BAB I PENDAHULUAN A. LATAR BELAKANG
Diklat instruktur/pengembang matematika SD tingkat lanjut adalah diklat yang dirancang untuk para guru Sekolah Dasar peserta diklat tingkat dasar yang dipandang memiliki kompetensi lebih dalam penguasaan materi pembelajaran, penguasaan metode, penguasaan teknik evaluasi, maupun kemampuan mengim-baskan pengetahuan yang diperolehnya kepada rekan-rekan guru lainnya. Pemilihan peserta diklat dilakukan oleh lembaga PPPPTK Matematika didasarkan pada hasil evaluasi diklat tingkat dasar yang meliputi nilai pretes, postes, kecakapan meng-komunikasikan gagasan, sikap kepemimpinan serta kepribadiannya. Oleh sebab itu materi pengetahuan matematika yang diberikan cederung ke wawasan keilmuan plus bagi guru SD dalam arti materi yang diberikan cenderung diperuntukkan bagi pelayanan kepada siwa berbakat.
Materi bilangan Asli, Cacah, dan Bulat yang disajikan pada modul ini diperuntukkan bagi peserta diklat instruktur/pengembang tingkat lanjut. Materi yang dibahas meliputi: bilangan persegi, bilangan kubik, ketrampilan menguadratkan, penarikan akar kuadrat bilangan persegi,`penarikan akar pangkat tiga bilangan kubik, tripel Pythagoras, pola dan barisan bilangan, pembagian bersisa, serta keterbagian bilangan. Materi yang dibahas mungkin tidak begitu bersentuhan langsung dengan kebutuhan (demand) guru di lapangan yang diperuntukkan bagi siswa kebanyakan sebab materi-materi yang berkenaan dengan itu sudah dibahas pada diklat tingkat dasar.
B. TUJUAN
Modul ini ditulis untuk para peserta Diklat Lanjut Matematika Sekolah Dasar agar seusai mengikuti diklat ini dapat:
1. Memperoleh wawasan keilmuan mengenai bilangan persegi, bilangan kubik, ketrampilan menguadratkan, penarikan akar kuadrat bilangan persegi,`penarikan akar pangkat tiga bilangan kubik, tripel Pythagoras, pola dan barisan bilangan, pembagian bersisa, serta keterbagian bilangan.
2. Menerapkan pengetahuan dan ketrampilan yang dimiliki untuk memberikan pelayanan kepada siswa berbakat
3. Mengimbaskan pengetahuan yang diperolehnya kepada rekan seprofesi.
C. RUANG LINGKUP
Pokok-pokok materi yang dibahas melalui modul ini meliputi:
1. Bilangan kuadrat, bilangan kubik, penarikan akar kuadrat bilangan persegi, penarikan akar pangkat tiga bilangan kubik, dan tripel Pythagoras
2. Pola dan barisan bilangan
3. Pembagian bersisa dan keterbagian bilangan
D. KOMPETENSI YANG DIHARAPKAN
Setelah selesai mengikuti diklat ini para peserta diharapkan memiliki kompetensi untuk: 1. memberikan penanaman konsep asal usul bilangan persegi (bilangan kuadrat)
2. memberikan penanaman konsep asal usul bilangan kubik (bilangan berpangkat tiga) 3. menguadratkan bilangan bulat secara cepat dan menarik akar bilangan tersebut
4. menentukan rumus suku ke-n suatu barisan bilangan baik secara intuisi maupun secara matematika
5. menggunakan rumus suku ke-n untuk memecahkan masalah
6. menentukan sisa pembagian dari suatu bilangan oleh bilangan lain dan menerapkannya dalampemecahan masalah
7. menurunkan sifat-sifat keterbagian bilangan dan menerapkannya untuk mennyeli-diki apakah suatu bilangan terbagi oleh bilangan 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, dan 13.
BAGIAN II
POLA DAN BARISAN BILANGAN
A. Bentuk-bentuk Pola Bilangan
Pada bagian ini akan diperkenalkan beberapa bentuk pola dan barisan bilangan yang disajikan dalam bentuk gambar dan dalam bentuk pola bilangan yang sajiannya dinyatakan dalam lambang-lambang dan angka-angka. Perhatikan pola-pola berikut.
Pola 1. 1 4 9 16 25 1 1 + 3 1 + 3 + 5 1 + 3 + 5 + 7 1 + 3 + 5 + 7 + 9 Pola 2. 1 3 6 10 15 1 1 + 2 1 + 2 + 3 1 + 2 + 3 + 4 1 + 2 + 3 + 4 + 5 Pola 3. 2 6 12 20 2 2 + 4 2 + 4 + 6 2 + 4 + 6 + 8
Dari pola-pola yang dicontohkan tersebut di atas, tampak adanya pola ditinjau menurut bentuknya, pola ditinjau menurut dari banyaknya obyek yang diarsir dan tidak diarsir.
