MA1201 MATEMATIKA 2A
MA1201 MATEMATIKA 2A
Hendra Gunawan
Semester II, 2013/2014 Semester II, 2013/2014 26 Maret 2014Kuliah yang Lalu
Kuliah yang Lalu
12.1 Fungsi dua (atau lebih) peubah. u gs dua (atau eb ) peuba
12.2 Turunan Parsial
12.3 Limit dan Kekontinuan 12.3 Limit dan Kekontinuan
12.4 Turunan fungsi dua peubah 12 5 Turunan berarah dan gradien 12.5 Turunan berarah dan gradien 12.6 Aturan Rantai
12 7 Bidang singgung dan aproksimasi 12.7 Bidang singgung dan aproksimasi 12.8 Maksimum dan minimum
12 9 Metode pengali Lagrange 12.9 Metode pengali Lagrange
Kuliah Hari Ini
Kuliah Hari Ini
12.1 Fungsi dua (atau lebih) peubah. u gs dua (atau eb ) peuba 12.2 Turunan Parsial
12.3 Limit dan Kekontinuan 12.3 Limit dan Kekontinuan
12.4 Turunan fungsi dua peubah
12 5 Turunan berarah dan gradien 12.5 Turunan berarah dan gradien 12.6 Aturan Rantai
12 7 Bidang singgung dan aproksimasi – Bag I 12.7 Bidang singgung dan aproksimasi Bag I 12.8 Maksimum dan minimum
12 9 Metode pengali Lagrange 12.9 Metode pengali Lagrange
12.4 TURUNAN FUNGSI DUA PEUBAH
MA1201 MATEMATIKA 2A12.4 TURUNAN FUNGSI DUA PEUBAH
• Memeriksa apakah suatu fungsi dua peubahi t di titik t t t d mempunyai turunan di titik tertentu dan menentukan turunannya
Turunan Parsial Saja Tidak Cukup
Turunan Parsial Saja Tidak Cukup
Kita sudah mendefinisikan Kita sudah mendefinisikan turunan parsial dari suatu
fungsi dua peubah; tapi P
z fungsi dua peubah; tapi
eksistensi turunan parsial di
suatu titik tidak memberi kita y
??
suatu titik tidak memberi kita informasi tentang nilai fungsi
di sekitar titik tsb x
di sekitar titik tsb.
Bagaimana Mendefinisikan Turunan
Bagaimana Mendefinisikan Turunan
Turunan dari fungsi satu peubahg p y = f(x) y f( ) di x = c
didefinisikan sebagai ) ( ) (c h f c f
Sayangnya bentuk ini tidak dapat diperumum . ) ( ) ( lim ) ( ' 0 h c f h c f c f h
Sayangnya bentuk ini tidak dapat diperumum untuk fungsi dua peubah
)
(
)
(
c
h
f
c
f
k b d k d k d f,
)
(
)
(
lim
)
(
'
0h
c
f
h
c
f
c
f
h
Turunan Fungsi Satu Peubah
Turunan Fungsi Satu Peubah
Jika y = f(x) y f( ) mempunyai turunan dip y x = c, yakni, y , ) ( ) ( lim ) ( ' 0 h m c f h c f c f h
maka f linear secara lokal di x ≈ c, yaitu
0 h h
)
(
)
(
)
(
h
f
h
h
h
f
dengan),
(
)
(
)
(
c
h
f
c
hm
h
h
f
.
