Pengertian Fungsi. MA 1114 Kalkulus I 2

Pengertian Fungsi

z

Relasi : aturan yang mengawankan 2 himpunan

z

Fungsi

Misalkan

A

dan

B

himpunan. Relasi biner

f

dari

A

ke

B

merupakan suatu fungsi jika

setiap

elemen di dalam

A

dihubungkan dengan tepat

satu elemen di dalam

B

, artinya :

( ) ( )

_{1 2} 2 1 2 1

,

x

A

,

jika

x

x

,

maka

f

x

f

x

x

∈

=

=

∀

Pengertian Fungsi

Jika f adalah fungsi dari A ke B kita menuliskan f : A → B

yang artinya f memetakan A ke B.

A disebut daerah asal (domain) dari f dan B disebut daerah hasil (codomain) dari f.

Relasi di bawah ini merupakan fungsi

A B a i u e i o 1 2 3 4 5

Pengertian Fungsi

Relasi di bawah ini bukan merupakan fungsi :

a i u e o 1 2 3 4 5 A B a mempunyai 2 nilai

Himpunan yang berisi semua nilai pemetaan f disebut

jelajah (range) / jangkauan dari f. Perhatikan bahwa jelajah dari f adalah himpunan bagian dari B.

Pengertian Fungsi

Jelajah :

{

y f

( )

x = y, x ∈ A

}

⊆ B

Jelajah/range/jangkauan dinotasikan dengan R_f

Contoh :

1. Carilah domain dan range dari fungsi :

( )

3 4 1 + = x x f Jawab : a. Mencari domain

Pengertian Fungsi

0 3 4x + ≠

4

3

−

≠

x

syarat agar fungsi tersebut terdefinisi adalah :

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛_{− ∞} ∪ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛_{− ∞ −} = , 4 3 4 3 , f D ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧− − ℜ 4 3 Sehingga _atau b. Mencari Range

{ }

0

−

ℜ

=

f

R

atau R_f =

(

− ∞,0

) ( )

∪ 0,∞

Contoh

2. Carilah domain dan range dari fungsi :

( )

1 3 2 + + = x x x f a. Mencari domain

Syarat agar fungsi tersebut terdefinisi adalah :

0

1

3

x

+

≠

3 1 − ≠ x Sehingga ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛_{− ∞} ∪ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛_{− ∞ −} = , 3 1 3 1 , t D

Contoh

( )

1

3

2

+

+

=

=

x

x

y

x

f

2

3

xy

+

y

=

x

+

y

x

xy

−

=

2

−

3

(

y

)

y

x

3

−

1

=

2

−

b. Range

1

3

2

−

−

=

y

y

x

0

1

3

y

−

≠

3

1

≠

y

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∞ ∪ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∞− = , 3 1 3 1 , f R

⎭

⎬

⎫

⎩

⎨

⎧

−

ℜ

3

1

Syarat fungsi tersebut terdefinisi,

Jadi

Contoh

3. Carilah domain dan range dari fungsi :

( )

x = − x2 − 5x − 6 f 0 6 5 2 _{− − ≥} − x x

0

6

5

2

₊

₊

_≤

⇔

x

x

(

+ 2

)(

+ 3

)

≤ 0 ⇔ x x a. Mencari domain TP = -2, -3 -3 -2 ++ -- ++ Jadi

D

_f

=

[

−

3

,

−

2

]

Contoh

b. Mencari Range

( )

x

=

y

=

−

x

2

−

5

x

−

6

f

6

5

2 2

₌

₋

₋

₋

x

x

y

(

6

)

0

5

2 2

₊

₊

₊

₌

⇔

x

x

y

ℜ ∈ x Agar , maka D ≥ 0

(

6

)

0

1

.

4

25

−

2

+

≥

⇔

y

0

24

4

25

−

2

−

≥

⇔

y

0

4

1

−

2

≥

⇔

y

Contoh

(

1+ 2

)(

1− 2

)

≥ 0 ⇔ y y 2 1 , 2 1 − = TP

[

∞

)

∩ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡− = 0, 2 1 , 2 1 f R 2 1 2 1 − ++ Jadi, --

--⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

=

2

1

,

0

Macam-macam Fungsi

Macam-macam fungsi :

( )

n n

x

a

x

a

x

a

a

x

f

=

₀

+

₁

+

₂ 2

+

...

