7
BAB II
TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Time Series
Time series dikenalkan oleh George E. P. Box dan Gwilym M. Jenkins pada tahun 1970 melalui bukunya yang berjudul Time Series Analysis: Forecasting and Control [9]. Time series (deret waktu) merupakan serangkaian data pengamatan yang terjadi berdasarkan indeks waktu secara berurutan dengan interval waktu tetap. Time series merupakan salah satu prosedur statistika yang diterapkan untuk memprediksi struktur probabilistik keadaan yang akan terjadi di masa yang akan datang dalam rangka pengambilan keputusan. Suatu urutan pengamatan memiliki model time series jika memenuhi dua hal berikut:
1. Interval waktu antar indeks waktu t dapat dinyatakan dalam satu waktu yang sama (identik). Misal seorang penjual ingin melakukan penyediaan barang sebanyak 4 kali dalam setahun maka interval penyediaan barang dilakukan konstan setiap 3 bulan sekali.
2. Adanya ketergantungan antara pengamatan dengan atau yang disebut dengan dimana . Misal seorang penjual buku ingin menyetok buku untuk minggu depan maka penjual tersebut harus memperhatikan peningkatan/penurunan penjualan buku dengan cara mengurangkan penjualan buku pada minggu ini dengan minggu kemarin sehingga dapat memperkirakan berapa stok buku yang harus penjual tersebut ambil.
2.2 Metode Smoothing
Suatu data runtun waktu yang mengandung pola trend, pola musiman, atau mengandung pola trend dan musiman sekaligus, maka metode rata–rata sederhana tidak dapat digunakan untuk menggambarkan pola data tersebut. Prediksi pada data tersebut dapat dilakukan dengan metode smoothing. Smoothing adalah mengambil rata–rata dari nilai–nilai pada beberapa tahun untuk menaksir nilai pada suatu tahun tertentu [10]. Metode smoothing
8
diklasifikasikan menjadi dua kelompok, yaitu metode perataan (moving average) dan metode pemulusan eksponensial (exponential smoothing) [1].
2.2.1 Metode Perataan (Average)
Metode perataan adalah metode prediksi yang menghitung rata-rata suatu nilai runtut waktu dan kemudian digunakan untuk memperkirakan nilai pada periode selanjutnya. Average atau Rata-rata bergerak diperoleh melalui penjumlahan dan pencarian nilai rata-rata dari sejumlah periode tertentu, kemudian menghilangkan nilai terlamanya dan menambah nilai baru. Sesuai dengan pengertian konvensional tentang nilai rata–rata, metode perataan merupakan pembobotan yang sama terhadap nilai– nilai observasi. Metode–metode yang termasuk ke dalam kelompok metode perataan, antara lain:
1. Rata–rata sederhana dari semua data masa lalu (mean).
Misalkan terdapat n buah data, metode rata-rata sederhana merupakan rata-rata yang didapatkan dengan cara merata-ratakan setiap data. Misalkan akan menentukan data pada periode yang akan datang, dalam hal ini adalah data pada . Maka data ke merupakan nilai prediksi yang menggambarkan nilai data pada periode yang akan datang.
̅ ∑
(2.1)
dengan,
̅ : rata-rata dari n buah data : banyak data
: prediksi pada periode yang akan datang
2. Rata–rata bergerak tunggal (single moving average) dari n nilai observasi yang terakhir.
Misalkan terdapat n buah data masa lalu, maka dilakukan perhitungan rata-rata pada saat dengan persamaan:
9
kemudian diprediksi untuk dengan cara ̅ ∑
(2.3) dengan,
̅ : rata-rata dari n buah data
: prediksi pada periode yang akan datang
3. Rata–rata bergerak ganda (double moving average) atau rata–rata bergerak dari rata–rata bergerak, yang akhirnya menjadi rata–rata yang berbobot tidak sama dan dapat digunakan dalam metode prediksi yang disebut rata–rata bergerak linear.
Persamaan yang digunakan sama seperti pada rata-rata bergerak tunggal, namun untuk mengurangi kesalahan yang terjadi pada penggunaan bergerak ganda sebagai metode prediksi dengan data yang memiliki tren adalah dengan menggunakan rata-rata bergerak linear. Secara umum prosedur rata-rata bergerak linier dapat dijelaskan melalui persamaan berikut:
(2.4) (2.5) (2.6) (2.7) (2.8) dengan,
: rata-rata bergerak tunggal : rata-rata bergerak ganda
: konstanta : slope
: prediksi pada m periode yang akan datang
4. Rata–rata bergerak dengan orde yang lebih tinggi, tetapi metode ini jarang digunakan dalam prediksi praktis.
10
2.2.2 Metode Pemulusan Eksponensial (Exponential Smoothing)
Exponential Smoothing adalah suatu metode prediksi rata- rata bergerak yang melakukan pembobotan menurun secara exponential terhadap nilai-nilai observasi yang lebih tua [1]. Pengaruh dari metode ini adalah menghilangkan unsur random dalam data sehingga diperoleh suatu pola yang akan berguna dalam meramalkan nilai masa datang.
