EE
EE
2823
2823
ELEKTROMAGNETIKA I
ELEKTROMAGNETIKA I
Analisis Vektor dan
Fasor
Modul #02
Program Studi S1 Teknik Telekomunikasi
Jurusan Teknik Elektro - Sekolah Tinggi Teknologi Telkom
Bandung – 2006
Outline
Pendahuluan
Aljabar Skalar
Aljabar Vektor
Sistem Koordinat
Transformasi Koordinat
Jarak Antara 2 Titik
Integrasi dan Diferensiasi Vektor
EE2823 - Elektromagnetika I - Analisis Vektor dan Fasor
3
A. Berbagai Terminologi
Vektor
Besaran fisis yang harus dinyatakan dalam
magnitudo (besar) dan arah
Contoh
: medan, gaya, kecepatan mobil , angin
percepatan, dsb
Skalar
Besaran fisis yang cukup hanya dinyatakan dalam
magnitudo (besar) saja
Contoh
: temperatur, massa, kelembaban, massa,
panjang, berat jenis, resistivitas, dsb
Keterampilan dalam
me mbaca vektor dan fasor
sangat diperlukan dalam
elektromagnetika. Analisa vektor adalah tool matematika yang sangat penting
dikuasai dalam kuliah ini. Hal ini disebabkan besaran-besaran dalam Medan
Elektromagnetik terutama adalah besaran-besaran vektor.
Definisi vektor dan skalar,
Berbagai Terminologi
Medan
Medan secara definitif berarti
daerah pengaruh
.
Secara lebih luas, medan kemudian menjadi besaran fisis dan merupakan
daerah pengaruh besaran fisis.
Dilihat dari penyebabnya, vektor atau skalar, maka medan dibagi menjadi 2
( dua ), yaitu :
Medan skalar, daerah pengaruh besaran skalar
Medan vektor, daerah pengaruh besaran vektor
Notasi
Vektor
A
r
atau
A
Fasor
A
pengganti, A cos(wt+
A
∠
θ
θ
)
atau,
A
e
j(ωt+θ)EE2823 - Elektromagnetika I - Analisis Vektor dan Fasor
5
B. Aljabar Skalar
Skalar ada 2 macam :
a.
Skalar biasa,
Dinyatakan dengan bilangan riil
b.
Skalar kompleks, atau FASOR
Memerlukan 2 angka riil sebagai bagian riil dan khayal. Biasa juga
dinyatakan dalam amplituda dan sudut .
Fasor merupakan bentuk pengganti dari bentuk sinusoidal
.
¾
Bentuk skalar kompleks
Ada 2 macam bentuk
:
Bentuk
rectangular
Bentuk
polar
jb
a
A
A
=
=
+
dimana,
1
j
=
−
)
(
j
A
A
e
A
A
A
=
∠
φ
=
φ
Aljabar Skalar
Misal diketahui
dalam
,
Rectangular
Polar
jb
a
A
=
+
dan
B
=
c
+
jd
A
j A
A
e
A
A
=
∠
φ
=
φdan
j BB
B
e
B
B
=
∠
φ
=
φ
Penjumlahan dan
pengurangan
Rectangular,
A + B = (a + jb) + (c + jd) = (a+c) + j(b+d)
A - B = (a + jb) - (c + jd) = (a-c) + j(b-d)
Polar
Ubah dulu ke bentuk rectangular
, operasikan spt diatas
,
kembalikan lagi ke bentuk polar
Pangkat dan akar
pangkat
Polar
A
jn A
n n
e
A
n
A
A
=
∠
φ
=
φ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ φ
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛φ
∠
=
n A n j nn
A
e
A
n
A
A
Rectangular
Lebih baik diubah dalam bentuk polar dulu
EE2823 - Elektromagnetika I - Analisis Vektor dan Fasor
7
Perka lian
Pem bagi an
Rectangula r
Ubah dulu kebentuk polar,
operasikan spt di bawah
,
kembal ikan lagi kebentuk rectangular
Polar
B A j j
B
A
.
B
A
e
.
B
e
A
AB
=
∠
φ
∠
φ
=
φ φ) ( j B
A
)
A
B
e
A B(
B
A
∠
φ
+
φ
=
φ +φ=
B A j j
B A
e
B
e
A
B
.
A
B
A
φ φ
=
φ
∠
φ
∠
=
A B j( ) B A
e
B
A
)
(
B
A
φ −φ=
φ
−
φ
∠
=
¾
Identitas Euler
3
2
1
3
2
1
ajiner Im al
Re jm
)
m
sin(
j
)
m
cos(
e
±=
±
¾
Integrasi dan diferensiasi fungsi sinusoidal
(...)
j
dt
(...)
d
=
ω
(...)
j
1
dt
(...)
