ANTI -FUZZY - SUBGRUP KIRI DARI NEAR RING
AHMAD SYAFI’IH
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR 2014
PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA*
Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Anti -Fuzzy - Subgrup Kiri dari Near Ring adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini.
Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut Pertanian Bogor.
Bogor, Juli 2014
Ahmad Syafi’ih
ABSTRAK
AHMAD SYAFI’IH. Anti -Fuzzy - Subgrup Kiri dari Near Ring. Dibimbing oleh TEDUH WULANDARI MAS’OED dan MUHAMMAD ILYAS.
Teori himpunan fuzzy dikembangkan oleh LA Zadeh telah menginspirasi para matematikawan untuk melakukan penelitian struktur aljabarnya. Tujuan karya ilmiah ini adalah membuktikan beberapa karakteristik dari anti -fuzzy
subgrup kiri dari near ring. Terdapat empat teorema yang dibahas pada karya ilmiah ini. Teorema pertama membuktikan hubungan antara anti -fuzzy -
subgrup kiri dengan endomorfisma dari near ring. Kemudian teorema kedua membuktikan sifat epimorfisma dari anti -fuzzy - subgrup kiri dari suatu
near ring. Terakhir, teorema ketiga dan keempat membuktikan karakterisasi anti
-fuzzy dari near ring yang berbeda. Pembuktian dari keempat teorema tersebut merupakan karakteristik dari anti -fuzzy - subgrup kiri dari near ring.
Kata kunci: anti -fuzzy - subgrup kiri dari nearring, himpunan -fuzzy, near ring.
ABSTRACT
AHMAD SYAFI’IH. Anti -Fuzzy Left - Subgroup of Near Ring. Supervised by TEDUH WULANDARI MAS’OED dan MUHAMMAD ILYAS.
Fuzzy set theory developed by LA Zadeh has inspired mathematicians conducting research on algebraic structure. The objective of this paper is to study the characteristics of anti -fuzzy left - subgroup of near ring. There are four theorems discussed in this paper. The first theorem showed the relationship between anti -fuzzy left - subgroup and endomorphism of a near ring. The second theorem proved the properties of epimorphism of anti -fuzzy left - subgroup of a near ring. Finally, the third and fourth theorems showed the characterization of anti -fuzzy of a different near ring. The proofs of all the theorems constitute the characteristic of anti -fuzzy left - subgroup of near ring.
Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains
pada
Departemen Matematika
ANTI -FUZZY - SUBGRUP KIRI DARI NEAR RING
AHMAD SYAFI’IH
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR 2014
Judul Skripsi : Anti -Fuzzy - Subgrup Kiri dari Near Ring
Nama : Ahmad Syafi’ih NIM : G54100037
Disetujui oleh
Teduh Wulandari Mas’oed, MSi Pembimbing I
Muhammad Ilyas, MSi, MSc Pembimbing II
Diketahui oleh
Dr Toni Bakhtiar, MSc Ketua Departemen
PRAKATA
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah subhanahu wa ta’ala atas segala karunia-Nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Tema yang dipilih dalam penelitian yang dilaksanakan sejak bulan Januari 2014 ini ialah
-fuzzy, dengan judul Anti -Fuzzy - Subgrup Kiri dari Near Ring.
Terima kasih penulis ucapkan kepada Ibu Teduh Wulandari Mas’oed, MSi dan Bapak Muhammad Ilyas, MSi, MSc selaku Pembimbing. Di samping itu, penghargaan penulis sampaikan kepada Bapak Drs Siswandi, MSi selaku Dosen Penguji, Ketua Departemen Matematika Bapak Dr Toni Bakhtiar, MSc beserta jajaran staf dosen lainnya dan staf pendukung departemen Matematika yang telah membantu selama tahap penyelesaian karya ilmiah ini. Ungkapan terima kasih juga disampaikan kepada Ayah dan Ibu tercinta, seluruh keluarga, dan Entri Sulastri atas segala doa, dukungan, dan kasih sayangnya.
