BAB II
LANDASAN TEORI
2.1 Fuzzy Set
Pada tahun 1965, Zadeh memodifikasi teori himpunan dimana setiap anggotanya memiliki derajat keanggotaan yang bernilai kontinu antara 0 sampai 1. Himpunan ini disebut dengan himpunaan kabur (Fuzzy Set). Selama beberapa dekade yang lalu, himpunan fuzzy dan hubungannya dengan logika fuzzy telah digunakan pada lingkup domain permasalahan yang cukup luas.Lingkup ini antara lain mencakup kendali proses, klasifikasi dan pencocokan pola, manajemen dan pengambilan keputusan, riset operasi, ekonomi, dll. Sejak tahun 1985, terjadi perkembangan yang sangat pesat pada logika fuzzy tersebut terutama dalam hubungannya dengan penyele-saian masalah kendali, terutama yang bersifat non-linear, ill-defined, time-varying, dan situasi-situasi yang sangat kompleks.
Logika fuzzy dikatakan sebagai logika baru yang lama, sebab ilmu tentang logika fuzzy modern dan metodis baru ditemukan beberapa tahun yang lalu, padahal sebenarnya konsep tentang logika fuzzy itu sendiri sudah ada pada diri kita sendiri. Logika fuzzy adalah suatu cara yang tepat untuk memetakan suatu ruang input kedalam suatu ruang output.
Ada beberapa alasan mengapa orang menggunakan logika fuzzy, antara lain: konsep logika fuzzy mudah dimengerti, logika fuzzy sangat fleksibel, logika fuzzy memiliki toleransi terhadap data - data yang tidak tepat, logika fuzzy mampu memodelkan fungsi – fungsi nonlinear yang sangat kompleks, logika fuzzy dapat membangun dan mengaplikasikan pengalaman – pengalaman para pakar secara langsung tanpa harus melalui proses pelatihan, logika fuzzy dapat bekerjasama dengan teknik-teknik kendali secara konvensional, logika fuzzy didasarkan pada bahasa alami.
2.2 Perbedaan Antara Himpunan Crips Dengan Himpunan Fuzzy
Himpunan Crips A didefinisikan oleh item-item yang ada pada himpunan itu.
Jika a∈A, maka nilai yang berhubungan dengan a adalah 1. Namun, jika a∉A, maka
A berisi item x dengan P(x) benar. Jika XA merupakan fungsi karakteristik A dan
property p, maka dapat dikatakan bahwa P(x) benar, jika dan hanya jika XA(x)=1.
Himpunan fuzzy didasarkan pada gagasan untuk memperluas jangkauan fungsi karakteristik sedemikian hinnga fungsi tersebut akan mencakup bilangan real pada interval [0,1]. Nilai keanggotaannya menunjukkan bahwa suatu item dalam semesta pembicaraan tidak hanya berada pada 0 atau 1, namun juga nilai yang terletak diantaranya. Dengan kata lain, nilai kebenaran suatu item tidak hanya bernilai benar atau salah. Nilai 0 menunjukkan salah, nilai 1 menunjukkan benar, dan masih ada nilai - nilai yang terletak antara benar atau salah.
Misalkan diketahui klasifikasi sebagai berikut: MUDA umur < 35 tahun
SETENGAH BAYA 35 ≤ umur ≤ 55 tahun
TUA umur > 55 tahun
Dengan menggunakan pendekatan crips, amatlah tidak adil untuk menetapkan nilai SETENGAH BAYA. Pendekatan bisa saja dilakukan untuk hal-hal yang bersifat diskontinu. Misalkan klasifikasi untuk umur 55 dan 56 sangat jauh berbeda, umur 55 th termasuk SETENGAH BAYA, sedangkan umur 56 th sudah termasuk tua. Demikian pula untuk kategori MUDA dan TUA. Orang yang berumur 34 tahun dikatakan MUDA, sedangkan orang yang berumur 35 tahun sudah TIDAK MUDA lagi. Orang yang berumur 55 tahun termasuk SETENGAH BAYA, orang yang berumur 55 tahun lebih 1 hari sudah TIDAK SETENGAH BAYA lagi. Dengan demikian pendekatan crips ini sangat tidak cocok untuk diterapkan pada hal - hal yang bersifat kontinu, seperti umur.
Selain itu, untuk menunjukkan suatu umur pasti termasuk SETENGAH BAYA, atau tidak termasuk SETENGAH BAYA, dan menunjukkan suatu nilai kebenaran 0 atau 1, dapat digunakan nilai pecahan, dan menunjukkan 1 atau nilai yang dekat dengan 1 untuk umur 45 th, kemudian perlahan menurun menuju ke 0 untuk umur dibawah 35 th dan diatas 55 th.
2.3 Fungsi Keanggotaan
(sering juga disebut dengan derajat keanggotaan) yang memiliki interval antara 0 sampai 1.
Sebagai contoh, Misalkan akan membuat himpunan tinggi badan orang. Kata TINGGI menunjukkan derajat seberapa besar orang dikatakan tinggi. Dengan menggunakan crisp (tegas), misalkan seseorang dikatakan tinggi jika memiliki tinggi badan diatas 165 cm.
