p

z

)

aˆ

z

PQ

=

−

+

−

+

−

(

)

(

)

(

)

2 z z 2 y y 2 x x PQ

q

p

q

p

q

p

D

=

−

+

−

+

−

EE2823 - Elektromagnetika I - Analisis Vektor dan Fasor 27

G. Integrasi dan Diferensiasi Vektor

¾ Integral Garis

a

b

i l ∆

countour

c

A(l

_i

)

• Konsep mengenai integral garis dapat dilihat kembali pada

kuliah Matematika Teknik atau Kalkulus

• Untuk Skalar,

∑

∫

₌ ∞ →→ ∆

∆

=

N 1 i i i N 0 l b a

l

)

l

(

A

lim

dl

)

l

(

A

i

Pada kurva /countor c pada gambar di

samping, kurva dipotong-potong

dalam sejumlah N elemen panjang

∆l

_i

Dapat dibayangkan bahwa integrasi

disamping berarti adalah luas daerah di

bawah contour c

a

b

c

i

l

∆

Integrasi dan Diferensiasi Vektor

• Untuk Vektor,

→ = ∞ →→ ∆

∆

=

=

∑

∫

dl

lim

l

ab

N 1 i i N 0 l b a i

• Integral garis komponen vektor tangensial terhadap countour

∫

•

C

dl

)

z

,

y

,

x

(

t

)

z

,

y

,

x

(

A

r

r

EE2823 - Elektromagnetika I - Analisis Vektor dan Fasor 29

Integrasi dan Diferensiasi Vektor

Integral garis sering dijumpai

dalam persoalan

elektromagnetika.

Sebagai contoh :

Energi medan didefinisikan

sebagai integral garis dari

gaya-gaya yang diderita

sepanjang countour

∫

∫

•

=

θ

=

b a b a

dl

cos

F

l

d

F

W

r

r

l

d

r

adalah vektor garis singgung terhadap countour

l

d

r

Baik

dan

tergantung pada

posisi-nya

l

d

r

F

r

Integrasi dan Diferensiasi Vektor

¾ Integral Luas

• Untuk skalar,

z

₂

z

₁

y

₁

y

₂

x

z

y

S

∫ ∫

∫

=

∫∫

=

=

∆ ∆ 2 1 2 1 y y z z S y z

dz

dy

dydz

dS

S

Luas

• Untuk Vektor,

Komponen vektor yang menembus suatu

permukaan/ bidang (fluks) dapat

dinyatakan :

α

∆

=

∆

•

=

F

S

F

S

cos

fluks

r

r

r

Total fluks yang menembus suatu bidang dapat dinyatakan :

∫

•

=

S

S

d

F

total

fluks

r

r

Ingat, selalutegaklurus

terhadap permukaan dS !!

S

d

r

EE2823 - Elektromagnetika I - Analisis Vektor dan Fasor 31

H. Gradien, Divergensi, dan Curl

¾ Gradien

Gradien dari suatu medan skalar adalah suatu vektor yang magnitudonya menunjukkan perubahan maksimum medan dan arahnya menunjukkan arah dari peningkatan tercepat medan skalar tersebut

Sumber

Api

Ar Br X

Ilustrasi ...

Suhu adalah medan skalar = f (jarak thd sumber) Jika terukur suhu pada suatu titik X, maka

gradien terhadap suhu di X adalah vektorA, dan bukan vektorB

Gradien ....

• Jikaφadalah suatu fungsi skalar, maka didefinisikan :

φ

∇

=

φ

=

φ

Grad

r

Gradien

x y

aˆ

z

z

aˆ

y

aˆ

x

∂

∂

+

∂

∂

+

∂

∂

=

∇

r

operator Del sehingga, z y x

aˆ

z

aˆ

y

aˆ

x

∂

φ

∂

+

∂

φ

∂

+

∂

φ

∂

=

φ

∇

r

( untuk koordinat kartesian ) dimana,

• Dalam medan elektromagnetika, fungsi skalarnya biasanya adalah potensial listrik ( V ). Jikaφ diganti V, maka :

E

V r

r

− =

∇ ( untuk medan statis )atau , _Er =−∇r_V

ilustrasi….

arah gradien terhadap potensial menghasilkan vektor yang berarah menuju potensial yang lebih besar (

arah gradien terhadap potensial menghasilkan vektor yang berarah menuju potensial yang lebih besar (

Gradien, Divergensi, dan Curl

EE2823 - Elektromagnetika I - Analisis Vektor dan Fasor 33

Gradien, Divergensi, dan Curl

+

V ∇r

E

r

1 V 2 V 3 V 4 V 4 3 2 1 V V V V > > >

Arah gradien terhadap potensial

menghasilkan vektor yang

berarah menuju kearah potensial

yang lebih besar

→

menuju

kearah sumber itu sendiri

Jika sumber itu adalah API, maka

gradien terhadap SUHU akan mengarah kepada suhu yang lebih besar, yaitu api itu sendiri.

x

y z

Jika misalkan suhu berubah terhadap x, maka komponen gradien terhadap x ada, …..dst.