ω
=
∫
dan
Aljabar Skalar
[ ]
cos(
)
Re
e
±jm=
m
[ ]
sin(
)
Im
e
±jm=
±
m
C. Aljabar Vektor
Aljabar vektor adalah operasi-operasi matematis yang dilakukan pada
besaran vektor. Dalam hal ini perlu diketahui kaidah-kaidah yang
berlaku dalam aljabar vektor.
¾
Vektor Satuan
¾
Notasi Vektor Dalam Koordinat
w w v v u
u
aˆ
D
aˆ
D
aˆ
D
D
r
=
+
+
dimana,
w v
u
a
dan
a
a
ˆ
,
ˆ
,
ˆ
adalah vektor satuan masing
masing sumbu koordinat
Misal :
¾
Representasi Vektor (anah panah)
• Panjang anak panah mewakili magnitudo vektor
• Arah anak panah mewakili arah vektor
A
a
A
A
r
=
r
ˆ
maka,
EE2823 - Elektromagnetika I - Analisis Vektor dan Fasor
9
Aljabar Vektor
¾
Operasi vektor
Sifat-sifat yang dimiliki penjumlahan vektor adalah :
a. Memenuhi Hukum Komutatif
A
B
B
A
r
r
r
r
+
=
+
A
B
A
(
B
)
(
B
)
A
r
r
r
r
r
r
+
−
=
−
+
=
−
b. Memenuhi Hukum Asosiatif
A
(
B
C
)
(
A
B
)
C
r
r
r
r
r
r
+
+
=
+
+
Penjumlahan vektor berarti penjumlahan komponen-komponen vektor
Br
Ar A B
r r
+
Ar
B r
B Ar+r
Tanda minus (-) pada vektor berarti
besarnya sama, arah berlawanan
Penjumlahan vektor
w w v v u
u
aˆ
A
aˆ
A
aˆ
A
A
=
+
+
r
jika
, maka
2 w 2 v 2 u A
A
A
A
A
A
A
aˆ
+
+
=
=
r
r
r
Lanjutan….(vektor satuan).
Aljabar Vektor
Perkalian Dengan Skalar
(
)
z z y
y x
x
z z y
y x
x
aˆ
mA
aˆ
mA
aˆ
mA
aˆ
A
aˆ
A
aˆ
A
m
A
m
+
+
=
+
+
=
r
A
r
EE2823 - Elektromagnetika I - Analisis Vektor dan Fasor
1 1
Aljabar Vektor
Scalar product
α
cos
B
A
B
A
r
•
r
=
r
r
a. Memenuhi hukum komutatif
A
B
B
A
r
•
r
=
r
•
r
b. Memenuhi hukum distribusi
)
C
A
(
)
B
A
(
)
C
B
(
A
r
•
r
+
r
=
r
•
r
+
r
•
r
α
B
r
A
r
α
cos
B
r
α
B
r
A
r
α
cos
A
r
Vector (cross) product of two vectors
c c
A
B
sin
aˆ
aˆ
C
B
A
r
×
r
=
=
r
r
α
Dengan,
Adalah vektor satuan berarah
sesuai vektor C, dan tegaklurus
terhadap vektor A dan vektor B
c
aˆ
α
B
r
A
r
C
r
Arah vektor C
sesuai dengan arah
sekrup yang
diputar dari vektor
A ke vektor B
Aljabar Vektor
Vector (cross) product of two vectors (lanjutan…)
w w v v u
u
aˆ
A
aˆ
A
aˆ
A
A
r
=
+
+
dan
B
r
=
B
uaˆ
u+
B
vaˆ
v+
B
waˆ
wJika
Maka,
u
aˆ
aˆ
vaˆ
waˆ
uaˆ
vu
A
A
vA
wA
uA
vu
B
B
vB
wB
uB
v=
×
=
A
B
C
r
r
r
+
+
+
-w u v v u v
w u u w u
v w w
v
B
A
B
)
aˆ
(
A
B
A
B
)
aˆ
(
A
B
A
B
)
aˆ
A
(
C
r
=
−
+
−
+
−
Pada cross product tidak berlaku hukum komutatif, jika :
C
B
A
r
r
r
=
EE2823 - Elektromagnetika I - Analisis Vektor dan Fasor
1 3
Aljabar Vektor
Hubungan yang sering digunakan dalam manipulasi ...