Bobot yang diberikan dalam metode exponential smoothing berciri menurun secara eksponensial dari titik data terakhir sampai data yang terawal. Bobot yang digunakan adalah untuk data yang paling baru, digunakan untuk data yang agak lama, untuk data yang lebih lama lagi dan seterusnya. Dalam bentuk yang mulus, prediksi yang baru (untuk waktu (𝑡 + 1) dapat dianggap sebagai rata-rata yang diberi bobot terhadap data terbaru (pada waktu 𝑡) dan prediksi yang lama (untuk waktu 𝑡) bobot diberikan pada data terbaru, dan bobot diberikan pada data prediksi yang lama, dimana 0 < < 1. Dengan demikian : Prediksi baru = x (data baru) + x (prediksi yang lama), karena bila dalam perhitungan prediksi mengasumsikan bahwa mean akan bergerak secara lambat sepanjang waktu. Apabila data dipengaruhi oleh pola trend maupun musiman, metode perataan biasa tidak dapat digunakan untuk prediksi. Prediksi pada data yang dipengaruhi pola trend maupun musiman dilakukan dengan menggunakan metode double dan triple exponential smoothing. Metode double dan triple exponential smoothing menggunakan bobot yang berbeda untuk data masa lalu dan bobot tersebut mempunyai ciri menurun secara eksponensial. Metode dalam kelompok ini memerlukan adanya penentuan parameter tertentu dan nilai dari parameter terletak antara 0 dan 1 [1]. Metode yang termasuk dalam metode exponential smoothing, antara lain:
1. Pemulusan eksponensial tunggal (single exponential smoothing). Metode ini cocok digunakan untuk memprediksi hal-hal yang fluktuasinya secara random (tidak teratur). Model ini mengasumsikan bahwa data berfluktuasi di sekitar rata-rata cukup stabil (tidak ada
11
trend atau konsisten pola kenaikan). Dalam melakukan prediksi dengan metode ini besarnya ditentukan trial and error sampai ditemukan yang menghasilkan forecast error terkecil.
2. Pemulusan eksponensial ganda (double exponential smoothing) digunakan untuk menangani pola trend pada data. Pada metode ini proses penentuan prediksi dimulai dengan menentukan besarnya secara trial and error. Metode ini dibagi menjadi dua, yaitu:
a. Metode linear satu parameter dari Brown menggunakan parameter yang sama untuk dua pemulusan eksponensial yang digunakan. Metode ini menggunakan rumus pemulusan berganda secara langsung, yaitu pemulusan antara pola trend dan pola lainnya dilakukan secara bersama–sama dengan hanya menggunakan satu parameter.
b. Metode dua parameter dari Holt menggunakan dua parameter berbeda untuk dua pemulusan eksponensial yang digunakan. Metode ini memuluskan pola trend secara terpisah dengan menggunakan parameter yang berbeda dari parameter yang digunakan pada data asli.
3. Pemulusan eksponensial tripel (triple exponential smoothing) digunakan untuk menangani pola trend dan pola musiman pada data. Metode ini dibagi menjadi dua, yaitu:
a. Metode kuadratik satu parameter dari Brown pendekatan dasarnya adalah memasukkan tingkat pemulusan tambahan dan pada prediksinya diberlakukan persamaan kuadratik.
b. Metode trend dan musiman tiga parameter dari Winters merupakan perluasan dari metode dua parameter dari Holt dengan tambahan satu persamaan untuk mengatasi pola musiman pada data.
Keuntungan penggunaan metode exponential smoothing adalah banyak mengurangi masalah penyimpanan data, sehingga tidak perlu lagi menyimpan semua data historis atau sebagian, hanya pengamatan terakhir, ramalan terakhir, dan suatu nilai konstanta yang harus disimpan.
12 2.2.2.1 Metode Single Exponential Smoothing
Exponential smoothing yang paling sederhana umumnya dikenal dengan single exponential smoothing (SES). Merupakan metode prediksi yang bersifat logaritmik dimana data kegiatan yang terakhir dianggap memiliki probabilitas yang lebih besar untuk berulang daripada data kegiatan sebelumnya dan menurun secara eksponensial [11]. SES mengasumsikan bahwa deret waktu tidak memiliki perubahan level. Dengan demikian, tidak dapat digunakan dengan serial yang berisi tren, kemusiman, atau keduanya.
Metode SES tidak memperhitungkan tren atau musim apa pun. Sebaliknya, ini mengasumsikan bahwa data deret waktu hanya memiliki level, L.
(2.9) dengan,
: Estimasi level pada saat ke-i : Nilai aktual pada saat ke-i : Nilai aktual pada saat ke-(i-1) : Alpha, parameter pemulusan level
Persamaan ini dikenal sebagai persamaan pembaruan level, karena persamaan ini memperbarui level saat ini berdasarkan perkiraan level sebelumnya. Oleh karena itu, persamaan ini bersifat rekursif, karena setiap estimasi level harus dihitung menggunakan setiap estimasi sebelumnya.
Alfa (α) dikenal sebagai konstanta pemulusan. Konstanta pemulusan memiliki domain 0 ≤ α ≤ 1, dan ini menentukan berapa banyak bobot yang diberikan ke nilai sebelumnya ketika dimasukkan dalam perkiraan level saat ini. Ini karena sifat rekursif dari persamaan pembaruan level, dapat dilihat bahwa bobot pada setiap nilai sebelumnya berkurang secara eksponensial:
13
[ ]
(2.10)
Sehingga dapat dilakukan prediksi dengan persamaan berikut :
(2.11)
atau
(2.12)
dengan,
: Nilai prediksi pada saat ke-(i+k) : Estimasi level pada saat ke-i : Nilai aktual pada saat ke-i : Nilai aktual pada saat ke-(i-1) : Alpha, parameter pemulusan level : Jumlah prediksi periode kedepan
Kinerja metode SES sangat dipengaruhi oleh alpha dan estimasi kondisi awal dengan merupakan estimasi level pada saat ke-0. Untuk dapat menggunakan rumus, maka nilai harus tersedia. Tetapi pada saat i = 0, nilai tersebut tidak tersedia. Karena nilai ini harus ditentukan pada awal periode, untuk mengatasi masalah ini dapat dilakukan dengan menetapkan sama dengan nilai (data aktual) [12]. Karena tidak ada cara lain yang dapat menghitung level untuk langkah pertama kali, (karena kita tidak memiliki level sebelumnya untuk dilihat kembali). Metode SES pada dasarnya hanyalah rata-rata tertimbang di semua langkah waktu, dengan bobot yang menurun secara eksponensial. 2.2.2.2 Metode Double Exponential Smoothing
Pada tahun 1957, Holt mengembangkan SES untuk mempertimbangkan data prediksi yang mengandung tren. Metode ini memuat persamaan prediksi dan dua persamaan pemulusan yaitu
14
pemulusan level dan pemulusan tren sehingga dinamakan double exponential smoothing (DES) [11]. Metode double exponential smoothing Holt merupakan perluasan dari single exponential smoothing dengan mengasumsikan bahwa deret waktu memiliki level dan tren. Oleh karena itu, perkiraan dengan metode Holt dapat didefinisikan sebagai :
Additive : Dalam deret waktu aditif, deret waktu adalah jumlah komponennya.
