Materi Pemrograman Linier

Linear Programming

(Pemrograman Linier)

Program Studi Statistika

Semester Ganjil 2011/2012

Metode Dual Simplex



Dapat dimanfaatkan untuk

1.

Menentukan solusi optimal baru

setelah menambah kendala

baru pada LP

2.

Menentukan solusi optimal baru

setelah perubahan rhs dari LP

3.

Mencari solusi masalah

Metode Dual Simplex pada kasus

Maksimisasi



Kriteria optimal bukan lagi pada

baris nol



Kriteria optimal berdasarkan rhs



Baris pivot ditentukan dulu, baru

Langkah-langkah:

1. Apakah rhs setiap kendala sudah >=0 semua? ◦Ya: solusi sudah diperoleh

◦Tidak: lanjutkan langkah berikutnya

2. Pilih BV yang paling negatif (Baris pivot) yang harus

meninggalkan BV. Pilih kolom pivot, sebagai pemenang ratio test dari setiap peubah dengan koefisien negatif pada baris pivot

Ratio test= Koefisien baris nol/Koefisien baris pivot

◦ Pemenangnya adalah ratio terkecil: BV yang baru

◦ Lakukan ERO

3. Selesai jika rhs setiap kendala>=0.

◦ Jika rhs ada yang <0 tapi pada baris pivot semua koefisien >=0: tidak ada solusi feasibel

Menentukan solusi optimal baru

setelah menambah kendala baru

pada LP



Terdapat tiga kemungkinan:

1.

Solusi optimal yang ada memenuhi kendala

baru

2.

Solusi optimal yang ada tidak memenuhi

kendala baru, tapi LP tetap mempunyai solusi

feasibel

Pada Permasalahan

Dakota

0

,

,

carpentry)

(jam

8

5

.

0

5

.

1

2

finishing)

(jam

20

5

.

1

2

4

kayu)

(bahan

48

6

8

.

.

20

30

60

max

3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1



























x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

t

s

x

x

x

z

11

3 2

1



x



x



x

Misalkan dipunyai kendala baru dalam

bentuk sbb:

Solusi optimal masih memenuhi kendala

tsb:

280

,

0

,

24

,

8

,

0

,

2

:

x

₁



x

₂



x

₃



s

₁



s

₂



s

₃



z



BFS

11

8

0

2









Misalkan pihak pemasaran menentukan

bahwa paling sedikit 1 meja harus diproduksi.



Maka akan ada kendala baru sbb:

1

2



x



Dari solusi yang ada

x

₂

=0



Tidak memenuhi kendala baru



Solusi tidak lagi feasibel dan tidak

optimal



Digunakan metode dual simpleks,

berdasarkan tableau paling akhir +

kendala baru

Tableau 2 z x1 x2 x3 s1 s2 s3 e4 rhs BV Baris 0 1 0 5 0 0 10 10 0 280 z=280 Baris 1 0 0 -2 0 1 2 -8 0 24 s1=24 Baris 2 0 0 -2 1 0 2 -4 0 8 x3=8 Baris 3 0 1 1.25 0 0 -0.5 1.5 0 2 x1=2 Baris 4 0 0 -1 0 0 0 0 1 -1 e4=-1

1

4 2



e



x



Kendala baru dalam bentuk standar:



Untuk memperoleh bentuk kanonik

pada peubah excess:

1

4

2







Langkah-langkah dual simplex

pada kasus ini

1. Apakah rhs setiap kendala sudah >=0 semua?

◦ Tidak: lanjutkan langkah berikutnya

Tableau 2 z x1 x2 x3 s1 s2 s3 e4 rhs BV Baris 0 1 0 5 0 0 10 10 0 280 z=280 Baris 1 0 0 -2 0 1 2 -8 0 24 s1=24 Baris 2 0 0 -2 1 0 2 -4 0 8 x3=8 Baris 3 0 1 1.25 0 0 -0.5 1.5 0 2 x1=2 Baris 4 0 0 -1 0 0 0 0 1 -1 e4=-1

2. Pilih BV yang paling negatif (Baris pivot).

Pilih kolom pivot: pemenang ratio test dari setiap peubah dengan koefisien negatif pada baris pivot

