23 Maret 2010
TEORI RING LANJUT (MODUL PRIMA)
Samsul Arifin (09/290722/PPA/2875) Yunita Septriana Anwar (08/275043/PPA/2614) IDEAL PRIMA Definisi 1: Misalkan R ring dan ideal. I disebut prima jika untuk setiap ideal‐ ideal , dengan , maka atau .RING PRIMA Definisi 2: Suatu ring R disebut prima jika untuk setiap dua ideal , dengan 0, maka 0 atau 0. Definisi 3: Suatu ring R disebut prima jika 0 merupakan ideal prima. Definisi 2 dan definisi 3 ekuivalen:
Diberikan untuk setiap dua ideal , dengan 0, maka 0 atau 0. Ditunjukkan 0 adalah ideal prima di R. Diambil sebarang ideal‐ideal , dengan 0 atau 0. Dari yang diketahui, diperoleh 0 atau
0 . Sehingga atau . Jadi 0 ideal prima di R.
Sebaliknya, diberikan 0 merupakan ideal prima di R. Diambil sebarang dua ideal , dengan 0. Karena 0, maka . Diberikan merupakan ideal prima, sehingga atau . Karena 0 dan 0 , maka
0 atau 0.
Jadi definisi 2 dan definisi 3 ekuivalen.
Proposisi 1: Ideal prima jika dan hanya jika ring faktor ⁄ ring prima. Bukti:
Diberikan ideal prima di R. Ditunjukkan ⁄ ring prima, yaitu dengan menunjukkan 0 merupakan ideal prima di ⁄ . Karena 0 di ⁄ adalah P dan P ideal prima, maka 0 ideal prima di ⁄ .
Sebaliknya diberikan ⁄ ring prima, berarti 0 ideal prima di ⁄ . Karena 0 di ⁄ adalah P dan 0 ideal prima, maka P ideal prima. ANNHILATOR Definisi 4: Untuk sebarang subset tak kosong dinotasikan annhilator dari K dengan | 0, untuk semua
Untuk sebarang K submodul dari M Rmodul, didefinisikan himpunan :
| . : merupakan annhilator dari ⁄ R‐modul, yaitu: ⁄ | 0, ⁄ | 0, ⁄ | , | : Lemma 1: Untuk sebarang submodul K dari M, berlaku ⁄ Bukti:
Diambil sebarang dan ⁄ . Berarti 0 untuk setiap dan 0 untuk setiap ⁄ . Dari 0 diperoleh atau
. Dari sini, =0. Akibatnya . Jadi
⁄ .
SUBMODUL PRIMA
Definisi 5: Diberikan M adalah Rmodul dan N submodul di M. N disebut submodul
prima jika N merupakan submodul sejati M dan untuk setiap , berlaku
jika maka atau : dengan : | .
Definisi 6: Untuk sebarang M R‐modul dan N submodul di M, N disebut submodul
prima jika N merupakan submodul sejati dan untuk setiap , \ berlaku
jika , maka : .
Contoh: Submodul 0 dalam ‐modul adalah submodul prima karena untuk
setiap dan \ 0 , jika 0 maka 0 : 5 , tetapi submodul 0 dalam ‐modul bukanlah submodul prima karena terdapat 3 dan 2 \ 0 sehingga berlaku 3 · 2 0 di tetapi 3 · 0 .
SIFATSIFAT DARI SUBMODUL PRIMA
Teorema 1: Untuk suatu M R‐modul, submodul K di M, dan ideal annhilator
: ⁄ di ring R. Maka pernyataan berikut ekuivalen: (1) K submodul prima
(2) Setiap submodul taknol di ⁄ memiliki annhilator yang sama. Bukti:
1 2
Diketahui K merupakan submodul prima di M R‐modul. Diambil sebarang submodul taknol ⁄ di ⁄ R‐modul. Ditunjukkan ⁄ ⁄ . Karena K submodul di M R‐modul, maka berlaku ⁄ ⁄ . Sebaliknya karena diberikan K submodul prima, maka untuk sebarang \ dan , jika maka : . Dengan kata lain, untuk sebarang
⁄ maka berlaku ⁄ . Jadi ⁄ ⁄ .
Dengan demikian ⁄ ⁄ .