( ) ( )
b
c
c
a
b
b
(
c
a
)
a
r
•
r
×
r
=
r
•
r
×
r
=
r
•
r
×
r
( )
a
b
0
a
r
•
r
×
r
=
( )
b
c
b
( )
a
c
c
( )
a
b
a
r
×
r
×
r
=
r
r
•
r
−
r
r
•
r
¾
Berbagai Identitas Vektor
Aljabar Vektor
)
A
(
B
)
B
(
A
A
)
B
(
B
)
A
(
)
B
A
(
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
×
∇
×
+
×
∇
×
+
∇
•
+
∇
•
≡
•
∇
B
)
A
(
A
)
B
(
)
A
(
B
)
B
(
A
)
B
A
(
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
•
∇
−
•
∇
+
•
∇
−
•
∇
≡
×
×
∇
C
)
B
A
(
B
)
C
A
(
)
C
B
(
A
r
×
r
×
r
≡
r
•
r
r
−
r
•
r
r
B
)
A
C
(
A
)
C
B
(
)
C
)
B
A
(
r
×
r
•
r
≡
r
×
r
•
r
≡
r
×
r
•
r
B
A
A
B
)
B
A
(
r
r
r
r
r
r
r
r
r
×
∇
•
−
×
∇
•
≡
×
•
∇
A
V
A
V
)
A
V
(
r
r
r
r
r
r
×
∇
+
×
∇
≡
×
∇
)
B
(
)
A
(
)
B
A
(
r
r
r
r
r
r
r
×
∇
+
×
∇
≡
+
×
∇
A
)
A
(
A
r
r
r
r
r
2r
r
r
∇
−
•
∇
∇
≡
×
∇
×
∇
)
B
(
)
A
(
)
B
A
(
r
r
r
r
r
r
r
•
∇
+
•
∇
≡
+
•
∇
A
V
V
A
)
A
V
(
r
r
r
r
r
r
•
∇
+
∇
•
≡
•
∇
W
V
)
W
V
(
+
≡
∇
+
∇
∇
r
r
r
V
V
≡
∇
2∇
•
∇
r
r
r
0
A
≡
×
∇
•
∇
r
r
r
0
V
≡
EE2823 - Elektromagnetika I - Analisis Vektor dan Fasor
1 5
D. Sistem Koordinat
¾
Posisi titik P dalam suatu sistem koordinat 3 dimensi
dinyatakan sebagai :
P(u, v, w)
¾
Notasi vektor D dalam koordinat 3 dimensi dinyatakan :
w w v v u
u
a
D
a
D
a
D
D
r
=
ˆ
+
ˆ
+
ˆ
¾
3 macam sistem koordinat yang diperkenalkan :
• Koordinat Kartesian
• Koordinat Tabung ( Silindris )
• Koordinat Bola ( Spheris )
x
y
z
a
xa
ya
zx
y
z
P
φ
1ρ
1z
1a
za
φa
ρx
y
z
P
a
φa
ra
θθ
φ
r
x
y
z
a
xa
ya
zx
y
z
P
φ
1ρ
1z
1a
za
φa
ρx
y
z
P
a
φa
ra
θθ
φ
r
Sistem Koordinat
EE2823 - Elektromagnetika I - Analisis Vektor dan Fasor
1 7
Sistem Koordinat
Variabel
Faktor skala
Sistem koordinat
u
v
w
h
uh
vh
wKartesian
x
y
z
1
1
1
Silindris
ρ
φ
z
1
ρ
1
Spheris
r
θ
φ
1
r
r sin
θ
Panjang sisi volume diferensial
dL
u=
h
ud
u;
dL
v=
h
vd
v;
dL
w=
h
wd
wVektor lintasan diferensial
d
L
r
=
h
ud
uaˆ
u+
h
vd
vaˆ
v+
h
wd
waˆ
w;
Luas sisi diferensial
dS
uv=
h
uh
vd
ud
v;
dS
vw=
h
vh
wd
vd
w;
dS
uw=
h
uh
wd
ud
wVektor normal luas diferensial
d
S
r
uv=
dS
uvaˆ
w;
d
S
r
vw=
dS
vwaˆ
u;
d
S
r
uw=
dS
uwaˆ
vVolume diferensial
dV
=
h
uh
vh
wd
ud
vd
wSistem Koordinat
Gradien dari skalar G
