IDENTIFIKASI KESULITAN SISWA DALAM MENYELESAIKAN SOAL PADA MATERI APLIKASI TURUNAN UNTUK SISWA KELAS XI IPS 1
SMA BOPKRI II YOGYAKARTA
SKRIPSI
Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Pendidikan Program Studi Pendidikan Matematika
Oleh :
Helena Agustin Putri NIM : 091414024
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA
JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS SANATA DHARMA
i
IDENTIFIKASI KESULITAN SISWA DALAM MENYELESAIKAN SOAL PADA MATERI APLIKASI TURUNAN UNTUK SISWA KELAS XI IPS 1
SMA BOPKRI II YOGYAKARTA
SKRIPSI
Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Pendidikan Program Studi Pendidikan Matematika
Oleh :
Helena Agustin Putri NIM : 091414024
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA
JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS SANATA DHARMA
iv
v
PERNYATAAN KEASLIAN KARYA
Saya menyatakan dengan sesungguhnya bahwa skripsi yang saya tulis ini tidak memuat karya atau bagian karya orang lain, kecuali yang telah disebutkan dalam kutipan dan daftar pustaka, sebagaimana layaknya karya ilmiah.
Yogyakarta, 20 Agustus 2013
Penulis
vi
LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN
PUBLIKASI KARYA ILMIAH UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS
Yang bertanda tangan di bawah ini, saya mahasiswa Universitas Sanata Dharma: Nama : Helena Agustin Putri
NIM : 091414024
Demi pengembangan ilmu pengetahuan, saya memberikan kepada Perpustakaan Universitas Sanata Dharma karya ilmiah saya yang berjudul: IDENTIFIKASI KESULITAN SISWA DALAM MENYELESAIKAN SOAL PADA MATERI APLIKASI TURUNAN UNTUK SISWA KELAS XI IPS 1 SMA BOPKRI II YOGYAKARTA. Dengan demikian saya memberikan kepada Perpustakaan Universitas Sanata Dharma hak untuk menyimpan, mengalihkan dalam bentuk media lain, mengelola di internet atau media lain untuk kepentingan akademis tanpa perlu meminta ijin dari saya maupun memberikan royalty kepada saya selama tetap mencantumkan nama saya sebagai penulis.
Demikian pernyataan ini yang saya buat dengan sebenarnya.
Dibuat di Yogyakarta
Pada tanggal 20 Agustus 2013
Yang menyatakan
vii ABSTRAK
Helena Agustin Putri, 2013. Identifikasi Kesulitan Siswa dalam Menyelesaikan Soal pada Materi Aplikasi Turunan pada Siswa kelas XI IPS 1 SMA Bopkri II Yogyakarta. Skripsi. Program Studi Pendidikan Matematika, Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan, Universitas Sanata Dharma, Yogyakarta.
Penelitian ini bertujuan untuk mengetahui kesulitan – kesulitan yang dialami siswa. Selain itu, penelitian ini juga untuk mengetahui faktor – faktor yang menyebabkan siswa kesulitan dalam menyelesaikan soal pada materi Aplikasi Turunan pada siswa kelas XI IPS 1 SMA Bopkri II Yogyakarta.
Subjek penelitian ini adalah siswa SMA Bopkri II Yogyakarta kelas XI IPS 1 pada tahun ajaran 2012/2013. Terdapat 24 siswa yang mengikuti tes dan 5 siswa yang dipilih untuk subyek wawancara. Penelitian ini menggunakan jenis penelitian kualitatif. Pengumpulan data pada penelitian ini diperoleh dengan cara melakukan observasi sebanyak 6 kali, memberikan tes kepada 24 siswa, melakukan wawancara kepada 5 orang siswa, dan melakukan pengisian kuesioner kepada 23 siswa.
Hasil penelitian ini menunjukkan bahwa pertama, kesulitan yang dilakukan siswa yaitu terdiri atas kesulitan siswa dalam mencari garis singgung (sebanyak 20,55% dari total siswa), kesulitan siswa dalam mengingat rumus kecepatan maksimum (23,29%), kesulitan siswa dalam mencari nilai dan jenis stasioner (20,55%), kesulitan siswa dalam membuat pemodelan (26,03%), serta kesulitan siswa dalam pemfaktoran mencari akar-akar persamaan kuadrat (9,59%). Kedua, faktor-faktor yang menyebabkan siswa kesulitan yaitu beberapa siswa tidak pernah belajar ketika di rumah, siswa malas belajar, sulit menangkap dan mengingat, orang tua kurang membantu belajar, serta teman mengganggu pada saat belajar.
viii ABSTRACT
Agustin Putri, Helena, 2013. The Identification of the Difficulties in Solved Problem in the Topic Application of Derivative of Grade XI Students of the Social Class of Bopkri II Yogyakarta Senior High School. Thesis. Mathematics Education Study Program, Teacher Training Faculty, Sanata Dharma University, Yogyakarta.
This research is aimed to identify the difficulties. Other than that, this research to identify the factors causing difficulties in solved problem in the topic application of derivative of grade XI students of the Social Class of Bopkri II Yogyakarta Senior High School.
The subject of this research are grade XI students of The Social Class of Bopkri II Yogyakarta Senior High School in the academic 2012/2013. There are 24 students who attended the test and 5 students will be interviewed. This research used qualitative method. The data were obtain by doing 6 times class observations, giving test to 24 students, doing interview with 5 students, and giving the questionnaire to 23 students.
The result show that first, the difficulties done by the students were the difficulties to find tangent (as many as 20,55% of all students), the difficulties to memorize formula of the velocity (23,29%), the difficulties to find stationary values and types of stationary values (20,55%), the difficulties to make mathematical problems (26,03%), and the difficulties to find roots of quadratic function (9,59%). The second, factor causing difficulties which happened were some students never study at home, the students are lazy, the students hard to memorize subject, less parents help their child to learn, friends also not support to learn.
ix
KATA PENGANTAR
Puji dan syukur atas rahmat Tuhan Yang Maha Pengasih atas segala rahmat-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan skirpsi ini. skripsi ini diajukan sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar sarjana Pendidikan pada Program Studi Pendidikan Matematika, Jurusan Pendidikan Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan Alam, Universitas Sanata Dharma Yogyakarta.
Penulis dapat menyelesaikan skripsi ini berkat bantuan, bimbingan, serta semangat dari berbagai pihak. Penulis ingin mengucapkan terima kasih kepada :
1. Bapak Dr. M. Andy Rudhito, M.Si, selaku Kaprodi Pendidikan Matematika.
2. Bapak D. Arif Budi Prasetyo, S. Si., M. Si, selaku dosen pembimbing akademik dan dosen pembimbing skripsi yang telah menyediakan waktu, pikiran, dan tenaga untuk memberikan bimbingan. Terima kasih atas segala saran, kritik, dan motivasi yang berguna.
3. Bapak Drs. Sukardjono, M.Pd. dan Bapak Sutrisno, M.Sc, selaku dosen penguji yang telah memberikan masukan dan saran atas perbaikan skripsi. 4. Bapak Agustinus Wuryanto, S.Pd, selaku guru mata pelajaran Matematika
di SMA Bopkri II yang telah membimbing penulis selama penelitian berlangsung.
x
6. Siswa kelas XI IPS 1 SMA Bopkri II Yogyakarta yang telah membantu penulis dalam melaksanakan penelitian.
7. Segenap dosen dan seluruh staf sekretariat Jurusan Pendidikan Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam atas pelayanan dan informasi yang telah diberikan.
8. Keluargaku, Papa, Mama, serta koko dan njul, yang selalu setia memberikan semangat dan doa serta dukungan dalam menyelesaikan skripsi ini.
9. Untuk Vinsen yang telah membantu dalam melaksanakan penelitian di mulai dari observasi hingga penyusunan skripsi dan selalu memberikan semangat.
10.Untuk teman-teman satu bimbingan; Oneng, Yoland, Hendra, Chintia, Putri, Ika, Koko, Ayu; yang selalu memberikan masukan dan dukungan dalam menyelesaikan skripsi.
11.Untuk teman-teman P.Mat ’09; Mia, Retha, Sigit, Yashi, Dhinta, Dian, Yulius, Ulla, dll; atas semangat dan dukungan yang diberikan.
12.Berbagai pihak yang telah banyak membantu penulis sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini.
