ANALISIS MODEL METAPOPULASI PADA TRANSMISI VIRUS HEPATITIS A (HAV) SKRIPSI

(1)

ANALISIS MODEL METAPOPULASI PADA

TRANSMISI VIRUS HEPATITIS A (HAV)

(Studi Kasus di Jawa Barat, Jawa Tengah dan Jawa Timur)

SKRIPSI

Disusun untuk Memenuhi Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sains di Jurusan Matematika

Oleh

Riad Taufik Lazwardi

207700255

JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS ISLAM NEGERI SUNAN GUNUNG DJATI BANDUNG

(2)

HALAMAN PENGESAHAN

ANALISIS MODEL METAPOPULASI PADA

TRANSMISI VIRUS HEPATITIS A (HAV)

Oleh

Riad Taufik Lazwardi

207700255

Menyetujui,

Pembimbing I, Pembimbing II,

Diny Zulkarnaen, M.Si. Dr. Elis Ratna Wulan, S.Si., M.T. NIP.198212132011011008 NIP.197301122000032001

Lulus diuji tanggal 1 Maret 2013

Penguji I Penguji II

Asep Solih Awalluddin, M.Si. Siti Julaeha, M.Si. NIP.197611212009121004 NIP.198301202006042002

Mengetahui,

Dekan Fakultas Sains dan Teknologi, Ketua Jurusan Matematika,

Dr. H. M. Subandi, Drs., Ir., M.P. Dr. Elis Ratna Wulan, S.Si., M.T. NIP.195404241985031004 NIP.197301122000032001

(3)

HALAMAN PERNYATAAN KEASLIAN SKRIPSI

Saya yang bertanda tangan di bawah ini :

Nama : Riad Taufik Lazwardi

NIM : 207700255

Fakultas/Jurusan : Sains dan Teknologi/Matematika

Judul Penelitian : ANALISIS MODEL METAPOPULASI PADA TRANSMISI

VIRUS HEPATITIS A (HAV) (Studi Kasus di Jawa Barat, : Jawa Tengah dan Jawa Timur)

Menyatakan sebenar-benarnya bahwa hasil penelitian saya ini tidak terda-pat unsur-unsur penjiplakan karya ilmiah yang pernah dilakukan atau dibuat oleh orang lain, kecuali yang secara tertulis dikutip dalam naskah ini dan disebutkan dalam daftar pustaka. Apabila ternyata hasil terbukti terdapat unsur penjiplak-an, saya bersedia mempertanggungjawabkannya serta diproses sesuai peraturan yang berlaku.

Demikian pernyataan ini saya buat dengan sebenar-benarnya.

Bandung, 1 Maret 2013

Riad Taufik Lazwardi NIM.207700255

(4)

Analisis Model Metapopulasi pada Transmisi Virus Hepatitis A (Studi Kasus di Jawa Barat, Jawa Tengah dan Jawa Timur)

Riad Taufik Lazwardi

Jurusan Matematika, Universitas Islam Negeri Sunan Gunung Djati Bandung A.H.Nasution 105, Cibiru, Bandung 40164 Indonesia

Abstrak

Indonesia merupakan negara endemik hepatitis peringkat ketiga sedunia. Hepatitis merupakan penyakit menular yang disebabkan oleh virus, diantaranya virus hepatitis A (HAV). Salah satu model matematika yang menganalisa pe-nyakit ini adalah model yang dibuat oleh Marco Ajelli. Dia membuat model metapopulasi pada transmisi virus hepatitis A (HAV) yang diterapkan di negara Italia. Hasil yang diperoleh adalah proses vaksinasi yang dilakukan di salah satu negara bagian yaitu Puglia dapat mengurangi secara signifikan jumlah penderita di negara tersebut. Skripsi ini mengajukan sebuah model yang dapat diterapkan di Indonesia khususnya di Jawa Barat, Jawa Tengah, Jawa Timur dan menga-nalisanya. Simulasi dilakukan untuk mengetahui pengaruh mobilitas spatial dan pengaruh program vaksinasi yang dilakukan pada satu wilayah terhadap wilayah yang lain sehingga dapat diperoleh wilayah yang paling optimal untuk diberikan program vaksinasi secara massal. Dari hasil simulasi yang dilakukan di daerah Jawa Barat, Jawa Tengah dan Jawa Timur diperoleh kesimpulan bahwa program vaksinasi yang dilakukan di Jawa Timur akan secara optimal mengurangi jumlah penderita hepatitis A di Jawa Barat, Jawa Tengah dan Jawa Timur.

Kata Kunci: Model metapopulasi, HAV, Matriks kontak spasial, Titik equ-ilibrium, Kestabilan, Vaksinasi.

(5)

A

¯nalysis of a Metapopulation Model of Viral Hepatitis A

in Jawa Barat, Jawa Tengah and Jawa Timur

Riad Taufik Lazwardi

Department of Mathematics, Sunan Gunung Djati State Islamic University 105 Jl. A.H.Nasution, Cibiru, Bandung 40164 Indonesia

Abstract

Indonesia is a 3rd endemic hepatitis country. Hepatitis is infectious disease caused by virus, such as hepatitis A virus (HAV). One of the mathematic model analyze this disease is model proposed by Marco Ajelli. He proposed metapopu-lation model of viral hepatitis A (HAV) transmission in Italy. The result suggest that the mass vaccination program introduced in Puglia could have played a role in the decline of HAV incidence in a whole Italy. In this study, a metapopulation model for hepatitis A virus (HAV) transmission in Indonesia especially in Jawa Barat, Jawa Tengah and Jawa Timur is proposed and analyzed. Simulation is done to know effects a vaccination program adopted in a single region on the others. The most effective vaccination program on one region to decline whole region in Indonesia is the aim of this study. The result applied in Jawa Barat, Jawa Tengah, and Jawa Timur suggest that vaccination program introduced in Jawa Timur is the most effective to decline HAV incidence in Jawa Barat, Jawa Tengah dan Jawa Timur.

Keyword: Metapopulation model, HAV, Spatial contact matrix, Equilibria, Stability, Vaccination.

(6)

KATA PENGANTAR

Alhamdulillahirobbila’lamin wabihinastai’n wa a’la umuriddunnya waddin washolatu wasalamu a’la asrofilanbiyai walmursalin waa’la alihi washohbihi ajmai’n amma ba’du. Segala puji hanya milik Allah SWT, tiada daya upaya dan kekuat-an kecuali dari Allah SWT begitu juga dengkekuat-an terselesaikkekuat-annya skripsi ini tidak lain adalah karena karunia-Nya.

Tentunya banyak berbagai pihak yang telah membantu dalam penyelesaian skripsi ini. Orang tua adalah pihak yang paling mendukung, memberikan sema-ngat, materi dan do’a. Selain itu, penulis mengucapkan terima kasih kepada:

1. Bapak Dr. H. M. Subandi, Drs., Ir., M.P., selaku Dekan Fakultas Sains dan Teknologi.

2. Ibu Dr. Elis Ratna Wulan, S.Si., M.T., selaku Ketua Jurusan Matematika Fakultas Sains dan Teknologi.

3. Bapak Diny Zulkarnaen, M.Si. dan Dr. Elis Ratna Wulan, S.Si., M.T., selaku pembimbing I dan II.

4. Staf pengajar di Fakultas Sains dan Teknologi khususnya di Matematika Sains, terimakasih atas ilmu yang bapak ibu sampaikan.

Penulis juga mengucapkan banyak terima kasih kepada semua civitas akade-mika UIN SGD BDG yang telah memberikan ilmunya. Mudah-mudahan ilmunya dapat bermanfaat. Tidak lupa kepada teman-teman yang tidak saya sebutkan satu persatu, kalian adalah sahabat terbaik saya.

Jazakumullohu khoiron katsiro.

Bandung, 1 Maret 2013

(7)

Daftar Isi

BAB I PENDAHULUAN 1

1.1 Latar Belakang Masalah . . . 1

1.2 Rumusan Masalah . . . 2

1.3 Batasan Masalah . . . 2

1.4 Tujuan dan Manfaat Penelitian . . . 3

1.5 Metode Penelitian . . . 3

1.6 Sistematika Penulisan . . . 4

BAB II LANDASAN TEORI 5 2.1 Persamaan Diferensial Biasa . . . 5

2.2 Sistem Persamaan Diferensial . . . 6

2.3 Titik Equilibrium . . . 6

2.4 Pelinieran . . . 7

2.5 Kestabilan . . . 8

2.6 Model Metapopulasi . . . 8

2.7 Spatial Contact Matrix . . . 9

2.8 Basic Reproduction Ratio . . . 9

2.9 Metode Numerik Euler . . . 10

2.10 Metode Numerik Adams-Bashforth-Moulton . . . 11

2.11 Model SIR Klasik . . . 12

BAB III ANALISIS MODEL METAPOPULASI PADA TRANS-MISI VIRUS HEPATITIS A (Studi Kasus di Jawa Barat, Jawa Tengah dan Jawa Timur) 13 3.1 Model Metapopulasi pada Transmisi Virus HAV . . . 13

3.2 Model Metapopulasi pada Transmisi Virus HAV dengan Studi Ka-sus di Jawa Barat, Jawa Tengah dan Jawa Timur . . . 14

3.3 Spatial Contact Matrix . . . 15

3.4 Analisis . . . 15

3.4.1 Titik Equilibrium . . . 16

BAB IV SIMULASI MODEL METAPOPULASI PADA TRANS-MISI VIRUS HEPATITIS A (Studi Kasus di Jawa Barat, Jawa Tengah dan Jawa Timur) 20 4.1 Simulasi Model Metapopulasi pada Transmisi Virus Hepatitis A di Provinsi Jawa Barat, Jawa Tengah dan Jawa Timur . . . 21

(8)

4.1.3 Simulasi Model Metapopulasi di Jawa Timur . . . 25

4.2 Simulasi Model Metapopulasi pada Transmisi Virus Hepatitis A di Jawa Barat, Jawa Tengah dan Jawa Timur setelah dilakukan Vaksinasi . . . 25

4.2.1 Vaksinasi dilakukan di Jawa Barat . . . 26

4.2.2 Vaksinasi dilakukan di Jawa Tengah . . . 28

4.2.3 Vaksinasi dilakukan di Jawa Timur . . . 30

BAB V PENUTUP 32 5.1 Kesimpulan . . . 32

5.2 Saran . . . 33

DAFTAR PUSTAKA 34

DAFTAR RIWAYAT HIDUP 35

(9)

Daftar Gambar

2.6.1 Pola metapopulasi sederhana yang terdiri dari 3 populasi dengan

jenis yang sama dan saling berinteraksi . . . 8

4.1.1 Peta Pulau Jawa . . . 21

4.1.2 Ilustrasi Transmisi HAV di Pulau Jawa . . . 21

4.1.3 Dinamika model metapopulasi di Jawa Barat terhadap t (Bul-an).(a).Manusia yang rentan, (b).Transmisi virus HAV, (c).Penderita penyakit hepatitis A,(d).Penderita yang berhasil sembuh, (e).Virus

HAV . . . 24

4.1.4 Dinamika model metapopulasi di Jawa Tengah terhadap t (Bul-an).(a).Manusia yang rentan, (b).Transmisi virus HAV, (c).Penderita penyakit hepatitis A,(d).Penderita yang berhasil sembuh, (e).Virus