+

1. Fungsi polinom -Fungsi konstan,

( )

x a₀ f =

( )

x

a

a

x

f

=

₀

+

₁

( )

2 2 1 0 a x a x a x f = + + -Fungsi linier, -Fungsi kuadrat,

Macam-macam Fungsi

2. Fungsi Rasional Bentuk umum :

( )

( )

x

q

x

p

( )

(

)

1 1 2 3 2 + + + = x x x x f

p(x), q(x) = fungsi polinom dengan q(x) ≠ 0 contoh :

3. Fungsi harga/nilai mutlak

Fungsi yang mengandung harga mutlak, contoh :

( )

x = 3 x −1 + 2 x − 2

Macam-macam Fungsi

4. Fungsi bilangan bulat terbesar

⎣ ⎦

x

⎣ ⎦

x = n ⇔ n ≤ x ≤ n +1

= Bilangan bulat terbesar yang lebih kecil atau sama dengan x

⎣

−1,2

⎦

= −2

⎣ ⎦

5

=

5

⎣ ⎦

3,2 = 3

( ) ( )

x f x f − = 5. Fungsi Genap

dan grafiknya simetris Disebut fungsi genap jika

Macam-macam Fungsi

Contoh :

( )

2 x x f =

( )

x x f =

( )

x

( )

x f = cos

( )

x f

( )

x f − = − 6. Fungsi Ganjil

simetris terhadap titik asal, contoh :

Disebut fungsi ganjil jika dan grafiknya

( )

x

( )

x

f

=

sin

( )

3 x x f =

Macam-macam Fungsi

7. Fungsi Komposisi

( )

x f

_g

( )

_x

( )

x f

_g

( )

_x

(

f o g

)( )

x = f

(

g

( )

x

)

(

f

o

g

)( )

x

dan , komposisi fungsi antara

dan ditulis Domain dari

adalah himpunan semua bilangan x dengan domain Diberikan fungsi

( )

x

g

sehingga

g

( )

x

di dalam Df

Syarat agar dua fungsi bisa dikomposisikan, terpenuhi maka harus

φ

≠ ∩ _f g D R

Fungsi Komposisi

Hal tersebut dapat diilustrasikan sebagai berikut :

φ

≠ ∩ _f

g D

Fungsi Komposisi

Dengan cara yang sama,

(

g o f

)( )

x = g

(

f

( )

x

)

Syarat agar dua fungsi bisa dikomposisikan, terpenuhi maka harus

φ

≠ ∩ _g f D R

Domain dari komposisi fungsi f dan g didefinisikan sbb :

( )

{

g f

}

g f x D g x D D _o = ∈ ∈

( )

{

f g

}

f g x D f x D D _o = ∈ ∈

Sedangkan definisi dari Range komposisi fungsi komposisi

( )

{

g f

}

f g g t R t R R _o = ∈ ∈ R_gof =

{

y ∈ R_g y = g

( )

t ,t ∈ R_f

}

( )

{

f t R t R

}

R = ∈ ∈ R =

{

y ∈ R y = f

( )

t ,t ∈ R

}

atau atau

Fungsi Komposisi

Sifat-sifat fungsi komposisi :

(

f o g

)( ) (

x ≠ g o f

)( )

x

(

)

(

f o g o h

)( )

x =

(

f o

(

g o h

)

)( )

x

( )

x x f = g

( )

x = 1− x2 f g o f o g Contoh : Tentukan dan beserta domain dan range-nya! 1. Jika diketahui

[

∞

)

= 0, f D D_g = ℜ

(

− ∞,1

]

= g R

[

∞

)

= 0, f R

Contoh

[

0,∞

)

≠

φ

g

o

f

g f D R ∩ Karena terdefinisi = , maka fungsi

(

g o f

)( )

x = g

(

f

( )

x

)

= g

( )

x = 1− x

f

g

o

( )

{

f g

}

f g x D f x D D _o = ∈ ∈

[

)

{

∈

∞

∈

ℜ

}

=

x

0

,

x

{

≥ − ∞ < < ∞

}

= x 0 x a. Mencari Domain

Contoh

{

≥

0

≥

0

}

=

x

x

{

≥ 0 ≥ 0

}

= x x

[

∞

)

∩

[

∞

)

∈ = x 0, 0,

[

∞

)