w w v v u u
aˆ
w
G
h
1
aˆ
v
G
h
1
aˆ
u
G
h
1
G
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
∇
r
Divergensi dari suatu vektor D
(
)
(
)
(
)
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
•
∇
v w u u w v u v ww v u
D
h
h
w
D
h
h
v
D
h
h
u
h
h
h
1
D
r
r
Laplacian dari suatu skalar G
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
+
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
+
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
=
∇
•
∇
=
∇
w
G
h
h
h
w
v
G
h
h
h
v
u
G
h
h
h
u
h
h
h
1
G
G
w v u v u w u w v w v u 2r
r
r
Kurl (pusaran) dari vektor D
EE2823 - Elektromagnetika I - Analisis Vektor dan Fasor
1 9
Sistem Koordinat
Representasi elemen volume dalam gambar
dxdy
dxdz
x
y
z
a
xa
ya
zdydz
x
y
z
φ φ+dφ
z
z+dz
ρ ρ+dρdρ
ρdφ dz
x
y
z
θ
φ
r
φ
+d
φ
θ
+d
θ
r+dr
dr
r sin
θ
d
φ
r d
θ
E. Transformasi Koordinat
¾
Koordinat Silindris
←→
Koordinat Kartesian
•
Transformasi Variabel
)
z
,
y
,
x
(
A
r
⇔
A
r
(
ρ
,
φ
,
z
)
Silindris
⇒
Kartesian
Kartesian
⇒
Silindris
φ
ρ
=
cos
x
2 2y
x
+
=
ρ
φ
ρ
=
sin
y
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
φ
−x
y
tan
1z = z
z = z
•
Dot Product Vektor Satuan
•
aˆ
ρaˆ
φaˆ
zx
aˆ
cos
φ
−
sin
φ
0
y
aˆ
sin
φ
cos
φ
0
Tabel 1
EE2823 - Elektromagnetika I - Analisis Vektor dan Fasor
2 1
•
Transformasi Vektor
A
r
(
x
,
y
,
z
)
⇔
A
r
(
ρ
,
φ
,
z
)
z
z
y
y
x
x
(
x
,
y
,
z
)
aˆ
A
(
x
,
y
,
z
)
aˆ
A
(
x
,
y
,
z
)
aˆ
A
)
z
,
y
,
x
(
A
r
=
+
+
z z
(
,
,
z
)
aˆ
A
aˆ
)
z
,
,
(
A
aˆ
)
z
,
,
(
A
)
z
,
,
(
A
ρ
φ
=
ρρ
φ
ρ+
φρ
φ
φ+
ρ
φ
r
Transformasi Koordinat
Langkah 1,
Ubah komponen !! Lihat tabel 2 dan rumus dibawah
z z
A
(
x
,
y
,
z
)
aˆ
A
aˆ
)
z
,
y
,
x
(
A
A
aˆ
)
z
,
y
,
x
(
A
A
•
=
•
=
•
=
φ φ ρ ρr
r
r
z z y y x xaˆ
)
z
,
,
(
A
A
aˆ
)
z
,
,
(
A
A
aˆ
)
z
,
,
(
A
A
•
φ
ρ
=
•
φ
ρ
=
•
φ
ρ
=
r
r
r
)
z
,
,
(
A
)
z
,
y
,
x
(
A
r
⇒
r
ρ
φ
A
r
(
ρ
,
φ
,
z
)
⇒
A
r
(
x
,
y
,
z
)
Langkah 2,
Ubah variabel !! Lihat tabel 1
Transformasi Koordinat
Koordinat Silindris
←→
Koordinat Kartesian...
Lihat bahwa komponen
vektor tergantung pada
posisi angular
φ
!
Lihat bahwa komponen
vektor tergantung pada
posisi angular
φ
!