B. Menentukan Rumus Umum Suku dan Jumlah Suku
Untuk menentukan rumus umum suku ke n atau jumlah hingga n suku yang pertama dapat disimak pada uraian berikut ini.
Pola 1.
a) Ditinjau menurut bentuk geometrinya pola persegi (bujur sangkar)
b) Ditinjau menurut banyaknya komponen-komponen pembentuknya (banyaknya persegi pembentuk bangun iu) pola bilangan kuadrat
c) Ditinjau menurut pola komponen yang diarsir dan tidak diarsir polanya adalah 1, 1 + 3, 1 + 3 + 5, 1 + 3 + 5 + 7, 1 + 3 + 5 + 7 + 9
Dari ketiga sudut pandang itu selanjutnya diperoleh definisi bahwa barisan bilangan u1, u2, u3, u4, u5, …, undengan u1= 1 = 12 u2= 4 = 22 u3= 9 = 32 u4= 16 = 42 u5= 25 = 52
disebut barisan bilangan bujur sangkar atau barisan bilangan persegi dengan rumus suku ke n un= n2. Sementara s1, s2, s3, s4, s5, …, sndengan
s1= 1 s2= 1 + 3 s3= 1 + 3 + 5 s4= 1 + 3 + 5 + 7 s5= 1 + 3 + 5 + 7 + 9 sn= 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + … + (2n – 1)
Jumlah n suku bilangan ganjil yang pertama sama dengan suku ke-n
barisan bilangan kuadrat yaitu 2
suku ) 1 2 ( ... 9 7 5 3 1 n n n Pola 2.
a) Ditinjau menurut bentuk geometrinya pola segitiga
b) Ditinjau menurut banyaknya komponen-komponen pembentuknya (banyaknya lingkaran-lingkaran pembentuknya) pola bilangan segitiga
c) Ditinjau menurut pola komponen yang diarsir dan tidak diarsir pola adalah. 1, 1 + 2, 1 + 2 + 3, 1 + 2 + 3 + 4, 1 + 2 + 3 + 4 + 5, …
Dari ketiga sudut pandang itu selanjutnya diperoleh definisi bahwa barisan bilangan u1, u2, u3, u4, u5, …, undengan u1= 1 u2= 3 u3= 6 u4= 10 u5= 15
disebut barisan bilangan segitiga sedangkan s1, s2, s3, s4, s5, …, sndengan s1= 1 s2= 1 + 2 s3= 1 + 2 + 3 s4= 1 + 2 + 3 + 4 s5= 1 + 2 + 3 + 4 + 5 sn= 1 + 2 + 3 + … + n
disebut jumlah n suku bilangan asli yang pertama.
Perhatikan bahwa peragaan gambar pada pola 2 tersebut sekaligus menunjukkan (memperagakan) bahwa
Jumlah n suku bilangan asli yang pertama sama dengan suku ke n dari barisan bilangan segitiga, dan dapat dibuktikan bahwa 1 + 2 + 3 + … + n =
2 ) 1 (n n
Untuk membuktikannya dapat dilakukan dengan beberapa cara. Beberapa cara di antaranya adalah:
Cara 1.
Dengan membalik suku-sukunya. Perhatikan bahwa:
Bentuk (1) dapat ditulis secara urut maupun terbalik dalam bentuk sebagai berikut. urut sn= 1 + 2 + 3 + 4 + … + (n – 3) + (n – 2) + (n – 1) + n terbalik sn= n + (n – 1) + (n – 2) + (n – 3) + … + 4 + 3 + 2 + 1 2sn= suku n ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ... ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( sebanyak n n n n n n 2sn= n(n + 1) atau sn= ( 1) 2 1 n n atau sn= 1 + 2 + 3 + 4 + … + n = 2 ) 1 ( ) 1 ( 2 1 n n n n Cara 2.
Dengan menyelidiki banyaknya tingkat penyelidikan hingga diperoleh selisih tetap. Perhatikan bahwa:
Jumlah sampai dengan 1 suku = s1= 1
2 suku = s2= 1 + 2 = 3 3 suku = s3= 1 + 2 + 3 = 6 4 suku = s4= 1 + 2 + 3 + 4 = 10 5 suku = s5= 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15 (i) 1 , 3 , 6 , 10 , 15 (ii) 2 , 3 , 4 , 5 (iii) 1 , 1 , 1
Tampak bahwa selisih tetapnya diperoleh hingga 2 tingkat penyelidikan. Itu artinya 1, 3, 6, 10, 15, … dan seterusnya adalah barisan bilangan berderajat dua, sehingga pemisalannya adalah fungsi berderajat 2 dari n yakni sn= an2+ bn + c.
