STATISTIKA INDUSTRI 2
TIN 4004
Pertemuan 11 s.d. 13
•
Outline:
–
Nonparametric Statistics
•
Referensi:
–
Walpole, R.E., Myers, R.H., Myers, S.L., Ye, K.,
Probability
& Statistics for Engineers & Scientists
,
9
thEd. Prentice Hall, 2012.
Nonparametric
•
Distribution-free methods
•
Analysis of ranks
•
Small sample size
•
Disadvantages:
–
Do not utilize all information provided by the
sample
–
Less efficient than parametric procedure
Statistik Non Parametrik
Statistik Non parametrik
•Cabang ilmu statistik yang mempelajari prosedur-prosedur inferensial dengan kesahihan yang tidak bergantung kepada asumsi-asumsi yang kaku tapi cukup pada asumsi yang umum.
•Asumsi-asumsi yang kaku, misal: syarat kenormalan suatu data, ragam yang sama, dll
SI 2 - Statistik Non Parametrik 4
Uji Statistik Parametrik
•Suatu uji yang modelnya menetapkan adanya syarat-syarat tertentu (asumsi-asumsi) dari sebaran (distribusi) data populasinya.
•Banyak digunakan untuk menganalisis data interval dan rasio
•Biasanya datanya besar : > 30
Parametrik Vs Non Parametrik
Parametrik
• menuntut ukuran –ukuran tingkat taraf tinggi
• Ukuran taraf / tingkat tinggi adalah sesuatu yang menghasilkan ukuran-ukuran yang digunakan untuk menunjukkan arti penting dari perbedaan yang terjadi.
• Misal: Ukuran berat (kg)
Perbedaan (0 - 485 kg) sama dengan perbedaan (485 - 980 kg)
SI 2 - Statistik Non Parametrik 5 Non Parametrik
Terjadi ukuran ordinal (bukan taraf tinggi)
Misal:
Preferensi konsumen atas 5 jenis barang (1,2,3,4,5) 3 memiliki preferensi > dari 2 tapi perbedaannya belum tentu 1 Tingkatan eksekutif 4 manager (1,2,3,4)
Pengujian dalam ukuran ordinal dengan cara memberi rank. Contoh : Ukuran berat : 3,4 1,8 5,8
Rank : 2 1 3
Skala Pengukuran...(review)
Semua skala pengukuran dapat diklasifikasikan kedalam empat jenis skala berikut ini :
1.Nominal
• Juga disebut sebagai skala kategorik
• Merupakan skala pengukuran yang bersifatmembedakansaja
• Angka atau simbol yang diberikan tidak memiliki maksud kuantitatif hanya menunjukkan ada atau tidak adanya atribut atau kharakteristik yang diteliti
• Contoh : Jenis kelamin seseorang, status perkawinan, kepesertaan keluarga berencana, lulus atau tidak dll.
• Bekerja dengan data ini, peneliti harus menentukan angka untuk tiap kategori, sebagai contoh : 1 untk wanita dan 2 untuk laki-laki (angka ini hanya representasi dari kategori atau kelas-2 dan tidak meunjukkan bilangan dari suatu atribut atau karakteristik.
2.Ordinal
• Skala pengukuran yang sifatnyamembedakandanmengurutkan • Setiap sub kelas dapat dibandingkan dengan yang lain dalam
hubungan“ lebih besar” atau“ lebih sedikit”.
• Contoh: misalkan seseorang diminta untuk mengurutkan tiga buah produk berdasarkan tingkat kepuasan terhadap produk.
Not at all satisfied Product A Product B Product C
Very satisfied
Skala Pengukuran
Brand Rank A 1 B 2 C 3 7 SI 2 - Statistik Non Parametrik3. Interval
•
Skala pengukuran yang bersifat
membedakan
,
mengurutkan
dan
memiliki jarak yang sama
•
Tidak memiliki nilai nol mutlak.
•
Contoh
:
Suatu suhu 80 F tidak dapat dikatakan dua kali lebih panas
dari suhu 40 F, karena kita tahu bahwa 80 F, pada skala
suhu yang lain, seperti celcius adalah 26,7 C sedangkan 40
F = 4,4 C. meskipun 80 F kelihatannya dua kali 40F ,
seseorang tidak dapat mengatakan bahwa 80F dua kali
lebih panas dari 40F, karena pada skala yang lain panasnya
tidak dua kalinya.
