A Riemann-integrál alkalmazásai
Az alábbiakban az integrálszámítás néhány fontos alkalmazását tekintjük át.
Görbe ívhosszának meghatározása
Azx=f(x) (a≤x≤b)görbe ívhossza:s= b
Z
a
q
1 + [f′(x)]2dx
Azx=x(t), y=y(t) (α≤x≤β)paraméteresen adott görbe ívhossza:
s= β
Z
α
p
˙
x2(t) + ˙y2(t)dt
1. Mekkora azy= chxgörbe 0≤x≤aintervallumhoz tartozó ívhossza?
Megoldás :
s= a
Z
0 p
1 + sh2x dx=
a
Z
0
chx dx= [shx]a0= sha−sh 0 =
ea
−e−a 2
2. Számítsuk ki a közönséges ciklois egy ívének hosszát! A ciklois paraméteres
egyenlete: x(t) =a(t−sint), y(t) =a(1−cost) (0≤t≤2π).
Megoldás :
˙
x(t) =a(1−cost), y˙(t) =asint
˙
x2(t) =a2(1−2 cost+ cos2
t), y˙2(t) =a2sin2
t
˙
x2(t) + ˙y2(t) = 2a2(1−cost)
s=
2π
Z
0
a√2√1−cost dt=
2π
Z
0
2asint 2 dt=
−4acost 2
2π
0
= 4a+ 4a= 8a
Felhasználtuk asin2 t 2 =
1−cost
A görbe ívhossza polárkoordinátákkal
Azr=r(ϕ) (α≤ϕ≤β)megadású görbére:s= β
Z
α
p
r2(ϕ) + ˙r2(ϕ)dϕ
3. Számítsuk ki az r(ϕ) = a(1 + cosϕ) (0 ≤ ϕ ≤ 2π) egyenletű vonaldarab
(cardioid) ívhosszát!
Megoldás : Könnyen látható, hogy korlátos és folytonos görbéről van szó, ezért rektifikálható.
r2(ϕ) =a2(1 + cosϕ)2
=a2(1 + 2 cosϕ+ cos2
ϕ)
˙
r(ϕ) =−asinϕ, r˙2(ϕ) =a2sin2
ϕ
r2(ϕ) + ˙r2(ϕ) =a2(2 + 2 cosϕ) = 2a2(1 + cosϕ)
s=√2a
2π
Z
0 p
1 + cosϕ dϕ= 2a
2π
Z
0 r
cos2ϕ
2 dϕ
A cosϕ
2 a[0, π)-n pozitív, míg a(π,2π]-n negatív.
s= 2a
2π
Z
0 cos
ϕ
2
dϕ= 4a
π
Z
0
cosϕ
2 dϕ= 4a
h
2 sinϕ 2
iπ 0 = 8a
4. Számítsuk ki azr(ϕ) =aekϕ (a >0, 0≤ϕ≤ π
k)vonaldarab ívhosszát!
Megoldás : A görbe rektifikálható.
r2(ϕ) =a2e2kϕ, r˙(ϕ) =akekϕ, r˙2
(ϕ) =a2k2e2kϕ
r2(ϕ) + ˙r2(ϕ) =a2(1 +k2)e2kϕ
s= π k
Z
0 q
a2(1 +k2)e2kϕ dϕ=ap1 +k2
π k
Z
0
ekϕdϕ=ap
1 +k2
ekϕ
k
π k
0
=
=a
√
1 +k2
k (e
π
Területszámítások
5. Számítsuk ki azy=x2+ 1parabola1
≤x≤3szakasza alatti területet!
Megoldás :
T =
3 Z
1
(x2+ 1)dx=
x3
3 +x
3
1
=32 3 .
6. Számítsuk ki az ábrán láthatóy= 8a
3
x2+ 4a2 ésy=
x2
4a görbék által határolt
síkidom területét!
Megoldás : A két görbe metszéspontja:
8a3
x2+ 4a2 =
x2
4a
32a4
=x4
+ 4a2
x2
x2
=−4a
2 ±12a2
2
x2= 4a2; x1= 2a, x2=−2a
T =
2a
Z
−2a
8a3
x2+ 4a2 −
x2
4a
dx= 2
2a
Z
0
8a3
x2+ 4a2 −
x2
4a
dx=
= 2
2a
Z
0
8a3
x2+ 4a2 dx−2 2a
Z
0
x2
⋄ 2a
Z
0
8a3
x2+ 4a2 dx=
8a3
4a2 2 Z
0
dx
x
2a
2
+ 1 = 4a
2h
arctg x 2a
i2a 0 =
a2
π
⋄ 2a
Z
0
x2
4a dx=
1 4a
x3
3
2a
0
=2 3a
2
TehátT = 4a2
π
2 − 1 3
.