Baris 4 0 0 -1 0 0 0 0 1 -1 e4=-1

Lakukan ERO: x₂ menggantikan e₂

x2 5 -2 -2 1.25

Tableau 2 z x1 x2 x3 s1 s2 s3 e4 rhs BV Baris 0 1 0 5 0 0 10 10 0 280 z=280 Baris 1 0 0 -2 0 1 2 -8 0 24 s1=24 Baris 2 0 0 -2 1 0 2 -4 0 8 x3=8 Baris 3 0 1 1.25 0 0 -0.5 1.5 0 2 x1=2 Baris 4 0 0 -1 0 0 0 0 1 -1 e4=-1

Tableau 3 z x1 x2 x3 s1 s2 s3 e4 rhs

Baris 4 0 0 1 0 0 0 0 1 1

1

)

2

(

4

)

3

(

4





Baris

Baris

Tableau 2 z x1 x2 x3 s1 s2 s3 e4 rhs BV Baris 0 1 0 5 0 0 10 10 0 280 z=280 Baris 1 0 0 -2 0 1 2 -8 0 24 s1=24 Baris 2 0 0 -2 1 0 2 -4 0 8 x3=8 Baris 3 0 1 1.25 0 0 -0.5 1.5 0 2 x1=2 Baris 4 0 0 -1 0 0 0 0 1 -1 e4=-1

Tableau 3 z x1 x2 x3 s1 s2 s3 e4 rhs

Baris 4 0 0 1 0 0 0 0 1 1

)

3

(

4

*

5

)

2

(

0

)

3

(

0

Baris

Baris

Baris





Dengan ERO ingin diperoleh baris 0 di

tableau 3: dengan memanfaatkan baris 4 di tableu 3 (pivot row)

Tableau 2 z x1 x2 x3 s1 s2 s3 e4 rhs BV Baris 0 1 0 5 0 0 10 10 0 280 z=280 Baris 1 0 0 -2 0 1 2 -8 0 24 s1=24 Baris 2 0 0 -2 1 0 2 -4 0 8 x3=8 Baris 3 0 1 1.25 0 0 -0.5 1.5 0 2 x1=2 Baris 4 0 0 -1 0 0 0 0 1 -1 e4=-1

Tableau 3 z x1 x2 x3 s1 s2 s3 e4 rhs

Baris 4 0 0 1 0 0 0 0 1 1



2



*

4

(

3

)

)

2

(

1

)

3

(

1

Baris

Baris

Baris







Dengan ERO ingin diperoleh baris 1 di tableau 3: dengan memanfaatkan baris 4 di tableu 3 (pivot row)

Baris 0 1 0 0 0 0 10 10 5 275

Tableau 2 z x1 x2 x3 s1 s2 s3 e4 rhs BV Baris 0 1 0 5 0 0 10 10 0 280 z=280 Baris 1 0 0 -2 0 1 2 -8 0 24 s1=24 Baris 2 0 0 -2 1 0 2 -4 0 8 x3=8 Baris 3 0 1 1.25 0 0 -0.5 1.5 0 2 x1=2 Baris 4 0 0 -1 0 0 0 0 1 -1 e4=-1

Tableau 3 z x1 x2 x3 s1 s2 s3 e4 rhs

Baris 4 0 0 1 0 0 0 0 1 1



2



*

4

(

3

)

)

2

(

2

)

3

(

2

Baris

Baris

Baris







Dengan ERO ingin diperoleh baris 2 di tableau 3: dengan memanfaatkan baris 4 di tableu 3 (pivot row)

Baris 0 1 0 0 0 0 10 10 5 275

Baris 1 0 0 0 0 1 2 -8 -2 26

Tableau 2 z x1 x2 x3 s1 s2 s3 e4 rhs BV Baris 0 1 0 5 0 0 10 10 0 280 z=280 Baris 1 0 0 -2 0 1 2 -8 0 24 s1=24 Baris 2 0 0 -2 1 0 2 -4 0 8 x3=8 Baris 3 0 1 1.25 0 0 -0.5 1.5 0 2 x1=2 Baris 4 0 0 -1 0 0 0 0 1 -1 e4=-1

Tableau 3 z x1 x2 x3 s1 s2 s3 e4 rhs

Baris 4 0 0 1 0 0 0 0 1 1

)

3

(

4

*

25

.