Skala Pengukuran
8 SI 2 - Statistik Non Parametrik
SI 2 - Statistik Non Parametrik 4. Ratio
• Skala pengukuran yang sifatnyamembedakan, mengurutkandan
mempunyai nilai nol mutlak.
• Nilai nol mutlak adalah nilai dasar yang tidak bisa diubah meskipun menggunakan skala yang lain.
• Karenanya nilai-nilai dalam skala ini dapat dibandingkan dan dapat dilakukan operasi matematis seperti penjumlahan pengurangan, bagi ataupun perkalian.
• Contoh:
100 Kg memiliki berat dua kali 50 kg 1000 meter memiliki panjang 20 kali 50 meter dll
Skala Pengukuran
9
Statistik Non Parametrik
Kelebihan statistik non parametrik
1. Asumsi yang digunakan minimum sehingga mengurangi kesalahan penggunaan 2. Perhitungan dapat dilakukan dengan cepat dan mudah
3. Konsep dan metode nonparametrik mudah dipahami bahkan oleh seseorang dengan kemampuan matematik yang minim
4. Dapat diterapkan pada skala peubah kualitatif (nominal dan ordinal) 5. Distribusi data tidak harus normal
SI 2 - Statistik Non Parametrik 10 Kekurangan statistik non parametrik
1. Bila digunakan pada data yang dapat diuji menggunakan statistika parametrik maka hasil pengujian menggunakan statistik nonparametrik menyebabkan pemborosan informasi
2. Pekerjaan hitung-menghitung (aritmetik) karena memerlukan ketelitian terkadang menjemukan
Statistik non parametrik
•
Kapan digunakan??
Langkah
–
langkah pemilihan metode statistik
Langkah
–
langkah pemilihan metode statistik - 2
SI 2 - Statistik Non Parametrik 13
ya
tidak
NON PARAMETRIK LIHAT JENISDISTRIBUSINYA
NON PARAMETRIK PARAMETRIK
4. Apakah varians kelompok sama?
5. Bagaimana jenis skala pengukuran data?
INTERVAL RASIO NOMINAL ORDINAL
Langkah2
pemilihan
metode
statistik
SI 2 - Statistik Non Parametrik 14
Parametrik Vs Non Parametrik
SI 2 - Statistik Non Parametrik 15
Pengujian Hipotesis Statistik Non Parametrik
Langkah
–
langkah pengujian hipotesis:
1. Menentukan formulasi hipotesis
2. Menentukan taraf nyata dan nilai tabel
3. Menentukan kriteria pengujian
4. Menentukan nilai uji statistik
5. Membuat kesimpulan
SI 2 - Statistik Non Parametrik 16
Pengujian Hipotesis Statistik Non Parametrik
SI 2 - Statistik Non Parametrik 17
Uji Non Parametrik yang akan dipelajari:
•
Uji Tanda (Sign Test)
•
Uji Urutan Bertanda Wilcoxon
•
Uji Korelasi urutan Spearman
•
Uji Mann-Whitney
•
Uji Kruskal
–
Wallis (H Test)
•
Uji Run
•
Uji Median
•
Uji kolmogorov
Sign Test
•
Used to test hypotheses on a population
median
•
Population mean = population median when
distribution is symmetric
•
In testing the
𝐻
0: 𝜇 = 𝜇
0against an appropriate
alternative, with random sample size = n, replace each
sample value exceeding
𝜇
0with “+”, and
each sample
value exceeding
𝜇
0with
“
-
”
•
The sign test is applicable only in situations where
𝜇
0cannot equal the value of any of the observations
Sign Test
•
Test
𝐻
0
that the number of “+” is a value of a
random variable having the binomial distribution
with
𝑝 = 1/2
.
•
P-values are calculated using binomial
distribution
•
Reject
𝐻
0
if proportion of “+” is sufficiently less
than ½, when the value
𝑥
of our random variable
is small.