Dari sn= an2+ bn + c akan diperoleh
s1= a(1)2+ b(1) + c = a + b + c
s2= a(2)2+ b(2) + c = 4a + 2b + c
s3= a(3)2+ b(3) + c = 9a + 3b + c
s4= a(4)2+ b(4) + c = 16a + 4b + c
Sehingga
(i) a + b + c , 4a + 2b + c , 9a + 3b + c , 16a + 4b + c , 25a + 5b + c
(ii) 3a + b 5a + b 7a + b 9a + b
(iii) 2a 2a 2a
Dengan menyamakan komponen-komponen yang ditandai dengan tanda petak urut dari bawah ke atas akan diperoleh nilai tertentu untuk a, b, dan c
sehingga rumus umum untuk sndapat ditentukan. Perhatikan Dari (iii) 2a = 1 a = 2 1 (ii) 3a + b = 2 2 2 1 3 b 2 2 1 1 b b = 2 1 (i) a + b + c = 1 1 2 1 2 1 c c = 0. a = 2 1 b = 2 1 sn= an2+ bn + c c = 0 = 0 2 1 2 1 2 n n = ( 1). 2 1 ) ( 2 1 2 1 2 1 2 2 n n n n n n Terbukti. Pola 3.
a) Ditinjau menurut bentuk geometrinya pola persegipanjang
b) Ditinjau menurut banyaknya komponen-komponen pembentuknya (banyaknya petak persegi pembentuk bangun itu) pola bilangan persegipanjang (panjang lebar 1 2, 2 3, 3 4, 4 5, …) atau 2, 6, 12, 20, …
c) Ditinjau menurut pola komponen yang diarsir dan tidak diarsir pola adalah 2, 2 + 4, 2 + 4 + 6, 2 + 4 + 6 + 8, …
Dari ketiga sudut pandang itu selanjutnya diperoleh definisi bahwa barisan bilangan u1, u2, u3, u4, u5, …, un u1= 1 2 = 2 u2= 2 3 = 6 u3= 3 4 = 12 u4= 4 5 = 20 u5= 5 6 = 30 un= n (n + 1).
disebut barisan bilangan persegipanjang dengan rumus suku ke-n adalah
un= n(n + 1). Sementara s1, s2, s3, s4, s5, … s1= 2 = 2 s2= 2 + 4 = 6 s3= 2 + 4 + 6 = 12 s4= 2 +4 + 6 + 8 = 20 s5= 2 + 4 + 6 + 8 + 10… = 30 sn= 2 + 4 + 6 + … + 2n … = n (n + 1) disebut jumlah n suku bilangan genap yang pertama.
Perhatikan bahwa peragaan gambar pada pola 3 tersebut sekaligus menunjukkan (memperagakan) bahwa
Jumlah n suku bilangan genap yang pertama sama dengan suku ke-n barisan bilangan persegipanjang yaitu 2 4 6 8 ... 2 ( 1)
suku n n n n
LATIHAN 1
1. Jika untuk membuat pola segitiga-segitiga berikut diperlukan batang korek api. Berapa batang korek api yang diperlukan untuk membentuk pola segitiga hingga 10 lapis, 20 lapis, dan 100 lapis.
Petunjuk
a. Carilah rumus umumnya dengan menyelidiki selisih tetapnya dicapai pada berapa tingkat penyelidikan.
Berilah pemisalan un= an + b... jika unberderajat 1
un= an2+ bn + c ... jika unberderajat 2
un= an3+ bn2+ cn + d ... jika unberderajat 3
un= an4+ bn3+ cn2+ dn + e ... jika unberderajat 4
b. Setelah suku umumnya diketahui, barulah dimasukkan nilainya untuk n = 10, n = 20, dan n = 100. (kunci u10= 165, u20= 630, u100= 15.150) 2. Tunjukkan bahwa a) 12+ 22+ 32+ 42+ … + n2= 6 ) 1 2 )( 1 (n n n b) 13+ 23+ 33+ 43+ … + n3 = 4 ) 1 ( 2 2 n n c) 1 2 + 2 3 + 3 4 + … + n (n + 1) = 3 ) 2 )( 1 (n n n
3. Dengan menggunakan rumus pada soal no.2, hitunglah a) 12+ 22+ 32+ 42+ … hingga 30 suku b) 13+ 23+ 33+ 43+ … hingga 20 suku c) 1 2 + 2 3 + 3 4 + … hingga 10 suku d) 202+ 212+ 222+ . . . + 502= . . . e) 203+ 213+ 223+ . . . + 503= . . . f) 20 21 + 21 22 + 22 23 + . . . + 50 51 = . . .