Semoga karya ilmiah ini bermanfaat.
Bogor, Juli 2014
DAFTAR ISI
PENDAHULUAN 1 Latar Belakang 1 Tujuan 1 TINJAUAN PUSTAKA 1 PEMBAHASAN 5SIMPULAN DAN SARAN 10
Simpulan 10
Saran 10
DAFTAR PUSTAKA 11
1
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Teori himpunan fuzzy yang diperkenalkan oleh LA Zadeh pada tahun 1965 banyak diterapkan dalam pengembangan Informasi Terintegrasi Riset Ilmu Pengetahuan dan Teknologi (Riptek). Salah satu contoh kasusnya yaitu, penerapan aplikasi teori himpunan fuzzy untuk analisis citra dan pengenalan polanya. Kemudian para matematikawan melakukan penelitian terkait fuzzy yang dilihat dari struktur aljabarnya, baik dari teori grup, teori ring, maupun teori aljabar lainnya.
Abou-Zoid pada tahun 1991 memperkenalkan kumpulan dari sub nearring fuzzy dan mempelajari ideal fuzzy dari nearring. Konsep ini dibahas oleh banyak peneliti di antaranya YU Cho, B Davvas, WA Dudek, YB Jun, KH Kim. Selanjutnya A. Solairaju dan R. Nagarajan pada tahun 2008 memperkenalkan struktur baru dari grup -fuzzy dan mempelajari kumpulan -fuzzy -subgrup kiri
dari nearring dengan menghubungkan -norm. YU Cho dan YB Jun pada tahun 2005 dalam tulisannya juga memperkenalkan fuzzy intuitionistic -subgrup dari
nearring dan mempelajari sifat-sifat yang terkait. Kumpulan dari intuitionistic -fuzzy semi-primality di semigrup diperkenalkan oleh KH Kim dan YB Jun pada tahun 2000 dalam tulisannya “On Fuzzy R-Subgroups of Near Rings”.
Dalam karya ilmiah ini, akan diperkenalkan anti -fuzzy -N subgrup kiri dari nearring dan membahas beberapa karakteristik yang terkait. Karya ilmiah ini merupakan rekonstruksi ulang dari tulisan A. Solairaju, P. Sarangapani, R. Nagarajan, dan P. Muruganantham yang berjudul “Anti -Fuzzy M-Subgroups of Near Rings”.
Tujuan Penelitian
Tujuan dari karya ilmiah ini adalah membahas beberapa karakteristik dari
anti -fuzzy -N subgrup kiri dari near ring, antara lain sebagai berikut:
1. Membuktikan hubungan antara anti -fuzzy - subgrup kiri dan endomorfisma dari near ring,
2. Membuktikan sifat epimorfisma dari anti -fuzzy - subgrup kiri dari suatu near ring,
3. Membuktikan karakterisasi anti -fuzzy dari near ring yang berbeda.
TINJAUAN PUSTAKA
Pada bab ini akan dijelaskan terlebih dahulu beberapa teori-teori dasar yang akan digunakan dalam penyusunan karya ilmiah ini, di antaranya sebagai berikut:
2
Definisi II.1 (Grup)
Grup 〈 〉 adalah himpunan tak kosong yang tertutup di bawah operasi dan memenuhi aksioma-aksioma berikut:
1. Operasi biner bersifat assosiatif, , 2. Terdapat unsur identitas kiri dan kanan, , 3. Terdapat unsur invers kiri dan kanan, .
(Fraleigh 1997) Contoh Grup
Himpunan bilangan bulat ( , bilangan rasional , dan bilangan real di bawah operasi penjumlahan.
Definisi II.2 (Subgrup)
Misalkan grup dan , disebut subgrup dari jika merupakan grup di bawah operasi biner yang sama dengan operasi biner pada .
(Fraleigh 1997) Contoh Subgrup
Himpunan bilangan subgrup dari himpunan bilangan di bawah operasi penggandaan.
Berikutnya akan dijelaskan definisi ring dan near ring.