0
)
(
)
(
lim
)
(
lim
0 0
h
m
c
f
h
c
f
h
h h
3/26/2014 (c) Hendra Gunawan 7
h
Turunan Fungsi Satu Peubah
Turunan Fungsi Satu Peubah
Sebaliknya, jikay , j ff linear secara lokal di x ≈ c, , sebutlah
)
(
)
(
)
(
c
h
f
c
hm
h
h
f
dengan),
(
)
(
)
(
c
h
f
c
hm
h
h
f
)
(
)
(
f
c
h
f
c
,
0
)
(
)
(
lim
)
(
lim
0 0
h
m
c
f
h
c
f
h
h h
maka f mempunyai turunan di x = c, yakni ) ( ) ( lim ) ( ' c f c h f c m f ( ) lim . 0 h m c f h
Turunan Fungsi Dua Peubah
Turunan Fungsi Dua Peubah
Fungsi dua peubahg p ff dikatakan mempunyaip y
turunan di p = (a,b) jika dan hanya jika f linear secara lokal di sekitar pp, yakni, y
,
)
(
))
(
),
(
(
)
(
)
(
p
h
f
p
f
p
f
p
h
h
h
f
x y
dengan y),
,
(
)),
(
),
(
(
)
(
h
1h
2h
h
h
1h
2
dan lim ( ) (lim ( ),lim 2( )) (0,0).
0 1 0 0 h h h h h h
3/26/2014 (c) Hendra Gunawan 9 0 0 0 h h hTurunan Fungsi Dua Peubah
Turunan Fungsi Dua Peubah
Vektor
f
(
p
)
:
(
f
x(
p
),
f
y(
p
))
disebut turunan atau gradien f di p.Jadi f mempunyai turunan di p jika dan
))
(
),
(
(
)
(
p
f
p
f
p
f
x yJadi, f mempunyai turunan di p jika dan hanya jika dengan lim
(h ) 0,
)
(
)
(
)
(
)
(
p
h
f
p
f
p
h
h
h
f
dengan d b d l . 0 ) ( lim 0 h h
Catatan: Operator disebut operator del. Beberapa Catatan
Beberapa Catatan
1. Jika turunan fungsi satu peubah merupa‐g p p kan bilangan f ’(p), maka turunan fungsi dua peubah merupakan vektorp p
2 Hasil kali dan
))
(
),
(
(
:
)
(
p
f
p
f
p
f
x y
h
f
(
)
(
h
)
h
2. Hasil kali dan merupakan hasil kali titik.f f ( l b h)
h
p
f
(
)
(
h
)
h
3. Definisi turunan fungsi tiga (atau lebih) peubah dapat dirumuskan secara serupa.
Contoh
Contoh
Turunan dari fungsi
f
(
x
y
)
x
2
y
2 di (1 2)Turunan dari fungsi di (1,2)
adalah
Perhatikan bahwa untuk (h k) ≈ (0 0) fungsi f
)
,
(
x
y
x
y
f
).
4
,
2
(
)
2
,
2
(
)
2
,
1
(
) 2 , 1 (
f
x
y
Perhatikan bahwa untuk (h,k) ≈ (0,0) fungsi f
linear secara lokal: ) 2 ( ) 1 ( ) 2 1 ( h k h 2 k 2 f 4 4 2 1 ) 2 ( ) 1 ( ) 2 , 1 ( 2 2 2 2 k k h h k h k h f ). , ( ) , ( ) , ( ) 4 , 2 ( 5 h k h k h k Di sini
(
h
,
k
)
(
h
,
k
)
(
0
,
0
).
Teorema
Teorema
Jika f mempunyai turunan parsial f dan f yang Jika f mempunyai turunan parsial fx dan fy yang kontinu pada suatu cakram yang memuat (a,b), maka f mempunyai turunan di (a b)
maka f mempunyai turunan di (a,b).
C h f( ) 2 2 i
Contoh. f(x,y) = x2 + y2 mempunyai turunan
parsial fx = 2x dan fy = 2y yang kontinu pada R,
k i f i di i i ik
karena itu f mempunyai turunan di setiap titik.
Sifat Turunan
Sifat Turunan
Operator del memenuhi: Operator del memenuhi:
)
(
)
(
)]
(
)
(
[
f
f
1.
[
f
(
p
)
g
(
p
)]
f
(
p
)
g
(
p
)
2.
[
.
f
(
p
)]
.
f
(
p
)
3.
[
f
(
p
)
g
(
p
)]
f
(
p
)
g
(
p
)
g
(
p
)
f
(
p
)
Teorema
Teorema
Jika f mempunyai turunan di p maka Jika f mempunyai turunan di p, maka f kontinu di p.