Paraméteresen adott görbék alatti területek kiszámítása
Azx=x(t), y=y(t) (t1≤t≤t2)paraméteresen adott görbe alatti terület:T = t2
Z
t1
y(t) ˙x(t)dt
7. Számítsuk ki azr sugarú kör területét!
Megoldás :
x=rcost, y=rsint, x˙(t) =−rsint
T = 2
0 Z
π
rsint(−rsint)dt=r
2
2 2 π
Z
0
(1−cos 2t)dt=r2
t−sin 2t
2
π
0
=r2
π
Azt használtuk ki, hogy az alsó félkör és a felső félkör területe megegyezik. A görbén (a függvények grafikonjához hasonlóan) balról jobbra kell haladnunk, ezért integrálunk π-től 0-ig.
8. Számítsuk ki azaésbféltengelyű ellipszis területét! Az ellipszis paraméteres
megadása:x=acost, y=bsint, (0≤t≤2π).
Megoldás : T = 2
0 Z
π
ab(−sin2
t)dt=abπ.
Szektorterületek számítása paraméteres megadás esetén
Azx=x(t), y=y(t) (t1≤t≤t2)szektorterületének kiszámítása:T = 1 2
t2
Z
t1
9. Mekkora az x = cht, y = sht paraméteres egyenletrendszerrel megadott
egyenlő szárú hiperbola t1 ≤ t ≤ t2 szektorának területe? Ezen hiperbola implicit egyenlete: x2
−y2= ch2
t+ sh2
t= 1.
Megoldás : xy˙−xy˙ = ch2
t−sh2
t= 1, tehátT = 1 2
t1
Z
−t1
1dt=t1.
Az
r
=
r(ϕ)
alakban adott görbék szektorterületének
szá-mítása
T = 1 2
β
Z
α
r2(ϕ)dϕ
10. Számítsuk ki azr2=
a2cos 2
ϕpoláregyenletű lemmiszkáta egyik levelének területét!
Megoldás :
T = 2·12
π
4
Z
0
a2
cos 2ϕ dϕ=a2
sin 2ϕ
2
π4
0
=a
2
2.
11. Mekkora azr= 2a(1 + cosϕ)poláregyenletű kardoid területe?
Megoldás :
T = 1 2
2π
Z
0
[2a(1 + cosϕ)]2
dϕ= 4a2
π
Z
0
(1 + 2 cosϕ+ cos2
ϕ)dϕ=
= 4a2
ϕ+ 2 sinϕ+ϕ 2 +
sin 2ϕ
4
π
0
= 6a2
π.
Forgástestek felszínének számítása
A rektifikálható és pozitívy=f(x)függvénya≤x≤b görbedarabjának az x
tengely körüli forgatásával keletkező forgástest palástjának felszíne:
F = 2π
b
Z
a
f(x)
q
12. Forgassuk meg azy =√xgörbe 0≤x≤1darabját az xtengely körül és
számítsuk ki az ily módon keletkezett forgástest palástjának felszínét!
Megoldás :
F= 2π
1 Z
0 √
x
r
1 + 1
4x dx= 2π
1 Z
0 r
x+1 4 dx.
Azu=x+1
4 helyettesítés eseténdu=dxés az új határok 1
4, illetve 5 4.
F = 2π
5 4
Z
1 4
√
u du= 2π2
3
h
u32
i
5 4
1 4
= 4π 3
s
5 4
3 −
s
1 4
3
≃5,3302
13. Határozzuk meg azon felület felszínét, amelyet az f(x) = sinxgörbe 0 ≤
≤x≤πdarabjának azxtengely körüli megforgatásával kapunk.
Megoldás :
F = 2π
π
Z
0
sinxp1 + cos2x dx.
Asht= cosxhelyettesítéssel cht dt=−sinx dx. Ideiglenesen az új határo-kat t1, illetvet2 jelöli, de nem lesz szükségünk a konkrét értékeikre.
F=−2π
t2
Z
t1
ch2
t dt=−2π
t2
Z
t1
1 + ch 2t
2 dt=−π
sh 2
t
2 +t
t2
Visszatérve az eredeti változóra, az eredeti határokat írjuk vissza:
F =−πhcosxp1 + cos2x+ arsh cosxiπ
0 ≃14,4236.
Paraméteres előállítású görbe forgatásával keletkező
forgás-test felszíne
F = 2π
β
Z
α
y(t)
q
[ ˙x(t)]2+ [ ˙y(t)]2dt
14. Számítsuk ki az
x2
a2 +
y2
b2 = 1
ellipszisxtengely körüli megforgatásával keletkező forgási ellipszoid felszínét! Az ellipszis paraméteres előállítása:
x(t) =acost, y(t) =bsint.
Megoldás : A felső félellipszis fogjuk megforgatni az x tengely körül, ezért
0≤t≤π.