Secara tegas dapat dikatakan bahwa orang yang memiliki tinggi badan diatas
165 cm dikatakan Tinggi dengan nilai keanggotaan (μ) = 1. Sebaliknya, apabila
seseorang memiliki tinggi badan kurang dari atau sama dengan 165 cm, maka secara
tegas dikatakan bahwa orang tersebut Tidak Tinggi dengan μ=0 . Hal ini menjadi tidak
adil, karena untuk orang yang memiliki tinggi badan 165,1 cm dikatakan Tinggi, sedangkan orang yang memiliki tinggi badan 165 cm dikatakan Tidak Tinggi.
Dengan menggunakan himpunan fuzzy, dapat dibuat suatu fungsi keanggotaan yang bersifat kontinu. Orang yang memiliki tinggi badan 160 cm sudah
mendekati tinggi, artinya dia dikatakan Tinggi dengan μ=0,75. Sedangkan orang yang
memiliki tinggi badan 153 cm, dia memang kurang tinggi, artinya dia dikatakan
Tinggi dengan μ=0,2.
Contoh lain, untuk variabel umur menunjukkan himpunan crisp untuk setengah Baya, dimana orang yang berumur kurang dari 35 tahun atau lebih dari 55 tahun disebut bukan Setengah Baya (nilai keanggotaan =0). Sedangkan orang yang berumur antara 35 dan 55 tahun disebut Setengah Baya (nilai keanggotaan = 1). Ini dapat dilihat pada gambar 1 .
µ
[ ]
x1
0 umur 35 55
[ ]
x µ 1 0.5 0 25 35 45 55 65 umurGambar 2. Himpunan fuzzy Setengah Baya
Gambar 2 ini menunjukkan fuzzy set untuk setengah baya . Orang yang berumur 25 sampai 65 tahun dikatakan Setengah Baya dengan nilai keanggotaan yang berbeda. Orang dikatakan benar-benar Setengah Baya (nilai keanggotaan = 1) jika berumur 45 tahun.
Himpunan fuzzy yang berhubungan dengan Muda,Setengah Baya, dan tua, dapat didefenisikan secara bersama. Himpunan-himpunan tersebut kelihatan overlap.Umur 60 tahun termasuk Setengah Baya dan Tua. Jika umur semakin bertambah maka keanggotaan Mudanya semakin mendekati 0. Tiap-tiap himpunan fuzzy dapat disebutkan sesuai dengan nilai linguistik yang bersesuaian, dalam hal ini Muda, Setengah Baya, dan Tua.
2.4 Domain Himpunan Fuzzy
Domain himpunan fuzzy adalah keseluruhan nilai yang diijinkan dalam semesta pembicaraan. Domain merupakan Himpunan bilangan real yang senantiasa naik (bertambah) secara monoton dari kiri kekanan. Nilai domain dapat berupa bilangan positif maupun negatif. Biasanya, domain memiliki batas atas dan batas bawah. Namun, pada konsep fuzzy bisa jadi domain bersifat open end. Sebagai contoh, himpunan fuzzy BERAT (untuk remaja putri Indonesia) memiliki domain antara 40 kg sampai 60 kg himpunan fuzzy BERAT, batas atas berkisar 60 kg (kita dapat menerima berat badan seseorang yang lebih tinggi, misalkan: 70 kg atau bahkan 80 kg). Namun demikian, himpunan fuzzy akan mencapai nilai 1, jika berat badan sudah mencapai 60 kg (semua bobot diatas 60 kg dinyatakan pasti BERAT) kita akan menghentikan domain.
BERAT 1 derajat keanggotaan µ
[ ]
x 0 40 45 50 55 60 berat badan (kg)Gambar 3. Himpunan Fuzzy berat ; berdasarkan berat badan dalam kg.
2.5 Membangkitkan Nilai Keanggotaan Fuzzy
Setelah diketahui himpunan fuzzy, maka yang harus diketahui lagi yaitu bagaimana himpunan fuzzy tersebut merepresentasikan pengetahuan. Sebagai contoh, himpunan fuzzy TINGGI konsisten terhadap suatu garis lurus dari domain false ke true. Pemukaan himpunan fuzzy yang merupakan bagian dari himpunan tersebut yang mendefinisikan fungsi keanggotaan, dapat dibuat dalam berbagai bentuk. Biasanya, permukaan tersebut berupa garis kontinu yang bergerak dari kiri kekanan. Kontur dari suatu himpunan fuzzy menunjukkan properti semantik dari konsep fuzzy tersebut.
DEKAT DENGAN 5 Derajat Keanggotaan
[ ]
x µ 0 5 10Gambar 4. Dekat Dengan 5 sebagai kurva lonceng
DEKAT DENGAN 5 Derajat Keanggotaan
[ ]
x µ 0 5 10Gambar 5. Dekat Dengan 5 sebagai kurva segitiga
2.6 Program linear
Program linear yang diterjemahkan dari linear programming (LP) adalah suatu cara untuk menyelesaikan persoalan pengalokasian sumber - sumber yang terbatas diantara beberapa aktivitas yang bersaing, dengan cara yang terbaik yang mungkin dilakukan. Misalnya pengalokasian fasilitas produksi, sumber daya nasional untuk kebutuhan dosmetik, penjadwalan produksi, dan lain-lain.