1

)

2

(

3

)

3

(

3

Baris

Baris

Baris





Dengan ERO ingin diperoleh baris 3 di tableau 3: dengan memanfaatkan baris 4 di tableu 3 (pivot row)

Baris 0 1 0 0 0 0 10 10 5 275

Baris 1 0 0 0 0 1 2 -8 -2 26

Baris 2 0 0 0 1 0 2 -4 -2 10

Baris 3 0 1 0 0 0 -0.5 1.5 1.25 0.75

BV z=275 s1=26 x3=10 x1=0.75 x2=1

288

,

0

,

26

,

10

,

1

,

75

.

0

:

x

₁



x

₂



x

₃



s

₁



s

₂



s

₃



z





Dengan tambahan batasan bahwa paling

sedikit 1 meja harus diproduksi



Solusi optimal berubah menjadi:

288

,

0

,

26

,

10

,

1

,

75

.

0

:

x

₁



x

₂



x

₃



s

₁



s

₂



s

₃



z



BFS

kursi produksi :# meja produksi :# bangku produksi :# 3 2 1 x x x

Meja diproduksi 1 buah, dengan konsekuensi mengurangi

produksi bangku dan menambah produksi kursi

Bangku dari 2 buah menjadi 0.75 buah (non integer di luar

topik ini!)

Kursi dari 8 buah menjadi 10 buah Keuntungan menjadi lebih tinggi

280

,

0

,

24

,

8

,

0

,

2

:

x

₁



x

₂



x

₃



s

₁



s

₂



s

₃



z



BFS



Solusi optimal awal:



Memproduksi 2 bangku, dan 8 kursi tanpa



Misalkan pihak manajemen memberi syarat bahwa

jumlah produksi bangku dan meja paling sedikit 12

buah:

Kasus 3

12

2 1



x



x



Solusi optimal awal:



Memproduksi 2 bangku, dan 8 kursi tanpa

memproduksi meja



Tidak memenuhi syarat tersebut

12

0

2







Solusi optimal awal tidak memenuhi syarat



Tambahan kendala baru dalam bentuk standar:

Tableau 2 z x1 x2 x3 s1 s2 s3 e4 rhs BV Baris 0 1 0 5 0 0 10 10 0 280 z=280 Baris 1 0 0 -2 0 1 2 -8 0 24 s1=24 Baris 2 0 0 -2 1 0 2 -4 0 8 x3=8 Baris 3 0 1 1.25 0 0 -0.5 1.5 0 2 x1=2 Baris 4 0 -1 -1 0 0 0 0 1 -12 e4=-12

12

12

_{1 2 4}

4 2

1



x



e







x



x



e





x

Baris 4 0 -1 -1 0 0 0 0 1 -12 e4=-12

Karena X

₁

BV, kolom bagi X

₁

harus disesuaikan

menjadi bentuk kanonik di baris 3

Dengan cara melakukan ERO untuk baris 4

Baris 4 0 0 0.25 0 0 -0.5 1.5 1 -10 e4=-10 Tableau 2 z x1 x2 x3 s1 s2 s3 e4 rhs BV

Baris 0 1 0 5 0 0 10 10 0 280 z=280 Baris 1 0 0 -2 0 1 2 -8 0 24 s1=24 Baris 2 0 0 -2 1 0 2 -4 0 8 x3=8 Baris 3 0 1 1.25 0 0 -0.5 1.5 0 2 x1=2 Baris 4 0 -1 -1 0 0 0 0 1 -12 e4=-12

Tableau 2’ z x1 x2 x3 s1 s2 s3 e4 rhs BV Baris 0 1 0 5 0 0 10 10 0 280 z=280 Baris 1 0 0 -2 0 1 2 -8 0 24 s1=24 Baris 2 0 0 -2 1 0 2 -4 0 8 x3=8 Baris 3 0 1 1.25 0 0 -0.5 1.5 0 2 x1=2