2 1
Diketahui setiap submodul tak nol di ⁄ R‐modul memiliki annhilator yang
sama, yaitu ⁄ ⁄ . Diambil sebarang \ dan
dengan . Karena 1 maka 1 · . Selanjutnya dibentuk submodul tak nol yang memuat K, yaitu di ⁄ R‐modul. Dari
hipotesis, diperoleh ⁄ , yang artinya setiap
maka berlaku ⁄ . Dengan kata lain, untuk sebarang \ dan dengan berlaku ⁄ , yang artinya K submodul prima di M R‐modul.
FULLY INVARIANT SUBMODULE Definisi 7: Misalkan K submodul dari M. Jika untuk sebarang berlaku , maka K disebut fully invariant submodul dari M. MODUL FAITHFUL Definisi 8: Misalkan M adalah R‐modul. M disebut modul faithful jika 0 . MODUL PRIMA Definisi 9: Jika diberikan M adalah R‐modul, maka M disebut Rmodul prima jika 0 adalah submodul prima di M.
Contoh: ‐modul adalah modul prima, karena untuk sebarang \ 0 dan , jika 0 maka 0 0 : . Dengan kata lain, 0 merupakan submodul prima di ‐modul. Dengan demikian, ‐modul merupakan modul prima. Akibat 1: M Rmodul disebut prima jika dan hanya jika setiap submodul tak nol di M memiliki annhilator yang sama, yaitu . Bukti: Diketahui M adalah R‐modul prima. Dari sini diperoleh 0 adalah submodul prima di M. Dari Teorema 1 diperoleh setiap submodul tak nol di ⁄ 0 memiliki annhilator yang sama. Perhatikan bahwa: ⁄ 0 0 |
| dan 0 : | 0 . Berarti ini
ekuivalen dengan mengatakan untuk sebarang submodul taknol di M memiliki annhilator yang sama dengan M, yaitu .
Proposisi 2: Misalkan R adalah ring dan M adalah Rmodul. Maka pernyataan‐
pernyataan berikut ekuivalen:
(a) ⁄ adalah ring prima.
(b) Untuk sebarang submodul K dari M, atau
Bukti:
Karena K submodul dari M, maka jelas berlaku . Dilain pihak ⁄ , karena untuk sebarang , berlaku 0 untuk setiap . Diambil sebarang ⁄ , maka ·
0, karena . Jadi ⁄ . Sehingga tinggal ditunjukkan
atau ⁄ . Karena ⁄ adalah
ring prima, maka adalah ideal prima di R. Di lain pihak dari lemma 1
diperoleh ⁄ dan adalah ideal prima,
maka atau ⁄ . Mengingat
dan ⁄ , diperoleh atau
⁄ .
Untuk sebarang submodul K dari M, atau ⁄ . Ditunjukkan ⁄ adalah ring prima. Dengan menggunakan proposisi 1, cukup ditunjukkan adalah ideal prima. Diambil sebarang , ideal‐ideal di dengan , berarti 0. Perhatikan bahwa | , , karena M adalah R‐modul dan J ideal di R, maka . Lebih lanjut merupakan submodul dari M. Dari (b) diperoleh
atau ⁄ .
Jika , maka ⁄ 0 . Akibatnya ⁄
0 , ini belum tentu terjadi, yang hanya kita ketahui bahwa
, sehingga ⁄ . Karena 0, maka
. Jadi .
Jika dan , maka mengingat 0. Dilain
pihak, mengakibatkan . Diambil sebarang dan
⁄ . Perhatikan bahwa · · 0,
karena dan . Sehingga ⁄ . Dari sini diperoleh
⁄ . Jadi .
Dengan demikian adalah ideal prima, sehingga ⁄ adalah ring prima.
Definisi 10: M R‐modul disebut prime jika untuk setiap K submodul fully invariant
dari M, berlaku .
Definisi 9 dan Definisi 10 ekuivalen:
Diberikan 0 adalah submodul prima di M. Diambil sebarang setiap K submodul fully invariant dari M. Karena , maka .
Tinggal ditunjukkan . Diambil sebarang , maka
0 untuk setiap . Sehingga 0 . Karena N submodul prima, maka
atau ⁄ ⁄ 0 . Jika 0 , maka
0 padahal 0 . Sehingga haruslah . Jadi .