Catatan. Kontraposisi teorema di atas berbunyi: jika f tidak kontinu di p, maka f tidak mempunyai turunan di p.
Soal
Soal
Selidiki apakah fungsi di bawah ini mempunyai Selidiki apakah fungsi di bawah ini mempunyai turunan di titik (0,0). 1.
(
,
)
2 2,
(
0
,
0
)
0
.
f
y
x
xy
y
x
f
2. y
x
.
)
,
(
x
y
x
2y
2f
(
,
y
)
y
f
Soal
Soal
Buktikan bahwa Buktikan bahwa 3
f
g f
f
g
3.f
g f
2f
g
.
g
g
3/26/2014 (c) Hendra Gunawan 1712.7 BIDANG SINGGUNG DAN HAMPIRAN
MA1201 MATEMATIKA 2A
– BAGIAN I
• Menentukan persamaan bidang singgungMenentukan persamaan bidang singgung pada suatu permukaan di titik tertentu
• Menghitung nilai hampiran dari suatu fungsiMenghitung nilai hampiran dari suatu fungsi di sekitar titik tertentu
Hampiran Linear & Bidang Singgung
Hampiran Linear & Bidang Singgung
Bila ff mempunyai turunan dip y p = (a,b), p ( , ), maka kita mempunyai hampiran linear
)
(
)
(
)
(
)
(
x
y
f
a
b
f
a
b
x
a
y
b
f
Dalam hal ini, persamaan
)
,
(
)
,
(
)
,
(
)
,
(
x
y
f
a
b
f
a
b
x
a
y
b
f
)
,
(
)
,
(
)
,
(
a
b
f
a
b
x
a
y
b
f
z
merupakan persamaan bidang singgung pada
)
)(
,
(
)
)(
,
(
)
,
(
a
b
f
a
b
x
a
f
a
b
y
b
f
x
y
p p g gg g ppermukaan z = f(x,y) di titik (a,b).
Contoh
Contoh
Persamaan bidang singgung pada permukaan z =
Persamaan bidang singgung pada permukaan z = di (1,2) adalah 2 2
)
,
(
x
y
x
y
f
)
2
)(
2
,
1
(
)
1
)(
2
,
1
(
)
2
,
1
(
f
x
f
y
f
z
x
y
k b.
4
2
5
)
2
(
4
)
1
(
2
5
x
y
x
y
Menggunakan persamaan bidang singgung ini, kita mempunyai hampiran
Diferensial
Diferensial
Misal z = f(x,y) f( ,y) mempunyai turunan dip y p = (a,b)p ( , ). Jika dx dan dy adalah diferensial peubah bebas x dan yy, maka, di b dif i l d i f di ( b) J di h i
)
,
(
)
,
(
)
,
(
a
b
f
a
b
dx
dy
df
dz
disebut diferensial dari f di (a,b). Jadi, hampiran linear di sekitar (a,b) dapat dituliskan sebagai
)
,
(
)
,
(
)
,
(
x
y
f
a
b
df
a
b
f
3/26/2014 (c) Hendra Gunawan 21Contoh
Contoh
Jika z =
f
(
x
y
)
x
2
y
2 maka diferensial dari Jika z = , maka diferensial darif di (1,2) adalah
)
,
(
x
y
x
y
f
.
4
2
)
2
,
1
(
)
2
,
1
(
dx
f
dy
dx
dy
f
dz
x
y
Jika dx = 0.1 dan dy = ‐0.1, maka
Soal
Soal
Diketahui rumus tekanan gas P = k(T/V) Diketahui rumus tekanan gas P = k(T/V)
dinyatakan dalam suhu T dan volume V, dengan k menyatakan suatu konstanta
k menyatakan suatu konstanta.
Jika dalam pengukuran T terdapat kesalahan maksimum 1% dan dalam pengukuran V
maksimum 1% dan dalam pengukuran V
terdapat kesalahan maksimum 2%, taksirlah kesalahan maksimum dalam perhitungan P? kesalahan maksimum dalam perhitungan P?