(2.13)
Multiplicative : Dalam deret waktu multiplikatif, deret waktu adalah hasil kali dari komponennya.
(2.14)
dengan,
: Nilai prediksi pada saat ke-(i+k) : Estimasi level pada saat ke-i : Estimasi tren pada saat ke-i : Jumlah prediksi periode kedepan
Oleh karena itu, pertama-tama kita harus mengidentifikasi jenis deret waktu, dan kemudian memprediksikannya. Seperti yang dapat dilihat persamaan tersebut secara harfiah merupakan rumus dari metode SES asli, hanya saja ditambahkan dengan komponen tren [13]. Namun, penting untuk diperhatikan bahwa ada dua jenis deret waktu, masing-masing memiliki persamaan prediksi yang sedikit berbeda, persamaan prediksi harus sesuai dengan jenis deret waktu tertentu.
A. Estimasi ,
Untuk mencari prediksi data dengan metode ini digunakan persamaan estimasi berikut ini :
1. Estimasi tren ( )
Berikut cara memperkiraan tren pada saat ke-i:
15 dengan,
: Estimasi tren pada saat ke-i
: Estimasi tren pada saat ke-(i-1) : Estimasi level pada saat ke-i
: Estimasi level pada saat ke-(i-1) : Beta, parameter pemulusan tren
Berikut ilustrasi penguraian rekursif dari relasi pengulangan di atas untuk : [ ] [ ] [ [ ] ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ [ ] ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] (2.16) Persamaan ini dikenal sebagai persamaan pembaruan tren, karena persamaan ini memperbarui perkiraan tren dari langkah waktu saat ini berdasarkan perbedaan antara perkiraan sebelumnya. Sama halnya dengan persamaan pemulusan level, persamaan pemulusan tren juga mengambil parameternya sendiri, β. Beta adalah konstanta pemulusan persamaan tren, dan oleh karena itu lebih kurang serupa dengan konstanta pemulusan alfa yang terlihat sebelumnya di SES [13]. Beta juga memiliki domain 0 ≤ β ≤ 1, dan ini menentukan seberapa cepat perkiraan tren tertentu harus disesuaikan.
16 2. Estimasi level ( )
Berikut cara memperkirakan level pada saat ke- i:
(2.17) dengan,
: Estimasi level pada saat ke-i
: Estimasi level pada saat ke-(i-1) : Estimasi tren pada saat ke-(i-1) : Estimasi musiman pada saat ke-(i-m)
: Nilai aktual pada saat ke-i : Alfa, Parameter pemulusan level
Seperti , persamaan ini juga diselesaikan secara rekursif sampai mencapai , dan . adalah data awal dalam kumpulan data latih. dan adalah nilai awal dari level dan trend [13].
[ ] [ ] (2.18)
Setelah mengetahui cara mengestimasi level dan tren pada saat ke-i, maka dapat digabungkan kedua estimasi pada persamaan (2.15) dan (2.17) ke dalam persamaan (2.13) dan (2.14) untuk mendapatkan estimasi untuk prakiraan pada saat ke (i + k) , sebagai berikut:
[ ]
17 dan
[ ]
[ ] dengan,
: Nilai prediksi pada saat ke-(i+k) : Estimasi level pada saat ke-i
: Estimasi level pada saat ke-(i-1) : Estimasi tren pada saat ke-i
: Estimasi tren pada saat ke-(i-1) : Nilai aktual pada saat ke-i
: Alfa, Parameter pemulusan level : Beta, Parameter pemulusan tren : Jumlah prediksi periode kedepan B. Estimasi Kondisi Awal
Karena semua persamaan untuk metode DES dari Holt adalah relasi pengulangan, diperlukan satu set nilai awal ke persamaan estimasi ini untuk memulai prediksi. Secara khusus, perlu diatur nilai dan .
Memperkirakan : Apabila deret waktu tidak menampilkan variasi musiman, maka dalam kasus ini nilai diinisialkan menjadi nilai pertama dari kumpulan data latih. yaitu :
(2.20)
Memperkirakan : Jika data deret waktu tidak menampilkan variasi musiman, cukup diubah menjadi
(2.21)
jika trennya multiplikatif, atau ke
(2.22)
18 C. Estimasi Parameter
Koefisien parameter α dan β diperkirakan dengan memberikan nilai awal dan kemudian mengoptimalkan nilainya secara berulang untuk mendapatkan skor yang sesuai atau disebut dengan trial and error. Meminimalkan error adalah tujuan pengoptimalan yang umum digunakan. Penentuan parameter α dan β dalam praktek mengambil kisaran nilai yang terbatas yaitu 0 sampai 1. Pada penelitian ini penentuan parameter terbaik diperoleh dengan bantuan software Rstudio.
Setelah dan diperkirakan, koefisien α dan β ditetapkan, maka dapat digunakan relasi pengulangan untuk , dan untuk memperkirakan nilai deret waktu ke 0, 1, 2,…, i, i+k. Kinerja metode DES sangat dipengaruhi oleh penentuan alpha dan beta serta inisialisasi dan
[4].