z z y x
A
A
cos
A
cos
A
A
sin
A
cos
A
A
=
φ
+
φ
=
φ
−
φ
=
φ ρ φ ρ z z y x y xA
A
cos
A
sin
A
A
sin
A
cos
A
A
=
φ
+
φ
−
=
φ
+
φ
=
φ ρContoh :
Mencari A
ρ
(
)
(
)
(
)
4
3
42
1
4
3
42
1
4
3
42
1
0 z z sin y y cos xx
(
x
,
y
,
z
)
aˆ
aˆ
A
(
x
,
y
,
z
)
aˆ
aˆ
A
(
x
,
y
,
z
)
aˆ
aˆ
A
A
ρ φ ρ φ ρ ρ=
•
+
•
+
•
φ
=
•
aˆ
ρ1
1
cos
aˆ
xx
aˆ
φ
aˆ
ρaˆ
ρφ − o 90
x
y
y
x
yaˆ
(
−
φ
)
=
φ
=
•
aˆ
ρ1
1
cos
90
sin
aˆ
y oaˆ
z•
aˆ
ρ=
1
1
cos
90
o=
0
EE2823 - Elektromagnetika I - Analisis Vektor dan Fasor
2 3
¾
Koordinat Spheris
←→
Koordinat Kartesian
Transformasi Koordinat
•
Transformasi Variabel
)
z
,
y
,
x
(
A
r
⇔A
r
(
r
,
θ
,
φ
)
0
≥
r
dan0
≤
θ
≤
π
Spheris
⇒
Kartesian
Kartesian
⇒
Spheris
φ
θ
cos
sin
r
x
=
2 2 2z
y
x
r
=
+
+
φ
θ
sin
sin
r
y
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
−r
z
1cos
θ
z = r cos
θ
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
−x
y
1tan
φ
•
Dot Product Vektor Satuan
•
a
ˆ
ra
ˆ
θaˆ
φx
aˆ
sin
θ
cos
φ
cos
θ
cos
φ
−
sin
φ
y
aˆ
sin
θ
sin
φ
cos
θ
sin
φ
cos
φ
z
aˆ
cos
θ
−
sin
θ
0
Tabel 1
Tabel 2
•
Transformasi Vektor
A
r
(
x
,
y
,
z
)
⇔
A
r
(
r
,
θ
,
φ
)
z z
y y
x
x
(
x
,
y
,
z
)
aˆ
A
(
x
,
y
,
z
)
aˆ
A
(
x
,
y
,
z
)
aˆ
A
)
z
,
y
,
x
(
A
r
=
+
+
r
Transformasi Koordinat
Langkah 1,
Ubah komponen !! Lihat tabel 2 dan rumus dibawah
φ φ θ θ
•
=
•
=
•
=
aˆ
)
z
,
y
,
x
(
A
A
aˆ
)
z
,
y
,
x
(
A
A
aˆ
)
z
,
y
,
x
(
A
A
r rr
r
r
z z y y x xaˆ
)
,
,
r
(
A
A
aˆ
)
,
,
r
(
A
A
aˆ
)
,
,
r
(
A
A
•
φ
θ
=
•
φ
θ
=
•
φ
θ
=
r
r
r
)
z
,
,
(
A
)
z
,
y
,
x
(
A
r
⇒
r
ρ
φ
A
r
(
r
,
θ
,
φ
)
⇒
A
r
(
x
,
y
,
z
)
Langkah 2,
Ubah variabel !! Lihat tabel 1
EE2823 - Elektromagnetika I - Analisis Vektor dan Fasor
2 5
Transformasi Koordinat
Koordinat Spheris
←→
Koordinat Kartesian...
θ
−
θ
=
φ
+
φ
θ
+
φ
θ
=
φ
−
φ
θ
+
φ
θ
=
θ φ θ φ θsin
A
cos
A
A
cos
A
sin
cos
A
sin
sin
A
A
sin
A
cos
cos
A
cos
sin
A
A
r z r y r xContoh :
Mencari A
rφ
θ
=
•
aˆ
sin
cos
aˆ
r xφ
θ
=
•
aˆ
sin
sin
aˆ
r yθ
=
•
aˆ
cos
aˆ
r zDengan cara yang sama akan dapat dicari komponen vektor yang lain , sbb :
φ
+
φ
−
=
θ
−
φ
θ
+
φ
θ
=
θ
+
φ
θ
+
φ
θ
=
φ θcos
A
sin
A
A
cos
A
sin
cos
A
cos
cos
A
A
cos
A
sin
sin
A
cos
sin
A
A
y x z y x z y x r(
)(
)
(
)
(
)
(
)(
1
42
4
3
)
4
3
42
1
4
3
42
1
θ φ θ φ θ•
+
•
+
•
=
cos r z z sin sin r y y cos sin r x xr
A
x
,
y
,
z
aˆ
aˆ
A
x
,
y
,
z
aˆ
aˆ
A
x
,
y
,
z
aˆ
aˆ
A
proyeksikan vektor satuan
a
rpada bidang
x-y
, lalu proyeksikan
sekali lagi pada vektor satuan
a
x(atau sumbu-x)
r
aˆ
θ
x-y
z
θ
θ
−
o90
) y x ( raˆ
−φ
x
y
xaˆ
aˆ
r(x−y)φ
Dapatkan pengertian bahwa
notasi dot adalah proyeksi !!!
Dapatkan pengertian bahwa
notasi dot adalah proyeksi !!!