BAGIAN III
PEMBAGIAN BERSISA DAN KETERBAGIAN BILANGAN A. PEMBAGIAN BERSISA
1. Pendekatan Kontekstual
Misalkan hari ini hari senin, hari apakah 3 hari lagi (mendatang), 10 hari lagi (mendatang), 17 hari lagi, dan 24 hari lagi? Bagaimana jika yang ditanyakan adalah 100 hari lagi, 500 hari lagi, 1000 hari lagi, atau yang lainnya.
Untuk menjawab permasalahan tersebut, siswa dapat kita ajak melihat fakta dari tabel hari-hari mendatang hingga hari ke-30 jika hari ini hari senin.
Dari tabel di atas secara faktual mudah dilihat bahwa 3 hari lagi = 3 hari mendatang = hari ini + 3 hari lagi
= hari ke- 4 = hari Kamis.
10 hari lagi = 10 hari mendatang = hari ini + 10 hari lagi = hari ke- 11
= hari Kamis
17 hari lagi = 17 hari mendatang = hari ini + 17 hari lagi = hari ke- 18
= hari Kamis
24 hari lagi = 24 hari mendatang = hari ini + 24 hari lagi = hari ke- 25 = hari Kamis. 20 minggu 21. Senin 22. Selasa 23. Rabu 24. Kamis 25. Jumat 26. Sabtu 27. Minggu 28. Senin 29. Selasa 10. Kamis 11. Jumat 12. Sabtu 10. Minggu 11. Senin 12. Selasa 13. Rabu 14. Kamis 15. Jumat 16. Sabtu Senin 1. Selasa 2. Rabu 3. Kamis 4. Jumat 5. Sabtu 6. Minggu 7. Senin 8. Selasa 9. Rabu
0 Senin 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. Selasa Rabu Kamis Jumat Sabtu Minggu Senin 8 . 9 . 10. 11. 12. 13. 14. Selasa Rabu Kamis Jumat Sabtu Minngu Senin 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. Selasa Rabu Kamis Jumat Sabtu Minggu Senin 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. Selasa Rabu Kamis Jumat Kamis Jumat Sabtu
Dari tabel di atas, tampak bahwa 3 hari lagi, 10 hari lagi, 17 hari lagi, dan 24 hari lagi semuanya adalah hari Kamis. Sekarang siswa ditanya “ apa hubungannya antara bilangan-bilangan 3, 10, 17, 24, …?
Siswa dapat diajak memperhatikan pola bilangannya itu, yakni 3, 10, 17, 24, …
Dari pola itu tampak bahwa 10 = 3 + 7 17 = 10 + 7 24 = 17 + 7
…..dan seterusnya …
Pola itu sebenarnya juga dapat ditulis dalam bentuk
10 = 3 + 7 = 3 + (1 × 7) = 1 × 7 + 3 17 = 3 + 7 + 7 = 3 + (2 × 7) = 2 × 7 + 3 24 = 3 + 7 + 7 + 7 = 3 + (3 × 7) = 3 × 7 + 3
Kesimpulannya hari-hari yang sama adalah hari-hari yang merupakan kelipatan 7 ditambah 3, atau
Hari yang sama = sisa pembagian bilangan itu oleh 7
Dengan begitu maka perhitungan untuk misalnya 100 hari lagi, 500 hari lagi, dan 1000 hari lagi dapat dilakukan sebagai berikut
1. Dicari sisa pembagiannya dengan 7
2. Hari yang dimaksud = hari ini + sisa
Hasil perhitungan memperlihatkan bahwa 100 : 7 bersisa 2 500 : 7 bersisa 3 1.000 : 7 bersisa 6. Dengan demikian jika hari ini hari Senin maka
100 hari lagi = Senin + 2 hari = Rabu
500 hari lagi = Senin + 3 hari = Kamis
1000 hari lagi = Senin + 6 hari = Minggu.
2. Pendekatan Formal
Pendekatan formal adalah pendekatan matematis, yakni diturunkan dari kebenaran-kebenaran terdahulu yang telah diterima. Kebenaran yang dimaksud mulai dari kebenaran-kebenaran berdasarkan definisi, kebenaran berdasar aksioma (kebenaran pangkal/kebenaran yang diterima tanpa bukti), sifat-sifat terdahulu, atau teorema-teorema terdahulu yang telah diterima.