Sebaliknya, diberikan untuk setiap K submodul fully invariant dari M, berlaku . Ditunjukkan 0 adalah submodul prima di M. Diambil sebarang dan dengan 0 . Berarti 0, yaitu
0 atau ⁄ 0 ⁄ . Jadi 0
adalah submodul prima di M.
Proposisi 3: Untuk suatu modul M dan , pernyataan berikut ini ekuivalen: (1) M modul prima (2) untuk sebarang K submodul tak nol di M. (3) ⁄ adalah K‐cogenerated untuk sebarang K submodul tak nol di M. (4) ⁄ adalah K‐cogenerated untuk sebarang K submodul fully invariant tak nol di M. Bukti: 1 2
Diberikan M modul prima. Ditunjukkan untuk sebarang K submodul tak nol dari M. Diambil sebarang K submodul tak nol di M. Dibentuk submodul | , . Claim: submodul fully invariant dari
M, yaitu , dimana sebarang. Diambil sebarang
maka . Sehingga . Jadi atau submodul fully invariant.
Karena M modul prima dan submodul fully invariant, maka
. Tinggal ditunjukkan . Diambil sebarang dan , berarti 0 untuk setiap . Dari sini
0 0. Jadi atau
. Sebaliknya diambil sebarang , berarti · 0 untuk
setiap . Dari sini, 0 · . Karena , maka
haruslah 0 atau . Jadi .
2 3
Diberikan untuk sebarang K submodul tak nol di M. Ditunjukkan ⁄ adalah K‐cogenerated untuk sebarang K submodul tak nol di M.
Untuk sebarang M R‐modul, claim bahwa ⁄ adalah ‐cogenerated, yaitu terdapat monomorfisma : ⁄ . Didefinisikan :
dengan untuk setiap , diperoleh | 0
| 0 | . Dari sini : ⁄ memiliki
0. Sehingga g monomorfisma. Jadi ⁄ adalah ‐
cogenerated. Karena , maka ⁄ adalah ‐
cogenerated. 3 4 Jelas, karena dari (3) diberikan ⁄ adalah K‐cogenerated untuk sebarang K submodul tak nol di M, sehingga ⁄ juga adalah K‐cogenerated untuk sebarang K submodul fully invariant tak nol di M. 4 1 Ditunjukkan M modul prima, yaitu untuk setiap K submodul fully invariant dari M. Karena ⁄ adalah K‐cogenerated untuk sebarang K submodul fully invariant tak nol di M. Claim: K adalah faithful ⁄ ‐modul, yaitu ⁄ 0 . ⁄ | 0 | · 0, | · · 0
| · 0 0 | · 0 |
0. Sehingga untuk sebarang K submodul fully invariant dari M.
Proposisi 4: Misalkan M adalah R‐modul, , dan dinotasikan
⁄ .
(1) Jika M prima, maka adalah ring prima.
(2) Jika adalah ring prima dan ⁄ untuk sebarang K submodul tak nol dari M, maka M modul prima.
Bukti:
(1) Diberikan M prima, berarti untuk setiap K submodul fully invariant dari M. Ditunjukkan adalah ring prima. Dari proposisi 3 karena M modul prima, maka diperoleh untuk setiap K submodul dari M. Lebih lanjut dengan menggunakan proposisi 2, diperoleh
⁄ ring prima.
(2) Diberikan adalah ring prima. Dari proposisi 2 diperoleh
atau ⁄ untuk sebarang submodul K dari M. Karena ⁄ untuk sebarang K submodul tak nol dari M, maka haruslah untuk sebarang submodul K dari M. Dengan menggunakan proposisi 3, diperoleh M modul prima.
Akibat 2: Misalkan M adalah R‐modul, , dinotasikan ⁄ , dan M adalah modul faithful:
Jika M prima, maka R adalah ring prima Bukti:
Diberikan M prima dan M modul faithful, yaitu 0 . Dari sini ⁄ ⁄ 0 . Sehingga dengan menggunakan proposisi 4, diperoleh prima.
REFRENSI
I.E. Wijayanti, Coprime Modules and Comodules, Dissertation, University of D¨usseldorf, Germany, 2006.
R. Wisbauer, Foundation of Module and Ring Theory, Gordon and Breach: Philadelphia, 1991.
S. Arifin, Multiplication Modules, Thesis, University of Gadjah Mada, Yogyakarta, 2009.