F. Jarak Antara Dua Titik
Jarak antara 2 titik P dan Q
adalah magnitudo dari perbedaan
vektor
P
dan
Q
z z y y x
x
aˆ
p
aˆ
p
aˆ
p
P
r
=
+
+
z z y y x
x
a
q
a
q
a
q
Q
r
=
ˆ
+
ˆ
+
ˆ
(
q
x
p
x
)
aˆ
x
(
q
y
p
y
)
aˆ
y
(
q
z
p
z
)
aˆ
z
PQ
=
−
+
−
+
−
(
)
(
)
(
)
2
z
z
2
y
y
2
x
x
PQ
q
p
q
p
q
p
D
=
−
+
−
+
−
EE2823 - Elektromagnetika I - Analisis Vektor dan Fasor
2 7
G. Integrasi dan Diferensiasi Vektor
¾
Integral Garis
a
b
i
l
∆
countour
c
A(l
i
)
• Konsep mengenai integral garis dapat dilihat kembali pada
kuliah
Matematika Teknik
atau
Kalkulus
•
Untuk Skalar,
∑
∫
=∞ →→
∆
∆
=
N1 i
i i N
0 l b
a
l
)
l
(
A
lim
dl
)
l
(
A
i
Pada kurva /
countor c
pada gambar di
samping, kurva dipotong-potong
dalam sejumlah N elemen panjang
∆
l
i
Dapat dibayangkan bahwa integrasi
disamping berarti adalah luas daerah di
bawah contour c
a
b
c
i
l
∆
Integrasi dan Diferensiasi Vektor
•
Untuk Vektor,
→
= ∞ →→
∆
∆
=
=
∑
∫
dl
lim
l
ab
N
1 i
i N
0 l b
a i
• Integral garis komponen vektor
tangensial
terhadap countour
∫
•
C
dl
)
z
,
y
,
x
(
t
)
z
,
y
,
x
(
EE2823 - Elektromagnetika I - Analisis Vektor dan Fasor
2 9
Integrasi dan Diferensiasi Vektor
Integral garis sering dijumpai
dalam persoalan
elektromagnetika.
Sebagai contoh :
Energi medan didefinisikan
sebagai integral garis dari
gaya-gaya yang diderita
sepanjang countour
∫
∫
•
=
θ
=
b
a
b
a
dl
cos
F
l
d
F
W
r
r
l
d
r
adalah vektor garis singgung terhadap countour
l
d
r
Baik
dan
tergantung pada
posisi-nya
l
d
r
F
r
Integrasi dan Diferensiasi Vektor
¾
Integral Luas
•
Untuk skalar,
z
2
z
1
y
1
y
2
x
z
y
S
∫ ∫
∫
=
∫∫
=
=
∆ ∆
2
1 2
1
y
y z
z S y z
dz
dy
dydz
dS
S
Luas
•
Untuk Vektor,
Komponen vektor yang menembus suatu
permukaan/ bidang (fluks) dapat
dinyatakan :
α
∆
=
∆
•
=
F
S
F
S
cos
fluks
r
r
r
Total fluks yang menembus suatu bidang dapat dinyatakan :
∫
•
=
S
S
d
F
total
fluks
r
r
Ingat, selalu
tegaklurus
terhadap permukaan dS !!
EE2823 - Elektromagnetika I - Analisis Vektor dan Fasor
3 1
H. Gradien, Divergensi, dan Curl
¾
Gradien
Gradien dari suatu medan skalar adalah suatu vektor yang
magnitudonya menunjukkan perubahan maksimum medan dan
arahnya menunjukkan
arah dari
peningkatan tercepat
medan
skalar tersebut
Sumber
Api
A
r
B
r
X
Ilustrasi ...
Suhu adalah medan skalar = f (jarak thd sumber)
Jika terukur suhu pada suatu titik X, maka
gradien terhadap suhu di X adalah vektor
A
,
dan bukan vektor
B
Gradien ....
• Jika
φ
adalah suatu fungsi skalar, maka didefinisikan :
φ
∇
=
φ
=
φ
Grad
r
Gradien
x yaˆ
zz
aˆ
y
aˆ
x
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
∇
r
operator Del
sehingga,
z y
x
aˆ
z
aˆ
y
aˆ
x
∂
φ
∂
+
∂
φ
∂
+
∂
φ
∂
=
φ
∇
r
( untuk koordinat kartesian )
dimana,
• Dalam medan elektromagnetika, fungsi skalarnya biasanya adalah
potensial listrik ( V ).
Jika
φ
diganti V, maka :
E
V
r
r
−
=
∇
( untuk medan statis )
atau ,
E
r
=
−
∇
r
V
ilustrasi….
arah gradien terhadap potensial menghasilkan vektor
yang berarah menuju potensial yang lebih besar (
arah gradien terhadap potensial menghasilkan vektor
yang berarah menuju potensial yang lebih besar (
Gradien, Divergensi, dan Curl
EE2823 - Elektromagnetika I - Analisis Vektor dan Fasor
3 3
Gradien, Divergensi, dan Curl
+
V
∇
r
E
r
1
V
2
V
3
V
4
V
4 3 2
1
V
V
V
V
>
>
>
Arah gradien terhadap potensial
menghasilkan vektor yang
berarah menuju kearah potensial
yang lebih besar
→
menuju
kearah sumber itu sendiri
Jika sumber itu adalah API, maka
gradien terhadap SUHU akan mengarah
kepada suhu yang lebih besar, yaitu api
itu sendiri.
x
y
z
Jika misalkan suhu berubah terhadap x,
maka komponen gradien terhadap x
ada, …..dst.