HAV . . . 24

4.1.5 Dinamika model metapopulasi di Jawa Timur terhadap t (Bul-an).(a).Manusia yang rentan, (b).Transmisi virus HAV, (c).Penderita penyakit hepatitis A,(d).Penderita yang berhasil sembuh, (e).Virus

HAV . . . 25

4.2.1 Dinamika Model Metapopulasi di Jawa Barat Setelah Dilakukan

Vaksinasi di Jawa Barat . . . 26

4.2.2 Dinamika Model Metapopulasi di Jawa Tengah Setelah Dilakukan

4.2.3 Dinamika Model Metapopulasi di Jawa Timur Setelah Dilakukan

Vaksinasi di Jawa Tengah . . . 28

Vaksinasi di Jawa Timur . . . 29

Vaksinasi di Jawa Timur . . . 31

(10)

Daftar Tabel

2.1 Hasil Metode Euler . . . 11

3.1 Nilai i∗_j . . . 19

3.2 Nilai i∗_k, r∗_k, a∗_k . . . 19

4.1 Nilai parameter yang digunakan saat simulasi . . . 22

4.2 Perbandingan Hasil Simulasi Pemberian Vaksinasi ke Setiap Wilayah 30 5.1 Persentase Perbandingan Hasil Simulasi Pemberian Vaksinasi ke Setiap Wilayah . . . 33

(11)

DAFTAR SINGKATAN

HAV : Hepatitis A Virus

Riskesdas : Riset Kesehatan Dasar

BKKBN : Badan Koordinasi Keluarga Berencana Nasional

PDB : Produk Domestik Bruto

(12)

DAFTAR ISTILAH

Prevalensi : Rata-rata penyebaran

Metapopulasi : Populasi yang terdiri dari kelompok populasi yang secara

spasial terpisah dari jenis yang sama (Richard Levins) Transient behavior : suatu tipikal kelakuan sistem yang tergantung pada

kon-disi awal

Spasial : Ruang, lokasi, posisi, wilayah

Mobilitas : Perpindahan posisi seseorang atau sekelompok orang dari

(13)

DAFTAR NOTASI

S : Susceptible, manusia yang rentan terhadap penyakit hepatitis A

I : Infectious, manusia yang terkena penyakit hepatitis A

R : Removed, manusia yang sembuh (imun) dari penyakit hepatitis A

A : Virus

λ : Kecepatan penularan

β : Transmission probability per contact

µ : Laju kematian

b : Laju kelahiran

γ : Rata-rata waktu penularan

δ : Rata-rata waktu bertahan hidup virus HAV di lingkungan

Λ : Kecepatan penularan

V_kc : Vaksinasi setelah kelahiran

(14)

DAFTAR LAMPIRAN

LAMPIRAN A : Data Endemik Hepatitis A di Indonesia Riskesdas 2007

LAMPIRAN B : Syntax dan Hasil Simulasi Model Metapopulasi Transmisi

Virus HAV di Jawa Barat

LAMPIRAN C : Syntax dan Hasil Simulasi Model Metapopulasi Transmisi

Virus HAV di Jawa Tengah

LAMPIRAN D : Syntax dan Hasil Simulasi Model Metapopulasi Transmisi

Virus HAV di Jawa Timur

LAMPIRAN E : Syntax dan Hasil Simulasi Model Metapopulasi Transmisi

Virus HAV di Jawa Barat Setelah Dilakukan Vaksinasi di Jawa Barat

LAMPIRAN F : Syntax dan Hasil Simulasi Model Metapopulasi Transmisi

Virus HAV di Jawa Tengah Setelah Dilakukan Vaksinasi di Jawa Barat

LAMPIRAN G : Syntax dan Hasil Simulasi Model Metapopulasi Transmisi

Virus HAV di Jawa Timur Setelah Dilakukan Vaksinasi di Jawa Barat

LAMPIRAN H : Syntax dan Hasil Simulasi Model Metapopulasi Transmisi

Virus HAV di Jawa Tengah Setelah Dilakukan Vaksinasi di Jawa Tengah

LAMPIRAN I : Syntax dan Hasil Simulasi Model Metapopulasi Transmisi

Virus HAV di Jawa Tengah Setelah Dilakukan Vaksinasi di Jawa Tengah

LAMPIRAN J : Syntax dan Hasil Simulasi Model Metapopulasi Transmisi

Virus HAV di Jawa Timur Setelah Dilakukan Vaksinasi di Jawa Tengah

LAMPIRAN K : Syntax dan Hasil Simulasi Model Metapopulasi Transmisi

Virus HAV di Jawa Timur Setelah Dilakukan Vaksinasi di Jawa Timur

(15)

Virus HAV di Jawa Barat Setelah Dilakukan Vaksinasi di Jawa Timur

LAMPIRAN M : Syntax dan Hasil Simulasi Model Metapopulasi Transmisi

Virus HAV di Jawa Tengah Setelah Dilakukan Vaksinasi di Jawa Timur

(16)

BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang Masalah

Hepatitis A adalah sebuah penyakit infeksi pada liver yang biasanya dise-babkan oleh virus hepatitis A (HAV). Virus ini bisa menyebar dari manusia ke manusia dengan oral-fecal route, memakan makanan yang terkontaminasi HAV, dan menggunakan drugs yang disuntikan ke dalam pembuluh darah dari pende-rita HAV. Hepatitis A adalah salah satu penyakit infeksi yang sering muncul di muka bumi, baik di negara berkembang atau pada negara maju.

Di negara maju, dua sumber utama pada infeksi HAV adalah dari kontak langsung antara individu-individu dan konsumsi langsung pada makanan atau minuman yang terkontaminasi. Di negara Italia, makanan laut adalah sumber utama pada infeksi HAV.

Di negara berkembang, khususnya di Indonesia hepatitis terdeteksi di selu-ruh provinsi dengan prevalensi sebesar 0,6 % rentang (0,2 % - 1,9 %). Tiga belas provinsi mempunyai tingkat prevalensi di atas normal, tertinggi Sulawesi Tengah dan Nusa Tenggara Timur. Kasus hepatitis ini umumnya terdeteksi berdasarkan gejala klinis kecuali Provinsi Jawa Timur, Sumatra Selatan, Kalimantan Tengah dan Sulawesi Utara berdasarkan diagnosis oleh tenaga kesehatan. Prevalensi he-patitis klinis paling tinggi terdeteksi pada umur ≥ 55 tahun, hampir lebih tinggi di pedesaan daripada perkotaan dan cenderung tinggi pada pendidikan rendah. Prevalensi hepatitis klinis merata di semua tingkat pengeluaran rumah tangga per kapita. Adapun proporsi penyebab kematian pada golongan semua umur dari ke-lompok penyakit menular, penyakit hati (termasuk Hepatitis kronik) menduduki urutan ke-2 [7].

Terdapat vaksin yang efektif untuk penyakit hepatitis A dan banyak negara merekomendasikan pemberian vaksin pada anak kecil (contoh Amerika). Namun, Indonesia belum melakukan imunisasi rutin untuk hepatitis A.

Oleh karena itu, banyak model matematika pada masalah HAV dibuat un-tuk mengevaluasi keefektifan berbagai strategi pengontrolan. Dalam paper Spati-otemporal Dynamics of Viral Hepatitis A in Italy, dari model metapopulasi yang dibuat dapat diperoleh bahwa program vaksinasi penyakit hepatitis A yang dila-kukan di daerah Puglia (Italia) dapat dengan baik mengurangi jumlah penderita di wilayah lain secara optimal dalam suatu periode.

(17)

Proposal skripsi ini terfokus pada model metapopulasi yang bisa diterapkan di Indonesia khususnya di Jawa Barat, Jawa Tengah dan Jawa Timur kemudi-an mengkemudi-analisa perilaku perpindahkemudi-an virus HAV dari mkemudi-anusia ke mkemudi-anusia dkemudi-an dari makanan yang terkontaminasi kepada manusia. Tujuan utamanya adalah menentukan wilayah yang harus dilakukan program vaksinasi di satu wilayah te-tapi dapat mengurangi penderita secara optimal. Model matematika yang dibu-at diharapkan dapdibu-at memberikan manfadibu-at khususnya kepada pemerintah dalam memberikan kebijakan penentuan wilayah yang harus diberikan program vaksi-nasi penyakit hepatitis A.

1.2 Rumusan Masalah

Rumusan masalah dalam skripsi ini dapat diuraikan sebagai berikut: 1. Bagaimana memodelkan penyakit menular hepatitis A dengan model

me-tapopulasi ?

2. Bagaimana analisis model metapopulasinya ? 3. Bagaimana hasil simulasi modelnya ?

1.3 Batasan Masalah

Skripsi ini menelaah model metapopulasi pada transmisi virus hepatitis A (HAV) di Jawa Barat, Jawa Tengah dan Jawa Timur. Batasan masalah dalam skripsi ini dapat diuraikan sebagai berikut:

1. Model ini terdiri dari manusia yang rentan ( susceptible S(t)), manusia yang terinfeksi (infectious I(t)), manusia yang sembuh (removed R(t)), dan virus hepatitis A (A(t)).

2. Penyebaran virus (HAV) melalui makanan dan kontak manusia (feces rou-te).

3. Suatu wilayah dapat terkontaminasi oleh penderita (manusia yang terinfek-si) wilayah lain yang tinggal sementara pada wilayah tersebut.

4. Rata-rata bertahan hidup virus HAV di setiap wilayah mempunyai nilai yang sama begitu pun dengan laju kematian individu, rata-rata waktu pe-nularan virus HAV dan laju kelahiran individu.

(18)

5. Simulasi model metapopulasi dilakukan di daerah Jawa Barat, Jawa Tengah dan Jawa Timur.

6. Program vaksinasi dilakukan di satu wilayah.

7. Analisis yang dilakukan pada model metapopulasi ini adalah analisis titik equilibrium, teorema dan pengaruh program vaksinasi pada suatu wilayah terhadap wilayah lainnya untuk mengurangi jumlah penderita hepatitis A.

1.4 Tujuan dan Manfaat Penelitian

Adapun tujuan penelitian dari skripsi ini adalah:

1. Menjelaskan secara rinci tentang model metapopulasi pada transmisi virus HAV.

2. Menganalisis model metapopulasi pada transmisi virus HAV.

3. Melakukan simulasi untuk mengetahui dinamika S(t), I(t), R(t), A(t). Manfaatnya adalah mengetahui perilaku sistem dari model metapopulasi yang dibuat dan memberikan kemudahan kepada pemerintah dalam menentukan daerah yang harus diberikan program vaksinasi.

1.5 Metode Penelitian

Metode penelitian ini adalah tinjauan pustaka dan simulasi. Simulasi meng-gunakan metode multistep Adams-Basforth-Moulton dengan mengmeng-gunakan sof-tware MATLAB. Data yang digunakan dalam simulasi adalah data sekunder yang diperoleh dari Riset Kesehatan Dasar 2007, BKKBN, Data Statistik Indonesia , Komisi Pemilihan Umum Jawa Barat, dan beberapa jurnal, diantaranya: (Ajelli, 2009), (CDC 2007, Stapleton dan Lemon, 1994),(Abad et al., 1994; Biziagos et al., 1998; Mbithi et al., 1991; Ajelli et al., 2008), (Lopalco et al., 2005., Ajelli et al., 2008).

