Bilangan irasional
Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas
Langsung ke: navigasi, cari
Bilangan irasional adalah bilangan riil yang tidak bisa dibagi (hasil baginya tidak pernah berhenti). Dalam hal ini, bilangan irasional tidak bisa dinyatakan sebagai a/b, dengan a dan b sebagai bilangan bulat dan b tidak sama dengan nol. Jadi bilangan irasional bukan merupakan bilangan rasional. Contoh yang paling populer dari bilangan irasional ini adalah bilangan π, , dan bilangan e.
Bilangan π sebetulnya tidak tepat = 3.14, tetapi
= 3,1415926535.... atau
= 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510...
Untuk bilangan :
= 1,4142135623730950488016887242096.... atau
= 1,41421 35623 73095 04880 16887 24209 69807 85696 71875 37694 80731 76679 73798..
dan untuk bilangan e:
1.Himpunan bilangan asli
Himpunan bilangan asli adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya merupakan bilangan bulat positif.
N = {1,2,3,4,5,6,……}
2.Himpunan bilangan prima
Himpunan bilangan prima adalah himpunan bilangan-bilangan asli yang hanya dapat dibagi dirinya sendiri dan satu, kecuali angka 1.
P = {2,3,5,7,11,13,….}
3.Himpunan bilangan cacah
Himpunan bilangan cacah adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya merupakan bilangan bulat positif digabung dengan nol.
4.Himpunan bilangan bulat
Himpunan bilangan bulat adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya seluruh bilangan bulat, baik negatif, nol, dan positif.
B = {…,-3,-2,-1,0,1,2,3,…}
5.Himpunan bilangan rasional
Himpunan bilangan rasional adalah himpunan bilangan yang anggota-anggonya merupakan bilangan yang dapat dinyatakan sebagai:
p/q dimana p,q bulat dan q
0 atau dapat dinyatakan sebagai suatu desimalberulang.
contoh: 0,-2, 2/7, 5, 2/11, dan lain lain
6.Himpunan bilangan irasional
Himpunan bilangan irasional adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya tidak dapat dinyatakan sebagai sebagai p/q atau tidak dapat dinyatakan sebagai suatu desimal berulang.
contoh: log 2, e, 7
7.Himpunan bilangan riil
Himpunan bilangan riil adalah himpunan yang anggota-anggotanya merupakan gabungan dari himpunan bilangan rasional dan irasional.
contoh: log 10, 5/8, -3, 0, 3
8.Himpunan bilangan imajiner
Himpunan bilangan imajiner adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya merupakan i (satuan imajiner) dimana i merupakan lambang bilangan baru yang bersifat i² = -1
contoh: i, 4i, 5i
9. Himpunan bilangan kompleks
R, i² = -1, dengan a bagian riil dan b bagian
imajiner.
Tuesday, October 7, 2008
Mengenal Bilangan Rasional dan Irasional ^^
Posted by hendry_dext
Huaam. Sudah tahukah kalian tentang bilangan irasional? Lalu, kalau sudah tahu, tentunya kalian bisa donk menjawab pertanyaan ini:
1. Apakah adalah bilangan irasional? 2. Apakah adalah bilangan irasional?
3. Apakah 0,12111111... adalah bilangan irasional?
4. Bisakah kamu membuat bilangan 0,25252525... menjadi bentuk pecahan a/b yang paling sederhana?
5. Buktikan bahwa itu irasional (Sumber: ariaturns) 6. Buktikan 2log 3 adalah bilangan irasional
7. Dapatkah kamu menemukan suatu bilangan rasional yang merupakan hasil dari suatu bilangan irasional yang dipangkatkan dengan bilangan irasional?
Nah, kalo kalian masih b'lom tw, baca lagi joedoel post di atas: "Mengenal Bilangan Rasional dan Irasional". So, tenang aja... Here, I'll introduce you my friend, Irrational numbers.. Hehehe..