Secara matematik hanya dikatakan bahwa bilangan yang bersifat periodik disebut sebagai bilangan modulo. Sebagai contoh misalnya
7 1 0 0 0 1 4 0 1 yang terbagi sisa = – 0 7 3 0 2 8 2 – – yang terbagi Sisa terakhir = = = 7 5 0 0 0 7 4 0 5 yang terbagi sisa = – 0 9 1 0 = 7 3 – – yang terbagi Sisa terakhir = 4 = 7 1 0 0 0 0 1 0 1 yang terbagi sisa = – 0 7 3 0 2 8 2 – – yang terbagi Sisa terakhir = = = sisa yang terbagi = 0 4 6 = 1 –
Selanjutnya secara matematik didefinisikan bahwa
a b (mod m) ab= km, dengan k bilangan bulat.
Kita tidak akan membahas lebih dalam tentang bilangan modulo karena sudah di luar wilayah yang dibahas, hanya saja dalam kehidupan sehari-hari terapannya seperti contoh kontekstual tersebut di atas.
LATIHAN 2
Tentukan.
1. Jika hari ini hari Kamis, 100 hari lagi adalah hari ….. 2. Jika hari ini hari Selasa, 300 hari lagi adalah hari ….. 3. Jika hari ini hari Sabtu, 500 hari lagi adalah hari ….. 4. Jika hari ini hari Rabu, 400 hari lagi adalah hari ….. 5. Jika hari ini hari Senin, 700 hari lagi adalah hari ….. 6. Jika hari ini hari Sabtu, 600 hari lagi adalah hari ….. 7. Jika hari ini hari Rabu, 900 hari lagi adalah hari ….. 8. Jika hari ini selasa kliwon, 22 hari lagi adalah hari ……
66 hari lagi adalah hari ….. 88 hari lagi adalah hari ….. 777 hari lagi adalah hari ….. 999 hari lagi adalah hari …..
B. KETERBAGIAN BILANGAN
1. Bilangan Habis Dibagi 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 11, 13
Untuk mengetahui secara cepat apakah suatu bilangan bulat habis dibagi oleh bilangan bulat yang lain misal apakah bilangan itu habis dibagi oleh bilangan 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 11, 13 (Sukayati, 1998 : 4 - 12; Sukardjono, 1996 : 24 – 27) berikut akan diberikan sedikit uraian berkenaan dengan ciri-cirinya. Uraian lebih lengkap dapat dilihat pada Paket Pembinaan Penataran (PPP) yang asli yang telah diuraikan oleh kedua penulis tersebut masing-masing di tahun 1998/1999 dan 1995/1996. Pada paket yang asli telah disampaikan bukti-bukti matematisnya secara umum. Namun untuk memberikan warna lain, pada makalah ini akan diberikan contoh bukti untuk bilangan-bilangan yang terdiri dari 5 angka saja. Alasannya bilangan-bilangan yang lebih dari 5 angka dapat dibayangkan dengan mudah sebagaimana bilangan yang terdiri dari 5 angka tersebut. Demikian pula bilangan yang kurang dari 5 angka.
Secara umum bilangan yang terdiri dari 5 angka tersebut dimisalkan sebagai abcd. Sebagai contoh misalnya untuk bilangan 25382, maka yang dimaksud adalah a = 2,
b = 5, c = 3, d = 8, e = 2. Perhatikan bahwa 25382 = 2 104+ 5 103+ 3 102+ 8 101+ 2 100, atau = 2 104+ 5 103+ 3 102+ 8 101+ 2, atau = 2 10.000 + 5 1.000 + 3 100 + 8 10 + 2. Sehingga abcde = a 10.000 + b 1.000 + c 100 + d 10 + e Ciri-ciri bilangan yang habis dibagi:
Ciri 1 : Habis dibagi 2
Suatu bilangan habis 2 apabila angka terakhirnya habis dibagi oleh bilangan 0,2,4,6, atau 8 dengan kata lain apabila angka terakhirnya genap (habis dibagi 2). Contoh:
Bilangan 53210 dan 24136 adalah bilangan-bilangan yang habis dibagi 2 sebab angka terakhirnya masing-masing berupa bilangan genap. Sedangkan 34125 tidak habis dibagi 2 sebab angka terakhirnya 5 tidak habis dibagi 2.
Bukti :
abcde = a 104+ b 103+ c 102+ d 101+ e = (10.000a + 1.000b + 100c + 10d) + e
Karena komponen I jelas habis dibagi 2, agar komponen seluruhnya habis dibagi 2 maka komponen II harus habis dibagi 2. Dengan kata lain e = 0,2,4,6,8 atau e berupa bilangan genap .