(19)

1.6 Sistematika Penulisan

Sistematika penulisan skripsi ini terdiri dari 5 bab. Dengan rincian sebagai berikut:

BAB I : PENDAHULUAN

Bab ini terdiri dari Latar Belakang Masalah, Rumusan Masalah, Batasan Masalah, Tujuan dan Manfaat Penelitian, Metodologi Pe-nelitian dan Sistematika Penulisan.

BAB II : LANDASAN TEORI

Dalam bab ini dipaparkan materi Persamaan Diferensial Biasa, Sis-tem Persamaan Diferensial, Titik Equilibrium, Pelinearan, Kestabi-lan Model Metapopulasi, Spatial Contact Matrix, Basic Reproduc-tion Ratio, Metode Numerik Adam Basforth-Moulton, dan Metode SIR klasik.

BAB III : ANALISIS MODEL METAPOPULASI PADA TRANSMISI VIRUS

HEPATITIS A (Studi Kasus di Jawa Barat, Jawa Tengah dan Jawa Timur)

Dalam bab ini akan dipaparkan Model Metapopulasi pada Trans-misi Virus HAV, Model Metapopulasi pada TransTrans-misi Virus HAV di Jawa Barat, Jawa Tengah dan Jawa Timur, Titik Equilibrium, Basic Reproduction Ratio, Kestabilan.

BAB IV : SIMULASI MODEL METAPOPULASI PADA TRANSMISI VIRUS

HEPATITIS A (Studi Kasus di Jawa Barat, Jawa Tengah dan Jawa Timur)

Dalam bab ini akan dipaparkan hasil simulasi dari model metapopu-lasi pada transmisi virus HAV di Jawa Barat, Jawa Tengah dan Ja-wa Timur berdasarkan data Riskesdas 2007 dan perbandingan prog-ram vaksinasi yang dilakukan di setiap wilayah.

BAB V : KESIMPULAN DAN SARAN

Dalam bab ini dipaparkan kesimpulan hasil analisis dan simulasi ser-ta saran untuk pengembangan penelitian yang lebih baik.

(20)

BAB II

LANDASAN TEORI

2.1 Persamaan Diferensial Biasa

Persamaan diferensial biasa adalah persamaan yang memuat x, y(x) beserta turunan-turunan dari y(x). Bentuk umumnya adalah :

F (x, y, y0, . . . , yn) = 0

Persamaan diferensial biasa dikatakan linier jika fungsi F linier terhadap y, y0, . . . , y(n)_{, tetapi tidak perlu linier terhadap variabel x. Secara umum}

persa-maan diferensial biasa linier berbentuk :

a0(x)y(n)+ a1(x)y(n−1)+ . . . + an(x)y = g(x)

[8].

Orde suatu persamaan diferensial ditentukan oleh turunan tertinggi yang muncul pada persamaan diferensial tersebut.

Contoh persamaan diferensial orde 1 linier : y0− cosx = 0

Contoh persamaan diferensial orde 3 tak linier : y000+ yy0 − ex = 0

Jika y = f (x) memenuhi persamaan diferensial, maka f (x) dikatakan solusi dari persamaan diferensial tersebut. Solusi umum suatu persamaan diferensial adalah bentuk umum solusi persamaan diferensial tersebut. Solusi umum bisa menjadi solusi khusus dengan adanya informasi/syarat tambahan, disebut syarat awal/syarat batas.

(21)

2.2 Sistem Persamaan Diferensial

Bentuk umum sistem persamaan diferensial dengan variabel bebas x1, . . . , xn

orde satu adalah :

               dx1 dt = f1(t, x1, x2, . . . , xn) dx2 dt = f2(t, x1, x2, . . . , xn) .. . dxn dt = fn(t, x1, x2, . . . , xn)

jika ruas kanan tidak bergantung pada t maka disebut sistem persamaan diferen-sial autonomous.

Adapun sistem persamaan diferensial terbagi dua yaitu linier dan tak linier. Jika di dalam sistem terdapat perkalian antara variabel bebasnya maka disebut sistem persamaaan diferensial tak linier. Jika di dalam sistem tidak terdapat perkalian antara variabel bebasnya maka disebut sistem persamaaan diferensial linier.

Contoh sistem persamaan diferensial autonomous linier :    dx dt = −x + y dy dt = −x − y

Contoh sistem persamaan diferensial autonomous tak linier :    dx dt = xy dy dt = x 2

2.3 Titik Equilibrium

Misal terdapat sistem persamaan diferensial autonomous : dx

dt = f (x, y) dy

dt = g(x, y)

Titik (x, y) adalah titik equilibrium dari sistem persamaan diferensial autonomous di atas ketika dx_dt = 0 dan dy_dt = 0.

(22)

Contoh : dx dt = xy dy dt = x 2

maka diperoleh titik equilibrium (x, y) = (0, 0).

2.4 Pelinieran

Pelinieran adalah cara untuk menganalisis kestabilan sistem persamaan tak linier. Jika diketahui :

               dx1 dt = f1(t, x1, x2, . . . , xn) dx2 dt = f2(t, x1, x2, . . . , xn) .. . dxn dt = fn(t, x1, x2, . . . , xn)

maka hasil pelinierannya :

J =       ∂f1 ∂x1 ∂f1 ∂x2 . . . ∂f1 ∂xn ∂f2 ∂x1 ∂f2 ∂x2 . . . ∂f2 ∂xn .. . ... . .. ... ∂fn ∂x1 ∂fn ∂x1 . . . ∂fn ∂xn      

matriks di atas disebut matriks Jacobi. Contoh :    dx dt = xy dy dt = x 2

maka matriks jacobinya adalah

J = y x

2x 0 !

Persamaan karakteristik adalah persamaan yang diperoleh dari

det|J − ξI| = 0

Contoh persamaan karakteristik dari matriks jacobi di atas adalah : ξ2− yξ − 2x2 _{= 0}

(23)

2.5 Kestabilan

Jenis kestabilan pada suatu titik ada 2 yaitu : 1. Stabil

Suatu titik equilibrium dikatakan stabil jika akar-akar persamaan karak-teristiknya riil dan negatif. Stabil terbagi dua, stabil asimptot lokal dan global. Dikatakan stabil asimptot lokal jika solusi menuju satu titik untuk interval waktu tertentu sedangkan stabil global pada keseluruhan interval. 2. Tidak stabil

Suatu titik equilibrium dikatakan tidak stabil jika akar-akar persamaan ka-rakteristiknya riil dan terdapat akar positif.

2.6 Model Metapopulasi

Metapopulasi menurut Richard Levins adalah populasi dari populasi, ar-tinya populasi yang terdiri dari kelompok populasi yang secara spasial terpisah dari jenis yang sama. Istilah metapopulasi dipilih oleh Richard Levins pada ta-hun 1970 untuk menjelaskan sebuah model dinamika populasi dari serangga hama pada lahan pertanian, ide tersebut berkembang luas dan diterapkan pada habitat yang terfragmentasi secara alami maupun secara buatan.

Gambar 2.6.1: Pola metapopulasi sederhana yang terdiri dari 3 populasi dengan jenis yang sama dan saling berinteraksi

Dalam penelitian, metapopulasi biasanya memberikan gambaran yang lebih akurat mengenai keadaan suatu spesies bila dibandingkan model dengan satu atau beberapa spesies [10]. Model metapopulasi adalah model yang melibatkan

banyak populasi. Model metapopulasi disebut juga compartment model atau

model dengan populasi yang heterogen. Setiap populasi mempunyai individu-individu yang unik tetapi diasumsikan homogen. Misal terdapat model :

     S0(t) = −λ(t)S(t) − µS(t) + bN I0(t) = λ(t)S(t) − (γ + µ)I(t)

(24)

maka model metapopulasi dapat dibuat dengan memperbanyak model di atas menjadi k buah model, dimana satu model merepresentasikan satu populasi pada suatu wilayah sehingga bentuknya menjadi :

         S_k0(t) = −λk(t)S(t) − µkSk(t) + bkNk I_k0(t) = λk(t)Sk(t) − (γk+ µk)Ik(t) R0_k(t) = γkIk(t) − µkRk(t)

2.7 Spatial Contact Matrix

Beberapa faktor penting dalam penyebaran penyakit menular adalah siapa bertemu siapa, dimana pertemuan itu berlangsung dan seberapa sering. Ketiga faktor ini terdapat pada model metapopulasi karena melibatkan mobilitas spatial dari individu di setiap populasinya sehingga memungkinkan manusia yang rentan di suatu wilayah terinfeksi oleh penderita di wlayah lain.

Kontak sangat dipengaruhi dari mobilitas individu. Pada perkembangannya mobilitas individu dibedakan antara mobilitas harian seperti pergi ke kantor, pasar, sekolah dan mobilitas bukan harian seperti pergi bertamasya.

Ada berbagai cara untuk memformulasikan kontak spatial ini. Salah satu-nya dengan melibatkan jumlah populasi, Produk Domestik Bruto (PDB) suatu wilayah dan jarak diantara kedu wilayah, yaitu:

ckj = θ gτd k g τr j dρ_kj

dimana gk adalah PDB wilayah k, gj adalah PDB wilayah j, dkj adalah jarak

an-tara wilayah k dan j, θ adalah jumlah semua commuter. τd, τr, ρ adalah parameter

yag harus dioptimasi dengan data yang ada (pergerakan populasi keluar wilayah, pergerakan populasi masuk kedalam wilayah, jarak pergerakan antar wilayah).

2.8 Basic Reproduction Ratio

Di dalam pemodelan matematika terdapat parameter untuk mengetahui apakah suatu penyakit menular dapat menyebar atau tidak. Parameter tersebut

adalah R0 (Basic Reproduction Ratio) yaitu perkiraan jumlah kasus kedua yang

dihasilkan oleh satu infectious yang masuk ke populasi. Jika R0 < 1 maka

penya-kit tidak akan menular atau menyebar, jika R0 > 1 maka penyakit akan menular

atau menyebar.

Untuk mendefinisikan R0 dari model metapopulasi (compartment model )

dapat diperoleh dari

(25)

[4].F, V adalah matriks. Entri (j,k) V−1 adalah rata-rata waktu individu berada di compartment j selama hidup. Entri (i,j) F adalah kecepatan penderita di compartment j menginfeksi individu yang rentan di compartment i.