∈ = x 0,

f

g

o

( )

{

g f

}

f g

y

R

y

g

t

t

R

R

_o

=

∈

=

,

∈

(

]

[

)

{

∈

−

∞

=

−

∈

∞

}

=

y

,

1

y

1

t

2

,

t

0

,

R

_{go f} b. Mencari Range

(

− ∞,1

]

∩

(

− ∞,1

]

∈ = y R_{go f}

(

−

∞

,

1

]

∈

=

y

Jadi

Contoh

=

∩

_f g

D

R

(

− ∞,1

] [

∩ 0,∞

)

=

[ ]

0

,

1

≠

φ

g f o

(

f

o

g

)( )

x

=

f

(

g

( )

x

)

=

f

(

1− x2

)

=

1

−

x

2

Karena _{, maka fungsi}

terdefinisi dengan

g

f

o

( )

{

g f

}

g f x D g x D D _o = ∈ ∈

[

)

{

∈ ℜ − ∈ ∞

}

= x 1 x2 0,

{

∈ℜ1− 2 ≥ 0

}

= x x c.Domain

{

∈

ℜ

−

1

≤

≤

1

}

=

x

x

[ ]

−

1

,

1

∩

ℜ

=

Contoh

g f o

( )

{

f g

}

g f y R y f t t R R _o = ∈ = , ∈

[

)

(

]

{

∈ 0,∞ = , ∈ − ∞,1

}

= y y t t

{

≥

0

=

,

0

≤

≤

1

}

=

y

y

t

t

{

≥

0

0

≤

≤

1

}

=

y

y

[

0,∞

)

∩

[ ]

0,1 = d. Range

[ ]

0

,

1

=

Contoh

2. Jika diketahui fungsi

( )

x x x f = g

( )

x = x −1 ℜ = f D Rf = ℜ Rg = ℜ Dg = ℜ

f

g

o

g f D R ∩ ℜ ∩ ℜ = ℜ ≠ φ

g

o

f

Tentukan beserta domain dan range-nya!

= , sehingga terdefinisi

f

g

o

( )

{

f g

}

f g x D f x D D _o = ∈ ∈ a. Domain

{

∈ℜ ∈ℜ

}

= x x x

ℜ

∩

ℜ

=

= ℜ

Contoh

f g o

( )

{

g f

}

f g y R y g t t R R _o = ∈ = , ∈

{

∈ℜ = − ∈ℜ

}

= y y t 1,t b. Range ℜ = ℜ ∩ ℜ =

Grafik dari fungsi

1. Garis Lurus

c

mx

y

=

+

persamaan garis lurus yang melewati (0,c)

3

+

=

x

y

3 -3 contoh :

Garis Lurus

(

y

−

y

₁

)

=

m

(

x

−

x

₁

)

(

x

₁

,

y

₁

)

Persamaan garis lurus melalui

1 2 1 1 2 1 x x x x y y y y − − = − −

(

x₁, y₁

) (

& x₂, y₂

)

Persamaan garis lurus melalui

c

bx

ax

y

=

2

+

+

ac

b

D

=

2

−

4

2. Grafik fungsi kuadrat (parabola)

Grafik Fungsi Kuadrat

Titik puncak = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛_{− −} a D a b 4 , 2 D>0 D=0 D<0

a

_>0 x

y

Grafik Fungsi Kuadrat

Gambarlah grafik fungsi

_y

=

_x

2

+

_x

+

1

Contoh :

a =1 jadi a > 0 → grafik menghadap ke atas

ac

b

D

=

2

−

4

4 12 − =

Grafik Fungsi Kuadrat

z Titik potong dengan sumbu koordinat

{Karena D<0, maka titik potong dengan sumbu x tidak

ada

{Titik potong dengan sumbu y

x = 0 → y = 1

dengan demikian grafik melalui (0,1)

• Titik puncak = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛_{− −} a D a b 4 , 2 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛− = 4 3 , 2 1

Grafik Fungsi Kuadrat

Gambar grafik fungsi

1

2

₊

₊

=

x

x

y

Untuk persamaan kuadrat

c by ay x = 2 + + -1 1 2 1 − 4 3 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛_{− −} a b a D 2 , 4

a

b

2

−

Titik puncak = Sumbu simetri =

Grafik Fungsi Majemuk

3. Grafik Fungsi Majemuk

x

x

f

(

)