Ciri 2 : Habis dibagi 4
Suatu bilangan habis dibagi 4 jika dua angka terakhirnya merupakan bilangan yang habis dibagi 4.
Contoh :
Bilangan 1702582 tidak habis dibagi 4 sebab dua angka terakhirnya yakni 82 tidak II
Bukti :
abcde = a 104+ b 103+ c 102+ d 101+ e
= (a 10.000 + b 1.000 + c 100) + (d 10 + e)
Komponen I habis dibagi 4 sebab masing-masing sukunya habis dibagi 4. Sehingga agar seluruh komponennya habis dibagi 4 maka komponen II haruslah habis dibagi 4, yaitu bila (d 10 + e) habis dibagi 4. Yakni bilangan berbentuk de habis dibagi 4 . Ciri 3 : Habis dibagi 8
Suatu bilangan habis dibagi 8 jika tiga angka terakhirnya merupakan bilangan yang habis dibagi 8.
Contoh :
Bilangan 2701008 habis dibagi 8 sebab 3 angka terakhirnya yaitu 008 (bilangan ini sama dengan 8 sebab dua angka nol di depan tidak bermakna/signifikan) habis dibagi 8. Sementara bilangan 2810342 tidak habis dibagi 8 karena tiga angka terakhirnya yaitu 342 tidak habis dibagi 8.
Ciri 4 : Habis dibagi 5
Suatu bilangan habis dibagi 5 jika angka terakhir dari bilangan itu 0 atau 5.
Bukti :
abcde = a 104+ b 103+ c 102+ d 10 + e = (10.000a + 1.000b + 100c + 10d) + e
Komponen I jelas habis dibagi 5 sebab masing-masing suku pada komponen I habis dibagi 5 dengan demikian agar I dan II habis dibagi 5 maka II harus habis dibagi 5 yaitu apabila e = 0 atau e = 5 .
Ciri 5 : Habis dibagi 10
Suatu bilangan habis dibagi 10 jika angka terakhir dari bilangan itu 0.
Ciri 6 : Habis dibagi 9
Suatu bilangan habis dibagi 9 jika jumlah angka-angka penyusunnya habis dibagi 9.
Contoh :
II I
II I
Bilangan 217.683 habis dibagi 9 sebab jumlah angka-angka pembentuknya yaitu 2 + 1 + 7 + 6 + 8 + 3 = 27 habis dibagi 9 Bukti : abcde = a 104+ b 103+ c 102+ d 10 + e = 10.000a + 1.000b + 100c + 10d + e = (9.999a + 999b + 99c + 9d) + (a + b + c + d + e)
Bagian I jelas habis dibagi 9. Agar I + II habis dibagi 9 maka II harus habis dibagi 9 yaitu apabila a + b + c + d + e habis dibagi 9 .
Ciri 7: habis dibagi 3
Suatu bilangan habis dibagi 3 jika jumlah angka-angka pembentuknya habis dibagi
3.
Contoh :
Bilangan 7423947 habis dibagi 3 sebab 7 + 4 + 2 + 3 + 9 + 4 + 7 = 36 habis dibagi 3. Ciri 8 : Habis dibagi 7
Suatu bilangan habis dibagi 7 jika selisih antara dua kali angka satuan dengan bilangan yang terbentuk oleh angka-angka sisanya habis dibagi 7.
Contoh :
Bilangan 3696 habis dibagi 7 sebab dua kali angka satuannya adalah 2 6 = 12 sementara angka sisanya 369. Selisihnya = 369 – 12 = 357 habis dibagi 7.
Bukti :
abcde = a 104+ b 103+ c 102+ d 10 + e = 10.000a + 1.000b + 100c + 10d + e
= 10.000a + 1.000b + 100c + 10d + 20e – 20e + e = (10.000a + 1.000b + 100c + 10d – 20e) + 20e + e = 10(1.000a + 100b +10c + d – 2e) + 21e
II I
II I
Ciri 9 : Habis dibagi 11
Suatu bilangan habis dibagi 11 jika jumlah angka-angka di posisi ganjil dikurangi jumlah angka-angka di posisi genap habis dibagi 11.
Contoh :
Apakah 27346 habis dibagi 11?
Penyelesaian :
Jumlah angka-angka di posisi ganjil = 2 + 3 + 6 = 11 Jumlah angka-angka di posisi genap = 7 + 4 = 11 Selisih jumlahnya = 11 – 11 = 0.
Karena 0 habis dibagi 11, maka 27346 habis dibagi 11.