Contoh terdapat model :          S_i0 = −λi(t)Si− (di+ θi)Si+ σiRi+ (1 − pi)bi I_i0 = λ(t)Si − (di+ γi+ i)Ii R0_i = pibi+ γiIi+ θiSi− (di+ σi)Ri dengan λi(t) = m X j=1 βijIj diperoleh F = [S_i0βij(x0)] dan V = [(di+ γi+ i)δij]

deangan δij jika i = j maka

F V−1 = S_i0βij(x0) di+ γi+ i sehingga R0 = ρ S0 iβijx0 di+ γi+ i

2.9 Metode Numerik Euler

Metode Euler adalah metode numerik untuk menyelesaikan masalah nilai awal pada persamaan diferensial biasa. Metode ini merupakan metode one step yang membutuhkan satu nilai awal. Solusi diaproksimasi dengan persamaan :

yi+1= yi+ h [f (ti, yi)]

ti = a + ih, i = 1, . . . , n

dengan h = lebar langkah. Semakin kecil lebar langkah semakin bagus tingkat aproksimasi. Contoh : dy dx = 1 2y, y(0) = 1

(26)

y1 = y0+ h [f (t0, y0)] = 1 + 0.25 [f (0, 1)] = 1 + 0.25 [0.5] = 1.125 y2 = y1+ h [f (t1, y1)] = 1.125 + 0.25 [f (0.25, 1.125)] = 1.125 + 0.25 [0.5625] = 1.2656 y3 = y2+ h [f (t2, y2)] = 1.2625 + 0.25 [f (0.5, 1.2656)] = 1.2625 + 0.25 [0.6328] = 1.4238

2.10 Metode Numerik Adams-Bashforth-Moulton

Metode Adams-Bashforth-Moulton merupakan metode numerik untuk men-cari solusi dari persamaan diferensial. Metode ini termasuk metode multistep yang terdiri dari predictor dan corrector, yaitu :

yi+1= yi+

h

24[−9f (ti−3, yi−3) + 37f (ti−2, yi−2) − 59f (ti−1, yi−1) + 55f (ti, yi)] yi+1= yi+

h

24[f (ti−2, yi−2) − 5f (ti−1, yi−1) + 19f (ti, yi) + 9f (ti+1, yi+1)] Contoh :

dy

dx =

1

2y y(0) = 1

digunakan h = 0.25 dengan metode Euler diperoleh : Tabel 2.1: Hasil Metode Euler

i ti yi f (xi, yi)

n-3 0 1 0.5

n-2 0,25 1,125 0.5625

n-1 0,5 1,2656 0.6328

(27)

Selanjutnya iterasi dengan metode Adam Basforth Moulton yn+1 = yn+ h 24[55fn− 59fn−1+ 37fn−2− 9fn−3] = yn+ 0.25 24 [55(0.7119) − 59(0.6328) + 37(0.5625) − 9(0.50)] = 1.4238 + 0.18887 = 1.6127 (predictor) fn+1 = 1 2yn+1 = 1 2 × 1, 6127 = 0, 8063 yn+1 = yn+ h 24[9fn+1+ 19fn− 5fn−1+ fn−2] = 1.4328 + 0.25 24 [9(0.8063) + 19(0.7119) − 5(0.6328) + (0.5625)] = 1.4238 + 0.1894 = 1.6132 (predictor-corrector)

2.11 Model SIR Klasik

Model susceptible, infectious, reduced klasik yaitu :          S0(t) = −λ(t)S(t) − µS(t) + bN I0(t) = λ(t)S(t) − (γ + µ)I(t) R0(t) = γI(t) − µR(t)

dimana N (t) = S(t)+I(t)+R(t) adalah populasi total, terdiri dari susceptible (S), infectious (I) dan removed (R), µ adalah laju kematian dan b adalah laju

kela-hiran 1

γ adalah rata-rata waktu penularan dan λ adalah laju infeksi (transmisi

virus).

Dua sumber utama dalam infeksi HAV di Italia adalah dengan kontak lang-sung antara individu dan individu (feses) dan mengonsumsi makanan atau mi-numan yang terkontaminasi (kontak tidak langsung). Sehingga laju transmisi berasal dari dua sumber yaitu :

λ(t) = λ1(t) + λ2(t)

(28)

BAB III

ANALISIS MODEL METAPOPULASI PADA

TRANSMISI VIRUS HEPATITIS A

3.1 Model Metapopulasi pada Transmisi Virus HAV

Pada jurnal Spatiotemporal Dynamic of Viral Hepatitis A in Italy, Marco Ajelli merubah b dari model SIR klasik menjadi µ) karena mengasumsikan tingkat kelahiran dan kematian di Italia hampir sama sehingga mengusulkan modelnya yaitu:                S0(t) = −λ(t)S(t) − µS(t) + µN I0(t) = λ(t)S(t) − (γ + µ)I(t) R0(t) = γI(t) − µR(t) A0(t) = δ[I(t) − A(t)] λ(t) = βI(t) N + ˜βA(t)

dimana A adalah jumlah virus yang beredar di lingkungan. δ adalah rata-rata waktu bertahan hidup virus HAV di lingkungan, β adalah laju transmisi

virus via kontak langsung dan ˜β adalah laju transmisi virus via kontak tidak

langsung.

Untuk membuat model metapopulasi, Marco Ajelli memperluas menjadi n kelas, dimana setiap kelas merepresentasikan wilayah.

               S_k0(t) = −Λk(t)Sk(t) − µkSk(t) + µkNk I_k0(t) = Λk(t)Sk(t) − (γk+ µk)Ik(t) R0_k(t) = γkIk(t) − µkRk(t) A0_k(t) = δk[Ik(t) − Ak(t)] untuk k = 1, . . . , n dimana Λk(t) = n X j=1 βkj Ij(t) Nj + n X j=1 ˜ βkjAj(t)

(29)

wilayah k, Ik adalah jumlah penderita hepatitis A di wilayah k, Rk adalah

pen-derita yang berhasil sembuh di wilayah k, Akadalah jumlah virus HAV di wilayah

k, λk adalah laju transmisi virus HAV di wilayah k, µk adalah laju kematian di

wilayah k, Nk adalah jumlah populasi manusia di wilayah k, γk adalah rata-rata

waktu penularan virus HAV di wilayah k, δk adalah rata-rata waktu bertahan

hidup virus HAV di lingkungan k, βkj ≥ 0 adalah laju transmisi untuk kontak

langsung diantara wilayah k dan j,k, j = 1, . . . , n dimana k 6= j. Begitu juga

de-ngan ˜βkj ≥ 0 adalah laju transmisi untuk kontak tidak langsung antara wilayah

k dan j ,k, j = 1, . . . , n dimana k 6= j.

Pada model ini diasumsikan lingkungan dapat terkontaminasi oleh individu yang tinggal di wilayah yang sama. Ini tidak membatasi karena waktu rata-rata untuk berpergian ke wilayah lain lebih pendek dari masa inkubasi HAV yaitu sekitar 2-4 minggu.

3.2 Model Metapopulasi pada Transmisi Virus HAV

de-ngan Studi Kasus di Jawa Barat, Jawa Tengah dan

Jawa Timur

Agar model di atas dapat diaplikasikan di Jawa Barat, Jawa Tengah dan Jawa Timur maka salah satu asumsi yang diterapkan adalah laju kematian yag berbeda dengan laju kelahiran sehingga diperoleh:

               S_k0(t) = −Λk(t)Sk(t) − µkSk(t) + bkNk I_k0(t) = Λk(t)Sk(t) − (γk+ µk)Ik(t) R_k0(t) = γkIk(t) − µkRk(t) A0_k(t) = δk[Ik(t) − Ak(t)] (3.2.1) untuk k = 1, . . . , n dimana Λk(t) = n X j=1 βkj Ij(t) Nj + n X j=1 ˜ βkjAj(t) Diketahui Sk+ Ik+ Rk = Nk.Didefinisikan sk(t) = Sk(t) Nk , ik(t) = Ik(t) Nk , rk(t) = Rk(t) Nk .ak(t) = Ak(t) Nk , ˆβkj = Nk ˜

βkj. Persamaan di atas dapat diubah menjadi:

         i0_k(t) = λk(t)[1 − ik(t) − rk(t)] − (γk+ µk)ik(t) r_k0(t) = γkik(t) − µkrk(t) a0_k(t) = δk[ik(t) − ak(t)] (3.2.2)

(30)

λk(t) = n X j=1 βkjij(t) + n X j=1 ˆ βkjaj(t) (3.2.3)

dan susceptible dapat dihitung dari sk(t) = 1 − ik(t) − rk(t) ∀k = 1, . . . , n.

3.3 Spatial Contact Matrix

Beberapa faktor penting dalam penyebaran penyakit menular adalah siapa bertemu siapa, dimana pertemuan itu berlangsung dan seberapa sering. Oleh karena itu, diperlukan pengembangan dari model metapopulasi di atas. Salah satunya dengan melibatkan mobilitas spatial dari individu di setiap populasinya sehingga transmisi virus HAV pada persamaan (3.2.2) dirubah menjadi:

λk(t) = n X j=1 pkckjij(t) + n X j=1 ˆ pkckjaj(t) (3.3.1)

pk adalah laju transmisi virus HAV via kontak langsung untuk individu

yang tinggal di wilayah k. pˆk adalah laju transmisi virus HAV via kontak

ti-dak langsung untuk individu yang tinggal di wiayah k. ckj adalah kontak yang

menggambarkan adanya kontak antar wilayah k dan j (mobilitas spatial ).

Kontak sangat dipengaruhi dari mobilitas individu. Pada perkembangannya mobilitas individu dibedakan antara mobilitas harian seperti pergi ke kantor, pasar, sekolah dan mobilitas bukan harian seperti pergi bertamasya.

Ada berbagai cara untuk memformulasikan kontak ini. Salah satunya de-ngan melibatkan jumlah populasi, Produk Domestik Bruto (PDB) suatu wilayah dan jarak diantara kedu wilayah, yaitu:

ckj = θ gτd k g τr j dρ_kj

dimana gk adalah PDB wilayah k, gj adalah PDB wilayah j, dkj adalah jarak

an-tara wilayah k dan j, θ adalah jumlah semua commuter, τd, τr, ρ adalah parameter

yag harus dioptimasi dengan data yang ada (pergerakan populasi keluar wilayah, pergerakan populasi masuk kedalam wilayah, jarak pergerakan antar wilayah).

Namun, karena ketersediaan data, nilai parameter pk, ˆpk dan ckj yang

di-gunakan untuk simulasi pada skripsi ini ditentukan tanpa perhitungan.

3.4 Analisis

Dalam menganalisis model, akan dicari titik equilibrium dan jenis kestabi-lannya dari persamaan (3.2.2) dan (3.3.1).