Program linear menggunakan model matematis untuk menjelaskan
persoalan yang dihadapinya. Sifat ”linear ” disini memberi arti bahwa seluruh fungsi matematis dalam model ini merupakan fungsi linear, sedangkan kata program merupakan sinonim untuk perencanaan. Dengan demikinan, program linear (LP) adalah perencanaan aktivitas-aktivitas untuk memperoleh hasil yang optimum, yaitu suatu hasil yang mencapai tujuan terbaik di antara seluruh alternatif yang feasible.
2.7 Fuzzy Linear Programming
Salah satu contoh model linear programming klasik, adalah: Maksimumkan : f(x) = cT ∈ x dengan batasan : Ax ≤ b X ≥ 0 Dengan c, x ℜn, b∈ℜm, A∈ℜmxn Atau Minimumkan :
dengan batasan : Ax ≥ b
X ≥ 0
dengan c, x∈ ℜn, b∈ℜm, A∈ℜmxn
A, b dan c adalah bilangan-bilangan crisp, tanda ≤ pada kasus maksimasi dan tanda ≥
pada kasus minimasi juga bermakna crisp, demikian juga perintah ”maksimumkan” atau ”minimumkan ” merupakan bentuk imperatif tegas.
Pada fuzzy linear programming ,akan dicari suatu nilai z yang merupakan fungsi objektif yang akan dioptimasikan sedemikian hingga tunduk pada batasan-batasan yang dimodelkan dengan menggunakan himpunan fuzzy
Sehingga untuk kasus maksimasi akan diperoleh : Tentukan x sedemikian hingga:
cTx ~ ≥ z Ax ~ ≤ B X ≥ 0 Dengan tanda, ~
≥ , merupakan bentuk fuzzy dari,
~
≥ , yang menginterpretasikan ‘pada dasarnya kurang dari atau sama dengan’. Demikian pula, tanda,
~
≥ , merupakan bentuk fuzzy dari ,
~
≥ , yang menginterprestasikan pada dasarnya lebih dari atau sama dengan. Untuk kasus minimisasi akan diperoleh :
Tentukan x sedemikian hingga : cTx ~ ≥ z Ax ~ ≤ B X ≥ 0
Kedua bentuk dan dapat dibawah ke suatu bentuk, yaitu Tentukan x sedemikian hingga :
Bx ~ ≤ d X ~ ≤ 0 Dengan :
B = − A c ; dan d = − b z
; untuk kasus maksimasi
atau B = − A c ; dan d = − b z
; untuk kasus minimasi
Tiap-tiap baris / batasan (0,1,2….,m) akan direpresentasikan dengan sebuah himpunan fuzzy, dengan fungsi keanggotaan pada himpunan ke-i adalah µi [x].
Fungsi keanggotaan untuk model ‘keputusan” himpunan fuzzy dapat dinyatakan sebagai : µD i min [x] = {µi
{
[ ]}
min max ] [ max 0 0 D x x i i x x≥ µ = ≥ µ [x]}Tentu saja diharapkan, kita akan mendapatkan solusi terbaik, yaitu suatu solusi dengan nilai keanggotaan yang paling besar, dengan demikian solusi sebenarnya adalah :
Dari sini terlihat bahwah µi[x] = 0 jika batasan ke-i benar-benar dilanggar. Sebaiknya,
µi[x] = 1 jika batasan ke – i benar-benar dipatuhi (sama halnya dengan batasan
bernilai tegas). Nilai µi[x] akan naik secara monoton pada selang (0,1), yaitu :
µi + > + ≤ < ≤ ∈ pi d x B p d x B d d x B jika jika jika 0; [0,1]; 1; i i i i i i i [x] = i = 0,1,2,…………, m
1
Gambar 6. Fungsi Keanggotaan
µi + > + ≤ < ≤ − pi d x B p d x B d d x B jika jika jika ; pi B 0; 1 1; i i i i i i i ix di [x] = i = 0,1,2,…………, m
dengan pi adalah toleransi interval yang diperbolehkan untuk melakukan pelanggaran baik pada fungsi obyektif maupun batasan. Dengan mensubstitusikan kedua persamaan diatas akan diperoleh :
− − = ≥ ≥ pi d x B x i i x D x [ ] maxmin 1 max 0 0 µ
Dari gambar di atas dapat dilihat bahwa, semakin besar nilai domain, akan memiliki nilai keanggotaan yang cenderung semakin kecil. Sehingga untuk mencari nilai λ-cut dapat dihitung sebagai λ = 1-t, dengan :
di + tpi = ruas kanan batasan ke – i
dengan demikian akan diperoleh bentuk linear programming baru sebagai berikut : Maksimumkan : λ Dengan batasan : λ pi + Bix ≤ di + pi i = 0,1,……….m x ≥ 0 [Bix] di + pi di µI [x] pi