Bukti : abcde = a 104+ b 103+ c 102+ d 10 + e = 10.000a + 1.000b + 100c + 10d + e = 10.000a + 1.000b + 100c + 10d + e + 10.000b – 10.000c + 10.000d – 10.000e – 10.000b + 10.000c – 10.000d + 10.000e = 10.000(a – b + c – d + e) + 11.000b – 9.900c + 10.010d – 9.999e = 10.000(a – b + c – d + e) + 11(1.000b – 900c + 910d – 909e)
Karena bagian II habis dibagi 11, agar kesemuanya (I + II) habis dibagi 11 maka I harus habis dibagi 11. Hal itu akan terjadi bila (a – b + c – d + e) habis dibagi 11 .
Ciri 10 : Habis dibagi 13
Suatu bilangan habis dibagi 13 jika jumlah dari 4 kali angka satuan dan bilangan yang terbentuk oleh angka-angka sisanya habis dibagi 13.
Contoh :
Apakah 6318 habis dibagi 13?
jawab :
6318 Empat kali angka satuannya = 4 8 = 32 Angka-angka sisanya (yang lain) = 631
Jumlahnya = 663
663 Empat kali angka satuannya = 4 3 = 12 Angka-angka sisanya (yang lain) = 66
Jumlahnya = 78
+
+
78 Empat kali angka satuannya = 4 8 = 32 Angka-angka sisanya (yang lain) = 7
Jumlahnya = 39
Karena hingga 3 langkah penyelesaian ternyata diperoleh bilangan 39 yang diketahui habis dibagi 13 maka bilangan semula yang dimaksud yaitu 6318 pasti habis dibagi 13.
Bukti :
abcde = a 104+ b 103+ c 102+ d 10 + e = 10.000a + 1.000b + 100c + 10d + e
= 10.000a + 1.000b + 100c + 10d + (e – 40e) + 40e = 10(1.000a + 100b + 10c + d + 4e) – 39e
Karena bagian II habis dibagi 13, agar kesemuanya habis dibagi 13 haruslah I habis dibagi 13. Hal itu akan terjadi bila (1.000a + 100b + 10c + d + 4e) habis dibagi 13 yakni bila bilangan dengan susunan angka-angka (abcd + 4e) habis dibagi 13 .
2. Bilangan 1001
Bila kita ingat judul cerita “seribu satu malam”, kita membayangkan adanya suatu misteri. Misteri apakah itu? Pernahkah terbetik pada pikiran dan perasaan Anda bahwa bilangan 1001 itu ternyata adalah KPK (Kelipatan Persekutuan terkecil) dari bilangan-bilangan 7, 11, dan 13. Dengan demikian maka setiap bilangan-bilangan kelipatan dari 1001 pasti habis dibagi 7, habis dibagi 11, dan habis dibagi 13 (Supinah, 1997 : 22). Beberapa contohnya adalah bilangan-bilangan seperti 8008, 25025, dan 253253.
Latihan 3 :
1. Selidikilah apakah bilangan-bilangan berikut habis dibagi dengan bilangan yang diketahui. a. 291530 habis dibagi 2 b. 341297 habis dibagi 2 c. 254328 habis dibagi 2 d. 243518 habis dibagi 4 + I II
2. Selidiki apakah a. 421835 habis dibagi 5 b. 893420 habis dibagi 5 c. 254328 habis dibagi 5 d. 492632 habis dibagi 3 e. 814308 habis dibagi 3 f. 284082 habis dibagi 6 g. 410894 habis dibagi 6 h. 724932 habis dibagi 9 3. Selidi apakah a. 4128 habis dibagi 7 b. 7196 habis dibagi 7 c. 92715 habis dibagi 7 d. 27654 habis dibagi 11 e. 81426 habis dibagi 11 f. 16042 habis dibagi 13
g. 53053 habis dibagi oleh bilangan-bilangan 7, 11, dan 13. h. 556556 habis dibagi oleh bilangan-bilangan 7, 11, dan 13. 4. Buktikan
a. Suatu bilangan habis dibagi 8 jika tiga angka terakhirnya merupakan bilangan yang habis dibagi 8.
b. Suatu bilangan habis dibagi 10 jika angka terakhir dari bilangan itu adalah nol.