(31)

3.4.1 Titik Equilibrium

Salah satu titik equilibrium sistem persamaan (3.2.2) adalah (i∗, r∗, a∗) = (0, 0, 0), ini diperoleh dengan mensubstitusikan langsung ke dalam sistem persa-maan. Selanjutnya: a0_k(t) = δk[ik(t) − ak(t)] 0 = δk[ik(t) − ak(t)] ik(t) = ak(t) selanjutnya r0_k(t) = γkik(t) − µkrk(t) 0 = γkik(t) − µkrk(t) µkrk(t) = γkik(t) rk(t) = γkik(t) µk selanjutnya i0_k(t) = λk(t)[1 − ik(t) − rk(t)] − (γk+ µk)ik(t) 0 = λk(t) 1 − ik(t) − γkik(t) µk − (γk+ µk)ik(t) 0 = λk(t) − λk(t)ik(t) − λk(t) γkik(t) µk − γkik(t) + µkik(t) 0 = λk(t) − ik(t) λk(t) + λk(t) γk µk + γk+ µk ik(t) = λk(t) λk(t) + λk(t)_µγk_k + γk+ µk ik(t) = λk(t)µk λk(t)µk+ λk(t)γk+ γkµk+ µ2k i∗_k = λk(t)µk (λk(t) + µk)(γk+ µk)

dengan substitusi diperoleh :

r∗_k = λk(t)γk

(λk(t) + µk)(γk+ µk)

a∗_k = λk(t)µk

(32)

Titik equilibrium (i∗_k, r∗_k, a∗_k) bergantung kepada persamaan (3.3.1) yaitu : λk(t) = n X j=1 pkckjij(t) + n X j=1 ˆ pkckjaj(t)

Sehingga titik equilibrium (i∗_k, r∗_k, a∗_k) bergantung kepada persamaan :

λ∗_k = n X j=1 pkckji∗j + n X j=1 ˆ pkckja∗j

Maka harus terlebih dahulu dicari titik equilibrium i∗_j yang transmisi virus HAVnya tidak bergantung kepada penderita di wilayah lain tetapi di wilayahnya sendiri dan begitu pun dengan kontaknya.

i∗_j diperoleh dari model transmisi virus HAV yang transmisi virusnya

ber-gantung pada penderita di wilayah sendiri. Artinya, model ini belum merupakan model metapopulasi sehingga modelnya:

         i0(t) = λ(t)[1 − i(t) − r(t)] − (γ + µ)i(t) r0(t) = γi(t) − µr(t) a0(t) = δ[i(t) − a(t)] (3.4.1) λ(t) = βi(t) + ˆβa(t) Selanjutnya dicari titik equilibrium

a0(t) = δ[i(t) − a(t)] 0 = δ[i(t) − a(t)] i(t) = a(t) selanjutnya r0(t) = γi(t) − µr(t) 0 = γi(t) − µr(t) µr(t) = γi(t) r(t) = γi(t) µ selanjutnya i0(t) = λ(t)[1 − i(t) − r(t)] − (γ + µ)i(t)

(33)

0 = λ(t) − λ(t)i(t) − λ(t)r(t) − (γ + µ)i(t)

0 = βi(t) + ˆβa(t) − βi2(t) − ˆβa(t)i(t) − ˆβi(t)r(t) − ˆβa(t)r(t) − (γ + µ)i(t) 0 = βi(t) − βi2(t) − ˆβa(t)i(t) − ˆβi(t)r(t) − (γ + µ)i(t) + ˆβa(t) − ˆβa(t)r(t) 0 = βi(t) − βi2(t) − ˆβi2(t) − ˆβi(t)γ

µi(t) − γi(t) − µi(t) + ˆβi(t) − ˆβi(t) γ µi(t) 0 = β − βi(t) − ˆβi(t) − ˆβγ µi(t) − γ − µ + ˆβ − ˆβ γ µi(t) i(t)

diperoleh i∗ = 0 atau β − γ − µ + ˆβ − βi(t) − ˆβi(t) − ˆβ_µγi(t) − ˆβ_µγi(t) = 0 0 = β − γ − µ + ˆβ − βi(t) − ˆβi(t) − ˆβγ µi(t) − ˆβ γ µi(t) i∗ = (β + ˆβ) − (γ + µ) (β + ˆβ) + (1 +_µγ)) = µ((β + ˆβ) − (γ + µ)) (β + ˆβ)(µ + γ) = µ µ + γ " 1 − γ + µ (β + ˆβ) # substitusi r∗ = γ µ + γ " 1 − γ + µ (β + ˆβ) # ) a∗ = µ µ + γ " 1 − γ + µ (β + ˆβ) #

Sehingga diperoleh dua titik equilibrium (i∗, r∗, a∗) yaitu : 1. E1 = (0, 0, 0) 2. E2 = µ µ+γ h 1 − γ+µ (β+ ˆβ) i ,_µ+γγ h1 − γ+µ (β+ ˆβ) i ),_µ+γµ h1 − γ+µ (β+ ˆβ) i

dengan Basic Reproduction Ratio [1]

R0 =

β + ˆβ

γ + µ (3.4.2)

maka diperoleh titik equilibrium (i∗, r∗, a∗) yaitu : 1. E1 = (0, 0, 0)

(34)

Tabel 3.1: Nilai i∗_j

Wilayah R0 β + ˆβ i∗ Jawa Barat 2.9 2.9031 6.9898e-004 Jawa Tengah 1.31 1.3114 2.5246e-004 Jawa Timur 2.43 2.4326 6.2782e-004

dengan nilai parameter γ = 1, µ = 0.00106, j = 1, 2, 3 (1= Jawa Barat, 2=Jawa Tengah, 3=Jawa Timur) diperoleh titik equilibrium pada tabel 3.1.

Dari hasil i∗_j diatas diperoleh titik equilibrium model metapopulasi pada

transmisi virus HAV di Jawa Barat, Jawa Tengah dan Jawa Timur yaitu:

i∗_k = λ ∗ kµk (λ∗_{+ µ} k)(γk+ µk) r∗_k = λ ∗ kγk (λ∗_k+ µk)(γk+ µk) a∗_k = λ ∗ kµk (λ∗_k+ µk)(γk+ µk) dimana λ∗_k = n X j=1 pkckji∗j + n X j=1 ˆ pkckja∗j didefinisikan [1] : R0 = ρ pkckj + ˆpckj γk+ µk (3.4.3) Hasil untuk 3 provinsi Jawa Barat, Jawa Tengah dan Jawa Timur dapat dilihat pada tabel 3.2.

Tabel 3.2: Nilai i∗_k, r_k∗, a∗_k

Wilayah R0 λ∗ i∗ r∗ a∗

Jawa Barat 2.9 2.9538e-002 1.0296e-003 9.6408e-001 1.0296e-003 Jawa Tengah 1.31 1.0983e-002 9.7231e-004 9.1041e-001 9.7231e-004 Jawa Timur 2.43 3.1646e-002 1.0320e-003 9.6632e-001 1.0320e-003

Teorema 3.4.1 Titik equilibrium (0, 0, 0) stabil asimptot secara lokal jika R0 < 1 dan tidak stabil untuk R0 > 1

Teorema 3.4.2 Pada titik endemik equilibrium (i∗, r∗, a∗) stabil asimptot secara lokal

(35)

BAB IV

SIMULASI MODEL METAPOPULASI PADA

TRANSMISI VIRUS HEPATITIS A

Nilai dari parameter pada model metapopulasi ini diambil dari jurnal Spa-tiotemporal Dynamic of Viral Hepatitis A in Italy sedangkan nilai awal penderita hepatitis A diambil berdasarkan data dari Kementrian Kesehatan Indonesia yaitu Riset Kesehatan Dasar 2007 (Riskesdas 2007). Namun, karena ketersediaan data, tidak digunakan nilai awal penderita hepatitis A tetapi digunakan nilai awal pen-derita hepatitis secara umum. Pada Riskesdas 2007, diperoleh jumlah penpen-derita hepatitis: Jawa Barat 0,3%, Jawa Tengah 0,1% dan Jawa Timur 0,2% (populasi yang diambil adalah populasi rumah tangga). Ini bertolak belakang dengan data program vaksinasi yang dilakukan pada individu. Oleh karena itu, digunakan rata-rata jumlah anggota rumah tangga yaitu jumlah seluruh penduduk dibagi jumlah rumah tangga.

Menurut Sensus 2010, jumlah rumah tangga di Indonesia menurut luas lantai tempat tinggal dan jumlah anggota rumah tangga adalah 61.156.679 se-dangkan jumlah penduduk Indonesia pada 6 Desember 2012 menurut data dari KPU adalah 251.857.940.Maka

Rata-rata jumlah anggota rumah tangga di Indonesia = jumlah penduduk

jumlah rumah tangga

= 251.857.940

61.156.679 = 4, 1182 jiwa

Jumlah Penderita Penyakit Hepatitis di Jawa Barat = 0, 3% × 61.156.679

= 183.470rumah tangga

= 183.470 × 4, 1182 = 755.570 jiwa

dengan perhitungan yang sama diperoleh jumlah penderita hepatitis di Jawa Tengah 251.860 jiwa dan Jawa Timur 503.700 jiwa.

(36)

untuk jumlah virus diasumsikan sama dengan penderita dan nilai awal penderita yang sembuh diasumsikan nol.

4.1 Simulasi Model Metapopulasi pada Transmisi Virus

Hepatitis A di Provinsi Jawa Barat, Jawa Tengah dan

Jawa Timur

Menurut data Riskesdas 2007 setiap provinsi di Indonesia mempunyai ting-kat endemik masing-masing. Artinya, HAV sudah tersebar di setiap provinsi. Selanjutnya dilakukan simulasi dimana jumlah penderita setiap wilayah bergan-tung kepada jumlah virus di wilayah lainnya, jumlah penderita di wilayah lainnya, dan jumlah kontak dengan wilayah lainnya.

Gambar 4.1.1: Peta Pulau Jawa

Gambar 4.1.2: Ilustrasi Transmisi HAV di Pulau Jawa

Simulasi dilakukan dengan software MATLAB dengan Metode Adams -Basforth-Moulton. Adapun empat nilai awalnya diperoleh dengan metode Euler. Model metapopulasi ini simulasinya dilakukan satu-satu secara terpisah tidak dilakukan di setiap wilayah secara serentak.

Simulasi model metapopulasi ini menggunakan sistem persamaan (3.2.1) dan persamaan (3.3.1) dengan paramater yaitu:

(37)

Tabel 4.1: Nilai parameter yang digunakan saat simulasi

Parameter Deskripsi Satuan Nilai Referensi N1 Jumlah penduduk di Jawa Barat per 10 juta jiwa 4,9153773 kpu Jawa Barat N2 Jumlah penduduk di Jawa Tengah per 10 juta jiwa 3,2684247 Data Statistik

Indone-sia

N3 Jumlah penduduk di Jawa Timur per 10 juta jiwa 3,6576080. Data Statistik Indone-sia

S1 Jumlah penduduk yang rentan di Jawa Barat per 10 juta jiwa 4,8398203 (Jumlah

penduduk-jumlah penderita) S2 Jumlah penduduk yang rentan di Jawa

Te-ngah

per 10 juta jiwa 3,2432387 (Jumlah penduduk-jumlah penderita) S3 Jumlah penduduk yang rentan di Jawa

Ti-mur

per 10 juta jiwa 3,6072380 (Jumlah penduduk-jumlah penderita) I1(0) Jumlah awal penderita penyakit hepatitis A

di Jawa Barat

per 10 juta jiwa 0,0755570 Riskesdas 2007 I2(0) Jumlah awal penderita penyakit hepatitis A

di Jawa Tengah

per 10 juta jiwa 0,0251860 Riskesdas 2007 I3(0) Jumlah awal penderita penyakit hepatitis A

di Jawa Timur

per 10 juta jiwa 0,0503700 Riskesdas 2007 r(0) Jumlah awal penderita yang berhasil sembuh per 10 juta jiwa 0 Riskesdas 2007 b Tingkat kelahiran per 10 juta jiwa/bulan 0.0375 bkkbn µ Laju kematian Bulan 0,001068 (Ajelli,2009)

1

γ Rata-rata waktu penularan Bulan 1 (CDC 2007,Stapleton

dan lemon,1994)

1

δ Rata-rata waktu bertahan hidup virus HAV

di lingkungan Bulan 3 (Abad et al.,1994;Biziagos et al.,1998;Mbithi et al.,1991;Ajelli et al.,2008)

vc_k Vaksinasi setelah kelahiran Persentase 20 (Lopalco et al.,2005;Ajelli et al.,2008)

vy_k Vaksinasi pada individu berunur 12 tahun Bulan−1 0.0009 (Lopalco et al.,2005;Ajelli et al.,2008)