2.2.2.3 Metode Double Exponential Smoothing Dengan Damped Trend
Prediksi yang dihasilkan oleh metode DES menampilkan tren yang konstan tanpa batas. Sehingga prediksi yang dihasilkan berlebihan terutama untuk horizon prediksi jangka panjang. Dari pengamatan ini, pada Tahun 1985 Gardner & Mc Kenzie memperkenalkan parameter yang meredam tren ke garis datar beberapa periode dimasa depan [11]. Metode ini memuat persamaan prediksi dan dua persamaan pemulusan yaitu pemulusan level dan pemulusan tren yang sama seperti DES namun ditambahkan parameter peredam tren , untuk meredam hasil prediksi. Oleh karena itu, perkiraan metode DES dengan damped trend dapat didefinisikan sebagai :
(2.23) dengan,
: Nilai prediksi pada saat ke-(i+k) : Estimasi level pada saat ke-i : Estimasi tren pada saat ke-i : Damped, Parameter peredam tren : Jumlah prediksi periode kedepan
19
Dapat dilihat bahwa secara harfiah ini merupakan rumus dari metode DES. Untuk estimasi pemulusan level dan tren cukup sama hanya saja ditambahkan parameter peredam tren seperti berikut :
(2.24) dan
(2.25) dengan,
: Estimasi level pada saat ke-i : Estimasi level pada saat ke-(i-1)
: Estimasi tren pada saat ke-i : Estimasi tren pada saat ke-(i-1)
: Nilai aktual pada saat ke-i : Alfa, Parameter pemulusan level : Beta, Parameter pemulusan tren : Damped, Parameter peredaman tren : Jumlah prediksi periode kedepan
Seperti DES, metode ini juga diselesaikan secara rekursif sampai mencapai , dan . adalah data awal dalam kumpulan data latih. dan adalah nilai awal dari level dan trend. Untuk estimasi kondisi awal sama seperti DES dengan perkiraan pada persamaan (2.20) dan (2.22). Estimasi parameter juga sama dengan DES namun ditambah parameter peredam tren . Kinerja metode ini sangat dipengaruhi oleh dua parameter pemulusan dan satu parameter peredaman. Inisialisasi metode ini sama dengan tipe DES. Selanjutnya, metode DES dengan damped trend disingkat menjadi DT [4].
2.2.2.4 Metode Triple Exponential Smoothing
Pada tahun 1960, Winters mengembangkan metode Holt (DES) dengan mempertimbangkan musiman. Eksponensial Holt smoothing tepat digunakan jika data hanya dipengaruhi pola trend. Namun, jika data tidak
20
hanya dipengaruhi pola trend, tetapi juga pola musiman, maka Eksponensial Holt smoothing tidak tepat digunakan untuk melakukan prediksi karena tidak dapat mendeteksi adanya pola musiman. Oleh karena itu, Winters menyempurnakan eksponensial Holt smoothing dengan menambahkan satu parameter untuk mengatasi pola musiman pada data.
Metode ini dibagi menjadi dua model, yaitu model aditif dan multiplikatif. Perhitungan dengan model aditif dilakukan jika plot data asli menunjukkan fluktuasi musim yang relatif stabil, sedangkan model multiplikatif digunakan jika plot data asli menunjukkan fluktuasi musim yang bervariasi [13]. Metode ini kemudian dinamakan metode Holt-Winters atau disebut triple exponential smoothing (TES). Pada metode ini, frekuensi musiman m harus ditentukan. Misalnya, dalam satu tahun musiman bisa ditentukan setiap 3 bulan sekali (m = 4) atau bisa juga ditentukan musiman terjadi pada setiap bulan (m = 12). Berikut persamaan prediksi metode Holt-Winters :
Additive Seasonality
(2.26)
Multiplicative Seasonality
[ ] (2.27) dengan,
: Nilai prediksi pada saat ke-(i+k) : Estimasi level pada saat ke-i : Estimasi tren pada saat ke-i
: Estimasi musiman pada saat ke-(i+k-m) : Jumlah prediksi periode kedepan
Persamaan prediksi tersebut merupakan gabungan dari SES dan DES, yang ditambah dengan komponen musiman S. Sama seperti metode DES dari Holt, persamaan prediksi memiliki beberapa variasi untuk setiap jenis deret waktu [13]. Penting untuk diperhatikan bahwa setiap komponen deret waktu tidak perlu menunjukkan perilaku yang sama.
21
Dalam penelitian ini digunakan persamaan prediksi multiplikatif dengan pemulusan level dan musiman yang multiplikatif juga.
A. Estimasi dan
Untuk mencari prediksi data dengan metode ini digunakan persamaan estimasi berikut ini :
1. Estimasi tren ( )
Berikut cara memperkiraan tren pada saat ke-i:
[ ] (2.28) dengan,
: Estimasi tren pada saat ke-i : Estimasi tren pada saat ke-(i-1)
: Estimasi level pada saat ke-i : Estimasi level pada saat ke-(i-1) : Beta, Parameter pemulusan tren
Persamaan di atas memperkirakan tren yang diamati pada saat i dengan menghitungnya dalam dua cara berbeda sebagai berikut:
[ ] : Ini adalah perbedaan antara dua level yang berurutan dan ini mewakili laju perubahan atau selisih level.
: Untuk menghitung , digunakan persamaan yang sama untuk dengan mengganti i dengan (i-1), dan terus dilakukan hingga mencapai yang nilainya diasumsikan sebagai kondisi awal.
Berikut ilustrasi penguraian rekursif dari relasi pengulangan di atas untuk :
[ ] [ ]
22 [ ] [ ] [ ] [ ] [ [ ] ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] (2.29) Beberapa hal yang harus diperhatikan dalam estimasi tren adalah : Bobot dll membentuk deret
geometris.
Setiap suku dari deret ini membobotkan perbedaan antara dua tingkat yang berurutan [ ] dalam deret waktu.
Perbedaan antara dua level terbaru [ ] memiliki bobot β terbesar, dan bobotnya menurun secara eksponensial dengan faktor saat salah satunya kembali ke sebelumnya.
Perhatikan juga bahwa estimasi mengharuskan untuk mengetahui level pada saat ke- i, (i-1), dan (i-2) dan seterusnya hingga yang diasumsikan sebagai kondisi awal.
2. Estimasi level ( )
Berikut cara memperkirakan level pada saat ke- i:
Additive : [ ] (2.30) Multiplicative : [ ] (2.31) dengan,
23
: Estimasi level pada saat ke-(i-1) : Estimasi tren pada saat ke-(i-1) : Estimasi musiman pada saat ke-(i-m)
: Nilai aktual pada saat ke-i : Alfa, Parameter pemulusan level
Sama seperti tren , persamaan di atas memperkirakan tingkat dengan menghitungnya dalam dua cara berbeda sebagai berikut:
: Karena asumsi yang digunakan adalah aditif maka estimasi yang baik dari adalah
: Karena asumsi yang digunakan adalah multiplikatif maka estimasi yang baik dari adalah
.