=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=
Definisi Bilangan Rasional
Kalau menurut kaidah bahasa Indonesia, bilangan irasional adalah bilangan yang tidak rasional. Jadi, kita harus tahu dulu apa itu bilangan rasional. Bilangan rasional adalah
bilangan Real yang dapat disusun ulang dalam bentuk pecahan di mana a dan b harus integer. Jadi, Bilangan irasional adalah bilangan Real yang TIDAK dapat disusun ulang
dalam bentuk pecahan .
Mungkin, masih bingung jika belum ada contoh. Langsung ke contoh saja. Contoh:
1. Angka 4. Angka ini dapat disusun ulang menjadi .a=4 dan b=1. Jadi, 4 bilangan rasional.
2. Pecahan . Pecahan ini jelas merupakan bilangan rasional, karena a=2 dan b=3.
Bagaimana dengan bilangan ..???
Jawab:
Bilangan adalah bilangan imajiner, bilangan yang tidak real (bilangan yang sesungguhnya tidak ada, karena bilangan negatif tidak bisa diakar 2). Jadi, jelas kalau bilangan itu tidak termasuk bilangan rasional maupun bilangan irasional.
Bagaimana dengan bilangan 0,98787768638?
Jawab:
Tentu saja bilangan rasional. Itu khan bisa diubah menjadi .
Bagaimana dengan bilangan desimal tak hingga banyaknya dan memiliki pola desimal yang berulang-ulang seperti bilangan 0,25252525...?
Jawab: Misalkan
A= 0,2525252525.... _____._(persamaan pertama) Kalikan A dengan 100 menghasilkan:
100A=25,2525252525.... ___(persamaan kedua) Kurangi persamaan kedua dengan persamaan kesatu: 100A-A = 25,2525252525... - 0,252525252525... 99A = 25
A = .
Ternyata bilangan 0,252525252525... dapat dibentuk menjadi pecahan di mana a=25 dan b=99.
Jadi, bilangan 0,25252525... adalah bilangan rasional.
Apakah 0,12111111... adalah bilangan rasional?
Jawab:
Jangan terkecoh dengan angka 2. Ini juga bagian dari bilangan berpola. Anggap
A=0,121111...
Kalikan A dengan 100 menghasilkan
100A = 12,1111... _____._(persamaan pertama) Kalikan lagi dengan 10 menghasilkan
1000A = 121,1111... ____(persamaan kedua) Kurangi persamaan kedua dengan persamaan kesatu 1000A-100A = 121,1111... - 12,1111...
A = .
Jadi, a = 109 dan b=900. Jadi, 0,1211111... merupakan bilangan rasional.
Apakah semua bilangan bulat, bilangan pecahan, dan bilangan desimal, bilangan desimal tak hingga berpola merupakan bilangan rasional?
Jawab:
Ya. Secara keseluruhan itu benar. Akan tetapi, pecahan yang pembilang atau penyebutnya bukan bilangan rasional belum tentu rasional.
Bagaimana menentukan suatu pecahan dari bilangan desimal berpola dengan cepat?
Jawab:
Sangat mudah. Pertama tentukan dulu berapa banyak bilangan yang berulang. Lalu, bilangan yang berulang itu tinggal dibagi 9 atau 99 atau 999 dan seterusnya (tergantung dari banyak bilangan yang berulang tadi). Lihat contoh di bawah.
Contoh:
1. Tentukan bilangan pecahan paling sederhana dari bilangan 0,123123123123123.... Jawab:
Terlihat bahwa ada 3 bilangan yang berulang. maka pecahan itu adalah .
Setelah disederhanakan maka menjadi .
2. Jika adalah suatu pecahan dari bilangan 0,0142857142851714285171428517.... Tentukan a+b positif terkecil!
Jawab:
Terlihat bahwa ada 6 bilangan yang berulang, yaitu 142857. Jadi, supaya semua desimal bergeser ke kiri, kalikan saja dengan 10, sehingga menjadi
0,142857142851714285171428517....
Dengan cara yang sama seperti di atas, maka pecahan tersebut adalah:
.
=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=
Definisi Bilangan Irasional
Nah, sekarang kita baru lanjut ke "Bilangan Irasional". Tentunya, jika sudah paham tentang konsep bilangan rasional, tidak akan sulit memahami konsep ini. Intinya, jika
bilangan itu tidak dapat dijadikan pecahan , maka bilangan itu irasional.