Definisi II.3 (Ring)
Himpunan tak kosong dengan dua operasi biner, dan , disebut ring
jika memenuhi aksioma-aksioma berikut: 1. 〈 〉 grup komutatif,
2. Operasi biner bersifat assosiatif, , 3. Hukum distributif kiri berlaku, ,
Hukum distributif kanan berlaku, .
(Fraleigh 1997) Contoh Ring
Himpunan bilangan , dan bilangan kompleks adalah ring
terhadap operasi penjumlahan dan perkalian aritmatika. Definisi II.4 (Near Ring Kiri)
Himpunan tak kosong dengan dua operasi biner, dan , disebut near ring kiri jika memenuhi aksioma-aksioma berikut:
1. 〈 〉 grup,
2. Operasi biner bersifat assosiatif, , 3. Memenuhi sifat distributif kiri, .
Himpunan bagian dari near ring disebut -subgrup dari sedemikian
sehingga,
1. 〈 〉 subgrup dari 〈 〉, 2. ,
3. ,
Jika memenuhi 1) dan 2) saja, maka disebut -subgrup kiri dari , Jika memenuhi 1) dan 3) saja, maka disebut -subgrup kanan dari .
3 Selanjutnya akan dijelaskan definisi homomorfisma grup, homomorfisma
ring, homomorfisma near ring kiri, epimorfisma, ring dari endomorfisma, grup dengan operator, - subgrup dari , dan - homomorfisma.
Definisi II.5 (Homomorfisma Grup)
Misalkan dan keduanya grup. Fungsi disebut homomorfisma grup jika memenuhi
.
(Fraleigh 1997) Contoh Homomorfisma Grup
Misalkan fungsi dan didefinisikan , maka adalah sebuah homomorfisma grup karena ketika diambil sembarang berakibat
. Definisi II.6 (Homomorfisma Ring)
Misalkan dan keduanya ring. Fungsi disebut homomorfisma ring jika memenuhi dua kondisi berikut:
1. , 2. ,
.
(Fraleigh 1997) Contoh Homomorfisma Ring
Didefinisikan fungsi dengan ( ). Jika diambil sembarang maka berlaku:
( ) ( ) ( ) , dan ( ) (
) (
) sehingga disebut homomorfisma ring.
Definisi II.7 (Homomorfisma Near Ring Kiri)
Misalkan dan keduanya near ring. Fungsi disebut homomorfisma near ring kiri jika memenuhi,
.
(Solairaju et al. 2013) Definisi II.8 (Epimorfisma)
Misalkan dan keduanya grup. Fungsi adalah homomorfisma. disebut epimorfisma jika merupakan homomorfisma yang surjektif, yaitu sehingga .
(Fraleigh 1997) Definisi II.9 (Ring dari Endomorfisma)
Misalkan sebuah grup abelian. Sebuah homomorfisma dari pada dirinya sendiri disebut endomorfisma dari . Misalkan himpunan dari semua endomorfisma dari adalah hom . Akibat komposisi dua homomorfisma dari ke dalam dirinya merupakan suatu homomorfisma, maka dapat didefinisikan
4
perkalian pada hom sebagai komposisi fungsi dan perkalian tersebut bersifat assosiatif.
(Fraleigh 1997) Definisi II.10 (Grup dengan Operator)
Sebuah grup dengan operator yang terdiri dari grup dan sembarang himpunan , himpunan operator-operator, bersama dengan sebuah operasi dari perkalian luar dari setiap elemen di oleh setiap elemen di dari kiri sehingga memenuhi kondisi berikut:
i). ,
ii). , .
(Fraleigh 1997) Definisi II.11 ( - Subgrup dari )
Misalkan grup, adalah himpunan operator kiri, dan adalah himpunan operator kanan. Jika maka dikatakan sebagai - grup. Jika subgrup dari - grup juga merupakan - grup maka himpunan tersebut disebut - subgrup dari . Hal tersebut juga berlaku untuk satu operator, baik dari kiri saja maupun dari kanan saja.
