Teori Kombinatorik A. Kombinatorik
Kombinatorial merupakan cabang matematika yang mempelajari pengaturan objek-objek. Solusi yang ingin kita peroleh dengan perlakuan pengaturan objek-objek dengan kombinatorial adalah jumlah cara pengaturan objek-objek tersebut di dalam himpunannya.
Di dalam kombinatorial terdapat kaidah dasar menghitung (kaidah dasar perhitungan), yang dipergunakan untuk menghitung semua kemungkinan pengaturan objek-objek.
1. Kaidah Perkalian (rule of product)
Bila percobaan 1 mempunyai p hasil percobaan yang mungkin terjadi (atau menghasilkan p kemungkinan jawaban), percobaan 2 mempunyai q hasil percobaan yang mungkin terjadi (atau menghasilkan q kemungkinan jawaban), maka bila percobaan 1 dan percobaan 2 dilakukan, maka terdapat p q hasil percobaan (atau menghasilkan p x q kemungkinan jawaban).
Contoh :
Sebuah rumah makan menyediakan menu makanan pagi yang terdiri atas nasi, telur, kerupuk, dan minum. Nasi terdiri dari nasi putih, nasi kuning dan nasi goreng. Telur terdiri dari telur dadar, telur ceplok, telur asin dan telur rebus.
Kerupuk terdiri dari kerupuk udang, kerupuk ikan, kerupuk melinjo. Minum terdiri dari air putih, air kopi, air susu, air kopi susu dan teh.
Berapa banyak susunan menu makanan pagi yang bisa dihidangkan?
Jawab: Dalam hal ini, prosesnya berupa menu makan pagi.
• Tahap pertama berupa Nasi yang terdiri dari nasi putih, nasi kuning dan nasi goreng, sehingga 𝑛1 = 3
• Tahap kedua berupa Telur yang terdiri dari telur dadar, telur ceplok, telur asin dan telur rebus, sehingga 𝑛2= 4
• Tahap ketiga berupa Kerupuk terdiri dari kerupuk udang, kerupuk ikan, kerupuk melinjo, sehingga 𝑛3 = 3
• Tahap keempat berupa air putih, air kopi, air susu, air kopi susu dan teh, sehingga 𝑛4 = 5
• Jadi banyaknya susunan menu makan pagi yang bisa dihidangkan ada (3×4×3×5) cara = 180 cara
2. Kaidah Penjumlahan (rule of sum) Bila percobaan 1 mempunyai p hasil percobaan yang mungkin terjadi (atau menghasilkan p kemungkinan jawaban), percobaan 2 mempunyai q hasil percobaan yang mungkin terjadi (atau menghasilkan q kemungkinan jawaban), maka bila hanya satu percobaan saja
yang dilakukan (percobaan 1 atau percobaan 2 dilakukan), maka terdapat p + q kemungkinan hasil percobaan (atau menghasilkan p + q kemungkinan jawaban) yang mungkin terjadi.
Contoh :
Jabatan ketua himpunan dapat diampu oleh mahasiswa angkatan 2015 atau angkatan 2016. Jika terdapat 45 orang mahasiswa angkatan 2015 dan 52 orang mahasiswa angkatan 2016 yang mingikuti himpunan mahasiswa, berapa cara memilih ketua himpunan?
Jawab: Jabatan yang ditawarkan hanya ada satu, yang dapat diampu oleh dua angkatanyang ada. Dalam kombinatorial , dari kedua kejadian, hanya satu dari dua kejadian yang dilakukan, sehingga menggunakan kaidah penjumlahan, jumlah cara memilih ketua himpunan tersebut sama dengan jumlah mahasiswa pada kedua angkatan, yaitu 45+52 = 97 cara.
B. Permutasi dan Kombinasi
Banyak masalah menghitung dapat diselesaikan dengan mencari banyaknya cara untuk menyusun sejumlah elemen-elemen berbeda yang ditentukan dari suatu himpunan dengan ukuran tertentu, dimana urutan cara penyusunan dari elemen-elemen tersebut diperhatikan. Banyak juga masalah menghitung yang lain dapat diselesaikan dengan mencari banyaknya cara memilih sejumlah elemen tertentu dari elemenelemen dari suatu himpunan dengan ukuran tertentu, dimana urutan cara memilih elemen-elemen tersebut tidak diperhatikan.
• Permutasi
Permutasi dari suatu himpunan objek adalah suatu urutan dari objek-objek pada himpunan tersebut. Seringkali kita juga tertarik untuk menyusun beberapa objek dari suatu himpunan. Susunan dari 𝑟 elemen dari suatu himpunan disebut suatu 𝑟 – permutasi.
Teorema 1
Jika 𝑛 adalah bilangan bulat positif dan 𝑟 adalah bilangan bulat dengan 1 ≤ 𝑟 ≤ , maka terdapat
𝑃 (𝑛, 𝑟) = (𝑛 – 1)(𝑛 – 2) … (𝑛 − 𝑟 + 1) 𝑟 − permutasi dari suatu himpunan dengan 𝑛 anggota yang berbeda Akibat dari teorema 1
Jika 𝑛 dan 𝑟 adalah bilangan bulat dengan 0 ≤ 𝑟 ≤ 𝑛 maka (𝑛, 𝑟) = n!
(𝑛−𝑟)!