Semoga skripsi ini dapat memberikan manfaat bagi pembaca. Penulis mengharapkan kritik dan saran yang sifatnya membangun demi perbaikan di masa mendatang.
xi DAFTAR ISI
HALAMAN JUDUL ... i
HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING ... ii
HALAMAN PENGESAHAN ... iii
HALAMAN PERSEMBAHAN ... iv
PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ... v
PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI ... vi
ABSTRAK ... vii
ABSTRACT ... viii
KATA PENGANTAR ... ix
DAFTAR ISI ... xi
DAFTAR TABEL ... xiv
DAFTAR GAMBAR ... xv
DAFTAR LAMPIRAN ... xvii
BAB I PENDAHULUAN ... 1
A. Latar Belakang Masalah ... 1
B. Identifikasi Masalah ... 4
C. Pembatasan Masalah ... 5
D. Rumusan Masalah ... 6
E. Tujuan Penelitian ... 6
F. Pembatasan Istilah ... 6
G. Manfaat Penelitian ... 7
xii
A. Pengertian Belajar dan Pembelajaran... 8
B. Pengertian Mengajar ... 9
C. Faktor-faktor Pendukung Belajar ... 9
D. Hal-hal yang Mempengaruhi Belajar ... 11
E. Pengertian Kesulitan Belajar ... 16
F. Kesulitan Belajar Matematika ... 17
G. Pengertian Kesalahan ... 18
H. Jenis-jenis Kesalahan ... 19
I. Aplikasi Turunan Fungsi ... 22
1. Garis singgung ... 22
2. Maksimum dan Minimum ... 24
3. Kemonotonan dan Kecekungan ... 28
4. Mencari Garis Singgung Kurva dan Nilai Ekstrim Fungsi .. 30
5. Penerapan Ekonomik ... 34
6. Contoh Penerapan Ekonomik ... 35
J. Kerangka Berfikir ... 37
BAB III METODE PENELITIAN ... 38
A. Jenis Penelitian ... 38
B. Tempat dan Waktu Penelitian ... 38
C. Subjek dan Objek Penelitian ... 39
D. Bentuk Data ... 40
E. Metode Pengumpulan Data ... 40
F. Instrumen Penelitian ... 42
G. Teknik keabsahan Instrumen ... 46
H. Prosedur Pelaksanaan Penelitian di Lapangan ... 47
I. Rancangan Penelitian ... 49
J. Metode Analisis data ... 50
BAB IV PEMBAHASAN ... 48
xiii
B. Hasil Observasi ... 54
C. Deskripsi Data Penelitian ... 65
D. Analisis Hasil Penelitian ... 67
1. Analisis dari Hasil Tes Siswa ... 67
2. Analisis dari Hasil Wawancara Siswa ... 76
3. Analisis dari Hasil Kuesioner Siswa ... 91
E. Keterbatasan Penelitian ... 96
BAB V PENUTUP ... 97
A. Kesimpulan ... 97
B. Saran ... 98
DAFTAR PUSTAKA ... 101
xiv
DAFTAR TABEL
Tabel 3.1 Kisi-kisi Soal Tes Matematika ... 43
Tabel 3.2 Instrumen Validitas Observasi ... 46
Tabel 3.3 Instrumen Validitas Soal ... 46
Tabel 3.4 Instrumen Validitas Kuesioner ... 47
Tabel 3.5 Kegiatan yang akan dilaksanakan dalam Penelitian ... 49
Tabel 3.6 Tabel Skor Kuesioner ... 51
Tabel 3.7 Tabel Hasil Kesimpulan Kuesioner ... 52
Tabel 4.1 Kegiatan yang dilaksanakan saat Penelitian ... 53
Tabel 4.2 Tabel Identifikasi Kesalahan dan Kesulitan yang dialami Siswa .. 68
Tabel 4.3 Tabel Perhitungan Analisis Angket Indikator Keaktifan dan Kreatifitas ... 92
Tabel 4.4 Tabel Perhitungan Analisis Angket Indikator Motivasi Internal .... 92
Tabel 4.5 Tabel Perhitungan Analisis Angket Indikator Motivasi Eksternal .. 93
xv
DAFTAR GAMBAR
Gambar 2.1 Garis Singgung ... 22
Gambar 2.2 Garis Singgung kurva y=f(x) dengan Kemiringan ... 23
Gambar 2.3 Fungsi f dan Domain S ... 24
Gambar 2.4 Titik-titik Ujung ... 25
Gambar 2.5 Titik-titik Stasioner ... 26
Gambar 2.6 Titik-titik Singular ... 26
Gambar 2.7 Titik Balik Maksimum, Titik Balik Minimum, Bukan Titik Ekstrim ... 27
Gambar 2.8 Fungsi Naik dan Fungsi Turun ... 28
Gambar 2.9 Fungsi Cekung ke Atas dan Fungsi Cekung ke Bawah ... 29
Gambar 2.10 Titik Belok ... 30
Gambar 4.2.1 Penjelasan Guru tentang Persamaan Garis Singgung ... 55
Gambar 4.2.2 Siswa saat Mengerjakan Latihan Soal... 56
Gambar 4.2.3 Siswa saat Bertanya kepada Guru dan Teman lain ... 58
Gambar 4.2.4 Hasil Pekerjaan Siswa saat Latihan Soal ... 59
Gambar 4.2.5 Siswa saat Belajar di Perpustakaan ... 64
Gambar 4.3.1 Grafik banyak Siswa yang Mengalami Kesulitan ... 75
Gambar 4.4.1 Hasil Pekerjaan Soal nomor 1 siswa A ... 77
Gambar 4.4.2 Hasil Pekerjaan Soal nomor 2 siswa A ... 77
Gambar 4.4.3 Hasil Pekerjaan Soal nomor 3 siswa A ... 78
xvi
Gambar 4.4.5 Hasil Pekerjaan Soal nomor 5 siswa A ... 79
Gambar 4.4.6 Hasil Pekerjaan Soal nomor 3 siswa B ... 80
Gambar 4.4.7 Hasil Pekerjaan Soal nomor 4 siswa B ... 81
Gambar 4.4.8 Hasil Pekerjaan Soal nomor 5 siswa B ... 81
Gambar 4.4.9 Hasil Pekerjaan Soal nomor 1 siswa C ... 82
Gambar 4.4.10 Hasil Pekerjaan Soal nomor 2 siswa C ... 83
Gambar 4.4.11 Hasil Pekerjaan Soal nomor 3 siswa C... 83
Gambar 4.4.12 Hasil Pekerjaan Soal nomor 4 siswa C... 83
Gambar 4.4.13 Hasil Pekerjaan Soal nomor 5 siswa C ... 84
Gambar 4.4.14 Hasil Pekerjaan Soal nomor 2 siswa D ... 85
Gambar 4.4.15 Hasil Pekerjaan Soal nomor 3 siswa D ... 86
Gambar 4.4.16 Hasil Pekerjaan Soal nomor 4 siswa D ... 86
Gambar 4.4.17 Hasil Pekerjaan Soal nomor 5 siswa D ... 87
Gambar 4.4.18 Hasil Pekerjaan Soal nomor 1 siswa E ... 88
Gambar 4.4.19 Hasil Pekerjaan Soal nomor 2 siswa E ... 88
Gambar 4.4.20 Hasil Pekerjaan Soal nomor 3 siswa E ... 89
Gambar 4.4.21 Hasil Pekerjaan Soal nomor 4 siswa E ... 89
xvii
DAFTAR LAMPIRAN
Lamp. 1 Surat Keterangan Selesai Penelitian ... 104
Lamp. 2 Surat Permohonan Ijin Penelitian ... 105
Lamp. 3 Soal Ulangan Matematika ... 106
Lamp. 4 Jawaban Soal Tes Matematika ... 107
Lamp. 5 Daftar Nilai Ulangan Matematika ... 111
Lamp. 6 Lembar Jawab Siswa D ... 112
Lamp. 6 RPP dan Silabus ... 114
Lamp. 7 Lembar Kuesioner Keaktifan, Kreatifitas, Motivasi, dan Afektif Siswa ... 133
Lamp. 8 Validitas Instrumen Observasi Aktivitas di Kelas oleh Guru ... 135
Lamp. 9 Validitas Instrumen Observasi Aktivitas di Kelas oleh Dosen ... 136
Lamp. 10 Validitas Instrumen Soal oleh Guru ... 137
Lamp. 11 Validitas Instrumen Soal oleh Dosen ... 138
Lamp. 12 Validitas Kuesioner Keaktifan, Motivasi Internal, Motivasi Eksternal dan Afektif oleh Dosen ... 139
Lamp. 13 Validitas Kuesioner Keaktifan, Motivasi Internal, Motivasi Eksternal dan Afektif oleh Guru ... 140
Lamp. 15 Instrumen Observasi Aktivitas di Kelas Pertemuan 1 ... 145
1 BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang Masalah
Menurut Standar Kompetensi Kurikulum 2004 (2003:1), perkembangan ilmu pengetahuan dan teknologi memungkinkan semua pihak dapat memperoleh informasi dengan melimpah, cepat dan mudah dari berbagai sumber. Dengan demikian siswa perlu memiliki kemampuan memperoleh, memilih dan mengelola informasi untuk bertahan pada keadaan yang selalu berubah. Kemampuan ini membutuhkan pemikiran kritis, sistematis, logis, kreatif dan kemauan bekerjasama yang efektif. Cara berfikir seperti ini dapat dikembangkan melalui belajar matematika karena matematika memiliki struktur dan keterkaitan yang kuat dan jelas antar konsepnya sehingga memungkinkan siswa terampil berfikir rasional.