R01 Basic Reproduction Ratio di wilayah Jawa

Barat

Desimal 2,9 (Ajelli,2009) R02 Basic Reproduction Ratio di wilayah Jawa

Tengah

Desimal 1,31 (Ajelli,2009) R03 Basic Reproduction Ratio di wilayah Jawa

Timur

Desimal 2,43 (Ajelli,2009) p1 Laju transmisi HAV via kontak langsung di

wilayah Jawa Barat

Desimal 2 (Ditentukan) p2 Laju transmisi HAV via kontak langsung di

wilayah Jawa Tengah

Desimal 1 (Ditentukan) p3 Laju transmisi HAV via kontak langsung di

wilayah Jawa Timur

Desimal 0,5 (Ditentukan) ˆ

p1 Laju transmisi HAV via kontak tidak lang-sung di wilayah Jawa Barat

p2 Laju transmisi HAV via kontak tidak

lang-sung di wilayah Jawa Tengah

p3 Laju transmisi HAV via kontak tidak

lang-sung di wilayah Jawa Timur

Desimal 1,9326 (Ditentukan) c21 Kontak wilayah Jawa Tengah dengan Jawa

Barat

Desimal 3 (Ditentukan) c23 Kontak wilayah Jawa Tengah dengan Jawa Desimal 10 (Ditentukan)

(38)

Persamaan yang digunakan adalah:                S_k0(t) = −Λk(t)Sk(t) − µkSk(t) + bkNk I_k0(t) = Λk(t)Sk(t) − (γk+ µk)Ik(t) R_k0(t) = γkIk(t) − µkRk(t) A0_k(t) = δk[Ik(t) − Ak(t)] untuk k = 1, . . . , 3 dimana Λk(t) = n X j=1 pkckj Ij(t) Nj + n X j=1 ˆ pkckjAj(t)

4.1.1 Simulasi Model Metapopulasi di Jawa Barat

Hasil simulasi model metapopulasi di Jawa Barat dapat dilihat pada gam-bar 4.1.3. Dinamika manusia yang rentan terhadap penyakit hepatitis A dengan nilai awal diberikan polanya terus turun menuju titik equilibrium. Ini disebabkan karena adanya endemik virus HAV di wilayah dan adanya kontak dengan pende-rita hepatitis A di wilayah lain, dalam hal ini adanya transmisi virus HAV baik langsung maupun tidak langsung.

Dinamika transmisi virus HAV yang awalnya naik menyebabkan jumlah penderita hepatitis A pun naik. Perilaku semakin banyaknya penderita akan me-nyebabkan penderita yang sembuh juga semakin banyak. Pola penderita yang sembuh terus naik seiring berkurangnya jumlah penderita. Pola kenaikan pen-derita yang sembuh dengan waktu yang terus bertambah akan mendekati titik equilibrium.

Adapun dinamika virus HAV sendiri polanya naik-turun dari nilai awal

yang diberikan. Pola turun ini disebabkan jumlah penderita yang

naik-turun sedangkan kematian sel virus HAV tidak berpengaruh besar dalam pola ini dikarenakan nilainya yang lebih kecil.

4.1.2 Simulasi Model Metapopulasi di Jawa Tengah

Hasil simulasi model metapopulasi di Jawa Barat dapat dilihat pada gambar 4.1.4. Perbedaan dinamika virus HAV di Jawa Tengah dengan Jawa Barat hanya capaian maksimum saja. Capaian maksimum jumlah virus HAV di Jawa Barat bisa lebih banyak daripada Jawa Tengah (Jawa Barat 30juta, Jawa Tengah < 20 juta).Transmisi HAV di Jawa Tengah pada awalnya terjadi goyangan naik-turun setelah itu dinamikanya sama dengan transmisi virus di Jawa Barat tetapi nilai paling tinggi transmisi virus HAV di Jawa Barat lebih tinggi.

(39)

Gambar 4.1.3: Dinamika model metapopulasi di Jawa Barat terhadap t (Bul-an).(a).Manusia yang rentan, (b).Transmisi virus HAV, (c).Penderita penyakit hepatitis A,(d).Penderita yang berhasil sembuh, (e).Virus HAV

Begitu pun dengan perilaku jumlah penderita dengan jumlah penderita yang berhasil sembuh, polanya sama dengan di Jawa Barat hanya saja di Ja-wa Barat lebih cepat naik dan jumlah penderita penyakit hepatitis A di JaJa-wa Barat dalam kurun waktu 1 bulan pernah mencapai 4 juta sedangkan Jawa Te-ngah di bawah 3 juta. Adapun dinamika penderita yang sembuh polanya sama dengan yang ada di Jawa Barat tetapi di Jawa Barat jumlah penderita yang sembuh terus naik menuju 6 juta sedangkan di Jawa Tengah menuju 4 juta.

Gambar 4.1.4: Dinamika model metapopulasi di Jawa Tengah terhadap t (Bul-an).(a).Manusia yang rentan, (b).Transmisi virus HAV, (c).Penderita penyakit hepatitis A,(d).Penderita yang berhasil sembuh, (e).Virus HAV

(40)

4.1.3 Simulasi Model Metapopulasi di Jawa Timur

Hasil simulasi model metapopulasi di Jawa Barat dapat dilihat pada gambar 4.1.5. Dinamika virus HAV, manusia yang rentan, transmisi virus HAV, penderita penyakit hepatitis A, dan penderita yang berhasil sembuh di Jawa Timur hampir sama dengan Jawa Tengah hanya berbeda dalam kecepatan naik dan capaian maksimumnya saja.

Dari ketiga simulasi yang dilakukan di daerah Jawa Barat, Jawa Tengah dan Jawa Timur diperoleh pola perilaku manusia yang rentan, Transmisi virus HAV, Penderita penyakit hepatitis A, dan penderita yang berhasil sembuh, dan dinamika virus HAV hampir sama. Dari hasil simulasi ini diperoleh bahwa di titik equilibrium endemik (i∗, r∗, a∗) stabil asimptot secara lokal.

Gambar 4.1.5: Dinamika model metapopulasi di Jawa Timur terhadap t (Bul-an).(a).Manusia yang rentan, (b).Transmisi virus HAV, (c).Penderita penyakit hepatitis A,(d).Penderita yang berhasil sembuh, (e).Virus HAV

4.2 Simulasi Model Metapopulasi pada Transmisi Virus

Hepatitis A di Jawa Barat, Jawa Tengah dan Jawa

Timur setelah dilakukan Vaksinasi

Model metapopulasi pada transmisi virus HAV dengan melibatkan variabel vaksinasi berbentuk:          i0_k(t) = λk(t)[1 − ik(t) − rk(t)] − (γk+ µk)ik(t) r_k0(t) = γkik(t) − µkrk(t) + Vkcµk+ Vkysk(t) a0_k(t) = δk[ik(t) − ak(t)] (4.2.1)

(41)

untuk k = 1, . . . , n dimana λk(t) = n X j=1 pkckjij(t) + n X j=1 ˆ pkckjaj(t)

Selanjutnya vaksinasi dilakukan di setiap daerah yaitu Jawa Barat, Jawa Tengah dan Jawa Timur dan dilihat pengaruhnya terhadap penderita di wilayah lain.

4.2.1 Vaksinasi dilakukan di Jawa Barat

Hasil simulasi model metapopulasi di Jawa Barat setelah vaksinasi dilakuk-an di Jawa Barat dapat dilihat pada gambar 4.2.1, 4.2.2, 4.2.3. Dari hasil simulas diperoleh bahwa jika vaksinasi dilakukan di Jawa Barat maka dalam waktu 4,3 bulan jumlah penderita penyakit hepatitis A di Jawa Barat sudah berhasil sem-buh semua. Adapun dampak bagi daerah lain, dalam waktu 1 tahun penderita penyakit hepatitis A di Jawa Tengah sebanyak 92 jiwa dan di Jawa Timur seba-nyak 73 jiwa.

Gambar 4.2.1: Dinamika Model Metapopulasi di Jawa Barat Setelah Dilakukan Vaksinasi di Jawa Barat

(42)

..

Gambar 4.2.2: Dinamika Model Metapopulasi di Jawa Tengah Setelah Dilakukan Vaksinasi di Jawa Barat

Gambar 4.2.3: Dinamika Model Metapopulasi di Jawa Timur Setelah Dilakukan Vaksinasi di Jawa Barat

(43)

4.2.2 Vaksinasi dilakukan di Jawa Tengah

Hasil simulasi model metapopulasi di Jawa Barat setelah vaksinasi dila-kukan di Jawa Barat dapat dilihat pada gambar 4.2.4, 4.2.5, 4.2.6. Dari hasil simulasi diperoleh bahwa jika vaksinasi dilakukan di Jawa Tengah maka dalam waktu 5,61 bulan jumlah penderita penyakit hepatitis A di Jawa Tengah sudah berhasil sembuh semua. Adapun dampak bagi daerah lain, dalam waktu 1 tahun penderita penyakit hepatitis A di Jawa Barat sebanyak 113 jiwa dan di Jawa Timur sebanyak 82 jiwa.

Gambar 4.2.4: Dinamika Model Metapopulasi di Jawa Barat Setelah Dilakukan Vaksinasi di Jawa Tengah

(44)

.

Gambar 4.2.5: Dinamika Model Metapopulasi di Jawa Timur Setelah Dilakukan Vaksinasi di Jawa Tengah

Gambar 4.2.6: Dinamika Model Metapopulasi di Jawa Timur Setelah Dilakukan Vaksinasi di Jawa Timur

(45)

4.2.3 Vaksinasi dilakukan di Jawa Timur

Hasil simulasi model metapopulasi di Jawa Barat setelah vaksinasi dilakuk-an di Jawa Barat dapat dilihat pada gambar 4.2.7, 4.2.8, 4.2.9. Dari hasil simulasi diperoleh bahwa jika vaksinasi dilakukan di Jawa Timur maka dalam waktu 4,77 bulan jumlah penderita penyakit hepatitis A di Jawa Tengah berhasil sembuh semua. Adapun dampak bagi daerah lain, dalam waktu 1 tahun penderita di Jawa Barat 71 jiwa dan di Jawa Tengah 81 jiwa.

Tabel 4.2: Perbandingan Hasil Simulasi Pemberian Vaksinasi ke Setiap Wilayah

Wlayah Vaksinasi Penderita di Jawa Ba-rat

Penderita di Jawa Te-ngah

di Jawa Timur Jawa Barat 0 (4,3 bulan) 92 jiwa 73 jiwa

Jawa Tengah 113 jiwa 0 (6,61 bulan) 82 jiwa Jawa Timur 71 jiwa 81 jiwa 0 (4,77 bulan)

Gambar 4.2.7: Dinamika Model Metapopulasi di Jawa Tengah Setelah Dilakukan Vaksinasi di Jawa Tengah

(46)

.