Lihat gambar di samping !
Gradien, Divergensi, dan Curl
[
]
[
x y z]
z y
x
z y
x
a
yz
x
a
z
x
a
xyz
a
z
yz
x
a
y
yz
x
a
x
yz
x
yz
x
a
z
a
y
a
x
V
E
ˆ
3
ˆ
ˆ
2
ˆ
)
(
ˆ
)
(
ˆ
)
(
ˆ
ˆ
ˆ
2 2 3
2 3
3 2 3
2 3
2
3 2
+
+
−
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
−
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
−
=
∇
−
=
r
r
Contoh :
3
2
yz
x
)
z
,
y
,
x
(
V
=
Misalkan,
maka,
Jadi, jika x, y, z, diketahui pada suatu titik tertentu, maka medan
listrik E dapat langsung diketahui
EE2823 - Elektromagnetika I - Analisis Vektor dan Fasor
3 5
Untuk mengestimasi dan meng-kuantisasi medan-medan vektor,
sering dengan cara mengukur / kuantisasi aliran medan vektor
tersebut ( atau netto aliran masuk dan keluar ).
Flux
: adalah netto aliran yang menembus permukaan dengan
arah normal terhadap permukaan
¾
Divergensi
Gradien, Divergensi, dan Curl
∫∫
•
=
∫∫
θ
=
Ψ
S S
dS
cos
F
S
d
F
r
r
nˆ
dS
S
d
r
=
Vektor dS selalu tegaklurus
terhadap elemen permukaan
dS
Gradien, Divergensi, dan Curl
Sehingga,
Jumlah fluks total yang menembus suatu permukaan tertutup
pasti adalah sama dengan sumber medan yang dilingkupi
oleh permukaan tertutup tersebut
∫∫
•
=
Ψ
S
S
d
F
r
r
Ilustrasi ...
EE2823 - Elektromagnetika I - Analisis Vektor dan Fasor
3 7
Gradien, Divergensi, dan Curl
Definisi divergensi
Divergensi mengamati unsur volume tertentu yang sangat kecil,
mengamati apakah ada
‘sumber’
atau tidak di dalam volume
tersebut
•
Definisi dan Simbol
V
S
d
D
lim
S0
V
∆
•
∫
→ ∆
r
r
D
r
r
•
∇
simbol
x
∆
∆
y
z
∆
•
Pada Koordinat Kartesian,
[
]
z
D
y
D
x
D
aˆ
D
aˆ
D
aˆ
D
aˆ
z
aˆ
y
aˆ
x
D
z y
x
z z y y x x z
y x
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
+
+
•
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
∂
φ
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
•
∇
r
r
Skalar Product !!
Tugas : Silakan cari rumus divergensi untuk koordinat tabung dan koordinat bola !!
•
Hasil operasi divergensi
adalah SKALAR, karena
Dot Product
• Jika misalkan medan vektor yang diamati adalah
D
r
, maka :
Jumlah vektor keluar > jumlah vektor masuk
Artinya : Di dalam ruang
ada sumber
Jumlah vektor keluar < jumlah vektor masuk
Artinya :
Ada kekosongan
dalam volume dan
bersifat menyerap, contoh :
Black Hole
Jumlah vektor keluar = jumlah vektor masuk
•
Hasil divergensi (+)
•
Hasil divergensi (-)
•
Hasil divergensi = 0
Gradien, Divergensi, dan Curl
Divergensi...
Sumbe r
Kekosongan
EE2823 - Elektromagnetika I - Analisis Vektor dan Fasor
3 9
Gradien, Divergensi, dan Curl
Divergensi...
Bentuk persamaan diatas,
diturunkan secara langsung dari
definisi operator divergensi
V
S
d
F
lim
S0
V
∆
•
∫
→ ∆
r
r
F
r
r
•
∇
=
Gradien, Divergensi, dan Curl
Divergensi...
Divergensi rapat
fluks listrik, D,
terhadap suatu
volume, maka akan
diketahui
sumbe r
muatan
didalam
volume itu
v
D
=
ρ
•
∇
r
r
=
EE2823 - Elektromagnetika I - Analisis Vektor dan Fasor
4 1
Gradien, Divergensi, dan Curl
Divergensi...
