Hamiltonian Dengan Beberapa loop yang Diletakkan Berdekatan

(1)

BATAS ATAS M-KOMPETISI INDEKS DARI DIGRAF

LINGKARAN HAMILTONIAN DENGAN BEBERAPA

LOOP

YANG DILETAKKAN BERDEKATAN

SKRIPSI

BIMA SATRYA SEBAYANG

120803026

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

MEDAN

(2)

BATAS ATAS M-KOMPETISI INDEKS DARI DIGRAF

LINGKARAN HAMILTONIAN DENGAN BEBERAPA

LOOP

_{YANG DILETAKKAN BERDEKATAN}

SKRIPSI

Diajukan untuk melengkapi tugas akhir dan memenuhi syarat mencapai gelar sarjana sains

BIMA SATRYA SEBAYANG

120803026

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

(3)

PERSETUJUAN

Judul : Batas AtasM-Kompetisi Indeks Dari Digraf Lingkaran Hamiltonian Dengan Beberapaloop yang Diletakkan Berdekatan

Kategori : Skripsi

Nama : Bima Satrya Sebayang Nomor Induk Mahasiswa : 120803026

Program Studi : Sarjana (S1) Matematika Departemen : Matematika

Fakultas : Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara

Disetujui di Medan, Juli 2016

Komisi Pembimbing :

Pembimbing 2, Pembimbing 1,

Dr. Mardiningsih, M.Si Prof. Dr.Saib Suwilo, M.Sc NIP.19630405 198811 2 001 NIP.19640109 198803 1 004

Disetujui Oleh

Departemen Matematika FMIPA USU Ketua,

Prof. Dr. Tulus, M.Si NIP. 19620901 198803 1 002

(4)

PERNYATAAN

BATAS ATAS _M-KOMPETISI INDEKS DARI DIGRAF LINGKARAN HAMILTONIAN DENGAN BEBERAPA

LOOP YANG DILETAKKAN BERDEKATAN

SKRIPSI

Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil kerja saya sendiri, kecuali beberapa kutipan dan ringkasan penting yang masing-masing disebutkan sumbernya.

Medan, Juli 2016

(5)

PENGHARGAAN

Puji Syukur penulis ucapkan kehadirat Allah Subhanahu wa Ta’ala, sang pen-cipta langit dan bumi serta segala isinya yang telah melimpahkan rahmat, hi-dayah serta kasih sayang-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan penyusunan skripsi ini dengan judul m-kompetisi indeks dari Digraf Lingkaran Hamlitonian Dengan Beberapa Loop yang diletakkan Berdekatan. Shalawat dan salam penulis ucapkan kepada Rasulullah ShallAllahu’Alaihi wa Sallam, keluarga, para sahabat dan orang-orang yang mengikutinya.

Penulis ingin mengucapkan terima kasih sebesar-besarmya kepada :

1. Ibunda tercinta Nurhalimah Br Tarigan yang selalu memberikan dorongan dan semangat serta doa yang tak henti-hentinya diberikan kepada penulis se-hingga penulis merasa tidak terbebani dalam penyelesaian skripsi ini.

2. Bapak Prof. Dr. Saib Suwilo, M.Sc selaku pembimbing 1 dan Ibu Dr. Mardiningsih, M.Si selaku pembimbing 2 yang telah memberikan ilmu yang bermanfaat kepada penulis serta dapat meluangkan waktu, tenaga, dan piki-ran untuk penyusunan skripsi ini.

3. Bapak Prof. Dr. Tulus, M.Si dan Bapak Drs. Marihat Situmorang, M.Kom selaku dosen penguji yang telah memberikan masukan dan saran bermanfaat selama penyusunan skripsi ini.

4. Seluruh Dosen Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara yang telah memberikan ilmu yang bermanfaat kepada penulis selam 4 tahun menimba ilmu dikampus ini.

5. Seluruh staff administrasi Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Uatara yang telah membantu penulis dalam menyelesa-iakn urusan-urusan terkait seminar proposal, seminar hasil, dan ujian skripsi.