Gambar 4.2.8: Dinamika Model Metapopulasi di Jawa Barat Setelah Dilakukan Vaksinasi di Jawa Timur

Gambar 4.2.9: Dinamika Model Metapopulasi di Jawa Tengah Setelah Dilakukan Vaksinasi di Jawa Timur

(47)

BAB V

PENUTUP

5.1 Kesimpulan

1. Model metapopulasi transmisi virus HAV yaitu :                S_k0(t) = −Λk(t)Sk(t) − µkSk(t) + bkNk I_k0(t) = Λk(t)Sk(t) − (γk+ µk)Ik(t) R_k0(t) = γkIk(t) − µkRk(t) A0_k(t) = δk[Ik(t) − Ak(t)] untuk k = 1, . . . , n dimana Λk(t) = n X j=1 pkckj Ij(t) Nj + n X j=1 ˆ pckjAj(t)

2. Dari hasil analisis model metapopulasi, diperoleh:

(a) Titik Equilibrium yang diperoleh dari 3 wilayah dapat dilihat dari tabel berikut :

Wilayah i∗ r∗ a∗ Jawa Barat 1.0296e-003 9.6408e-001 1.0296e-003 Jawa Tengah 9.7231e-004 9.1041e-001 9.7231e-004 Jawa Timur 1.0320e-003 9.6632e-001 1.0320e-003

(b) Titik DFE stabil asimptot secara lokal jika R0 < 1 dan tidak stabil

untuk R0 > 1 dan pada titik endemik ekuilibrium stabil asimptot

secara lokal.

3. Program vaksinasi yang paling optimal dapat diperoleh dari persentase jum-lah penderita dibagi jumjum-lah penduduk. Oleh karena itu, program vaksinasi yang paling optimal adalah program vaksinasi yang dilakukan di daerah Ja-wa Timur karena dalam Ja-waktu 4,77 bulan jumlah penderita di JaJa-wa Timur sudah hilang dan menyebabkan jumlah persentase penderita di Jawa Barat 0, 00014444 dan di Jawa Tengah 0.00024783, persentase jumlah penderita di Jawa Barat ditambah Jawa Tengah lebih kecil dibandingkan dengan yang

(48)

Tabel 5.1: Persentase Perbandingan Hasil Simulasi Pemberian Vaksinasi ke Setiap Wilayah

Wlayah Vaksinasi Penderita di Jawa Ba-rat

Penderita di Jawa Te-ngah

di Jawa Timur Jawa Barat 0 (4,3 bulan) 2.8148e − 004% 1.5083e − 004%

Jawa Tengah 2.2989e − 004% 0 (6,61 bulan) 1.6943e-004 Jawa Timur 1.4444e − 004% 2.4783e − 004% 0 (4,77 bulan)

5.2 Saran

Penelitian ini merubah sedikit model metapopulasi yang diajukan Maro Ajelli dengan mengasumsikan b 6= µ. Adapun mengenai formulasi kontak dengan wilayah lain menggunakan gravity model, tetapi karena ketersediaan data, gravity model tidak dipakai pada saat simulasi. Pembahasan analisis hanya menelaah tentang titik equilibrium. Pemakaian parameter-parameter disesuaikan dengan data yang ada, baik tingkat endemik penyakit hepatitis A setiap wilayah dan jumlah penduduk.

Oleh karena itu, untuk penelitian selanjutnya diharapkan pembahasan ana-lisisnya diperdalam dengan membuktikan teorema, menambahkan variabel lain dll. Metode numerik yang digunakan harus yang lebih baik dengan orde kesa-lahan yang tinggi. Formulasi untuk kontak spasial dan model metapopulasi yang diajukan diharapkan lebih baik dan merepresentasikan mobilitas spasial yang ada antar daerah.

(49)

DAFTAR PUSTAKA

[1] Ajelli, M., Spatiotemporal Dynamic of Viral Hepatitis A (HAV) in Italy, Journal Population Biology, 2009.

[2] Colizza, V. dan Vespigani, A., Epidemic Modeling in Metapopulation System with Heterogeneous Coupling Pattern Theory and Simulation, Sci-ence Direct, 2007.

[3] Chow, L., Fan, M., Feng, Z., Dynamic of Multigroup Epidemiological Model with Group-Targeted Vaccination Strategies, Journal of Theoretical Biology, 2011.

[4] Driessche, P. and Watmough, J., Reproduction Numbers and

Sub-threshold Endemic Equilibria for Compartmental Models of Disease Trans-mission, Elsevier Science, 2005.

[5] Dieskmann, O., Heesterbeek, J., Metz, J., On the Definition and the

Computation of the Basic Reproduction Ratio R0 in Models for Infection

Disease in Heterogeneous Population, J.Math.Biol.28, 365-382, 1990.

[6] Murray, J.D., Mathematical Biology I An Introduction ,Third Edition,

New York:Springer, 2002.

[7] T. Soendoro, Riset Kesehatan Dasar (RISKESDAS 2007) , Badan Peneli-tian dan Pengembangan Kesehatan Departemen Kesehatan Republik Indo-nesia, 2008.

[8] Boyce, M.W. and Diprima, C.R., Elementary Differential Equations and Boundary Value Problem, Seven Edition, John Wiley and Sons.Inc, 2000. [9] Niel Hiens et al., Modeling Infectious Disease Parameters Based on

Sero-logical and Contact Data, Statistic for Biology and Health, 2012.

[10] Indrawan, M., Rimack, B.R., Jatna Supriatna, Biologi Konservasi, Yayasan Obor Indonesia, 1998.

(50)

DAFTAR RIWAYAT HIDUP

Nama penulis adalah Riad Taufik Lazwardi,lahir di Ta-sikmalaya 3 Januari 1990.Penulis merupakan anak pertama da-ri dua bersaudara dada-ri pasangan Bapak Drs.H.Emay Sumarna dan Hj.Yeti .Adik bernama Reza Budiman,lahir di Bandung 20 Desember 1993.Alamat asal penulis adalah Jl.Soreang Ci-patik km.7 Bumi Krsna Soreang Bandung.Alamat asal orang tua adalah Cihaurbeuti Ciamis.Jenjang pendidikan formal yang pernah ditempuh penulis adalah:

1. Sekolah Dasar Negeri Pameuntasan III, Bandung, tahun 2001

2. Sekolah Menengah Pertama Negeri 2 Soreang, Bandung, tahun 2004 3. Sekolah Menengah Atas Negeri 1 Margahayu, Bandung, tahun 2007 4. UIN Sunan Gunung Djati Bandung pada tahun 2007-2013

Untuk memudahkan komunikasi mengenai penulis dan tugas akhir ini, dapat melalui email penulis di aireyriadbonnet@yahoo.co.id.

(51)

(52)

LAMPIRAN A

(53)

Hasil Simulasi Model Metapopulasi Transmisi Virus HAV di Jawa

Barat

*************************************************************************************** Pencarian nilai awal untuk Metode Multi Step Adam-Basforth-Moulton dengan Metode Euler ***************************************************************************************

i t(i) S(i) I(i) r(i) a(i) lambda(i) 1.0000e+000 0 4.8398e+000 7.5557e-002 0 7.5557e-002 1.2096e+000 2.0000e+000 5.0000e-003 4.8114e+000 1.0445e-001 3.7779e-004 7.5557e-002 1.2096e+000 3.0000e+000 1.0000e-002 4.7832e+000 1.3303e-001 9.0004e-004 7.5990e-002 1.4223e+000 4.0000e+000 1.5000e-002 4.7501e+000 1.6638e-001 1.5652e-003 7.6846e-002 1.6378e+000 *********************************************************************************

Metode Multi Step Adam-Basforth-Moulton

********************************************************************************* i t(i) S(i) I(i) r(i) a(i) lambda(i) 5.0000e+000 2.0000e-002 4.7094e+000 2.0709e-001 2.4952e-003 7.8472e-002 1.8934e+000 6.0000e+000 2.5000e-002 4.6623e+000 2.5389e-001 3.6454e-003 8.0730e-002 2.2122e+000 7.0000e+000 3.0000e-002 4.6077e+000 3.0796e-001 5.0467e-003 8.3701e-002 2.5833e+000 8.0000e+000 3.5000e-002 4.5447e+000 3.7020e-001 6.7385e-003 8.7494e-002 3.0163e+000 9.0000e+000 4.0000e-002 4.4721e+000 4.4169e-001 8.7641e-003 9.2224e-002 3.5191e+000 1.0000e+001 4.5000e-002 4.3887e+000 5.2352e-001 1.1173e-002 9.8024e-002 4.1009e+000 1.1000e+001 5.0000e-002 4.2935e+000 6.1679e-001 1.4018e-002 1.0504e-001 4.7715e+000 1.2000e+001 5.5000e-002 4.1853e+000 7.2255e-001 1.7361e-002 1.1343e-001 5.5405e+000 1.3000e+001 6.0000e-002 4.0631e+000 8.4173e-001 2.1266e-002 1.2337e-001 6.4176e+000 1.4000e+001 6.5000e-002 3.9261e+000 9.7508e-001 2.5802e-002 1.3505e-001 7.4118e+000 1.5000e+001 7.0000e-002 3.7738e+000 1.1231e+000 3.1041e-002 1.4864e-001 8.5306e+000 1.6000e+001 7.5000e-002 3.6060e+000 1.2857e+000 3.7056e-002 1.6434e-001 9.7797e+000 1.7000e+001 8.0000e-002 3.4232e+000 1.4626e+000 4.3921e-002 1.8234e-001 1.1162e+001 1.8000e+001 8.5000e-002 3.2262e+000 1.6527e+000 5.1704e-002 2.0280e-001 1.2676e+001 1.9000e+001 9.0000e-002 3.0167e+000 1.8543e+000 6.0467e-002 2.2588e-001 1.4316e+001 2.0000e+001 9.5000e-002 2.7970e+000 2.0651e+000 7.0261e-002 2.5169e-001 1.6072e+001 2.1000e+001 1.0000e-001 2.5700e+000 2.2821e+000 8.1127e-002 2.8030e-001 1.7928e+001 2.2000e+001 1.0500e-001 2.3393e+000 2.5018e+000 9.3086e-002 3.1174e-001 1.9863e+001 2.3000e+001 1.1000e-001 2.1085e+000 2.7204e+000 1.0614e-001 3.4598e-001 2.1852e+001 2.4000e+001 1.1500e-001 1.8816e+000 2.9340e+000 1.2028e-001 3.8293e-001 2.3865e+001 2.5000e+001 1.2000e-001 1.6625e+000 3.1389e+000 1.3547e-001 4.2246e-001 2.5875e+001 2.6000e+001 1.2500e-001 1.4543e+000 3.3318e+000 1.5165e-001 4.6436e-001 2.7851e+001 ...