Bilangan dengan desimal tak hingga dan tak berpola apakah merupakan bilangan irasional?
Jawab:
Ya. Misalnya pi yang disimbolkan dengan digit 3,14159265358979323846264....
Digit-digit itu tak pernah berulang. Oleh karena itulah tidak bisa dijadikan pecahan . Begitu pula dengan yang digit-digitnya adalah
1,41421356237309504880168872420969807....
Oh iya, bilangan juga merupakan bilangan irasional yang pertama kali berhasil dibuktikan orang sebelum Masehi. Orang itu bernama Hippapus (Sumber: ariaturns).
Untuk membuktikan apakah itu irasional, kita tidak perlu menghitung semua digitnya karena digitnya itu infinite (tak hingga) banyaknya. Hippapus berhasil memberikan kita gambaran bagaimana membuktikannya dengan lebih mudah. Bukti ini juga berlaku untuk akar bilangan lainnya, seperti akar 3, akar 5, dan seterusnya.
Bagaimana cara membuktikan bahwa itu bilangan irasional?
Jawab:
Untuk membuktikan adalah irasional kita bisa menggunakan metode kontradiksi
(proof by contradiction), yaitu dengan mengasumsikan bahwa lawan dari pernyataan
adalah benar lalu menunjukkan bahwa asumsi tersebut salah yang artinya pernyataan dalil tersebut benar.
Pertama, asumsikan bahwa bilangan rasional yang bisa dibentuk menjadi .
=
Pindah ruas dan kuadratkan, sehingga menjadi: 2 =
Karena ruas kiri genap, maka ruas kanan juga harus genap. Oleh karena itu, misalkan a = 2k.
Maka mengakibatkan juga genap. Artinya b haruslah genap.
Artinya, pada asumsi ini mengakibatkan a dan b keduanya haruslah genap. Padahal, bilangan a dan b ini haruslah relatif prima. Coba, bayangkan saja. Apabila kedua bilangan harus genap, artinya bilangan tersebut seharusnya bisa disederhanakan bukan? Jadi, tidak
akan ada a dan b yang memenuhi kondisi = . Jadi, adalah bilangan irasional.
(Sumber: ariaturns)
Bagaimana cara membuktikan bahwa 2log 3 adalah bilangan irasional?
Jawab:
Gunakan cara yang sama seperti soal sebelumnya.
Asumsikan bahwa 2log 3 adalah bilangan rasional. Untuk positif integer m dan n, maka kita dapat:
2log 3 = = 3 =
Di sini kita akan menemui sesuatu yang kontradiktif. Ruas kiri, , akan selalu bernilai genap untuk semua nilai m, sedangkan untuk ruas kanan, akan selalu bernilai ganjil untuk semua nilai n. Maka, tidak mungkin ada nilai m dan n yang memenuhi. Jadi, 2log 3 adalah bilangan irasional.
Dapatkah kamu menemukan suatu bilangan rasional yang merupakan hasil dari suatu bilangan irasional yang dipangkatkan dengan bilangan irasional?
Jawab:
Soal di atas dapat ditulis ulang menjadi sebagai berikut.
, di mana a dan b adalah bilangan irasional dan c adalah bilangan rasional.
Seandainya, kita ambil contoh a = dan b = , maka kita tentunya bisa saja menganggap bahwa sebagai salah satu contoh bilangan rasional. Maka, di sini jawabannya sudah didapat.
Namun, apabila itu merupakan bilangan irasional, maka kita bisa menganggap
Dari semua bilangan Real yang ada, manakah bilangan yang lebih banyak, bilangan irasional atau bilangan rasional?
Jawab:
Semua bilangan bulat adalah bilangan rasional. Bilangan bulat dapat ditulis dalam bentuk misalnya akar 1, akar 4, akar 9, akar 16 dan sebagainya. Namun, ternyata akar 2, akar 3, akar 5, dan seterusnya merupakan bilangan irasional. Ternyata, bilangan irasional mengambil celah yang lebih banyak ketimbang bilangan rasional. Dan lagi, bilangan irasional juga bukan hanya didapat dari akar pangkat 2, tapi juga akar pangkat 3 dan seterusnya. Hal ini mengakibatkan jumlah bilangan rasional menjadi tak terhingga lebih sedikit ketimbang bilangan irasional.