Adapun tujuan umum diberikannya matematika di jenjang pendidikan dasar dan pendidikan umum adalah mempersiapkan siswa agar sanggup menghadapi perubahan keadaan di dalam kehidupan dan dunia yang selalu berkembang serta mempersiapkan siswa agar dapat menggunakan matematika dan pola pikir matematika (berfikir logis dan kreatif) dalam kehidupan sehari-hari dan dalam mempelajari berbagai ilmu pengetahuan, menurut Soedjadi (1999/2000 : 43).
diperlukan dalam kehidupan sehari-hari. Matematika juga berfungsi mengembangkan kemampuan mengkomunikasikan gagasan melalui model matematika yang dapat berupa kalimat dan dapat berupa kalimat dan persamaan matematika, diagram, grafik, atau tabel.
Dalam pembelajaran di sekolah, pelajaran matematika masih merupakan pelajaran yang dianggap sulit bagi seluruh siswa, dari pendidikan dasar hingga pendidikan lanjut. Pelajaran matematika yang matematis (abstrak) membuat siswa kesulitan untuk memahami serta mengerti konsep matematika yang diajarkan. Oleh karena itu, pemahaman konsep secara utuh merupakan suatu hal yang penting bagi siswa dalam pembelajaran matematika sehingga siswa tidak mengalami kesulitan dalam mengerjakan soal-soal matematika. Dalam pembelajaran di kelas, siswa juga membutuhkan motivator untuk memotivasi siswa semangat belajar ataupun fasilitator untuk menyampaikan konsep agar tersampaikan dengan baik. Fasilitator tersebut haruslah mempunyai metode yang tepat dalam menyampaikan pembelajaran matematika sehingga siswa tidak mengalami kesalahan maupun kesulitan pada saat menyelesaikan suatu masalah.
bidang non akademik misalnya bermusik, cheer leaders, dll. Ketika penulis mengamati siswa jurusan IPS pada saat mengerjakan soal, mereka sering melakukan banyak kesalahan-kesalahan seperti kurang teliti menghitung, salah menggunakan rumus, maupun kurang paham dengan konsep pelajarannya.
Hal serupa juga dialami oleh guru matematika yang mengajar di SMA Bopkri II Yogyakarta. Menurut pengalaman guru yang telah mengajar di kelas IPS, banyak siswa yang kesulitan dalam belajar khususnya pelajaran matematika. Siswa IPS cenderung mengabaikan pelajaran matematika sehingga mereka tidak mau belajar sendiri dirumah ataupun kurang ada kemauan untuk berusaha memecahkan masalah sendiri. Meskipun terdapat siswa yang mau berusaha tetapi kebanyakan siswa mau berusaha ketika disuruh oleh guru saja. Guru juga merasa kesulitan mengajar pada kelas IPS sekarang dikarenakan kemampuan siswa yang kurang cepat dalam memahami materi sehingga guru pelan-pelan dalam mengajar.
terdapat 27 siswa. Terdapat dua guru matematika yang tersedia dan mencukupi untuk pembelajaran.
Pada pelajaran matematika SMA kelas XI IPS pada materi turunan fungsi, terdapat banyak konsep yang membutuhkan ketelitian serta kepahaman siswa terhadap rumus-rumus yang ada, terutama pada pengaplikasian turunan tersebut. Dalam menyelesaikan soal-soal tentang aplikasi turunan ini, dapat diselesaikan dengan pemahaman siswa mengenai turunan fungsi yang telah dipelajari. Jika dalam menurunkan fungsi salah atau belum mengerti, maka siswa dalam perhitungan aplikasinya pun akan mengalami kesulitan dan membuat kesalahan.
Dari paparan yang telah diuraikan, peneliti merasa tertarik untuk meneliti tentang kesulitan yang dialami siswa berdasarkan kesalahan yang mereka buat pada materi Aplikasi Turunan pada siswi di kelas XI IPS 1 SMA Bopkri II Yogyakarta.
B. Identifikasi Masalah
Berdasarkan latar belakang yang telah diuraikan ada beberapa masalah yang menyebabkan kesulitan belajar yang dialami oleh siswa. Masalah-masalah yang terkait :
2. Tampak bahwa siswa kurang paham dengan konsep pelajaran aplikasi turunan fungsi dikarenakan banyak siswa yang hanya menyontek hasil pekerjaan teman.
3. Anggapan umum yang jelek mengenai matematika yang sulit dipelajari sehingga siswa tidak bersemangat untuk belajar matematika.
4. Hampir seluruh siswa di kelas tidak niat belajar matematika, terlihat dari sikap mereka yang hanya menyontek, bermain HP, dan mengobrol pada saat pembelajaran berlangsung.
5. Sulitnya materi aplikasi turunan fungsi bagi siswa jurusan IPS, terlihat ketika peneliti mewawancarai 5 siswa.
6. Masih terdapat kesalahan-kesalahan yang dilakukan siswa dalam mengerjakan soal terutama pelajaran matematika terlihat dari siswa yang kurang percaya diri dalam mengerjakan soal.
C. Pembatasan Masalah
D. Rumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang diatas, maka dapat dirumuskan permasalahan : 1. Apa saja kesulitan – kesulitan yang dialami siswa dalam
menyelesaikan soal pada materi Aplikasi Turunan?
2. Faktor-faktor apa saja yang mempengaruhi siswa kesulitan dalam menyelesaikan soal pada materi Aplikasi Turunan?
E. Tujuan Penelitian
1. Untuk mengetahui kesulitan – kesulitan yang dialami siswa dalam mengerjakan soal-soal Aplikasi Turunan.
2. Untuk mengetahui faktor – faktor yang mempengaruhi siswa kesulitan dalam menyelesaikan soal pada materi Aplikasi Turunan.
F. Batasan Istilah
Dalam penelitian ini dibatasi istilah: 1. Kesulitan
dari kesalahan – kesalahan yang dilakukan siswa pada saat mengerjakan soal.
2. Aplikasi
Menurut kamus besar Bahasa Indonesia, aplikasi adalah penggunaan; penerapan. Pada penelitian ini, aplikasi yang dimaksud adalah penggunaan diferensial pada materi Turunan. 3. Diferensial (Turunan)
Menurut kamus besar Bahasa Indonesia, diferensial adalah bersangkutan dengan, menunjukan, atau menghasilkan perbedaan. Materi Diferensial disini meliputi: gradient garis singgung, fungsi naik dan fungsi turun, nilai stasioner dan jenis stasioner.
G. Manfaat Penelitian 1. Bagi peneliti
Dapat menambah wawasan serta pengetahuan dalam pembelajaran matematika khususnya dalam materi Aplikasi Turunan sehingga pengetahuan yang didapat peneliti akan menjadi bahan pertimbangan dalam memilih metode pembelajaran yang tepat dalam membantu siswa belajar.
2. Bagi Guru
Penelitian ini bermanfaat bagi guru dalam membantu guru untuk mengetahui kesalahan-kesalahan dan kesulitan-kesulitan yang
8 BAB II
LANDASAN TEORI
A. Pengertian Belajar dan Pembelajaran
Belajar merupakan suatu usaha sadar individu untuk mencapai tujuan peningkatan diri melalui latihan-latihan dan pengulangan– pengulangan dan perubahan yang terjadi bukan karena peristiwa kebetulan (Mulyati, 2005:5).
Menurut Winkel (2009:59), Belajar adalah suatu aktivitas mental/psikis, yang berlangsung dalam interaksi aktif dengan lingkungan, yang menghasilkan sejumlah perubahan dalam pengetahuan-pemahaman, ketrampilan, dan nilai sikap. Perubahan itu bersifat secara relatif konstan dan berbekas. Perolehan perubahan itu dapat berupa suatu hasil yang baru atau pula penyempurnaan terhadap hasil yang diperoleh. Hasil belajar dapat berupa hasil yang utama; dapat juga berupa hasil sebagai efek sampingan. Proses belajar dapat berlangsung dengan penuh kesadaran, dapat juga tidak demikian.
kesadaran akan kemampuan untuk menggunakan pola penalaran yang terlibat dalam pembentukan dan pengujian pengetahuan konseptual itu. B. Pengertian Mengajar
Menurut Slameto (2010:29), Mengajar adalah merupakan salah satu komponen dari kompetensi-kompetensi guru dan setiap guru harus menguasainya serta terampil melaksanakan mengajar itu. Siswa setelah mengalami proses pendidikan dan pengajaran diharapkan akan menjadi manusia dewasa yang sadar tanggung jawab terhadap diri sendiri, wiraswasta, berpribadi, dan bermoral. Mengingat tugas berat itu, guru yang mengajar di depan kelas harus mempunyai prinsip-prinsip mengajar dan harus dilaksanakan seefektif mungkin agar guru tidak asal mengajar. Prinsip-prinsip yang diperlukan untuk mengajar yaitu : perhatian, aktivitas, appersepsi, peragaan, repetisi, korelasi, konsentrasi, sosialisasi, individualisasi, evaluasi.
C. Faktor-faktor Pendukung Belajar 1. Kurikulum
2. Metode Mengajar
Metode mengajar adalah suatu cara atau jalan yang harus dilalui di dalam mengajar. Metode mengajar itu sangat mempengaruhi belajar. Guru biasa mengajar dengan metode ceramah saja, siswa akan menjadi bosan, mengantuk, pasif, dan hanya mencatat saja. guru yang progresif berani mencoba metode-metode baru akan dapat membantu meningkatkan kegiatan belajar dan meningkatkan motivasi siswa untuk belajar (Slameto, 2010:65).