6. Rekan-rekan kuliah Matematika stambuk 2012 [MANJA 2012] khususnya kepada 2 teman gokil penulis Abnidar Harun Pohan dan Fakhrul Rozy yang selalu menjadi tempat penulis bertukar pikiran dalam penyelesaian skripsi ini serta 2 teman yang berada dinaungan dosen pembimbing yang sama yaitu Nu-rul Maulida Surbakti dan Raiyani Indah yang selalu berbagi informasi dalam

(6)

bentuk apapun. Terima kasih kepada teman-teman D’Twizter GenkZ (Randy, Citra, Monika, Enov, dan Galih) yang selalu membantu penulis untuk memilih kata-kata yang tepat dalam penyelesaian skripsi ini. Serta semua adik-adik junior yang selalu memberikan semangat kepada penulis. Terima kasih juga kepada kak Ratih, kak Merryanti, kak Mantari yang telah membagikan ilmu terkait dengan materi ini.

Penulis menyadari bahwa masih terdapat banyak kekurangan dalam penulisan skripsi ini. Maka dari itu, diperlukan kritik dan saran dari pembaca untuk penyempurnaan skripsi ini.

Medan, Juli 2016

(7)

BATAS ATAS _M-KOMPETISI INDEKS DARI DIGRAF LINGKARAN

HAMILTONIAN DENGAN BEBERAPA LOOP YANG DILETAKKAN

BERDEKATAN

ABSTRAK

Untuk bilangan bulat positifmdanndengan 1≤m≤n,m-kompetisi indeks dari sebuah digraf primitifD, dinotasikan dengankm(D) adalah bilangan bulat positif

terkecil k sehingga untuk setiap pasang x dan y, terdapatm titik berbeda yaitu v1, v2, v3,· · · , v_m di D sehingga x

k

→ vi dan y k

→ vi untuk setiap i = 1,2,· · · , m.

Tulisan ini membahas mengenai batas atas m-kompetisi indeks dari kelas digraf primitif sDn yaitu digraf dengan n buah titik yang terdiri atas sebuah lingkaran

Hamiltonian dan s buah loop yang diletakkan saling berdekatan. Untuk setiap digraf sDn, diperoleh batas atas km(sDn)≤ f(s, n, m) yaitu fungsi yang

bergan-tung pada s, ndan m.

Kata kunci : Digraf Hamiltonian, loop, m-kompetisi indeks.

(8)

UPPER BOUND OF _M-COMPETITION INDICES OF DIGRAPH

WITH HAMILTONIAN CYCLE WITH SOME LOOPS PUT ADJECENT

ABSTRACT

For positive integers m and n with 1≤m≤n, m-competition indices of a prim-itive digraph D, notated with km(D) is a smallest positive integer such that for

each pairs x dan y, there exist m distinct vertices v1, v2, v3,· · · , v_m in D such that x →k vi and y

k

→ vi for each i = 1,2,· · · , m. This paper discuss an

up-per bound of m-competition indices from a class of primitive digraph sDn which

is digraph with n vertices consist of a Hamiltonian cylce and s loops put adje-cent. For every digraph sDn, we have an upper bound with inequality function

km(sDn)≤f(s, n, m), a function depends on a value of s, nand m.

(9)

DAFTAR ISI

BAB 1. PENDAHULUAN 1

1.1 Latar Belakang 1

1.2 Perumusan Masalah 4

1.3 Tujuan Penelitian 5

1.4 Manfaat Penelitan 5

BAB 2. DIGRAF PRIMITIF 6

2.1 Definisi Digraf 6

2.2 Definisi Digraf Primitif 10

2.3 DigrafsDn Sebagai Digraf Primitif 11

2.4 Definisi M-Kompetisi Indeks 12

2.5 Batas AtasM-Kompetisi Indeks Digraf Primitif 14

BAB 3. METODOLOGI PENELITIAN 18

BAB 4. HASIL DAN PEMBAHASAN 18

4.1 Batas AtasM-Kompetisi Indeks Digraf Hamiltonian 1 buah loop 20 4.2 Batas AtasM-Kompetisi Indeks Digraf Hamiltoniansbuah loop 22

BAB 5. KESIMPULAN DAN SARAN 28

5.1 Kesimpulan 28

5.2 Saran 28

BAB 6. DAFTAR PUSTAKA 29

(10)

DAFTAR GAMBAR

Nomor Judul Halaman

Gambar

1.1 Graf Wielandt 2

1.2 Graf Gr,l 3

1.3 Graf Gr 4

1.4 Digraf sDn 5

2.1 Contoh Digraf D 6

2.2 Digraf 1D4 9

3.1 (a) Digraf 1D_n (b) Digraf _sD_n 18

4.1 Digraf 1D_n 20