(Chellapa dan Manemaran 2010) Definisi II.12 ( - Homomorfisma)
Misalkan dan keduanya - grup. Fungsi adalah homomorfisma. Jika dan ( ) maka disebut - homomorfisma.
(Chellapa dan Manemaran 2010) Berikutnya akan dijelaskan definisi himpunan fuzzy, -fuzzy, -fuzzy sub
near ring kiri, anti -fuzzy - subgrup kiri, S-norm, serta karakterisasi anti -fuzzy.
Definisi II.13 (Himpunan Fuzzy)
Misalkan adalah suatu kumpulan objek dan adalah elemen dari . Himpunan fuzzy di didefinisikan sebagai himpunan pasangan berurutan,
dimana adalah membership function (MF) untuk himpunan fuzzy . MF memetakan setiap anggota ke nilai keanggotaan antara 0 dan 1.
(Jang1997) Definisi II.14 ( -Fuzzy)
Misalkan sembarang himpunan dan adalah grup. Fungsi disebut sebagai himpunan -fuzzy di .
(Subramanian dan Chellapa 2010) Definisi II.15 ( -Fuzzy Sub Near Ring Kiri)
Misalkan adalah near ring. Himpunan -fuzzy di disebut -fuzzy sub
near ring kiri jika:
1. , 2. ,
.
5 Definisi II.16 (Anti -Fuzzy - Subgrup Kiri)
Sebuah himpunan -fuzzy disebut anti -fuzzy M-N subgrup kiri dari near ring pada jika memenuhi:
1. , 2. ,
.
(Solairaju et al. 2013) Definisi II.17 (S-norm)
Sebuah S-norm adalah fungsi yang harus memenuhi
beberapa kondisi berikut: (S1) ,
(S2) jika , (S3) ,
(S4) ( ) .
(Solairaju et al. 2013) Definisi II.18 (Karakterisasi Anti -Fuzzy)
Misalkan epimorfisma dan adalah anti -fuzzy - subgrup kiri dari near ring , maka dikatakan karakteristik anti -fuzzy jika,
.
(Solairaju et al. 2013)
PEMBAHASAN
Pada bab ini akan dibuktikan beberapa teorema tentang anti -fuzzy -
subgrup kiri dari near ring. Pertama akan dibuktikan hubungan antara anti -fuzzy - subgrup kiri dan sebuah endomorfisma dari near ring. Kemudian akan dibuktikan sifat epimorfisma dari anti -fuzzy - subgrup kiri dari suatu near ring. Terakhir, akan dibuktikan karakterisasi anti -fuzzy dari near ring yang berbeda.
Pada teorema pertama akan dibuktikan hubungan antara anti -fuzzy -
subgrup kiri dan sebuah endomorfisma yang juga merupakan anti -fuzzy -
subgrup kiri dari near ring. Ilustrasinya yaitu, misalkan adalah sebuah fungsi
yang anti -fuzzy - subgrup kiri dari near ring , dan adalah sebuah endomorfisma dari . Kemudian akan dibuktikan bahwa dan yang dioperasikan oleh fungsi komposisi, , juga merupakan anti -fuzzy
- subgrup kiri dari nearring .
Teorema 1
Jika adalah anti -fuzzy - subgrup kiri dari near ring dan adalah
endomorfisma dari , maka adalah anti -fuzzy - subgrup dari .
Bukti:
Diketahui adalah near ring.
adalah anti -fuzzy - subgrup kiri dari near ring ,
6
sehingga memenuhi:
i.) , ii.) ,
. adalah endomorfisma dari ,
didefinisikan . Ilustrasi untuk dan berturut-turut sebagai berikut:
Akan dibuktikan bahwa adalah anti -fuzzy - subgrup kiri dari ,
didefinisikan sehingga harus memenuhi:
i) , ii) ,
.