3. Pelayanan Sekolah
Yang termasuk dalam pelayanan sekolah yaitu keadaan gedung sekolah, fasilitas sekolah berupa laboratorium; ruang kelas; lapangan; alat belajar; dsb, serta waktu sekolah. Hal-hal tersebut dapat mendukung proses pembelajaran siswa. Jika pelayanan tersebut baik dan tepat maka siswa akan dapat belajar dengan baik. 4. Mass Media
D. Hal-hal yang Mempengaruhi Belajar
Menurut Slameto (2010:54) terdapat dua golongan faktor-faktor yang mempengaruhi siswa belajar, yaitu faktor intern dan faktor ekstern.
1. Faktor Intern (faktor dari dalam siswa) a. Bakat
Bakat adalah kemampuan untuk belajar. Kemampuan itu baru akan terealisasi menjadi kecakapan yang nyata sesudah belajar dan berlatih. Jika bahan pelajaran yang dipelajari siswa sesuai dengan bakatnya, maka hasil belajarnya lebih baik karena ia senang belajar dan pastilah selanjutnya ia lebih giat lagi dalam belajarnya.
b. Intelegensi (IQ)
Intelegensi adalah kecakapan yang terdiri dari tiga jenis yaitu kecakapan untuk menghadapi dan menyesuaikan ke dalam situasi yang baru dengan cepat dan efektif, mengetahui/menggunakan konsep-konsep yang abstrak secara efektif, mengetahui relasi dan mempelajarinya dengan cepat.
c. Minat
pengaruhnya terhadap belajar, karena bila bahan pelajaran yang dipelajari tidak sesuai dengan minat siswa, siswa tidak akan belajar dengan sebaik-baiknya, karena tidak adanya daya tarik baginya.
d. Sikap
Menurut Muhhibin Syah (2008:149), sikap adalah gejala internal yang berdimensi afektif berupa kecenderungan untuk mereaksi atau merespons dengan cara yang relative tetap terhadap objek orang, barang, dan sebagainya, baik secara positif, maupun negatif. Sikap siswa yang positif, terutama kepada guru dan mata pelajaran merupakan pertanda awal yang baik bagi proses belajar siswa tersebut. Sebaliknya, sikap negatif siswa terhadap guru dan dan mata pelajaran, apalagi diiringi dengan kebencian dapat menimbulkan kesulitan belajar siswa tersebut.
e. Motivasi
menyenangi materi dan kebutuhannya terhadap materi tersebut). Motivasi ekstrinsik adalah hal dan keadaan yang datang dari luar individu siswa yang juga mendorongnya untuk melakukan kegiatan belajar. Pujian dan hadiah, peraturan/ tata tertib sekolah, orang tua, guru, dan sebagainya merupakan contoh motivasi ekstrinsik yang dapat menolong siswa belajar.
2. Faktor Ekstern (faktor dari luar diri siswa) a. Guru
Proses belajar mengajar terjadi antara guru dengan siswa. Proses tersebut juga dipengaruhi oleh relasi yang ada dalam proses itu sendiri. Jadi cara belajar siswa juga dipengaruhi oleh relasi dengan gurunya. Guru yang kurang berinteraksi dengan siswa secara akrab, menyebabkan proses belajar mengajar menjadi kurang lancar. Juga siswa merasa jauh dari guru, maka segan berpartisipasi secara aktif dalam belajar. (Slameto, 2010:66)
b. Orang tua
atau tidak dilakukan oleh orang tua, kemungkinan besar menyebabkan anak tidak/kurang berhasil dalam belajarnya. (mengacu pada Slameto, 2010:60)
c. Teman
Siswa yang mempunyai sifat-sifat atau tingkah laku yang kurang menyenangkan teman lain, mempunyai rasa rendah diri atau mengalami tekanan batin, akan diasingkan dari kelompok. Akibatnya masalah yang dialami akan semakin buruk dan akan mengganggu belajarnya. Bahkan bisa terjadi siswa tersebut menjadi malas masuk sekolah dengan alasan yang tidak-tidak dikarenakan mendapatkan perlakuan yang tidak baik dari teman-temannya. Sebaiknya siswa yang mengalami hal seperti ini segera diberi bimbingan agar bisa kembali diterima ke dalam kelompoknya. Menciptakan relasi yang baik antar siswa perlu adanya, agar dapat memberikan pengaruh yang positif terhadap belajar siswa (Slameto, 2010:66).
d. Lingkungan
suara pabrik, polusi udara, semuanya ini akan mempengaruhi kegairahan belajar. Sebaliknya, tempat yang sepi dengan iklim yang sejuk, akan menunjang proses belajar (Dalyono, 2010:60).
3. Prasyarat Mata Pelajaran a. Limit Fungsi Aljabar
Teorema Limit :
1) Jika maka (untuk setiap
konstanta k dan a bilangan real).
2) Jika maka (untuk setiap a
bilangan real).
3) Jika k suatu konstanta maka
4)
5)
, dengan
6)
, dengan
b. Sifat-sifat Turunan 1)
2)
3) 4) 5)
6)
7)
E. Pengertian Kesulitan Belajar
Menurut Kamus Besar Bahasa Indonesia, kesulitan adalah keadaan yang sulit; sesuatu yang sulit; kesukaran; dan kesusahan. Yang dimaksud dari kesulitan belajar pada penelitian ini adalah kesukaran atau kurang pahamnya siswa ketika berusaha untuk memahami pada materi aplikasi turunan fungsi.
Prestasi belajar yang memuaskan dapat diraih oleh setiap anak didik jika mereka dapat belajar secara wajar, terhindar dari berbagai ancaman, hambatan, dan gangguan. Ancaman, hambatan, dan gangguan hanya dialami oleh anak didik tertentu sehingga mereka mengalami kesulitan dalam belajar. Kesulitan belajar yang dirasakan oleh anak didik bermacam-macam, yang dapat dikelompokan menjadi em[at macam, yaitu 1. Dilihat dari jenis kesulitan belajar : ada yang berat, ada yang
2. Dilihat dari mata pelajaran yang dipelajari: ada yang sebagian mata pelajaran, ada yang sifatnya sementara.
3. Dilihat dari sifat kesulitannya : ada yang sifatnya menetap, ada yang sifatnya sementara.
4. Dilihat dari segi faktor penyebabnya : ada yang karena faktor intelegensi, ada yang karena faktor non-intelegensi.
Bermacam-macam kesulitan belajar sebagaimana disebutkan sering ditemukan di sekolah. Apalagi jika suatu sekolah dengan sarana dan prasarana yang kurang lengkap, tenaga guru seadanya, dan daya tamping anak didik melebihi daya tampung sekolah.
Berdasarkan uraian di atas, dapat disimpulkan bahwa kesulitan belajar adalah suatu kondisi di mana anak didik tidak dapat belajar secara wajar, disebabkan adanya ancaman, hambatan, ataupun gangguan dalam belajar (Syaiful, 2011:233).
F. Kesulitan Belajar Matematika
jawaban terhadap masalah yang dihadapi manusia; kemampuan untuk menghitung.
Kesulitan belajar matematika sering disebut juga disleksia, dan kesulitan belajar matematika yang berat disebut aleksia. Ada beberapa karakteristik anak berkesulitan belajar matematika yaitu gangguan dalam memahami hubungan keruangan, abnormalitas persepsi visual, gangguan asosiasi visual-motor (kesulitan anak dalam menghitung benda-benda secara berurutan), perseverasi (gangguan yang dialami anak ketika anak tersebut perhatiannya melekat pada suatu objek saja dalam jangka waktu yang relatif lama), kesulitan mengenal dan memahami simbol, gangguan penghayatan tubuh, dan kesulitan dalam bahasa dan membaca.
G. Pengertian Kesalahan
Menurut Kamus Besar Bahasa Indonesia, kesalahan adalah perihal salah; kekeliruan; kealpaan; tidak sengaja (berbuat sesuatu).
Menurut Nonny (2011:9), kesalahan matematika adalah pemahaman yang tidak tepat atau tidak rasional dalam mempelajari suatu masalah sehingga akan menimbulkan banyak kesulitan yang akan dihadapi bahkan masalah yang tidak dapat diselesaikan dengan baik.
H. Jenis-jenis Kesalahan
Terdapat 6 gambaran dari kesalahan untuk mengklasifikasi kesalahan-kesalahan yang biasa terjadi pada siswa sekolah menengah menurut Hadar (1987) dalam jurnal An Empirical Classification Model for Errors in High School Mathematics yaitu:
1. Kesalahan menggunakan data
Kesalahan yang biasa terjadi pada kategori ini adalah ketidaksesuaian siswa pada saat menggunakan data dari yang diketahui dengan apa yang ditangkap oleh siswa. Karakteristik yang meliputi kesalahan data:
a. Kurang tepatnya siswa menyalin data dari soal atau buku paket
b. Siswa menambahkan data-data yang tidak sesuai
c. Menyatakan suatu syarat yang tidak ada / tidak sesuai pada suatu permasalahan
2. Kesalahan menggunakan bahasa
Kesalahan yang biasa dilakukan pada kategori ini adalah kesalahan siswa dalam mengartikan simbol matematika ke dalam bahasa sehari-hari ataupun sebaliknya. Misalkan banyak terjadi pada saat siswa mengerjakan soal cerita yang ingin diterjemahkan kedalam bentuk matematis.