Seperti , persamaan ini juga diselesaikan secara rekursif sampai mencapai , , dan . adalah data awal dalam kumpulan data latih. , dan adalah nilai awal dari level, trend dan variasi musim [13]. Berikut rekursif dari estimasi aditif :
[ ] *[ ( ) [ ]] + [ ( ) [ ]] ( ) [ ]
24 ( ) *[ ( ) [ ]] + ( ) [ ( ) [ ]] ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] (2.32) 3. Estimasi musiman ( )
Dalam persamaan untuk , diperlukan estimasi musiman . Berikut cara memperkirakan komponen musiman pada saat ke- i:
Additive :
(2.33)
Multiplicative :
(2.34)
dengan,
: Estimasi musiman pada saat ke-i : Estimasi musiman pada saat ke-(i-m)
25
: Estimasi level pada saat ke-i : Nilai aktual pada saat ke-(i-1)
: Gamma, Parameter pemulusan musiman : musiman
Strategi estimasi untuk komponen musiman mirip dengan tren dan level dalam hal ini memperkirakan dengan menghitungnya dengan dua cara berbeda dan kemudian mengambil rata-rata tertimbang dari kedua estimasi.
Setelah mengetahui cara mengestimasi level, tren, dan komponen musiman pada saat ke-i, maka dapat digabungkan ketiga estimasi persamaan (2.28), (2.30) dan (2.33) pada persamaan (2.26) untuk mendapatkan estimasi prakiraan aditif, untuk mendapatkan estimasi prakiraan multiplikatif saat ke (i + k) dengan mensubstitusikan persamaan (2.28), (2.31) dan (2.34) pada persamaan (2.27), sebagai berikut: (* [ ]+ [ [ ] ]) [ ] dan ([ [ ]] [ [ ] ]) [ ] (2.35) dengan,
: Nilai prediksi pada saat ke-(i+k) : Estimasi level pada saat ke-i : Estimasi level pada saat ke-(i-1)
26 : Estimasi tren pada saat ke-(i-1)
: Estimasi musiman pada saat ke-i : Estimasi musiman pada saat ke-(i-m)
: Nilai aktual pada saat ke-i : Alfa, Parameter pemulusan level : Beta, Parameter pemulusan tren
: Gamma, Parameter pemulusan musiman : Jumlah prediksi periode kedepan : musiman
B. Estimasi Kondisi Awal
Karena semua persamaan untuk metode TES atau Holt-Winters adalah relasi pengulangan, diperlukan satu set nilai awal ke persamaan estimasi ini untuk memulai prediksi. Secara khusus, perlu diatur nilai ,
dan [13].
Memperkirakan : Menetapkan ke rata-rata dari semua nilai yang diamati dari deret waktu yang digunakan, terletak pada indeks 0, m, 2m, 3m dan seterusnya, di mana m adalah periode musiman. Misal untuk data deret waktu yang menunjukkan periode musiman 12 bulan, akan dihitung sebagai berikut:
atau dengan kata lain sebagai berikut:
(2.36)
Perhatikan bahwa adalah nilai awal dalam data deret waktu.
Memperkirakan : Jika data deret waktu menampilkan tren aditif, yaitu levelnya berubah secara linier, maka perkiraan tren awal dengan menghitung laju perubahan nilai yang diamati di m langkah waktu dan kemudian mengambil rata-rata tarif ini sebagai berikut:
27
Jika data deret waktu menunjukkan tren multiplikatif, yaitu tingkat tumbuh pada tingkat yang sebanding dengan tingkat saat ini, maka penaksiran yang digunakan agak rumit untuk . Paling baik diilustrasikan dengan menggunakan contoh musim tahunan (m = 12):
( ∑ ) ( ∑ )
(2.38)
Memperkirakan : Jika kemusiman adalah multiplikatif yaitu nilai variasi musiman pada suatu tingkat sebanding dengan nilai tingkat tersebut, maka diperkirakan sebagai berikut:
[ ] (2.39)
Dan ketika variasi musiman konstan atau meningkat dengan jumlah tetap di setiap level, yaitu aditif, maka diperkirakan sebagai berikut:
[ ( )] (2.40) C. Estimasi Parameter
Koefisien parameter α, β dan diperkirakan dengan memberikan nilai awal dan kemudian mengoptimalkan nilainya secara berulang untuk mendapatkan skor yang sesuai atau disebut dengan trial and error. Meminimalkan error adalah tujuan pengoptimalan yang umum digunakan. Penentuan parameter α, β dan dalam praktek mengambil kisaran nilai yang terbatas yaitu 0 sampai 1. Pada penelitian ini penentuan parameter terbaik diperoleh dengan bantuan software Rstudio.
Setelah , dan diperkirakan, koefisien α, β dan ditetapkan, maka dapat digunakan relasi pengulangan untuk , , dan untuk memperkirakan nilai deret waktu ke 0, 1, 2,…, i, i+k. Kinerja metode TES sangat dipengaruhi oleh parameter pemulusan level, tren, musiman dan inisialisasi , dan [4].
2.3 Prediksi (Forecasting)
Prediksi (forecasting) dilakukan hampir semua orang, baik itu pemerintah, pengusaha, maupun orang awam. Masalah yang diprediksi juga
28
bervariasi, seperti perkiraan curah hujan, kemungkinan pemenang dalam pilkada, skor pertandingan, atau tingkat inflasi. Definisi dari prediksi adalah memperkirakan besarnya atau jumlah sesuatu pada waktu yang akan datang berdasarkan data pada masa lampau yang dianalisis secara alamiah khususnya menggunakan metode statistika [14].