Meskipun bilangan rasional juga melingkupi pecahan, namun apabila pecahan tersebut diakarkan (akar pangkat 2, 3, dan seterusnya), maka akan menghasilkan bilangan irasional.
Misalnya, merupakan bilangan rasional, namun , , dan seterusnya merupakan bilangan irasional. Ternyata jumlahnya jauh lebih banyak bukan?
Kesimpulan: Dalam himpunan bilangan Real, jumlah bilangan irasional jauh lebih banyak daripada jumlah bilangan rasional.
=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-= Sekian pembahasan mengenai konsep bilangan rasional dan irasional. (Masih ada tingkat lanjutannya.) Jika ada yang tidak dimengerti, tanya ajah.. ^^..
Sumber: macem2, salah satunya http://ariaturns.wordpress.com/2008/09/01/akar-2. Thx for http://jovieblog.blogspot.com juga yang turut memberi inspirasi mengenai design blog.
10 comments:
Sistem Bilangan Real
August 10th, 2008 by aurino | Filed under Uncategorized.
Sistem Bilangan Real
Jika a merupakan anggota himpunan S, maka dituliskan
a
S
dan dibaca “a elemen S“.Jika a bukan anggota himpunan S, maka dituliskan dan dibaca “a bukan elemen S“.
Himpunan dapat disajikan dengan 2 cara. Pertama, dengan menuliskan seluruh anggotanya. Sebagai contoh, himpunan A yang terdiri atas unsur-unsur 1,2,3,4,5,6,7,8,9 dapat dinyatakan sebagai:
A={1,2,3,4,5,6,7,8,9}
Kedua, yaitu dengan menuliskan syarat keanggotaan yang dimiliki oleh seluruh anggota suatu himpunan tetapi tidak dimiliki oleh unsur-unsur yang bukan anggota himpunan tersebut. Apabila himpunan A di atas dinyatakan dengan cara ini, maka dapat ditulis:
A={x|x bilangan bulat positif kurang dari 10}
Himpunan A disebut himpunan bagian himpunan B, ditulis , jika setiap anggota A
merupakan anggota B.
Beberapa himpunan bilangan yang dipandang cukup penting adalah
Himpunan semua bilangan asli adalah N ={1,2,3,…}. Himpunan ini tertutup terhadap
operasi penjumlahan dan operasi pergandaan, artinya dan untuk setiap
.
Oleh karena itu, himpunan semua bilangan asli membentuk suatu sistem dan biasa disebut sistem bilangan asli. Sistem bilangan asli bersama-sama dengan bilangan nol dan bilangan-bilangan bulat negatif membentuk Sistem Bilangan Bulat, ditulis dengan notasi
Z,
Z={…,-3,-2,-1,0,1,2,3,…}
Bilangan rasional adalah bilangan yang merupakan hasil bagi bilangan bulat dan bilangan asli. Himpunan semua bilangan rasional ditulis dengan notasi Q,
Sedangkan bilangan merupakan hasil bagi keliling sebarang lingkaran terhadap diameternya (Gambar 1.1.2).
Himpunan semua bilangan irasional bersama-sama dengan Q membentuk himpunan semua bilangan real R. Seperti telah diketahui, untuk menyatakan sebarang bilangan real
seringkali digunakan cara desimal. Sebagai contoh, bilangan-bilangan
masing-masing dapat dinyatakan dalam desimal sebagai
Dapat ditunjukkan bahwa bentuk desimal bilangan-bilangan rasional adalah salah satu dari 2 tipe berikut:
1. berhenti ( ), atau
2. berulang beraturan ( ).
AKAR DUA BILANGAN RASIONAL
Akar dua yang dilambangkan dengan x2, adalah suatu bilangan, sebut saja x, yang memenuhi x2=2. Bilangan x2 muncul sebagai akibat adanya teorema yang kebenarannya ditunjukan oleh Phytagoras, seorang filsuf dari Yunani.