Ilustrasinya sebagai berikut:
Bukti: i.) ( ( ) ) ( ) ii.) (( ) )
Pada teorema kedua akan dibuktikan sifat epimorfisma dari anti -fuzzy
subgrup kiri dari suatu near ring. Ilustrasinya yaitu, misalkan fungsi epimorfisma dari near ring ke near ring dan adalah anti -fuzzy -
subgrup kiri dari . Kemudian ada fungsi yang merupakan pre image dari di
bawah . Selanjutnya akan dibuktikan bahwa tersebut juga merupakan sebuah
anti -fuzzy - subgrup kiri dari .
[0,1] t [0,1] t
7 Teorema 2
Suatu epimorfisma dari anti -fuzzy - subgrup kiri dari near ring
adalah anti -fuzzy - subgrup kiri dari nearring .
Bukti:
Misalkan dan adalah near ring dan fungsi adalah epimorfisma, artinya sehingga .
adalah anti -fuzzy - subgrup kiri dari ,
didefinisikan sehingga memenuhi:
i) , ii) ,
.
Ilustrasinya sebagai berikut:
adalah preimage dari di bawah fungsi .
Akan dibuktikan bahwa adalah anti -fuzzy - subgrup kiri dari ,
didefinisikan . sehingga harus memenuhi:
i) , ii) ,
.
Ilustrasinya sebagai berikut:
Karena adalah preimage dari maka didefinisikan,
Bukti: i.) [0,1] t [0,1] t
8 ( ( ) ) ii.)
Pada dua teorema terakhir, yaitu teorema ketiga dan keempat akan dibuktikan karakterisasi anti -fuzzy dari near ring yang berbeda. Ilustrasinya yaitu, misalkan fungsi epimorfisma dari near ring ke near ring . Teorema
ketiga akan membuktikan bahwa fungsi yang membawa setiap elemen di ke [0,1] adalah anti -fuzzy - subgrup kiri dari , jika sebelumnya diketahui bahwa fungsi yang membawa setiap elemen di ke [0,1] adalah anti -fuzzy
- subgrup kiri dari . Sedangkan teorema keempat kebalikan dari teorema ketiga, akan membuktikan bahwa fungsi yang membawa setiap elemen di ke [0,1] adalah anti -fuzzy - subgrup kiri dari , jika sebelumnya diketahui bahwa fungsi yang membawa setiap elemen di ke [0,1] adalah anti -fuzzy
- subgrup kiri dari . Teorema 3
Misalkan adalah epimorfisma. adalah anti -fuzzy - subgrup kiri dari , maka adalah anti -fuzzy - subgrup kiri dari .
Bukti:
Diketahui dan adalah near ring dan fungsi epimorfisma, artinya sehingga .
adalah anti -fuzzy - subgrup dari ,
didefinisikan sehingga memenuhi:
i) , ii) ,
.
Ilustrasinya sebagai berikut:
Akan dibuktikan bahwa adalah anti -fuzzy - subgrup dari
didefinisikan sehingga harus memenuhi:
i) , ii) , . [0,1] t
9 Ilustrasinya sebagai beikut:
Bukti: i.) ii.) Teorema 4
Misalkan epimorfisma. Jika adalah anti -fuzzy - subgrup
kiri dari , maka adalah anti -fuzzy - subgrup kiri dari .
Bukti :
Diketahui dan adalah near ring dan fungsi epimorfisma, artinya sehingga .
adalah anti -fuzzy - subgrup kiri dari ,
didefinisikan sehingga memenuhi:
i) , ii) ,
.
Ilustrasinya sebagai berikut:
Akan dibuktikan bahwa anti -fuzzy - subgrup kiri dari ,
didefinisikan sehingga harus memenuhi:
i) , ii) , . [0,1] t [0,1] t
10
Ilustrasinya sebagai berikut:
Bukti: i.) ii.) .