Prediksi biasanya dilakukan untuk mengurangi ketidakpastian terhadap sesuatu yang akan terjadi di masa yang akan datang. Suatu usaha untuk mengurangi ketidakpastian tersebut dilakukan dengan menggunakan metode prediksi. Metode prediksi dibagi ke dalam dua kategori utama, yaitu metode kualitatif dan metode kuantitatif. Metode kualitatif dilakukan apabila data masa lalu tidak sehingga prediksi tidak bisa dilakukan. Dalam metode kualitatif, pendapat–pendapat dari para ahli akan menjadi pertimbangan dalam pengambilan keputusan sebagai hasil dari prediksi yang telah dilakukan. Namun, apabila data masa lalu tersedia, prediksi dengan metode kuantitatif akan lebih efektif digunakan dibandingkan dengan metode kualitatif [1].
Prediksi dengan metode kuantitatif dapat dibagi menjadi dua bagian, yaitu time series model dan causal model [15]. Time series model didasarkan pada data yang dikumpulkan, dicatat, atau diamati berdasarkan urutan waktu dan prediksinya dilakukan berdasarkan pola tertentu dari data. Ada empat pola data yang menjadi dasar prediksi dengan model ini, yaitu pola musiman, siklis, trend, dan irregular. Pola musiman merupakan fluktuasi dari data yang terjadi secara periodik dalam kurun waktu satu tahun, seperti triwulan, kuartalan, bulanan, mingguan, atau harian. Pola siklis merupakan fluktuasi dari data untuk waktu yang lebih dari satu tahun. Pola ini sulit dideteksi dan tidak dapat dipisahkan dari pola trend. Pola trend merupakan kecenderungan arah data dalam jangka panjang, dapat berupa kenaikan maupun penurunan. Sedangkan pola irregular merupakan kejadian yang tidak terduga dan bersifat acak, tetapi kemunculannya dapat mempengaruhi fluktuasi data time series. Causal model didasarkan pada hubungan sebab–akibat dan prediksi dilakukan dengan dugaan adanya hubungan antar variabel yang satu dengan yang lain. Pada model ini dikembangkan mana variabel dependent dan mana variabel
29
independent, kemudian dilanjutkan dengan membuat sebuah model dan prediksi dilakukan berdasarkan model tersebut.
Tahapan atau langkah–langkah untuk melakukan prediksi, antara lain: Tahapan atau langkah–langkah untuk melakukan prediksi, antara lain:
1. Menentukan masalah yang akan dianalisis (perumusan masalah) dan mengumpulkan data yang dibutuhkan dalam proses analisis tersebut. 2. Menyiapkan data sehingga data dapat diproses dengan benar.
3. Menetapkan metode prediksi yang sesuai dengan data yang telah disiapkan.
4. Menerapkan metode yang sudah ditetapkan dan melakukan prediksi pada data untuk beberapa waktu depan.
5. Mengevaluasi hasil prediksi.
2.4 Ketepatan Penggunaan Metode Prediksi
Penggunaan metode prediksi tergantung pada pola data yang akan dianalisis. Jika metode yang digunakan sudah dianggap benar untuk melakukan prediksi, maka pemilihan metode prediksi terbaik didasarkan pada tingkat kesalahan prediksi [16]. Seperti diketahui bahwa tidak ada metode prediksi yang dapat dengan tepat memprediksi keadaan data di masa yang akan datang. Oleh karena itu, setiap metode prediksi pasti menghasilkan kesalahan. Jika tingkat kesalahan yang dihasilkan semakin kecil, maka hasil prediksi akan semakin mendekati tepat. Dalam penelitian ini penghitungan kesalahan yang digunakan adalah :
1. Root Mean Square Error (RMSE)
RMSE adalah besarnya tingkat kesalahan prediksi, semakin kecil nilai RMSE (mendekati 0), semakin akurat hasilnya. RMSE digunakan ketika kesalahan kecil dapat diabaikan dengan aman dan kesalahan besar harus dikurangi sebanyak mungkin. RMSE lebih mementingkan kesalahan yang besar, sehingga model akan berusaha meminimalkannya. Salah satu kelebihan RMSE adalah menghindari penggunaan nilai mutlak yang tidak diinginkan dalam sebagian besar perhitungan matematis, tetapi karena menggunakan operasi kuadrat maka nilai yang sangat kecil (antara 0 dan 1) menjadi semakin kecil dan sebaliknya. Ini berarti bahwa
30
nilai kesalahan besar diperkuat sementara yang kecil diabaikan. Nilai RMSE dapat dihitung dengan persamaan sebagai berikut.
√ ∑ ̂
(2.41)
dengan,
n : Banyaknya data
: Data aktual pada saat ke-i
̂ : Data hasil prediksi pada pada saat ke-i 2. Mean Absolute Deviation (MAD)
MAD merupakan suatu metode untuk mengevaluasi metode prediksi menggunakan jumlah dari kesalahan-kesalahan yang absolut. The Mean Absolute Deviation (MAD) mengukur ketepatan prediksi dengan merata-rata kesalahan dugaan (nilai absolut setiap kesalahan). MAD paling berguna ketika orang yang menganalisa ingin mengukur kesalahan prediksi dalam unit yang sama sebagai deret asli. MAD merupakan ukuran pertama kesalahan prediksi keseluruhan untuk sebuah model. Nilai MAD dapat dihitung dengan persamaan sebagai berikut.
∑| ̂ |
(2.42)
dengan,
n : banyaknya data
: data aktual pada waktu t ̂ : data hasil prediksi pada waktu t
Semakin kecil nilai yang dihasilkan maka metode prediksi yang digunakan akan semakin baik.
2.5 Pengajuan Kredit
Pengertian kredit mempunyai dimensi yang beraneka ragam, dimulai dari arti kata “kredit” yang berasal dari bahasa Yunani “credere” yang berarti kepercayaan akan kebenaran dalam praktek sehari-hari. Pengertian kredit
31
adalah kemampuan untuk melaksanakan suatu pembelian atau mengadakan suatu pinjaman dengan suatu janji, pembayaran akan dilaksanakan pada jangka waktu yang telah disepakati [14].