Jenis kesalahan ini adalah kesalahan yang biasa dilakukan siswa pada saat menarik kesimpulan dari suatu masalah yang diberikan. 4. Kesalahan menggunakan teorema atau definisi
Kesalahan ini biasa dilakukan siswa pada saat menyelesaikan permasalahan yang menuntut menggunakan rumus, teorema, prinsip, ataupun definisi matematika. Siswa melakukan kesalahan ketika menggunakan rumus ataupun teorema yang tidak sesuai dengan permasalahannya. Kesalahan ini mungkin akan banyak terjadi pada penelitian ini dikarenakan siswa dituntut untuk memahami rumus-rumus turunan serta aplikasi turunan fungsi. 5. Penyelesaian yang tidak diperiksa kembali
Jenis kesalahan ini biasa terjadi ketika hasil akhir dari permasalahan tidak sesuai dengan cara penyelesaian yang sudah dikerjakan. Hal ini terjadi ketika siswa mengerjakan soal secara terburu-buru sehingga tidak dikoreksi kembali hasil pekerjaannya. 6. Kesalahan teknis
Kesalahan teknis yang mungkin terjadi adalah kesalahan perhitungan. Kesalahan perhitungan ini merupakan kesalahan yang paling sering dilakukan siswa dan peluangnya cukup besar.
Dari penjelasan jenis-jenis kesalahan menurut Hadar, jenis-jenis kesalahan yang mungkin terjadi pada penelitian ini adalah :
1. Kesalahan menggunakan data
Contohnya: Soal yang diberikan yaitu
. Siswa pada saat mengerjakan soal menulis pada lembar
jawabannya adalah . Dalam hal ini
meskipun salahnya kecil tetapi fatal hasilnya.
2. Kesalahan menggunakan teorema atau definisi (konsep)
Kesalahan siswa dalam menggunakan rumus-rumus persamaan pada gradien fungsi, kesalahan siswa dalam memahami syarat fungsi naik / fungsi turun, kesalahan siswa dalam menggunakan rumus untuk mencari titik ekstrim.
Contohnya: Siswa salah menggunakan rumus atau syarat yang pada pengerjaan soal. Pada soal disuruh mencari gradien garis singgung yang tegak lurus dengan garis lain. Siswa tersebut
mengerjakannya menggunakan syarat sejajar yaitu . Hal ini dapat dilihat siswa tidak paham dengan syarat gradient garis singgung tersebut.
3. Kesalahan menggunakan bahasa
Kesalahan siswa ketika siswa kurang dapat mengartikan soal dengan baik. Contohnya: Siswa tidak paham dengan soal yang diberikan sehingga siswa tidak mengerjakan soal tersebut.
4. Penyelesaian yang tidak dikoreksi kembali
tidak dalam bentuk yang paling sederhana. Contohnya : siswa menjawab persamaan garis singgungnya adalah y – 2 = 3x + 10. Seharusnya persamaan garis singgung tersebut masih dapat disederhanakan lagi menjadi y = 3x + 12.
5. Kesalahan teknis yaitu kesalahan dalam perhitungan untuk menyelesaikan suatu masalah. Contohnya: Terdapat soal . Jawaban yang benar adalah 27, tetapi siswa menjawab 9. Ataupun masalah tanda yang biasa dilakukan siswa, 2x = -6, x = 3.
I. Aplikasi Turunan Fungsi
1. Garis Singgung
Andaikan P adalah suatu titik tertentu pada sebuah kurva dan andaikan Q adalah sebuah titik berdekatan yang dapat dipindah-pindahkan pada kurva yang diberikan oleh Gambar 2.1.
Gambar 2.1. Garis singgung
. Garis yang melalui P dan Q, disebut tali busur. Garis singgung di P adalah posisi pembatas dari tali busur itu bila Q bergerak ke arah P sepanjang kurva yang diilustrasikan pada Gambar 2.2.
Garis singgung Tali busur Q
Q
Gambar 2.2. Garis singgung kurva y = f(x) dengan kemiringan .
Andaikan kurva tersebut adalah grafik dari persamaan maka P mempunyai koordinat , titik Q
didekatnya mempunyai koordinat dan tali
busur yang melalui P dan Q mempunyai kemiringan yang
diberikan oleh gambar diatas.
Akibatnya garis singgung, jika tidak tegak lurus, adalah garis yang melalui P dengan kemiringan yang memenuhi
Dengan mengetahui kemiringan garis dan titik pada garis itu, secara mudah kita dapat menuliskan persamaannya dengan memakai bentuk kemiringan titik yaitu,
P
(c+h, f(c+h))
(c,f( c))
c+h c
Q
f(c+h)-f( c)
Garis singgung
h y = f(x)
2. Maksimum dan Minimum
Andaikan kita mengetahui fungsi f dan domain S seperti gambar dibawah ini:
Gambar 2.3. Fungsi f dan domain S
Teorema 1(Purcell & Verberg, 1998:186)
Jika f kontinu pada selang tertutup , maka f mencapai nilai maksimum dan nilai minimum.
Definisi 2: (Purcell & Verberg, 1998:185;202)
Andaikan S, daerah asal f, memuat titik c. Dapat dikatakan bahwa: i. adalah nilai maksimum f pada S jika
untuk semua x di S.
ii. adalah nilai minimum f pada S jika untuk
semua x di S.
iii. adalah nilai ekstrim f pada S jika ia adalah nilai maksimum atau nilai minimum.
iv. nilai maksimum lokal (relatif) jika terdapat selang (a, b) yang memuat c sedemikian sehingga adalah nilai
maksimum f pada (a, b) ∩ S S y
v. nilai minimum lokal (relatif) jika terdapat selang (a, b) yang memuat c sedemikian sehingga adalah nilai minimum f pada (a, b) ∩ S
vi. nilai ekstrim lokal f jika ia berupa nilai maksimum lokal atau minimum lokal.
Nilai – nilai Ekstrim
Fungsi yang dimaksimumkan atau diminimumkan akan mempunyai selang I sebagai daerah asalnya. Beberapa selang ini memuat titik ujung. Misalnya, memuat titik ujung dua-duanya; hanya memuat titik ujung kiri; tidak memuat titik ujung satupun. Nilai-nilai ekstrim sebuah fungsi yang didefinisikan pada selang tertutup sering kali terjadi pada titik-titik ujung.
Gambar 2.4. Titik-titik ujung
Jika c sebuah titik pada mana f’(c) = 0, kita sebut c titik
stasioner. Pada titik stasioner, grafik f mendatar, karena garis
Maks
Min
singgung mendatar. Nilai-nilai ekstrim sering sekali terjadi pada titik-titik stasioner.
Gambar 2.5. Titik-titik Stasioner
Jika c adalah titik dalam dari I dimana f’ tidak ada, kita
sebut c titik singular. Ini merupakan titik dimana grafik f mempunyai sudut tajam, garis singgung vertikal, atau mungkin berupa lompatan. Nilai ekstrim dapat terjadi pada titik singular.
Gambar 2.6. Titik-titik Singular Teorema 3(Purcell & Verberg, 1998:187)
Maks
Min
Titik-titik stasioner
Maks
Titik-titik singular
Andaikan f didefinisikan pada selang I yang memuat titik c. jika f(c) adalah titik ekstrim, maka c haruslah suatu titik kritis; yakni c berupa salah satu:
i. Titik ujung dari I
ii. Titik stasioner dari f (f’(c) =0) iii. Titik singular dari f (f’(c) tidak ada)
Jadi kita dapat menyatakan suatu prosedur untuk menghitung nilai maksimum atau nilai minimum suatu fungsi kontinu f pada selang tertutup I.
Langkah I : Carilah titik-titik kritis dari f pada I
Langkah II : Hitunglah f pada setiap titik kritis. Yang terbesar
adalah nilai maksimum; yang terkecil adalah nilai minimum.
Berikut ini gambar suatu titik yang dinamakan titik balik maksimum dan titik balik minimum (titik ekstrim):
Gambar 2.7. Titik balik maksimum, Titik balik minimum, Bukan titik ekstrim
c
f (c ) → nilai balik maksimum
(c, f (c )) adalah titik balik maksimum
c
f (c ) →nilai balik
minimum
(c, f(c )) adalah titik balik minimum
c
f(c )→ bukan titik
ekstrim
3. Kemonotonan dan Kecekungan
Definisi 4 (Purcell & Verberg, 1998:193)
Andaikan f terdefinisi pada selang I (terbuka, tertutup, atau tak satupun). Kita katakan bahwa:
i. f adalah naik pada I jika untuk setiap pasang bilangan
dan dalam I,
ii. f adalah turun pada I jika untuk setiap pasang bilangan dan dalam I,
iii. f monoton murni pada I jika ia naik pada I atau turun pada I.