c. Suatu bilangan habis dibagi 3 jika jumlah angka-angka penyusunnya habis dibagi
BAB VI PENUTUP A. KESIMPULAN
Bilangan asli, cacah, dan bulat yang kita kenal sebagai bilangan ACB pada Diklat Matematika SD Jenjang Lanjut ini meliputi konsep bilangan dihubungkan dengan banyaknya satuan (unit) benda dalam suatu kumpulan, operasi (penjumlahan, pengu-rangan, perkalian, dan pembagian), kelipatan persekutuan terkecil (KPK), faktor persekutuan terbesr (FPB), angka Romawi, penguadratan, pemangkatan tiga, dan penarikan akar (pangkat dua dan tiga), serta bilangan bulat (positip, nol, negatip) dan operasinya. Suatu lingkup bahasan yang cukup luas untuk dibahas dalam diklat guru Sekolah Dasar. Namun semuanya ternyata dapat dilalui secara menarik dan menye-nangkan. Resep apa sebenarnya sehingga yang membuat matematika yang dibahas pada kegiatan diklat dapat menarik dan menyenangkan? Jawabnya tidak lain adalah karena sajian materinya diawali secara kontekstual (berangkat dari konteks kehidupan siswa sehari-hari) dan mengikuti teori Bruner, yakni pembelajaran berangkat dari kongkrit, ditindaklanjuti dengan gambar-gambar (semi kongkrit), dan barulah dia-khiri dengan lambang yang sifatnya abstrak. Menurut Bruner, jika pembelajaran berjalan seperti itu, maka siswa akan dapat mengembangkan pengetahuannya jauh lebih luas dari apa yang pernah mereka terima dari gurunya. Apabila itu semua dialami oleh peserta diklat (guru), mengapa siswa tidak mengalaminya?. Semuanya tentu tergantung kepada komitmen (niat baik) dan realisasi (pelaksanaan riil/ sesungguhnya) saat kembali ke tempat tugas masing-masing.
B. SARAN
Bagi para alumni diklat yang berkomitmen untuk merealisasikan komitmennya pada anak didik agar mereka menjadi senang dengan pelajaran matematika diberikan saran-saran sebagai berikut.
1. Laporkan kepada atasan langsung tentang pengalaman apa saja yang menarik selama menerima sajian akademik dalam kegiatan pelatihan
2. Pikirkan perangkat kerja apa saja yang mendesak untuk dibuat dan segera dite-rapkan/diimplementasikan di lapangan, jika sebagai guru pertama adalah yang untuk diterapkan di kelas yang diampunya, kemudian kepada sesama guru di sekolahnya, kemudian lagi pada kegiatan KKG dan terakhir barulah cita-cita ke lingkup yang lebih luas
3. Ciptakan segera perangkat tersebut dengan niat baik, tulus, dan iklas demi anak bangsa di masa depan
4. Diskusikan rencana tindak lanjut Anda pasca pelatihan kepada kepala sekolah dan kepada pengawas
DAFTAR PUSTAKA
Burton, David M. (1980). Elementary Number Theory. Boston : Allyn and Bacon, Inc. Depdiknas. (2003). Kurikulum 2004 (Standar Kompetensi Mata pelajaran Matematika SD/MI).
Jakarta: Departemen Pendidikan Nasional.
---. (2006). Standar Isi Kurikulum Tingkat Satuan Pendidikan (KTSP). Jakarta: Departemen Pendidikan Nasional.
Estiningsih, Elly. (1994). KBM Matematika di Sekolah Dasar (Makalah Penataran). Yogyakarta: PPPG Matematika.
Edi Prayitno. (1997). KPK dan FPB (Paket Pembinaan Penataran). Yogyakarta : PPPG Matematika.
Kamus Besar Bahasa Indonesia.
Niven, Ivan–Zuckerman, Hurbert S. (1978). An Introduction to the Theory of Numbers
(Third Edition). New York : John Wiley & Sons, Inc.
Sukardjono. (1996). Berhitung Cepat di SD (Paket Pembinaan Penataran). Yogyakarta : PPPG Matematika.
Wirasto. (1993). Matematika Untuk Orang Tua Murid Dan Guru (Jilid I). Jakarta : PT. Indira.
KUNCI JAWABAN SOAL-SOAL LATIHAN Latihan 1 (halaman 28) Kunci no. 3 a. 9.455 d. 40.455 b. 44.100 e. 1.589.525 c. 440 f. 41.540. Latihan 2 (halaman 32) 1. Sabtu 2. Senin 3. Selasa 4. Kamis 5. Senin 7. Minggu 8. Rabu Pahing Jumat Legi Sabtu Pon Selasa Pahing Senin Wage Latihan 3 (Halaman 37) 1. a. Ya 2. a. Ya 3. a. Tidak b. Tidak b. Ya b. Ya c. Ya c. Tidak c. Ya d. Tidak d. Tidak d. Ya e. Ya e. Ya e. Tidak f. Ya f. Ya f. Ya g. Ya g. Tidak g. Ya h. Tidak h. Ya h. Ya