9.9900e+002 4.9900e+000 4.1304e-002 2.0860e-001 5.5567e+000 2.2642e-001 4.2227e+000 1.0000e+003 4.9950e+000 4.1353e-002 2.0843e-001 5.5577e+000 2.2615e-001 4.2182e+000

(54)

Hasil Simulasi Model Metapopulasi Transmisi Virus HAV di Jawa

Tengah

********************************************************************************* Pencarian nilai awal untuk Metode Multi Step Adam-Basforth-Moulton dengan Metode Euler *********************************************************************************

i t(i) SS(i) II(i) rr(i) aa(i) lambda(i) 1.0000e+000 0 3.2432e+000 2.5186e-002 0 2.5186e-002 4.1127e-001 2.0000e+000 5.0000e-003 3.2372e+000 3.1729e-002 1.2593e-004 2.5186e-002 2.8309e+000 3.0000e+000 1.0000e-002 3.1919e+000 7.7390e-002 2.8457e-004 2.5284e-002 2.8555e+000 4.0000e+000 1.5000e-002 3.1470e+000 1.2258e-001 6.7153e-004 2.6066e-002 3.0351e+000 *********************************************************************************

*********************************************************************************

i t(i) SS(i) II(i) rr(i) aa(i) lambda(i) 5.0000e+000 2.0000e-002 3.1127e+000 1.5670e-001 1.3765e-003 2.7779e-002 7.9911e-001 6.0000e+000 2.5000e-002 3.1060e+000 1.6324e-001 2.1913e-003 2.9792e-002 9.4183e-001 7.0000e+000 3.0000e-002 3.0900e+000 1.7896e-001 3.0353e-003 3.1863e-002 9.7703e-001 8.0000e+000 3.5000e-002 3.0751e+000 1.9352e-001 3.9691e-003 3.4168e-002 1.0487e+000 9.0000e+000 4.0000e-002 3.0591e+000 2.0915e-001 4.9749e-003 3.6655e-002 1.1170e+000 1.0000e+001 4.5000e-002 3.0421e+000 2.2565e-001 6.0615e-003 3.9345e-002 1.1904e+000 1.1000e+001 5.0000e-002 3.0240e+000 2.4311e-001 7.2329e-003 4.2248e-002 1.2682e+000 1.2000e+001 5.5000e-002 3.0049e+000 2.6158e-001 8.4942e-003 4.5375e-002 1.3508e+000 1.3000e+001 6.0000e-002 2.9846e+000 2.8110e-001 9.8504e-003 4.8738e-002 1.4385e+000 1.4000e+001 6.5000e-002 2.9631e+000 3.0171e-001 1.1307e-002 5.2350e-002 1.5315e+000 1.5000e+001 7.0000e-002 2.9404e+000 3.2347e-001 1.2869e-002 5.6223e-002 1.6301e+000 1.6000e+001 7.5000e-002 2.9164e+000 3.4642e-001 1.4543e-002 6.0372e-002 1.7344e+000 1.7000e+001 8.0000e-002 2.8910e+000 3.7060e-001 1.6335e-002 6.4809e-002 1.8447e+000 1.8000e+001 8.5000e-002 2.8642e+000 3.9606e-001 1.8251e-002 6.9550e-002 1.9613e+000 1.9000e+001 9.0000e-002 2.8360e+000 4.2283e-001 2.0298e-002 7.4610e-002 2.0844e+000 2.0000e+001 9.5000e-002 2.8063e+000 4.5095e-001 2.2482e-002 8.0002e-002 2.2143e+000 2.1000e+001 1.0000e-001 2.7750e+000 4.8046e-001 2.4810e-002 8.5743e-002 2.3511e+000 2.2000e+001 1.0500e-001 2.7422e+000 5.1140e-001 2.7288e-002 9.1849e-002 2.4951e+000 2.3000e+001 1.1000e-001 2.7078e+000 5.4377e-001 2.9926e-002 9.8335e-002 2.6465e+000 2.4000e+001 1.1500e-001 2.6718e+000 5.7762e-001 3.2728e-002 1.0522e-001 2.8055e+000 2.5000e+001 1.2000e-001 2.6340e+000 6.1295e-001 3.5704e-002 1.1251e-001 2.9721e+000 2.6000e+001 1.2500e-001 2.5947e+000 6.4977e-001 3.8860e-002 1.2024e-001 3.1467e+000 ...

9.9900e+002 4.9900e+000 8.1752e-002 1.2508e-001 3.6542e+000 1.3963e-001 1.1815e+000 1.0000e+003 4.9950e+000 8.1882e-002 1.2494e-001 3.6548e+000 1.3941e-001 1.1798e+000

(55)

Hasil Simulasi Model Metapopulasi Transmisi Virus HAV di Jawa

Timur

i t(i) SSS(i) III(i) rrr(i) aaa(i) lambda(i) 1.0000e+000 0 3.6072e+000 5.0370e-002 0 5.0370e-002 2.8295e+000 2.0000e+000 5.0000e-003 3.5569e+000 1.0115e-001 2.5185e-004 5.0370e-002 2.8295e+000 3.0000e+000 1.0000e-002 3.5072e+000 1.5096e-001 7.5760e-004 5.1132e-002 3.0034e+000 4.0000e+000 1.5000e-002 3.4552e+000 2.0288e-001 1.5124e-003 5.2629e-002 3.2168e+000 *********************************************************************************

********************************************************************************* i t(i) SSS(i) III(i) rrr(i) aaa(i) lambda(i) 5.0000e+000 2.0000e-002 3.3986e+000 2.5901e-001 2.6649e-003 5.5279e-002 3.4789e+000 6.0000e+000 2.5000e-002 3.3379e+000 3.1890e-001 4.1082e-003 5.8755e-002 3.8203e+000 7.0000e+000 3.0000e-002 3.2722e+000 3.8351e-001 5.8621e-003 6.3103e-002 4.2209e+000 8.0000e+000 3.5000e-002 3.2009e+000 4.5340e-001 7.9520e-003 6.8388e-002 4.6869e+000 9.0000e+000 4.0000e-002 3.1233e+000 5.2919e-001 1.0406e-002 7.4678e-002 5.2237e+000 1.0000e+001 4.5000e-002 3.0389e+000 6.1143e-001 1.3255e-002 8.2050e-002 5.8372e+000 1.1000e+001 5.0000e-002 2.9471e+000 7.0060e-001 1.6532e-002 9.0588e-002 6.5337e+000 1.2000e+001 5.5000e-002 2.8476e+000 7.9708e-001 2.0273e-002 1.0038e-001 7.3195e+000 1.3000e+001 6.0000e-002 2.7400e+000 9.0110e-001 2.4515e-002 1.1152e-001 8.2010e+000 1.4000e+001 6.5000e-002 2.6242e+000 1.0128e+000 2.9296e-002 1.2410e-001 9.1840e+000 1.5000e+001 7.0000e-002 2.5004e+000 1.1319e+000 3.4654e-002 1.3821e-001 1.0274e+001 1.6000e+001 7.5000e-002 2.3688e+000 1.2581e+000 4.0626e-002 1.5394e-001 1.1476e+001 1.7000e+001 8.0000e-002 2.2301e+000 1.3909e+000 4.7246e-002 1.7136e-001 1.2794e+001 1.8000e+001 8.5000e-002 2.0852e+000 1.5292e+000 5.4544e-002 1.9054e-001 1.4228e+001 1.9000e+001 9.0000e-002 1.9352e+000 1.6718e+000 6.2545e-002 2.1153e-001 1.5781e+001 2.0000e+001 9.5000e-002 1.7817e+000 1.8173e+000 7.1266e-002 2.3436e-001 1.7451e+001 2.1000e+001 1.0000e-001 1.6263e+000 1.9639e+000 8.0719e-002 2.5902e-001 1.9234e+001 2.2000e+001 1.0500e-001 1.4709e+000 2.1098e+000 9.0903e-002 2.8549e-001 2.1123e+001 2.3000e+001 1.1000e-001 1.3176e+000 2.2528e+000 1.0181e-001 3.1372e-001 2.3112e+001 2.4000e+001 1.1500e-001 1.1684e+000 2.3911e+000 1.1342e-001 3.4363e-001 2.5191e+001 2.5000e+001 1.2000e-001 1.0252e+000 2.5226e+000 1.2571e-001 3.7511e-001 2.7347e+001 2.6000e+001 1.2500e-001 8.8992e-001 2.6457e+000 1.3863e-001 4.0801e-001 2.9569e+001 ...

9.9900e+002 4.9900e+000 1.3046e-002 1.5971e-001 4.1480e+000 1.7283e-001 1.0276e+001 1.0000e+003 4.9950e+000 1.3061e-002 1.5958e-001 4.1488e+000 1.7264e-001 1.0264e+001

(56)

Hasil Simulasi Model Metapopulasi Transmisi virus HAV di Jawa

Barat Setelah Dilakukan Vaksinasi di Jawa Barat

i t(i) I(i) r(i) a(i) lambda(i) 1.0000e+000 0 7.5557e-002 0 7.5557e-002 2.4122e+000 2.0000e+000 5.0000e-003 8.6329e-002 4.8874e-004 7.5557e-002 2.4122e+000 3.0000e+000 1.0000e-002 9.6910e-002 1.0313e-003 7.5719e-002 2.8180e+000 4.0000e+000 1.5000e-002 1.0914e-001 1.6267e-003 7.6036e-002 3.2196e+000 *********************************************************************************

********************************************************************************* i t(i) I(i) r(i) a(i) lambda(i) 4.0000e+000 1.5000e-002 1.0914e-001 1.6267e-003 7.6036e-002 3.2196e+000 5.0000e+000 2.0000e-002 1.2298e-001 2.2912e-003 7.6553e-002 3.6849e+000 6.0000e+000 2.5000e-002 1.3856e-001 3.0258e-003 7.7271e-002 4.2139e+000 7.0000e+000 3.0000e-002 1.5602e-001 3.8393e-003 7.8213e-002 4.8106e+000 8.0000e+000 3.5000e-002 1.7548e-001 4.7413e-003 7.9405e-002 5.4810e+000 9.0000e+000 4.0000e-002 1.9707e-001 5.7418e-003 8.0872e-002 6.2303e+000 1.0000e+001 4.5000e-002 2.2086e-001 6.8514e-003 8.2643e-002 7.0632e+000 1.1000e+001 5.0000e-002 2.4691e-001 8.0813e-003 8.4747e-002 7.9834e+000 1.2000e+001 5.5000e-002 2.7521e-001 9.4427e-003 8.7210e-002 8.9932e+000 1.3000e+001 6.0000e-002 3.0568e-001 1.0947e-002 9.0063e-002 1.0093e+001 1.4000e+001 6.5000e-002 3.3820e-001 1.2605e-002 9.3331e-002 1.1280e+001 1.5000e+001 7.0000e-002 3.7253e-001 1.4426e-002 9.7038e-002 1.2550e+001 1.6000e+001 7.5000e-002 4.0839e-001 1.6420e-002 1.0120e-001 1.3896e+001 1.7000e+001 8.0000e-002 4.4539e-001 1.8594e-002 1.0584e-001 1.5306e+001 1.8000e+001 8.5000e-002 4.8308e-001 2.0953e-002 1.1097e-001 1.6767e+001 1.9000e+001 9.0000e-002 5.2096e-001 2.3501e-002 1.1658e-001 1.8263e+001 2.0000e+001 9.5000e-002 5.5851e-001 2.6239e-002 1.2267e-001 1.9774e+001 2.1000e+001 1.0000e-001 5.9519e-001 2.9163e-002 1.2923e-001 2.1281e+001 2.2000e+001 1.0500e-001 6.3049e-001 3.2270e-002 1.3623e-001 2.2763e+001 2.3000e+001 1.1000e-001 6.6395e-001 3.5552e-002 1.4365e-001 2.4203e+001 2.4000e+001 1.1500e-001 6.9520e-001 3.9001e-002 1.5146e-001 2.5581e+001 2.5000e+001 1.2000e-001 7.2394e-001 4.2604e-002 1.5961e-001 2.6884e+001 2.6000e+001 1.2500e-001 7.4996e-001 4.6348e-002 1.6807e-001 2.8099e+001 ... 8.5900e+002 4.2900e+000 5.4196e-005 1.0128e+000 6.7204e-003 9.3606e-001 8.6000e+002 4.2950e+000 -5.7991e-006 1.0129e+000 6.6211e-003 9.3154e-001