Turunan pertama dan kemonotonan
Gambar 2.8. Fungsi Naik dan Fungsi Turun
Turunan pertama memberi kita kemiringan dari garis
singgung pada grafik f di titik x. Kemudian jika , garis
Turun
Naik
c
y=f(x)
x y
x 0
f’(x)>0 f’(x)<0 y
- - +
singgung naik ke kanan. Serupa jika , garis singgung jatuh ke kanan.
TeoremaKemonotonan (dalam Purcell & Verberg, 1998:194) Andaikan f kontinu pada selang I dan dapat di deferensialkan pada setiap titik dalam dari I.
i. Jika untuk semua titik dalam x dari I, maka f naik pada I.
ii. Jika untuk semua titik dalam x dari I, maka f turun pada I.
Turunan kedua dan kecekungan
Definisi (dalam Purcell & Verberg, 1998:196)
Andaikan f terdeferensial pada selang terbuka I = (a,b). Jika f’ naik pada I, f (dan grafiknya) cekung ke atas; jika f’ turun pada I, f cekung ke bawah pada I.
Berikut ini gambar diagram yang menjelaskan mengenai kecekungan.
Gambar 2.9. Fungsi Cekung ke atas dan Fungsi Cekung ke bawah
Cekung ke atas
f’ naik : Cekung ke atas f’ turun : Cekung ke bawah Cekung ke
Teorema 5(Purcell & Verberg, 1998:196)
Andaikan f terdeferensial dua kali pada selang terbuka (a, b).
i. Jika untuk semua x dalam (a, b), maka f cekung ke atas pada (a, b)
ii. Jika untuk semua x dalam (a, b), maka f cekung ke bawah pada (a, b)
Titik Belok
Andaikan f kontinu di c. Kita sebut (c,f(c)) suatu titik belok dari grafik f jika f cekung ke atas pada satu sisi dan cekung ke bawah pada sisi lainnya dari c.
Berikut grafik yang menjelaskan mengenai titik balik.
Gambar 2.10. Titik Belok
4. Mencari garis singgung kurva dan nilai ekstrim fungsi Berikut ini contoh-contoh penyelesaian soal :
Cekung ke atas Cekung
ke bawah Cekung
ke bawah Cekung
ke atas Cekung
ke bawah Cekung
ke atas
a. Cari persamaan garis singgung pada kurva y= di titik
( , 1).
Penyelesaian
Turunan dari , adalah
Sehingga diperoleh gradient garis singgung kurva di (
adalah .
Dengan mengetahui kemiringan garis ( dan titik
pada garis itu, secara mudah dapat menulikan
persamaan dengan memakai bentuk kemiringan titik
. Hasilnya adalah .
b. Carilah nilai maksimum dan minimum dari
pada .
Penyelesaian
Titik-titik kritis fungsi:
y =
P
Titik ujung selang adalah
Titik stasioner
Tidak terdapat titik singular
Jadi, titik-titik kritisnya adalah . Selanjutnya,
masukan titik-titik kritis tersebut pada fungsi objektif:
Jadi, nilai maksimum adalah 1 (dicapai pada ) ;
nilai minimum adalah (dicapai pada 2).
c. Jika , cari di mana f naik, turun,
cekung ke atas dan cekung ke bawah serta titik balik? Penyelesaian
Turunan pertama dan kedua fungsi adalah :
Titik pemisah selang untuk mencari fungsi naik atau turun
Sehingga diperoleh . Nilai turunan
pertama untuk masing-masing interval diilustrasikan oleh gambar berikut:
Jadi, naik pada (-∞,-1] dan [3,∞) dan turun pada [-1,3]
Titik pemisah selang untuk mencari cekung ke atas dan cekung ke bawah diperoleh dari f”(x)=0, maka
Sehingga diperoleh x=1. Nilai turunan kedua untuk masing-masing interval diilustrasikan oleh gambar berikut:
Jadi, cekung ke atas pada (1,∞), cekung ke bawah pada
(-∞,1).
Titik (1, ) adalah titik belok karena f”(x)<0 untuk x<1 dan
f”(x)>0 untuk x>1. Jadi, kecekungan berubah arah di (1, ).
Sketsa grafiknya:
f(x)= x3– x2– 3x +4
(1, )
1
f” - +
- - -
+++ +++
-1 3
f
5. Penerapan Ekonomik
Setiap bidang ilmu mempunyai bahasanya sendiri-sendiri. Kita akan menemukan bahwa banyak masalah ekonomi sebenarnya merupakan masalah kalkulus biasa. Pandang sebuah perusahaan khas, PT. ABC. Untuk memudahkan, anggap bahwa ABC menghasilkan dan memasarkan sebuah barang. Jika ABC menjual x satuan barang tahun ini, ABC akan mampu membebankan harga, p(x) untuk tiap satuan. Kita tunjukan bahwa p tergantung pada x
karena bilamana ABC memperbesar keluarannya, kemungkinan ABC akan perlu mengurangi harga tiap satuan agar dapat menjual seluruh hasil keluarannya. Pendapatan total yang dapat diharapkan ABC diberikan oleh R(x) = xp(x), banyak satuan kali harga tiap satuan.
Untuk memproduksi dan memasarkan x satuan, ABC akan mempunyai biaya total C(x). Ini biasanya jumlah dari biaya tetap (keperluan kantor, pajak bangunan, dsb) ditambah biaya variabel, yang secara langsung tergantung pada banyaknya satuan yang diproduksi. Konsep dasar untuk sebuah perusahaan adalah total laba P(x), yakni selisih antara pendapatan dan biaya.
alasan bahwa ilmu ekonomi sedikit kurang sempurna. Suatu masalah yang berkaitan dengan seorang pakar ekonomi adalah bagaimana mendapatkan rumus untuk fungsi-fungsi C(x) dan p(x).
dalam hal sederhana, C(x) dapat berbentuk .
Jika demikian, 10.000 merupakan biaya tetap dan 50 merupakan biaya langsung dari setiap unit yang diproduksi.
6. Contoh Penerapan Ekonomik
Sebuah proyek bangunan dapat diselesaikan dalam tempo x
hari dengan biaya proyek per hari sama dengan
40 juta rupiah. Tentukan biaya total yang minimum.
Penyelesaian
Misalkan biaya total itu B, maka B sebagai fungsi x ditentukan oleh
Turunan pertama dan kedua B(x) terhadap x adalah: dan
Syarat perlu ekstrim diperoleh dari B’(x) = 0
Jadi, biaya total yang minimum adalah 800 juta rupiah dan proyek itu diselesaikan dalam tempo hari.
Suatu perusahaan memproduksi x unit barang dengan biaya
( dalam ribuan rupiah untuk setiap unit. Jika
barang tersebut terjual habis dengan harga Rp. 50.000 setiap unit. Berapa keuntungan maksimum yang diperoleh perusahaan tersebut?
Pendapatan perusahaan = Biaya total =
Laba =
Laba maksimum
Untuk , diperoleh Laba
J. Kerangka Berfikir
Fokus yang ada pada penelitian ini adalah kesulitan dan faktor yang mempengaruhi kesulitan yang dialami oleh siswa kelas XI IPS, pada saat mengerjakan soal dengan materi aplikasi turunan fungsi. Banyak faktor yang mungkin menyebabkan siswa melakukan kesalahan pada saat mengerjakan soal-soal, salah satunya adalah salah konsep pada saat pengerjaan. Pada penelitian ini, peneliti akan meneliti kesulitan-kesulitan apa yang mungkin dialami oleh siswa sehingga nantinya guru yang mengajar dapat menekankan lebih pada materi yang dianggap sulit. Dan diharapkan kesalahan yang terjadi dikemudian hari akan berkurang.
38 BAB III
METODE PENELITIAN
A. Jenis Penelitian
Penelitian ini menggunakan penelitian kualitatif. Menurut Sugiyono (2011:13), Penelitian kualitatif adalah metode penelitian yang digunakan untuk meneliti pada kondisi obyek yang alamiah, dimana peneliti adalah sebagai instrumen kunci, teknik pengumpulan data dilakukan secara gabungan (triangulasi), analisis data bersifat induktif/kualitatif, dan hasil penelitian kualitatif lebih menekankan makna dari pada generalisasi.
Dalam penelitian ini, penelitian kualitatif digunakan untuk mendeskripsikan kesulitan dari kesalahan yang dilakukan oleh siswa.
B. Tempat dan Waktu Penelitian 1. Tempat Penelitian
Penelitian dilaksanakan di SMA Bopkri II Yogyakarta, Jl. Jendral Sudirman no. 87.
2. Waktu Penelitian
C. Subyek dan Objek Penelitian
D. Bentuk Data
1. Rekaman Hasil Pengamatan
Data yang diperoleh berupa deskripsi dari pedoman observasi tentang situasi pembelajaran dikelas.
2. Hasil Tes Pekerjaan Siswa
Data yang diperoleh berupa hasil pekerjaan siswa terhadap soal-soal yang diberikan dalam instrumen.
3. Rekaman Hasil Wawancara
Data yang diperoleh berupa deskripsi hasil rekaman wawancara peneliti terhadap siswa yang diteliti.
4. Hasil Pengisian Kuesioner Siswa
Data yang diperoleh berupa hasil pengisian siswa terhadap pernyataan-pernyataan yang diberikan dalam instrumen.