Sekarang,
....bandingkan ekspresi berikut !
V
S
d
D
lim
S0
V
∆
•
∫
→ ∆
r
r
D
r
r
•
∇
dilambangkan sebagai
=
ρ
v
=
ρ
v
∫
•
S
S
d
D
r
r
= Q
Rapat fluks listrik yang
me nembus permukaan tertutup
adalah sama dengan total muatan
yang dilingkupi permukaan itu
sendiri
Æ
disebut
Hk Gauss
Kesimpulan...
Adanya suatu muatan / distribusi muatan akan menyebabkan
adanya rapat fluks listrik
D
, dan menimbulkan suatu daerah yang
terpengaruh karena adanya muatan listrik tersebut,
E
.
Gradien, Divergensi, dan Curl
Divergensi...
Penurunan Teorema Divergensi ….
∫
•
=
S
Q
S
d
D
r
r
: Rapat muatan yang menembus permukaan
tertutup adalah total muatan itu sendiri
(1)
Q
dv
v
v
=
ρ
∫
: Integrasi rapat muatan volume dalam volume
tertentu adalah muatan didalam volume itu
(2)
Q
dv
)
D
(
v
=
•
∇
∫
r
r
: Integrasi rapat muatan volume dalam volume
tertentu adalah muatan didalam volume itu
(3)
v
D
=
ρ
•
∇
r
r
dengan substitusi
maka,
dengan mempersamakan persamaan (1) dan (3) didapat
Teorema
Divergensi,
( )
∫
•
=
∫
∇
•
=
S
v
Q
dv
D
S
d
EE2823 - Elektromagnetika I - Analisis Vektor dan Fasor
4 3
Gradien, Divergensi, dan Curl
Contoh
Aliran Penyelesaian Kasus Dalam Medan Statis...
V
E
r
=
−
∇
r
(1)
Jika V(x,y,z) diketahui, maka medan listrik (E) didapat….
E
D
r
=
ε
r
(2)
Jika medan listrik (E) didapat, maka rapat fluks (D) bisa dicari
…..
ε
= konstanta permitivitas bahan
D
v
r
r
•
∇
=
ρ
(3)
Kemudian rapat muatan volume didapatkan….
∫
ρ
=
dv
Q
v
(4)
Muatan dalam volume tertentu didapatkan ….
V
Q
C
=
(5)
Akhirnya ….kita dapatkan kapasitansinya….
Gradien, Divergensi, dan Curl
¾
Curl / Pusaran
Curl adalah integral garis yang membatasi luas yang sangat kecil
•
Definisi dan Simbol
S
L
d
H
lim
L0
S
∆
•
∫
→ ∆r
r
H
r
r
×
∇
simbol
• Curl adalah
Cross Product,
sehingga hasilnya adalah
Vektor
dS
J
r
H
r
dL
H
r
H
r
H
r
•
Curl digunakan untuk mengetahui medan
vektor menembus permukaan diferensial
yang sangat kecil, yang menyebabkan
pusaran medan lain
EE2823 - Elektromagnetika I - Analisis Vektor dan Fasor
4 5
•
Pada Koordinat Kartesian,
[
]
z x y
y z x
x y z
z y x
z y x
z z y y x x z
y x
aˆ
y
H
x
H
aˆ
x
H
z
H
aˆ
z
H
y
H
H
H
H
x
x
x
aˆ
aˆ
aˆ
aˆ
H
aˆ
H
aˆ
H
aˆ
z
aˆ
y
aˆ
x
H
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
∂
∂
−
∂
∂
+
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
∂
∂
−
∂
∂
+
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
∂
∂
−
∂
∂
=
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
+
+
×
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
∂
φ
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
×
∇
r
r
Vector Product !!
Gradien, Divergensi, dan Curl
Curl...
Rumus umum untuk pusaran ...
Gradien, Divergensi, dan Curl
Curl...
EE2823 - Elektromagnetika I - Analisis Vektor dan Fasor
4 7
Gradien, Divergensi, dan Curl
Curl...
Penurunan
Teorema Stokes ….
∫
•
=
S
I
L
d
H
r
r
(1)
∫
•
=
S
I
S
d
J
r
r
(2)
J
H
r
r
r
=
×
∇
dari persamaan (1) dan (2), dan dari definisi :
maka didapat
Teorema Stokes,
Bandingkan dengan
Teorema Divergensi,
( )
∫
•
=
∫
∇
•
=
S v
Q
dv
D
S
d
D
r
r
r
r
( )
∫
•
=
∫
∇
×
•
L S
S
d
H
L
d
H
r
r
r
r
r