SIMPULAN DAN SARAN
Simpulan
Dari pembahasan yang telah diuraikan pada bab sebelumnya diperoleh beberapa karakteristik anti -fuzzy - subgrup kiri dari near ring. Pertama, jika diketahui sebuah anti -fuzzy - subgrup kiri dan endomorfisma dari sebuah near ring, maka fungsi komposisinya juga merupakan sebuah anti -fuzzy -
subgrup kiri dari near ring tersebut. Kedua, jika diketahui suatu fungsi di near ring adalah anti -fuzzy - subgrup kiri dari , maka fungsi pre image-nya juga merupakan anti -fuzzy - subgrup kiri dari . Ketiga, jika fungsi yang membawa setiap elemen di ke [0,1] merupakan anti -fuzzy, maka fungsi yang membawa setiap elemen di ke [0,1] juga merupakan anti -fuzzy. Berlaku juga untuk sebaliknya. Jika fungsi yang membawa setiap elemen di ke [0,1] merupakan anti -fuzzy, maka fungsi yang membawa setiap elemen di ke [0,1]
juga merupakan anti -fuzzy.
Saran
Karya ilmiah ini membahas tentang -fuzzy pada near ring. Bagi yang berminat untuk melanjutkan karya ilmiah ini terkait dengan -fuzzy dapat membahas tentang teori near ring maupun teori grup lainnya, misalkan tentang struktur pada -fuzzy -subgrup kiri, struktur pada -fuzzy Gama subgrup, Bi Polar -fuzzy , dan yang lainnya.
[0,1] t
11
DAFTAR PUSTAKA
Chellapa B, Manemaran SV. 2010. -Product of Anti -Fuzzy Left - Subgroups of Near Rings under Triangular Conorms. International Journal of Computer Applications. 12(1):37-42.
Fraleigh JB. 1997. A First Course in Abstract Algebra. United States of America (US): Addision Wealey Publishing Company.
Jang JSR. 1997. Neuro-Fuzzy dan Soft-Computing. Prentice-Hall, New Jersey (US).
Solairaju A, Sarangapani P, Nagarajan R, Muruganantham P. 2013. Anti -Fuzzy -Subgroups of Near Rings. International Journal of Mathematics Trends and Technology. 4(8):130-138.
Subramanian S, Chellapa B. 2010. Structures on Q-Fuzzy Left -Subgroups of Near Rings under Triangular Norms. International Journal of Computer Applications. 11(1):37-39.
12
RIWAYAT HIDUP
Penulis lahir di Pamekasan pada tanggal 13 September 1991 dari ayah Jatim dan ibu Satenni. Penulis berkewarganegaraan Indonesia dan beragama Islam. Penulis adalah putra kedua dari dua bersaudara. Tahun 2004 penulis lulus dari SD Negeri Polagan 1 Kec. Galis Kab. Pamekasan, tahun 2007 penulis lulus dari SMP Negeri 1 Galis Kec. Galis Kab. Pamekasan, dan tahun 2010 penulis lulus dari SMA Negeri 2 Pamekasan Kab. Pamekasan. Pada tahun yang sama penulis lulus seleksi masuk Institut Pertanian Bogor (IPB) melalui jalur Undangan Seleksi Masuk IPB (USMI) dan diterima sebagai mahasiswa departemen Matematika FMIPA IPB dengan pilihan minor Statistika Terapan.
Penulis juga mendapatkan beasiswa Bidikmisi selama empat tahun. Selama mengikuti perkuliahan, penulis menjadi staf pengajar bimbingan belajar Gugus Mahasiswa Matematika (Bimbel Gumatika) mata kuliah Kalkulus dan tutor mahasiswa Tingkat Persiapan Bersama (TPB) IPB mata kuliah Landasan Matematika tahun ajaran 2012/2013. Penulis juga aktif sebagai Ketua Departemen Keilmuan himpunan profesi Matematika, Gumatika IPB periode 2012-2013. Pada tahun yang sama penulis juga menjadi Ketua Pengguyuban OMDA (Organisasi Mahasiswa Daerah) Madura. Selain itu, penulis juga aktif dalam mengikuti kegiatan seperti kepanitiaan IPB Mathematics Challenge 2013 sebagai Ketua Divisi Logistik dan Transportasi, kepanitiaan Matematika Ria sub Pesta Sains Nasional 2013 sebagai Ketua Pelaksana.