Misalkan sebuah segitiga siku-siku dengan panjang masing-masing sisi siku-sikunya adalah a dan b. Dan panjang sisi miringnya adalah c,maka akan memenuhi persamaan:
c2=a2+b2
Apabila segitiga tersebut merupakan segitiga siku samakaki dengan panjang sisi siku-sikunya adalah 1, maka panjang sisi miringnya, yang dinamai c, mamenuhi persamaan berikut:
c2=12+12 c2=1+1
c2=2 c=x2
Bilangan irasional adalah bilangan yang bukan bilangan rasional. Sedangkan, yang dimaksud dengan bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dituliskan dalam bentuk p/q dengan p dan q masing-masing bilangan bulat dan q tidak sama dengan 0. Semua bilangan bulat merupakan bilangan rasional. Misalkan n adalah suatu bilangan bulat, maka n
senantiasa dapat dituliskan sebagai n/1. Contohnya: 5=5/1 12=12/1
Selain bilangan bulat ada bilangan rasional yang dikenal sebagai bilangan pecahan, salah satu contohnya bilangan yang lambangnya 1/2, dibaca satu per dua atau dikenal dengan nama setengah. Contoh yang lain adalah 3/4 dibaca tiga per empat. Dan masih tak hingga banyak lagi contoh yang lain.
Dilihat dari penulisannya, sebuah bilangan rasional terdiri atas 2 bagian, yaitu bagian atas dikatakan sebagai pembilang dan bagian bawah dikatakan sebagai penyebut dari sebuah bilangan rasional. Apabila pada suatu bilangan rasional, pembilangnya lebih kecil dari penyebutnya, maka nilai bilangan rasional itu lebih kecil dari 1. Dan apabila pembilangnya lebih besar dari penyebutnya, maka nilai bilangan rasional itu lebih besar dari 1.
Sedangkan apabila pembilangnya sama dengan penyebutnya maka nilai bilangan rasional itu sama dengan 1.
Kalau dihitung dengan kalkulator x2=1,414213562...
Sifat persamaan yang sudah dikenal sejak mulai belajar aljabar adalah suatu persamaan akan tetap ekivalen jika bagian kiri dan bagian kanannya masing-masing dikalikan dengan bilangan yang sama.
Disini persamaan (*) bagian kiri dan kanannya dikalikan dengan q, sehingga diperoleh:
qx2 =p.
Sifat persamaan lagi, suatu persamaan akan tetap ekivalen jika bagian kiri dan kanannya masing-masing dikuadratkan sehingga diperoleh:
2q2=p2 (**)
Dari 2q2=p2, berarti p2 adalah bilangan kelipatan 2. Jadi p2 genap, maka p adalah bilangan genap.
Sekarang, karena p genap, maka p adalah bilangan kelipatan dua, sehingga dapat dituliskan p = 2k, untuk suatu k bilangan bulat.
Kembali ke persamaan (**), yaitu 2q2=p2 diperoleh sebuah persamaan:
2q2=(2k)2 2q2=4k2 (***)
Dengan menggunakan sebuah sifat persamaan lagi, suatu persamaan akan tetap ekivalen jika bagian kiri dan bagian kanannya masing-masing dibagi dengan bilangan yang sama.
Persamaan (***) bagian kiri dan kanannya dibagi dengan 2 , maka diperoleh persamaan:
q2=2k2
yang berarti juga q2 adalah bilangan genap. Karena q2 genap, maka q adalah bilangan genap.
Karena p dan q keduanya bilangan genap, maka p dan q masing-masing dapat dibagi oleh dua. Hal ini tidak sesuai dengan pengandaian x2 =p/q yang menyatakan p dan q tidak dapat dibagi oleh bilangan yang sama.
Terlihat adanya kontradiksi, yang menunjukkan pengandaian salah. Maka tidak benar x2 dapat dituliskan sebagai p/q dengan p dan q bilangan bulat dengan q tidak sama dengen 0 dan p/q merupakan bentuk paling sederhana. Berarti x2 bukan bilangan rasional.