1. Apakah rhs setiap kendala sudah >=0 semua?

◦ Tidak: lanjutkan langkah berikutnya

2. Pilih BV yang paling negatif (Baris pivot): Baris 4

Pilih kolom pivot: pemenang ratio test dari

setiap peubah dengan koefisien negatif pada

baris pivot

Tableau 2’ z x1 x2 x3 s1 s2 s3 e4 rhs BV Baris 0 1 0 5 0 0 10 10 0 280 z=280 Baris 1 0 0 -2 0 1 2 -8 0 24 s1=24 Baris 2 0 0 -2 1 0 2 -4 0 8 x3=8 Baris 3 0 1 1.25 0 0 -0.5 1.5 0 2 x1=2 Baris 4 0 0 0.25 0 0 -0.5 1.5 1 -10 e4=-10 Baris 4 0 0 0.25 0 0 -0.5 1.5 1 -10 e4=-10

Tidak perlu ratio test karena:

Hanya s

₂

, yang mempunyai koefisien (-) pada

baris pivot.

s2 10 2 2 -0.5 -0.5

Tableau 2’ z x1 x2 x3 s1 s2 s3 e4 rhs BV Baris 0 1 0 5 0 0 10 10 0 280 z=280 Baris 1 0 0 -2 0 1 2 -8 0 24 s1=24 Baris 2 0 0 -2 1 0 2 -4 0 8 x3=8 Baris 3 0 1 1.25 0 0 -0.5 1.5 0 2 x1=2 Baris 4 0 0 0.25 0 0 -0.5 1.5 1 -10 e4=-10

Dengan ERO diperoleh Tableau 3

Tableau 3 z x1 x2 x3 s1 s2 s3 e4 rhs BV Baris 0 1 0 10 0 0 0 40 20 80 z=80 Baris 1 0 0 -1 0 1 0 -2 4 -16 s1=-16 Baris 2 0 0 -1 1 0 0 2 4 -32 x3=-32

Baris 3 0 1 1 0 0 0 0 -1 12 x1=2

Tableau 3 z x1 x2 x3 s1 s2 s3 e4 rhs BV Baris 0 1 0 10 0 0 0 40 20 80 z=80 Baris 1 0 0 -1 0 1 0 -2 4 -16 s1=-16 Baris 2 0 0 -1 1 0 0 2 4 -32 x3=-32

Baris 3 0 1 1 0 0 0 0 -1 12 x1=2

Baris 4 0 0 -0.5 0 0 1 -3 -2 20 s2=20

1. Apakah rhs setiap kendala sudah >=0 semua?

◦ Tidak: lanjutkan langkah berikutnya

2. Pilih BV yang paling negatif (Baris pivot): Baris 2

Pilih kolom pivot: pemenang ratio test dari

setiap peubah dengan koefisien negatif pada

baris pivot

Tidak perlu ratio test karena:

Hanya x

₂

, yang mempunyai koefisien (-) pada

baris pivot.

Baris 2 0 0 -1 1 0 0 2 4 -32 x3=-32

x

₂

menggantika

n x

₃

Tableau 3 z x1 x2 x3 s1 s2 s3 e4 rhs BV Baris 0 1 0 10 0 0 0 40 20 80 z=80 Baris 1 0 0 -1 0 1 0 -2 4 -16 s1=-16 Baris 2 0 0 -1 1 0 0 2 4 -32 x3=-32

Baris 3 0 1 1 0 0 0 0 -1 12 x1=2

Baris 4 0 0 -0.5 0 0 1 -3 -2 20 s2=20

Dengan ERO diperoleh Tableau 4

Tableau 4 z x1 x2 x3 s1 s2 s3 e4 rhs BV Baris 0 1 0 0 10 0 0 60 60 -240 z=-240 Baris 1 0 0 0 -1 1 0 -4 0 16 s1=16 Baris 2 0 0 1 -1 0 0 -2 -4 32 x2=32 Baris 3 0 1 0 1 0 0 2 3 -20 x1=-20 Baris 4 0 0 0 -0.5 0 1 -4 -4 36 s2=36

1. Apakah rhs setiap kendala sudah >=0 semua?

◦ Tidak: lanjutkan langkah berikutnya

2. Pilih BV yang paling negatif (Baris pivot): Baris 3

Pilih kolom pivot: pemenang ratio test dari

setiap peubah dengan koefisien negatif pada

baris pivot

Baris 3 0 1 0 1 0 0 2 3 -20 x1=-20

Tidak ada peubah dengan koefisien negatif pada

baris 3

Indikator bahwa tidak ada solusi feasibel bagi LP

setelah tambahan kendala baru.