𝑃 − 𝑣𝑎𝑙𝑢𝑒 ≤ 𝛼
Sign Test
Reject
𝐻
0
, jika P-
value ≤ α
Sign Test
•
Contoh:
Sign Test
•
Contoh:
Sign Test
•
Contoh
Sign Test
Wilcoxon Signed-Rank Test
•
Symmetric continuous distribution
•
Subtract sample value with
𝜇
0
, rank it from
absolute smallest to the largest one
•
When there are more than one differences are
the same, rank it with the average number of
the differences
Wilcoxon Signed-Rank Test
•
Test Procedures
Wilcoxon Signed-Rank Test
•
n < 5, and level of significance ≤ 0,05 (one
-tailed test), level
of significance ≤
0,01
(two-tailed test) >>>
𝑤
+
,
𝑤
−
,
𝑤
will lead to
acceptance
𝐻
0
•
5
≤ n ≤ 30, check table to set critical region
Wilcoxon Signed-Rank Test
•
Contoh:
Wilcoxon Signed-Rank Test
•
Contoh:
Wilcoxon Signed-Rank Test
Wilcoxon Signed-Rank Test
Wilcoxon Rank-Sum Test
•
Testing equality of means of two continous
distributions that nonnormal and samples are
independent
•
Take random sample, assign
𝑛
1for smaller number
sample and
𝑛
2for larger one. Assigned randomly if two
population have the same number of sample
•
Arrange
𝑛
1+ 𝑛
2observations in ascending order. If
there are the identical observations value, mean the
ranks
•
𝑤
1= sum of ranks of
𝑛
1observations
•
𝑤
2= sum of ranks of
𝑛
2observations
Wilcoxon Rank-Sum Test
Wilcoxon Rank-Sum Test
•
Procedures:
•
Reject
𝐻
0
:
𝑢
1
,
𝑢
2
,
𝑢
less than or equal to the
table value
Wilcoxon Rank-Sum Test
•
Contoh:
Wilcoxon Rank-Sum Test
Kruskal-Wallis Test
•
Nonparametric alternative to analysis of variance
–
ANOVA: testing equality of
𝑘 ≥ 2
population means,
must be normal distribution when using F-statistic
–
Kruskal-Wallis Test is a nonparametric procedure for
testing the equality of means in the one-factor
analysis of variance without normal populations
assumption
•
Generalization of Runk-Sum test for case
𝑘 > 2
samples
Kruskal-Wallis Test
•
Procedure:
–
Test
𝐻
0:
𝜇
1= 𝜇
2= ⋯ = 𝜇
𝑘;
𝐻
1: Not all means are equal
Condition: samples are independent
–
Steps:
1. Arrange the
𝑘
samples in ascending order, and assigne the
smallest number observations as
𝑛
1and so on. Compute
𝑛 = 𝑛
1+ 𝑛
2+ ⋯ + 𝑛
𝑘2. Rank all the observations inascending order. For identical
observations, assign it with the mean of the ranks
3. Sum the rank of each sample, denote it by random
variable
𝑅
.