Pengertian kredit dalam UU Pokok Perbankan No.7 Tahun 1992 yang menyatakan bahwa kriteria adalah penyediaan uang/tagihan yang dapat dipersamakan dengan itu berdasarkan persetujuan/kesempatan pinjam meminjam antar pihak bank dengan pihak lain yang mewajibkan pihak peminjam untuk melaksanakan dengan jumlah bunga sebagai imbalan.
2.6 Bank Mandiri Taspen Medan
Gambar 2. 1 Logo Instansi
PT Bank Mandiri Taspen Pos sebelumnya bernama PT Bank Sinar Harapan Bali yang dikenal dengan sebutan ”Bank Sinar” mengawali kiprahnya sebagai Maskapai Andil Indonesia (MAI) Bank Pasar Sinar Harapan Bali yang didirikan pada tanggal 23 Februari 1970. Tanggal ini kemudian ditetapkan sebagai tanggal kelahiran Bank Sinar. Perubahan status Bank Sinar menjadi Perseroan Terbatas dilakukan berdasarkan Akta No.4 tanggal 3 November 1992, dibuat dihadapan Notaris Ida Bagus Alit Sudiatmika, SH di Denpasar. Akta Pendirian tersebut memperoleh persetujuan dari Menteri Kehakiman Republik Indonesia berdasarkan Surat Keputusan Menteri Kehakiman Republik Indonesia No.C2-4581 HT.01.01.Th.93 tanggal 12 Juni 1993. Bank Sinar memperoleh izin usaha sebagai Bank Umum berdasarkan Surat Keputusan Menteri Keuangan Republik Indonesia No.77/KMK.017/1994 tanggal 10 Maret 1994 tentang Pemberian Izin Usaha Kepada PT Bank Sinar Harapan Bali di Denpasar, dan Surat Bank Indonesia No.27/63/UPBD/PBD2 tanggal 11 Mei 1994 perihal Pemberian Izin Usaha Bank Umum kepada PT Bank Sinar Harapan Bali. Pada saat Akta Pendirian PT Bank Sinar Harapan Bali memperoleh
32
persetujuan dari pihak yang berwenang maka MAI Bank Pasar Sinar Harapan Bali dialihkan kepada PT Bank Sinar Harapan Bali.
Sejak status Bank Sinar berubah menjadi bank umum dan dengan modal yang telah dimiliki kegiatan usaha Bank Sinar dapat berkembang dengan lancar dan sehat. Bank Sinar telah tujuh kali berturut-turut meraih Infobank Award dengan predikat “Sangat Bagus” dan tiga kali berturut-turut meraih Golden Trophy Infobank Award. Disamping itu berkat kepedulian Bank Sinar terhadap masalah sosial maka pada tanggal 20 Desember 2004 Bank Sinar mendapat penghargaan dari Menteri Sosial Republik Indonesia. berupa “Padma Awards” dan ”Piagam Kesetiakawanan Sosial”.
Walaupun kegiatan usaha Bank Sinar telah berkembang dengan lancar dan sehat namun dengan adanya Peraturan Bank Indonesia No.7/15/PBI/2005 tanggal 1 Juli 2005, maka permodalan Bank Sinar belum memenuhi ketentuan sebagaimana diatur dalam Pasal 2 peraturan tersebut diatas yaitu Bank Umum wajib memenuhi jumlah Modal Inti paling kurang sebesar Rp.80 miliar pada tanggal 31 Desember 2007. Sehubungan dengan hal tersebut maka pihak manajemen Bank Sinar berupaya melakukan langkah-langkah untuk memenuhi ketentuan tersebut, antara lain melakukan pendekatan kepada beberapa investor yang berminat untuk membeli saham Bank Sinar.
Dari hasil pendekatan tersebut akhirnya dicapai kesepakatan akuisisi Bank Sinar oleh Bank Mandiri. Berkaitan dengan hal tersebut maka sesuai dengan Surat Gubernur Bank Indonesia No.10/45/GBI/DPIP/-Rahasia tanggal 31 Maret 2008, Gubernur Bank Indonesia menyetujui Rencana Akuisisi PTBank Sinar Harapan Bali oleh PT Bank Mandiri (Persero) Tbk., sehingga PT Bank Mandiri (Persero) Tbk. akan menjadi Pemegang Saham Pengendali.
Berdasarkan Surat Keputusan Gubernur Bank Indonesia tersebut diatas, maka pada tanggal 3 Mei 2008 dilaksanakan penandatanganan Akta Akuisisi dihadapan Notaris I Wayan Sugitha SH di Denpasar. Penandatanganan Akta Akuisisi ini menandai awal kepemilikan Bank Mandiri atas PT Bank Sinar Harapan Bali, di mana selanjutnya pengelolaan BSHB akan dilakukan secara terpisah dari Bank Mandiri sebagai bank yang
33
tetap berdiri sendiri (Stand-alone bank) dengan fokus utama pada pengembangan bisnis Mikro dan Usaha Kecil.
Pada tanggal 22 Desember 2014 dilaksanakan Rapat Umum Pemegang Saham Luar Biasa (RUPSLB) dengan keputusan sebagaimana tercantum dalam Akta No.93 tanggal 22 Desember 2014 yang dibuat dihadapan Notaris I Gusti Ngurah Putra Wijaya, SH dengan keputusan antara lain Persetujuan Penambahan Modal Dasar, Modal Ditempatkan dan Modal Disetor Perseroan. Pelaksanaan Rapat Umum Pemegang Saham Luar Biasa (RUPSLB) Bank Sinar yang dilaksanakan tanggal 22 Desember 2014 telah dilaporkan ke Otoritas Jasa Keuangan (OJK) Provinsi Bali, sesuai Surat No. 0304/B/KP-Dir/BSHB/XII/2014 tanggal 24 Desember 2014 dan telah mendapatkan persetujuan Perubahan Badan Hukum PT Bank Sinar Harapan Bali sesuai Keputusan Menteri Hukum dan Hak Asasi Manusia No. AHU-13665.40.20.2014 tertanggal 30 Desember 2014.