E. Metode Pengumpulan Data
Peneliti mendapatkan data dari subyek yang diteliti diperoleh dengan cara observasi selama pembelajaran berlangsung, hasil tes pekerjaan siswa mengenai aplikasi turunan, serta hasil dari wawancara yang dilakukan terhadap sampel penelitian.
adalah observasi yang tidak dipersiapkan secara sistematis tentang apa yang akan diobservasi. Dalam melakukan pengamatan peneliti tidak menggunakan instrumen yang telah baku, tetapi hanya berupa rambu-rambu pengamatan.
2. Tes diagnostik digunakan untuk memastikan kesulitan belajar yang dialami siswa. Tes diagnostik mencari penyebab masalah belajar agar dapat merumuskan dalam membuat tes khusus untuk kegiatan remidi. Hasil tes diagnostik yang mengandung kesalahan - kesalahan yang menunjukan adanya kesulitan belajar dapat digunakan sebagai dasar penyelenggaraan pengajaran yang lebih sesuai dengan kemampuan siswa sebenarnya, termasuk kesulitan - kesulitan belajar (Sri Esti, 2008:412).
Menurut Suharsimi (2012:67), tes adalah merupakan alat atau prosedur yang digunakan untuk mengetahui atau mengukur sesuatu dalam suasana, dengan cara, dan aturan-aturan yang sudah ditentukan.
pengumpulan datanya. Pedoman wawancara yang digunakan hanya berupa garis-garis besar permasalahan yang akan ditanyakan. 4. Menurut Sugiyono (2010:199), Kuesioner merupakan teknik
pengumpulan data yang dilakukan dengan cara memberi seperangkat pertanyaan atau pernyataan tertulis kepada responden untuk dijawabnya.
F. Instrument Penelitian
Instrumen yang digunakan pada saat penelitian adalah observasi kelas, tes matematika, wawancara, dan kuesioner.
1. Observasi kelas
Observasi ini dilakukan secara beberapa kali selama kegiatan belajar mengajar sebelum penelitian dilaksanakan untuk mendapatkan gambaran umum mengenai situasi kelas dan kesulitan yang dihadapi siswa pada saat mengerjakan soal. Peneliti menggunakan rekaman video untuk melengkapi hasil observasi. Hal-hal yang akan diamati adalah:
a. Persiapan guru dan siswa dalam memulai pembelajaran (Tahap Persiapan)
b. Pembelajaran yang dilakukan oleh guru dan siswa (Tahap Belajar)
2. Tes
Siswa akan diberikan tes mengenai Aplikasi Turunan meliputi gradien garis singgung kurva, fungsi naik dan fungsi turun, nilai stasioner, serta jenis stasioner fungsi. Tes ini diberikan dengan maksud untuk melihat kesulitan yang dialami siswa dari kesalahan yang mereka lakukan pada saat mengerjakan soal.
Tabel 3.1. Kisi-kisi Soal Tes Matematika
No Soal
Sub Pokok
Bahasan Indikator Uraian Rancangan Soal
Total
Siswa mencari gradien garis singgung kurva (turunan)
15 Siswa mencari gradien garis yang sejajar /
tegak lurus dengan kurva tersebut (definisi) Siswa menentukan syarat sejajar / tegak lurus dua garis (definisi)
Siswa mencari titik singgung
Siswa mencari garis singgung dari titik singgung yang diperoleh
Siswa mencari turunan pertama dan kedua fungsi
15 Siswa menentukan syarat suatu fungsi naik
/ turun (definisi)
Siswa mencari selang dimana fungsi itu naik / turun
Siswa mencari turunan pertama dan kedua fungsi
25 Siswa menentukan nilai stasioner beserta
titik stasionernya
Siswa menentukan jenis stasioner → titik balik maksimum / titik balik minimum / titik belok (dengan disertakan gambar pemeriksaan uji turunan pertama)
4 Masalah
Siswa mencari turunan pertama dan kedua fungsi
20 Siswa menentukan syarat mencari titik
belok
Siswa mencari titik belok
ekonomi Siswa menentukan titik belok
Siswa mencari model matematika dari permasalahan yang diberikan
25 Siswa menentukan turunan pertama dan
turunan kedua fungsi tersebut Siswa mencari titik balik maksimum (definisi)
Siswa mencari nilai maksimum fungsi tersebut
3. Wawancara
Wawancara dilakukan untuk mengetahui jalan berfikir siswa serta untuk mengetahui kesulitan yang dialami siswa pada saat mengerjakan soal. Wawancara ini dilakukan secara acak sesuai dengan hasil pekerjaan siswa. Proses wawancara akan direkam melalui video.
Kisi-kisi Pedoman wawancara:
a. Siswa diminta untuk menjelaskan materi mana yang dianggap sulit.
b. Siswa diminta untuk menjelaskan soal-soal yang dianggap sulit.
c. Siswa diminta untuk menjelaskan hasil pekerjaannya serta cara pengerjaan soal yang masih mengalami kesalahan. d. Siswa diminta untuk menjelaskan kesulitan mengenai
matematika secara umum
4. Kuesioner Keaktifan, Kreatifitas, Motivasi, dan Afektif Siswa Kuesioner dilakukan untuk mengetahui lebih lanjut mengenai keaktifan siswa dikelas, motivasi-motivasi yang diperoleh siswa dalam melakukan pembelajaran, serta refleksi siswa mengenai cara belajar dan kesulitan yang dihadapi khususnya pada saat belajar matematika.
Kisi – kisi kuesioner siswa :
a. Siswa akan menanggapi pernyataan - pernyataan mengenai keaktifan dan kreatifitas pada saat pembelajaran
b. Siswa diminta menganggapi pernyataan mengenai motivasi meliputi motivasi internal dan eksternal dalam belajar matematika
c. Siswa diminta menanggapi pernyataan mengenai sikap pada saat pembelajaran
G. Teknik Keabsahan Instrumen
Teknik keabsahan instrumen dilakukan oleh Dosen Pembimbing Skripsi beserta dengan Guru Matematika kelas XI IPS SMA Bopkri II Yogyakarta.
Tabel 3.2. Instrumen Validitas Observasi
No Indikator Pernyataan Saran
1 Tahap Persiapan 1,2,3,4,5, 16,17,18
2 Tahap Belajar
6,7,8,9,10, 19,20,21,22,23,24,2
5,26
3 Tahap Mempertahankan
Konsentrasi 11,12, 27, 28, 29
4 Tahap Interaksi 13, 14, 15, 30, 31,
32, 33, 34
Tabel 3.3. Instrumen Validitas Soal (Validitas Pakar)
Tabel 3.4. Instrumen Validitas Kuesioner
H. Prosedur Pelaksanaan Penelitian di Lapangan 1. Tahap Sebelum Penelitian
a. Menyusun Rancangan Penelitian
Penyusunan rancangan penelitian dilakukan sebelum penelitian, menyusun proposal penelitian serta instrumen penelitian.
b. Menentukan Tempat dan Subyek penelitian
Pemilihan tempat dan subyek penelitian ini disesuaikan dengan kemampuan peneliti serta mudah perijinannya. c. Melakukan Perijinan
Perijinan dilakukan untuk mempermudah proses observasi serta penelitian.
d. Mempersiapkan Perangkat Penelitian
No Indikator Pernyataan Saran
1 Keaktifan 1,2,3,4,5,6,7,8,9,
10,11
2 Motivasi Internal 12,13, 14,
15,16,17,18,19,20,21 3 Motivasi Eksternal 22,23,24,25,26, 27,
28, 29
Perangkat penelitian yang dibuat berupa proposal penelitian dan instrumen penelitian.
2. Tahap Pelaksanaan Penelitian
Penelitian dilaksanakan sesuai dengan tempat yang dipilih dan dilaksanakan sesuai dengan waktu yang telah ditentukan.
Langkah-langkah yang dilakukan pada saat penelitian: a. Observasi
Peneliti mengamati situasi dikelas mengenai kondisi belajar dikelas, melihat kesulitan-kesulitan yang mungkin terjadi pada saat siswa mengerjakan soal dari guru.
b. Tes Matematika
1) Siswa diberikan rambu-rambu cara mengerjakan soal
2) Soal dibagikan kepada siswa
3) Siswa diminta untuk mengerjakan soal c. Wawancara
d. Kuesioner Keaktifan, Kreatifitas, Motivasi, dan Afektif Siswa
Kuesioner diberikan kepada seluruh siswa untuk mengetahui keaktifan, kreatifitas, motivasi, dan afektif siswa dalam belajar matematika. Kuesioner ini diberikan setelah siswa melakukan tes matematika.
3. Tahap Setelah Penelitian
Sesudah penelitian, data yang diperoleh kemudian dianalisis sehingga didapat penyebab kesulitan yang terjadi.
I. Rancangan Penelitian
Agar penelitian berjalan dengan baik, maka peneliti membuat rancangan penelitian.