𝑅
𝑖is sum of ranks corresponding to the
𝑛
𝑖observation in the
𝑖
-th sample
Kruskal-Wallis Test
•
Procedure:
–
Steps:
4. Compute the
𝐻
-statistic:
𝑯 =
𝒏(𝒏 + 𝟏)
𝟏𝟐
𝒊=𝟏 𝒌𝑹
𝒊𝟐𝒏
𝒊− 𝟑(𝒏 + 𝟏)
>>> approximated very well by chi-squared distribution with
𝑑𝑓 = 𝑘 − 1
5. Critical Region:
𝑯 > 𝝌
𝜶,𝒗=𝒌−𝟏
𝟐
Kruskal-Wallis Test
•
Contoh soal:
Kruskal-Wallis Test
Runs Test
•
Randomness Test
•
Run
: subsequence of one or more identical symbols
representing a common property of the data
•
Runs test divides the data into two mutually exclusive
categories, so a sequence will always be limited to two
distinct symbols
•
𝑛
1: the number of symbols category that the least
occurs;
𝑛
2: the number of symbols belong to other
category
•
𝑛 = 𝑛
1+ 𝑛
2•
Based on the random variable
𝑉
•
𝑉
: total number of runs that occur in the complete
sequence of experiment
Runs Test
•
Hipotesis:
–
𝐻
0: the sequence is random
–
𝐻
1: the sequence is not random
•
Tabel Runs Test to determine the P-value:
–
One tailed test:
𝑃 = 𝑃(𝑉 ≤ 𝑣
∗, 𝑤ℎ𝑒𝑛 𝐻
0𝑖𝑠 𝑡𝑟𝑢𝑒)
–
Two tailed test:
𝑃 = 2𝑃(𝑉 ≤ 𝑣
∗, 𝑤ℎ𝑒𝑛 𝐻
0𝑖𝑠 𝑡𝑟𝑢𝑒)
–
When
𝑣
∗is large (
> 𝑛/2
), use:
𝑃 = 𝑃 𝑉 ≥ 𝑣
∗, 𝑤ℎ𝑒𝑛 𝐻
0𝑖𝑠 𝑡𝑟𝑢𝑒
= 1 − 𝑃(𝑉 ≤ 𝑣
∗− 1, 𝑤ℎ𝑒𝑛 𝐻
0
𝑖𝑠 𝑡𝑟𝑢𝑒)
•
Critical Region:
𝑃 − 𝑣𝑎𝑙𝑢𝑒 ≤ 𝛼
Runs Test
•
Contoh Soal:
Runs Test
•
Contoh Soal:
Runs Test
•
When
𝑛
1
and
𝑛
2
(
≥ 10 𝑓𝑜𝑟 𝑒𝑎𝑐ℎ
) is large, the
sampling distribution of
𝑉
approaches the
normal distribution with mean and variance as
Runs Test
Kolmogorov-Smirnov Test
•
Test for normality
•
An alternative to the chi-squared test for
distribution hypothesis test
Kolmogorov-Smirnov Test
Kolmogorov-Smirnov Test
Spearman Coefficient of
Rank Correlation
Spearman Coefficient of
Rank Correlation
Uji Mann-Whitney (U Test)
•
Disebut juga pengujian U.
•
Dikembangkan oleh H.B. Mann dan D.R. Whitney
•
Digunakan untuk menguji rata-rata dari 2 sampel berukuran
tidak sama
•
Data ordinal
SI 2 - Statistik Non Parametrik 57
• Uji Mann-Whitney merupakan alternatif bagi uji-t. • Uji Mann-Whitneydigunakan untuk membandingkan
dua mean populasi yang berasal dari populasi yang sama.
• Uji Mann-Whitneyjuga digunakan untuk menguji apakah dua mean populasi sama atau tidak.
Uji Mann-Whitney (U Test)
•
Untuk sampel kecil
•
Tahapan:
Menentukan n
1dan n
2.
Menggabungkan kedua sampel dan memberi urutan
(ranking) tiap-tiap anggota
Menjumlahkan urutan masing-masing sampel
Menghitung statistik U
SI 2 - Statistik Non Parametrik 58
Uji Mann-Whitney (U Test)
Uji Mann-Whitney (U Test)
Contoh 1. Uji Mann-Whitney (U Test)
SI 2 - Statistik Non Parametrik 61
Uji Mann-Whitney (U Test)
Misalkan μ
1dan μ
2merupakan produktivitas padi dengan
pupuk anorganik dan organik
•
1. Hipotesis
H
0:
μ
1= μ
2(produktivitas padi dengan pupuk anorganik
dan organik adalah sama)
H
1:
μ
1≠ μ
2(produktivitas padi dengan pupuk anorganik
dan organik tidak sama atau berbeda)
•
2. Tingkat signifikansi 5%
62 SI 2 - Statistik Non Parametrik
Uji Mann-Whitney (U Test)
SI 2 - Statistik Non Parametrik 63
Dipakai adalah U terkecil
Tabel U /Mann-Whitney
64 SI 2 - Statistik Non Parametrik
Uji Mann-Whitney (U Test)
Latihan!!