Seiring dengan keluarnya ijin dari Otoritas Jasa Keuangan No. 166/KDK.03/2015 tanggal 24 Juli 2015 tentang Penggunaan Ijin Usaha atas nama PT Bank Mandiri Taspen Pos dan surat No. S-134/KO.311/2015 tanggal 31 Juli 2015 tentang Persetujuan Perubahan Logo, maka PT Bank Sinar Harapan Bali secara resmi berganti nama dan logo menjadi PT Bank Mandiri Taspen Pos pada tanggal 7 Agustus 2015 dengan publikasi pengumuman di media nasional dan media lokal serta bersurat secara resmi ke instansi pemerintah dan swasta yang terkait untuk perubahan tersebut. Nama baru tersebut mencerminkan pemilik dari Bank Mandiri Taspen Pos yaitu Bank Mandiri, TASPEN dan Pos Indonesia.
Dengan masuknya kedua BUMN tersebut sebagai pemegang saham maka Bank Mandiri Taspen Pos semakin mantap untuk melakukan invasi bisnis. Salah satunya, menggarap bisnis pensiunan bekerjasama dengan PT Taspen, PT Pos Indonesia serta Bank Mandiri. Dalam kerja sama itu, para pihak sepakat untuk memanfaatkan layanan masing-masing pihak. Dukungan penuh dari induk perusahaan tersebut membuat Bank Mandiri Taspen Pos lebih yakin untuk melayani para pensiunan. Terlebih lagi, Taspen dan Pos
34
telah lama mengelola dana pensiun. Sebelum berubah nama menjadi Bank Mantap, kegiatan usahan difokuskan pada sektor UMKM, kedepan, Bank Mandiri Taspen Pos akan fokus di segmen pensiunan dan UMKM.
Pada tanggal 1 November 2016, TASPEN mengakuisisi 20% saham Pos Indonesia di Bank Mantap. Sehingga pada tanggal 28 Januari 2018, PT Bank Mandiri Taspen Pos berganti nama dan logo menjadi PT Bank Mandiri Taspen, sesuai dengan Rapat Umum Pemegang Saham Luar Biasa (RUPSLB) Bank Mantap dan izin dari Kemenkumham serta Otoritas Jasa Keuangan (OJK) pada tanggal 23 Desember 2017. Pada tahun 2019, Bank Mantap resmi memindahkan kantor pusatnya ke Jakarta, untuk meningkatkan efisiensi dan menekan beban operasional [17].
2.7 Rstudio
RStudio adalah Integrated Development Environment (IDE) untuk R
yang telah banyak digunakan hingga saat ini. Dengan kata lain hampir semua pengguna R yang telah mengenal RStudio akan lebih memilih menggunakan R melalui RStudio dibandingkan menggunakan R GUI.
Rstudio adalah sistem perangkat lunak yang dirancang secara khusus untuk
menyelesaikan berbagai hal yang berkaitan dengan statistik serta digunakan untuk riset dan akademis, karena software R sangat dianjurkan untuk berbagai riset statistik, komputasi numerik, ekonomi, dan pemrograman komputer. R merupakan suatu sistem yang digunakan untuk analisis statistik dan grafik yang pertama kali dibuat oleh Ross Ihaka dan Robert Gentleman dari Statistics Department of The University of Auckland, New Zealand, pada tahun 1992. R merupakan suatu software sekaligus bahasa pemrograman, dan merupakan salah satu “dialek” dalam bahasa S. Secara umum bahasa R sangat ekuivalen dengan paket statistik Splus, sehingga sebagian besar kebutuhan analisis statistika dan pemrograman dengan R hampir identik dengan perintah yang dikenal pada Splus.
Software ini tersedia Rconsole, code editor dengan syntax highlighting, code completion dan direct execution, environment, history, connections, dan fitur-fitur tambahan lainnya seperti file manager, packages manager, help, plot viewer, hingga project versioning menggunakan git.
35
Gambar 2. 2 Tampilan Awal Software Rstudio Berikut penjelasan mengenai tampilan Rstudio:
1. Editor window
Gambar 2. 3 Source Window
Source/Editor window merupakan jendela yang dapat digunakan untuk
membuat, mengedit, dan menyimpan script R. Dalam jendela ini, tersedia fitur autocomplete yang akan memudahkan dalam membuat script. Jika saat pertama kali menginstall RStudio jendela tersebut tidak muncul maka dapat dilakukan dengan langkah sebagai berikut:
36 2. R Console
Gambar 2. 4 Console Window
Console window merupakan jendela tempat mengeksekusi command dari script R yang dibuat. Script tersebut dapat dijalankan dari Source/Editor window atau dengan langsung mengetikkan script pada jendela ini. Setiap
satu proses/baris command R yang dijalankan maka jendela ini akan menampilkan output. Jendela tersebut sebenarnya merupakan tampilan langsung dari setiap proses yang dikerjakan oleh R.
3. Workspace and History
Gambar 2. 5 Workspace and History
Terdapat beberapa tab dalam jendela ini, yaitu Environment, History, dan
Connections. Daftar data dan nilai yang sedang aktif dan tersimpan
didalam memory (RAM) akan ditampilkan oleh tab environment. Data dan nilai tersebut dapat dilihat dengan cara mengklik nama tersebut. Dalam
37
satu session yang aktif, tab history akan menampilkan daftar command yang telah dijalankan sebelumnya sedangkan tab connection (tab khusus) merupakan tab yang berkaitan dengan koneksi ke database seperti mySQL, postgreSQL, Spark, dll.
4. Plots and Files
Gambar 2. 6 Plots and Files
Jendela ini merupakan fitur tambahan dalam software ini yang cukup
bermanfaat khususnya dalam manajemen file, menampilkan
output command berupa plot, informasi dan bantuan dalam penulisan script, dan web viewer. Pada tab packages dapat dilihat daftar library R yang telah terinstall pada PC yang digunakan. Jika hendak menambahkan library baru, dapat dilakukan dengan menekan tombol install lalu mengetikkan nama dari library yang hendak diinstal.