F = 2π
π
Z
0
bsintpa2sin2
t+b2cos2t dt= 2π
π
Z
0
bsintpa2 −(a2
−b2) cos2t dt=
= 2π
π
Z
0
absint
r
1−a 2
−b2
Bevezetve az ε = a
2 −b2
a2 úgynevezett numerikus excentritást és u = cost helyettesítéssel du=−sint dt, az új határok:u1= 1ésu2=−1.
F=−2πab
−1 Z
1 p
1−ε2u2du= 2πab 1 Z
−1 p
1−ε2u2du
Újabb helyettesítés: εu= sinϕ(0< ε <1miatt ez alkalmazható helyettesí-tés), ε du= cosϕ dϕ. Az új határok:−arcsinεés+arcsinε.
F =2πab
ε
+arcsinε
Z
−arcsinε cos2
ϕ dϕ=2πab
ε
+arcsinε
Z
−arcsinε
1 + cos 2ϕ
2 dϕ=
=2πab
ε
ϕ
2 + sin 2ϕ
4
+arcsinε
−arcsinε
=2πab
ε
h
arcsinε+εp1−ε2i
Az
r
=
r(ϕ)
alakban adott görbének a forgatásával keletkező
forgástest palástjának felszíne
F = 2π
β
Z
α
r(ϕ) sinϕ
q
[ ˙r(ϕ)]2+ [r(ϕ)]2dϕ
15. Forgassuk meg azr=b(1 + cosϕ) 0≤ϕ≤πkardioidot azxtengely körül
és határozzuk meg az így keletkező forgástest felszínét!
Megoldás :
[ ˙r(ϕ)]2
+ [r(ϕ)]2
=b2
(2 + 2 cosϕ)
F = 2π
π
Z
0
b(1 + cosϕ) sinϕpb2(2 + 2 cosϕ)dϕ=
= 2π
π
Z
0
b2√
2(1 + cosϕ)32sinϕ dϕ=
−2√2πb2
2
5(1 + cosϕ)
5 2
π
0
=32πb
2
5 .
Forgástest térfogatának számítása
Az[a, b]intervallumon folytonos, nemnegatív függvény f(x)görbéjét az x
V =π
b
Z
a
[f(x)]2 dx
16. Számítsuk ki a csonkakúp térfogatát!
Megoldás :
V =π
h+m
Z
0
R h+mx
2
dx−π
h
Z
0 hr
hx
i2
dx=π
R h+m
2
x3
3
h+m
0 −
−πr h
2x3
3
h
0
=π
R2(
h+m)
3 −
r2
h
3
.
Háromszögek hasonlóságából tudjuk:
r h=
R−r m , h=
mr
R−r, tehát
V = π 3
R2mr+m(R−r) R−r −r
2 mr
R−r
= πm 3 (R
2
+rR+r2).
R
r
R−r
m h
17. Forgassuk meg azy= 1
1 +x2 görbét azxtengely körül és határozzuk meg a keletkező forgástest térfogatát a[−1,1]intervallumban!
Megoldás :
Z 1
(1 +x2)2 dx=
Z 1 +x2
(1 +x2)2 dx−
Z x2
(1 +x2)2 dx=
=
Z 1
1 +x2 dx+
x
2(1 +x2)−
Z 1
2(1 +x2) dx=
1 2
arctgx+ x 1 +x2
V =π
Paraméteresen adott meridiángörbéjű forgástest térfogata
Ha azx=x(t), y =y(t)egy t1 ≤t ≤t2 szakaszát megforgatjuk azxtengely körül, kapunk egy forgástestet, amelynek térfogata:V =π
t2
Z
t1
[x(t)]2y˙(t)dt
18. Számítsuk ki a gömb térfogatát!
Megoldás : Az x = acosϕ, y = asinϕ paraméteresen adott kört
for-Görbe súlypontja
Megoldás :
A kapott értékekbőlsx éssy már könnyen meghatározható.
Síktartomány súlypontja
Azy=f(x)grafikon és[a, b]közötti területre:
x+ 6 parabola és az xtengely által határolt síkrész súlypontját!
Megoldás : A parabola az x = −2 és az x = 3 pontban metszi az x
tengelyt. Három integrált kell kiszámolnunk:
I2=
1 2
3 Z
−2
(−x2+x+ 6)2
dx=
3 Z
−2
(x4−2x3−11x2+ 12x+ 36)dx=
= 1 2
x5
5 −2
x4
4 −11
x3
3 + 12
x2
2 + 36x
3
−2
≃52,085.
I3= 3 Z
−2
(−x2+x+ 6)dx=
−x
3
3 +
x2
2 + 6x
3
−2
≃20,84;
sx=
I1
I3 ≃
0,499, sx=
I2
I3 ≃