Tabel di bawah menunjukkan gaji yang diterima oleh 5 orang sarjana ekonomi dan 4 orang insinyur setelah 3 tahun bekerja yang diperoleh dari sampel secara random
SE Gaji Urutan ST Gaji Urutan
A 710 1 O 850 5
B 820 3,5 P 820 3,5
C 770 2 Q 940 8
D 920 7 R 970 9
E 880 6
R2= 25,5
R1=19,5
SI 2 - Statistik Non Parametrik 65
Ujilah bahwa setelah tiga tahun bekerja, gaji sarjana ekonomi tidak lebih rendah dibanding insinyur .
Uji Mann-Whitney (U Test)
SI 2 - Statistik Non Parametrik 66
Uji Mann-Whitney (U Test)
SI 2 - Statistik Non Parametrik 67
Contoh 2. Uji Mann-Whitney (U Test)
Urutan Nilai Rank 1 25 1 2 30 2 3 50 3 4 55 4 5 65 5 6 70 7 7 70 7 8 70 7 9 75 9.5 10 75 9.5 11 78 11 12 80 12 13 85 13.5 14 85 13.5 15 88 15.5 16 88 15.5 17 90 17 18 95 18 19 98 19 20 100 20
SI 2 - Statistik Non Parametrik 68
Berikut adalah nilai UAS Statistika 2 mahasiswa fakultas Ekonomi dan ilmu komputer
Catatan: jumlah sampel mahasiswa 20
Uji Mann-Whitney (U Test)
SI 2 - Statistik Non Parametrik 69
Berdasarkan tabel tersebut, ujilah dengan taraf nyata 5%, apakah (peringkat) nilai mahasiswa fakultas ekonomi lebih besar dibanding mahasiswa ilmu komputer?
Uji Mann-Whitney (U Test)
SI 2 - Statistik Non Parametrik 70
Contoh 3. Uji Mann-Whitney (U Test)
Untuk menguji tingkat rata- rata operasi antara perusahaan 1 dan 2. Diambil sampel random n1= 10 hari pada perusahaan 1 dan n2= 12 hari pada perusahaan 2. Jumlah
n+ n= 22, kemudian tingkat rata-rata operasi diranking. Jumlah rank pada
Penyelesaian
3. Nilai hitung 4. Kesimpulan
Karena nilai statistik Zsampel=
Contoh 4. Uji Mann-Whitney (U Test)
SI 2 - Statistik Non Parametrik 73
Penyelesaian
1. Hipotesis H0: μ1= μ2
H1: μ1≠ μ2
2. Nilai kritis
Karena uji dua sisi, α = 0,10, maka harus dibagi dua menjadi (0,10/2 ) = 0,05. Sehingga Z0,05= 1,64
3. Nilai hitung
Standar deviasi populasi
SI 2 - Statistik Non Parametrik 74
𝜇𝑅1=
𝑛1(𝑛1+𝑛2+ 1)
2 =
14(14 + 11 + 1)
2 = 182
𝛿𝑅= 𝑛1𝑛2(𝑛1+𝑛1+ 1)
12 =
(14)(11)(14 + 11 = 1)
12 = 18,267
Penyelesaian
Nilai statistik Zsampel
4, Kesimpulan
Karena nilai statistik Zsampel= 1,26 < Z0,05= 1,64 maka terima H0. Ini
berarti taraf rata –rata kedua paket adalah sama
SI 2 - Statistik Non Parametrik 75
𝑍𝑠𝑎𝑚𝑝𝑒𝑙=𝑅1− 𝜇𝑅1
𝜎𝑅 =
205−182
18,267 = 1,26
Daerah penolakan H0
Daerah penolakan H0
Uji Median
76
•
Untuk menguji apakah dua sampel independen berbeda
mediannya.
•
Kedua sampel acak yang diambil dapat memiliki besar sampel
yang berbeda
SI 2 - Statistik Non Parametrik
Uji Median
77 SI 2 - Statistik Non Parametrik
Uji Median
Uji Median
79 SI 2 - Statistik Non Parametrik
Uji Median
80 SI 2 - Statistik Non Parametrik
Contoh. Uji Median
81 SI 2 - Statistik Non Parametrik
Penyelesaian
82 SI 2 - Statistik Non Parametrik
Penyelesaian
Pertemuan 14 - Persiapan
•
Materi