Lihat gambar di samping !

Gradien, Divergensi, dan Curl

[

]

[

x y z

]

z y x z y x

a

yz

x

a

z

x

a

xyz

a

z

yz

x

a

y

yz

x

a

x

yz

x

yz

x

a

z

a

y

a

x

V

E

ˆ

3

ˆ

ˆ

2

ˆ

)

(

ˆ

)

(

ˆ

)

(

ˆ

ˆ

ˆ

2 2 3 2 3 3 2 3 2 3 2 3 2

+

+

−

=

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

∂

∂

+

∂

∂

+

∂

∂

−

=

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

∂

∂

+

∂

∂

+

∂

∂

−

=

∇

−

=

r

r

Contoh :

3 2

yz

x

)

z

,

y

,

x

(

V

=

Misalkan, maka,

Jadi, jika x, y, z, diketahui pada suatu titik tertentu, maka medan listrik E dapat langsung diketahui

EE2823 - Elektromagnetika I - Analisis Vektor dan Fasor 35

Untuk mengestimasi dan meng-kuantisasi medan-medan vektor,

sering dengan cara mengukur / kuantisasi aliran medan vektor

tersebut ( atau netto aliran masuk dan keluar ).

Flux

: adalah netto aliran yang menembus permukaan dengan

arah normal terhadap permukaan

¾ Divergensi

Gradien, Divergensi, dan Curl

∫∫

•

=

∫∫

θ

=

Ψ

S S

dS

cos

F

S

d

F

r

r

nˆ

dS

S

d

r

=

Vektor dS selalu tegaklurus terhadap elemen permukaan dS

Gradien, Divergensi, dan Curl

Sehingga,

Jumlah fluks total yang menembus suatu permukaan tertutup

pasti adalah sama dengan sumber medan yang dilingkupi

oleh permukaan tertutup tersebut

∫∫

•

=

Ψ

S

S

d

F

r

r

Ilustrasi ...

Jika kita ingin mengetahui apakah ada

sumber yang ada dalam suatu ‘bola’ ...bisa

didapat dengan menghitung fluks total

yang menembus bola tersebut ... baik fluks

masuk maupun fluks keluar bola

EE2823 - Elektromagnetika I - Analisis Vektor dan Fasor 37

Gradien, Divergensi, dan Curl

Definisi divergensi

Divergensi mengamati unsur volume tertentu yang sangat kecil,

mengamati apakah ada

‘sumber’

atau tidak di dalam volume

tersebut

• Definisi dan Simbol

V

S

d

D

lim

S 0 V

∆

•

∫

→ ∆

r

r

D

r

r

•

∇

simbol x ∆ ∆y z ∆

• Pada Koordinat Kartesian,

[

]

z D y D x D aˆ D aˆ D aˆ D aˆ z aˆ y aˆ x D z y x z z y y x x z y x ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = + + • ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ∂ φ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = • ∇r r

Skalar Product !!

Tugas : Silakan cari rumus divergensi untuk koordinat tabung dan koordinat bola !!

• Hasil operasi divergensiadalah SKALAR, karenaDot Product

• Jika misalkan medan vektor yang diamati adalah

D

r

, maka :

Jumlah vektor keluar > jumlah vektor masuk Artinya : Di dalam ruangada sumber Jumlah vektor keluar < jumlah vektor masuk

Artinya : Ada kekosongandalam volume dan bersifat menyerap, contoh : Black Hole Jumlah vektor keluar = jumlah vektor masuk • Hasil divergensi (+)

• Hasil divergensi (-)

• Hasil divergensi = 0

Gradien, Divergensi, dan Curl

Divergensi...

EE2823 - Elektromagnetika I - Analisis Vektor dan Fasor 39

Gradien, Divergensi, dan Curl

Divergensi...

Bentuk persamaan diatas,

diturunkan secara langsung dari

definisi operator divergensi

V

S

d

F

lim

S 0 V

∆

•

∫

→ ∆

r

r

F

r

r

•

∇

=

Gradien, Divergensi, dan Curl

Divergensi...

Divergensi rapat fluks listrik, D,

terhadap suatu volume, maka akan

diketahui sumbe r muatandidalam volume itu

v

D

=

ρ

•

∇

r

r

=

ρ

_v

rapat muatan

volume

EE2823 - Elektromagnetika I - Analisis Vektor dan Fasor 41

Gradien, Divergensi, dan Curl

Divergensi...