=

Contoh :

1. Gambarkan grafik fungsi

⎩

⎨

⎧

<

−

≥

=

0

,

0

,

x

x

x

x

x

y=x y=-x

Grafik Fungsi Majemuk

2. Gambarkan grafik fungsi

( )

⎩ ⎨ ⎧ > + ≤ = 2 2 2 1 x x x x f

1

=

y

2 ≤ x

2

+

=

x

y

Grafiknya terdiri dari 2

untuk dan garis untuk _x > 2 bagian, yaitu garis

2 + = x y 2 1 = y

Grafik Fungsi Majemuk

3. Gambarkan grafik dari fungsi

( )

2 4 2 − − = x x x f

f(x) terdefinisi untuk setiap x kecuali 2, sehingga

domain dari f(x) adalah semua bilangan riil kecuali 2 Fungsi f(x) dapat diuraikan sebagai berikut :

( ) (

₍

)(

₎

)

2 2 2 − − + = x x x x f

Grafik Fungsi Majemuk

( )

x

=

x

+

2

f

x

≠

2

atau , jika

Range dari f(x) adalah semua bilangan riil kecuali 4.

Jadi grafiknya terdiri dari semua titik pada garis

y

=

x

+

2

kecuali titik (2,4). 2 + = _x y 2 4

Grafik Fungsi Majemuk

3. Gambarkan grafik dari fungsi

( )

x x f = 1− 3 ⎩ ⎨ ⎧ < + ≥ − = − 0 3 1 0 3 1 3 1 x x x x x Kita definisikan : 1 3 1

−

1₃ x y =1+3 y =1−3x

Translasi

(

x a

)

f y = −

( )

x f y =

→ grafik mengalami pergeseran sejauh a ke kanan

Untuk fungsi yang dinyatakan sebagai

y

=

f

( )

x

, a > 0

(

x a

)

f

y = +

( )

x f

y = mengalami pergeseran sejauh a ke kiri

→ grafik

( )

x

a

f

y

=

+

( )

x f y =

( )

x a f y = −

( )

x f y =

→ grafik mengalami pergeseran sejauh a ke atas

Translasi

(

y a

)

f x = −

( )

y f x =

→ grafik mengalami pergeseran sejauh a ke atas

Untuk fungsi yang dinyatakan sebagai

x

=

f

( )

y

, a > 0

(

y a

)

f

x = +

( )

y f

x = mengalami pergeseran sejauh a ke bawah

→ grafik

( )

y

a

f

x

=

+

( )

y f x =

( )

y a f x = −

( )

y f x =

→ grafik mengalami pergeseran sejauh a ke kanan

Contoh Translasi

( )

x = x2 − 4x + 5 f

(

2 − 4 + 4

)

− 4 + 5 = x x

(

− 2

)

2 +1 = x 2

x

y

=

(

)

2 2 − = x y digeser sejauh

1. Gambarkan grafik dari fungsi

→ 2 ke kanan 2 4 2 x y = ( )2 2 − = x y

Contoh Translasi

(

)

2

2

−

=

x

y

(

−

2

)

2

+

1

=

x

y

Kemudian digeser sejauh 1 ke atas

maka akan terbentuk

2 4 ( )2 2 − = _x y ( − 2)2 +1 = _x y

Contoh Translasi

( )

x x f = 1− 3

x

y

=

3

2. Gambarkan grafik fungsi

Kita lihat dahulu grafik

:

3

x

Contoh Translasi

x y = 1− 3 x y = −3 Grafik dapat yang digeser dipandang sebagai grafik

ke atas sejauh 1 satuan

1

x y = −3

x y =1− 3

Soal Latihan

( )

(

)

1 3 − − = x x x x f

( )

x x f = 3+ 2−4

Tentukan domain dan range dari fungsi di bawah ini

( )

x = x2 −5x + 6 f

( )

= 3 − 1 + 2 x x x f 1 ₃ 4 2 Diketahui

Apakah f o g terdefinisi? Bila ya, tentukan rumusan dari f o g dan domain dari f o g.

x x

f ( ) = 4 − g(x) = x ,

5

Gambarkan grafik dari fungsi di bawah ini

( )

x = x

(

x + 2

)

f f

( )

x = 3− x −2