Tabel 3.5 Kegiatan yang akan dilaksanakan dalam penelitian
No Waktu Kegiatan
1 Maret-April 2013 Menyusun pedoman observasi, instrument soal, dan pedoman wawancara
2 Minggu III Maret 2013
Meminta ijin melakukan penelitian dan memberikan surat ijin penelitian
Menemui guru matematika untuk
membicarakan penelitian
Memberikan soal tes penelitian di kelas XI IPS
5 Minggu II Mei
2013
Mengoreksi pekerjaan siswa dan memberikan skor serta menentukan beberapa siswa yang akan di wawancarai
6 Minggu II – III Mei 2013
Melakukan analisis soal tes. Setelah soal tes diberi skor, dianalisis dan dicatat kesalahan apa yang dilakukan siswa tersebut
2013 pengisisan kuesioner
8 Minggu IV Mei
2013
Melakukan analisis wawancara. Dari kegiatan wawancara tersebut, peneliti dapat mengetahui jalan pikir siswa dalam mengerjakan soal.
9 Juni-Juli 2013 Menyusun Laporan
J. Metode Analisis Data
Dalam analisis data peneliti mendeskripsikan kesulitan dan kesalahan dari tes matematika, serta hasil wawancara dengan siswa.
1. Tes matematika
a. Peneliti mengumpulkan hasil pekerjaan siswa, diperiksa dan diberi skor.
b. Peneliti memilih jawaban siswa yang mengalami banyak kesalahan. Kemudian jawaban itu dianalisa untuk mengetahui kesalahan yang dilakukan siswa pada saat mengerjakan soal.
c. Mencatat kesalahan-kesalahan yang ada untuk mempermudah saat menganalisis serta sebagai pedoman untuk wawancara.
2. Wawancara
3. Kuesioner
Hasil kuesioner akan di analisis dengan langkah-langkah sebagai berikut:
a) Pemberian skor
Pemberian skor dari data siswa mengenai keaktifan, kreatifitas, motivasi, dan afektif siswa dalam pembelajaran matematika dapat dilihat pada tabel berikut:
Tabel 3.6. Tabel Skor Kuesioner
No
Pernyataan Kuesioner
Kriteria dan nilai hasil kuesioner
Positif Negatif Kriteria Nilai
1 SS STS Sangat baik 4
2 S TS Baik 3
3 TS S Cukup 2
4 STS SS Kurang 1
b) Menganalisis hasil tiap indikator
Tabel 3.7. Tabel Hasil Kesimpulan Kuesioner
No Kriteria Nilai Banyaknya
kriteria
Jumlah nilai Positif Negatif
1 SS STS 4
2 S TS 3
3 TS S 2
4 STS SS 1
Jumlah Rata-rata
Keterangan tabel:
Banyaknya kriteria : Jumlah pernyataan tiap kriteria tiap indikator
53 BAB IV
PEMBAHASAN
A. Deskripsi Penelitian
Penelitian ini dilaksanakan di kelas XI IPS 1 SMA Bopkri II pada pokok bahasan aplikasi turunan fungsi (gradien garis singgung, fungsi naik dan turun, nilai stasioner fungsi, jenis stasioner fungsi). Penelitian ini dimulai dengan observasi proses belajar mengajar di kelas. Observasi dilakukan pada saat guru mengajarkan tentang materi aplikasi turunan fungsi hingga pada model matematika serta penyelesaiannya. Setelah guru selesai mengajarkan, peneliti memberikan soal tes kepada seluruh siswa XI IPS 1 SMA Bopkri 2 sebanyak 24 siswa dikarenakan 4 siswa tidak masuk. Jumlah soal yang diberikan sebanyak 5 soal dan waktu pengerjaan selama 90 menit (2 jam pelajaran). Tabel dibawah ini menampilkan kegiatan yang dilaksanakan selama penelitian.
Tabel 4.1 : Kegiatan yang dilaksanakan saat penelitian
Tahap Waktu Kegiatan
1 Senin, 22 April 2013 Observasi kelas 2 Kamis, 25 April 2013 Observasi kelas 3 Kamis, 2 Mei 2013 Observasi kelas 4 Senin, 6 Mei 2013 Observasi kelas 5 Senin, 13 Mei 2013 Observasi kelas 6 Kamis, 16 Mei 2013 Observasi kelas 7 Senin, 27 Mei 2013 Tes matematika
8 Kamis, 30 Mei 2013 Pengisian kuesioner dan
B. Hasil Observasi
Sebelum melakukan penelitian, peneliti melakukan observasi terlebih dahulu dengan tujuan untuk mengetahui kondisi siswa belajar di kelas, kesulitan apa saja yang dialami siswa saat belajar dan mengerjakan soal, serta mengetahui materi yang telah diajarkan oleh guru khususnya mengenai aplikasi turunan fungsi.
Observasi ini dilakukan sebanyak 6 kali oleh peneliti. Hal ini dilakukan agar peneliti dapat mengetahui materi apa saja yang diajarkan kepada siswa sehingga ketika peneliti membuat soal dapat menyesuaikan dengan materi yang telah diberikan. Berikut ini adalah gambaran tentang pembelajaran di kelas serta kesulitan yang dialami siswa dalam pembelajaran dikelas.
1. Observasi Tahap 1
Gambar 4.2.1. Penjelasan guru tentang persamaan garis singgung Setelah menjelaskan materi, guru memberikan contoh soal dan membahasnya.
Peneliti menemukan kesulitan yang dialami oleh siswa A.
Siswa A : Pak, di dapat dari mana?
Guru : Turunan Valerio. Masih ingat kan dengan turunan yang pernah diajarkan?
Siswa A : iya pak..
Guru : (guru memberikan soal turunan untuk dikerjakan oleh Valerio) , coba kamu cari turunannya..
Siswa A : , terus 7 nya pak?
Guru : karena 7 tidak memiliki variabel maka turunannya adalah 0, ingat?
Siswa A : iya pak..
Setelah istirahat selesai, guru melanjutkan materi gradien garis singgung yang sejajar dengan garis singgung kurva. Selesai menjelaskan materi, guru memberikan contoh soal dan membahas soal tersebut. Setelah siswa selesai mencatat, lalu guru memberikan latihan soal (uji nyali) untuk siswa berlatih. Guru berkeliling untuk melihat bagaimana siswa mengerjakan, setelah itu guru menunjuk siswa B untuk mengerjakan di papan tulis.
Gambar 4.2.2. Siswa saat mengerjakan latihan soal
Karena waktu sudah habis, guru memberikan pekerjaan rumah serta cacatan kepada siswa untuk dipelajari di rumah, dan soal yang diberikan akan dibahas pada pertemuan selanjutnya.
2. Observasi Tahap 2
Pertama guru memulai pembelajaran dengan berdoa dan mengabsen siswa yang hadir. Terdapat 5 siswa yang terlambat. Guru menanyakan apakah ada kesulitan yang didapat dari latihan soal yang diberikan dan membahas 2 soal yang menurut siswa sulit. 1 soal belum diajarkan dan 1 soal mengulang materi sebelumnya. 1 soal terakhir untuk dikumpulkan dan dinilai.
Kesulitan-kesulitan yang dialami siswa :
Saat guru memberikan kesempatan untuk mengerjakan kepada siswa, siswa langsung bertanya kepada guru untuk menyelesaikan turunan. Masih banyak siswa yang bingung dalam menyelesaikan soal turunan. Kesulitan pada saat menurunkan konstanta dalam bentuk pecahan.
Siswa menanyakan cara penyelesaian soal yang akan dinilai, lalu guru membantu menjelaskan tahap demi tahap hingga siswa tersebut mengerti, lalu siswa tersebut disuruh guru untuk menjelaskannya kepada teman-teman yang lain.
Gambar 4.2.3. Siswa saat bertanya kepada guru dan teman lainnya
3. Observasi tahap 3
Observasi tahap 3 dilaksanakan pada hari Kamis, 2 Mei 2013 selama 45 menit. Pada awal pembelajaran guru memimpin doa lalu mengabsen siswa yang hadir. Siswa yang hadir 20 siswa dan 4 siswa datang terlambat.
Pada observasi kali ini, guru memberikan 2 latihan soal untuk dikerjakan siswa lalu dikumpulkan. Soal yang diberikan untuk siswa :
1) Disajikan sebuah fungsi , tentukan :
a. Turunan pertama dan turunan kedua
b. Nilai stasioner dan titik stasioner
c. Nilai maksimum, minimum, titik balik maksimum, dan titik balik minimum
2) Diketahui panjang lintasan dengan fungsi , tentukan rumus
kecepatan dan rumus percepatan serta waktu yang ditentukan untuk mencapai jarak terjauh dan kecepatan maksimum.
tetapi tidak sedikit siswa yang hanya mengobrol, bermain handphone ataupun hanya menyalin pekerjaan teman lain. Kesulitan-kesulitan yang dialami oleh siswa :
Siswa kesulitan dalam mencari akar-akar persamaan kuadrat. Siswa lupa akan syarat nilai maksimum dan minimum.
Siswa masih bingung dengan uji turunan pertama untuk mencari titik balik maksimum dan minimum.
Kebanyakan siswa hanya mencontoh latihan yang sudah dikerjakan oleh guru saja dan tidak mau untuk memahami soal yang diberikan.
Gambar 4.2.4. Hasil pekerjaan siswa pada saat latihan soal