Sekarang,

....bandingkan ekspresi berikut !

V

S

d

D

lim

S 0 V

∆

•

∫

→ ∆

r

r

D

r

r

•

∇

dilambangkan sebagai

= ρ

_v

= ρ

_v

∫

•

S

S

d

D

r

r

_{= Q}

Rapat fluks listrik yang

me nembus permukaan tertutup adalah sama dengan total muatan yang dilingkupi permukaan itu sendiri

Æ

disebut

Hk Gauss

Kesimpulan...

Adanya suatu muatan / distribusi muatan akan menyebabkan

adanya rapat fluks listrik

D

, dan menimbulkan suatu daerah yang

terpengaruh karena adanya muatan listrik tersebut,

E

.

Gradien, Divergensi, dan Curl

Divergensi...

Penurunan Teorema Divergensi ….

∫

•

=

S

Q

S

d

D

r

r

: Rapat muatan yang menembus permukaan tertutup adalah total muatan itu sendiri

(1)

Q

dv

v v

=

ρ

∫

: Integrasi rapat muatan volume dalam volume tertentu adalah muatan didalam volume itu

(2)

Q

dv

)

D

(

v

=

•

∇

∫

r

r

: Integrasi rapat muatan volume dalam volume tertentu adalah muatan didalam volume itu

(3)

v

D

=

ρ

•

∇

r

r

dengan substitusi maka,

dengan mempersamakan persamaan (1) dan (3) didapat

Teorema

Divergensi,

( )

∫

•

=

∫

∇

•

=

S v

Q

dv

D

S

d

D

r

r

r

r

EE2823 - Elektromagnetika I - Analisis Vektor dan Fasor 43

Gradien, Divergensi, dan Curl

Contoh

Aliran Penyelesaian Kasus Dalam Medan Statis...

V

E

r

=

−

∇

r

(1) Jika V(x,y,z) diketahui, maka medan listrik (E) didapat….

E

D

r

=

ε

r

(2) Jika medan listrik (E) didapat, maka rapat fluks (D) bisa dicari ….. _{ε = konstanta permitivitas bahan}

D

v

r

r

•

∇

=

ρ

(3) Kemudian rapat muatan volume didapatkan….

∫

ρ

=

dv

Q

_v

(4) Muatan dalam volume tertentu didapatkan ….

V

Q

C

=

(5) Akhirnya ….kita dapatkan kapasitansinya….

Gradien, Divergensi, dan Curl

¾ Curl / Pusaran

Curl adalah integral garis yang membatasi luas yang sangat kecil

• Definisi dan Simbol

S

L

d

H

lim

L 0 S

∆

•

∫

→ ∆

r

r

H

r

r

×

∇

simbol

• Curl adalahCross Product, sehingga hasilnya adalahVektor

dS J r Hr dL Hr Hr Hr

• Curl digunakan untuk mengetahui medan vektor menembus permukaan diferensial yang sangat kecil, yang menyebabkan pusaran medan lain

• Perhatikan gambar di samping !! , rapat arus J yang menembus permukaan dS menimbulkan suatu pusaran medan magnetik H

r

r

r

EE2823 - Elektromagnetika I - Analisis Vektor dan Fasor 45 • Pada Koordinat Kartesian,

[

]

z x y y z x x y z z y x z y x z z y y x x z y x aˆ y H x H aˆ x H z H aˆ z H y H H H H x x x aˆ aˆ aˆ aˆ H aˆ H aˆ H aˆ z aˆ y aˆ x H ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ∂ ∂ − ∂ ∂ + ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ∂ ∂ − ∂ ∂ + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ∂ ∂ − ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = + + × ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ∂ φ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = × ∇r r

Vector Product !!

Gradien, Divergensi, dan Curl

Curl...

Rumus umum untuk pusaran ...

Gradien, Divergensi, dan Curl

Curl...

EE2823 - Elektromagnetika I - Analisis Vektor dan Fasor 47

Gradien, Divergensi, dan Curl

Curl...

Penurunan

Teorema Stokes

….

∫

•

=

S

I

L

d

H

r

r

(1)

∫

•

=

S

I

S

d

J

r

r

(2)

J

H

r

r

r

=

×

∇

dari persamaan (1) dan (2), dan dari definisi : maka didapat

Teorema Stokes,

Bandingkan dengan

Teorema Divergensi,

( )

∫

•

=

∫

∇

•

=

S v

Q

dv

D

S

d

D

r

r

r

r

( )

∫

•

=

∫

∇

×

•

L S

S

d

H

L

d

H

r

r

r

r

r