• Kombinasi
Suatu 𝑟 − kombinasi dari suatu himpunan adalah pemilihan 𝑟 elemen dari himpunan tersebut yang tidak diurutkan . Jadi sebenarnya 𝑟 − kombinasi bisa kita lihat sebagai banyaknya himpunan bagian beranggotakan 𝑟 anggota Banyaknya 𝑟 −
kombinasi dari suatu himpunan yang beranggotakan 𝑛 anggota dinotasikan dengan 𝐶 𝑛, . Adakalanya 𝐶 (𝑛, 𝑟) juga dinotasikan dengan 𝑛 𝑟 dan disebut sebagai koefisien binomial.
Teorema 2
Banyaknya 𝑟 − kombinasi dari himpunan dengan 𝑛 elemen , dimana 𝑛 bilangan bulat non negatif dan 𝑟 adalah bilangan bulat yang memenuhi 1 ≤ 𝑟 ≤ 𝑛 , adalah
𝐶 (𝑛, 𝑟) = n!
r!(n−r)!
Akibat Teorema 2
Misal 𝑛 dan 𝑟 adalah bilangan non negatif dengan 𝑟 ≤ , maka berlaku 𝐶 (𝑛, 𝑟) = 𝐶(𝑛, 𝑛 − 𝑟)
C. Permutasi dan Kombinasi yang Diperumum
• Permutasi dengan pengulangan
Banyak r-permutasi dari himpunan dengan 𝑛 elemen jika pengulangan diperbolehkan diberikan pada Teorema 1 berikut:
Teorema 1
Banyaknya 𝑟 −permutasi dari suatu himpunan yang beranggotakan 𝑛 objek dengan repetisi diperbolehkan adalah n 𝑟
• Kombinasi dengan pengulangan Teorema 2
Terdapat 𝐶 (𝑛 + 𝑟 − 1, )= 𝐶 (𝑛 + 𝑟 − 1, 𝑛 − 1) banyaknya 𝑟 − permutasi dari himpunan dengan 𝑛 elemen jika pengulangan diperbolehkan
• Permutasi dengan objek yang tidak dapat dibedakan Teorema 3
Banyaknya permutasi dari himpunan dengan 𝑛 objek, dengan 𝑛1 tidak dapat dibedakan jenis 1, 𝑛2 tidak dapat dibedakan jenis 2 , … , dan 𝑛𝑘 tidak dapat dibedakan jenis 𝑘 adalah
n!
n1! n2! … nk!
• Mendistribusikan objek ke kotak-kotak
Banyak masalah menghitung dapat diselesaikan dengan mencacah banyaknya cara objek-objek dapat diletakkkan ke dalam kotak-kotak ( dimana urutan dari objek- objek ditempatkan pada kotak-kotak tidak diperhatikan ). Objek-objek tersebut dapat dibedakan (berbeda satu sama lain) atau tidak dapat dibedakan ( ditinjau sama ).
Objekobjek yang dapat dibedakan seringkali disebut sebagai dilabeli, sedangkan yang
A B
tidak dapat dibedakan disebut sebagai tidak dilabeli. Demikian juga dengan kotak- kotaknya, ada yang dapat dibedakan ada yang tidak dapat dibedakan. Jika menyelesaikan masalah menghitung menggunakan model distribusi objek ke kotak- kotak, harus ditentukan apakah objeknya atau kotaknya dapat dibedakan atau tidak dapat dibedakan.
Kita akan melihat bahwa terdapat rumus yang tertutup untuk menghitung banyaknya cara mendistribusikan objek-objek, dapat dibedakan atau tidak dapat dibedakan ke kotak-kotak yang dapat dibedakan. Tapi tidak ada rumus yang tertutup untuk menghitung banyaknya cara mendistribusikan objek yang dapat dibedakan atau tidak dapat dibedakan pada kotak yang tidak dapat dibedakan.
D. Prinsip Inkulusi-Ekslusi
Prinsip penjumlahan digunakan untuk mencari banyaknya unsur-unsur dari himpunan yang lepas. Untuk mencari banyaknya unsur-unsur dari himpunan-himpunan yang tidak lepas (disjoint, saling asing) digunakan prinsip inklusi – eksklusi, atau disebut juga metode saringan (sieve method).
• Jika A dan B adalah himpunan-himpunan bagian terhingga dari himpunan semesta S dan A B ≠ , maka
|A ∪ B| = |𝐴| + |𝐵| |A ∩ B|
• Jika A, B, dan C adalah himpunan-himpunan bagian terhingga dari himpunan semesta S dan ketiganya tidak saling asing, maka:
|A ∪ B ∪ C| = |𝐴| + |𝐵| + |𝐶| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|
A B
C
• Jika diketahui dua himpunan A, B, C, dan D, maka banyaknya anggota AUBUCUD adalah
| AUBUCUD| = | A| + | B| + | C| + | D| - | A∩B| - | A∩C| - | A∩D| - | B∩C| -
| B∩D| - | C∩D| + | A∩B∩C | + | A∩B∩D| + | A∩C∩D| + | B∩C∩D| -
|A∩B∩C∩D|
Berikut ini akan disajikan prinsip inkluasi dan eksklusi secara umum
Alternatif dari Bentuk Inklusi-Eksklusi
Terdapat bentu alternatif dari prinsip inklusi-ekluasi yang berguna dalam masalah menghitung. Khususnya, bentu ini dapat digunakan untu menyelesaiakn masalah menghitung banyanya anggota himpunan yang tidak memiliki sifat P1, P2, ..., Pn
Misal Ai adalah himpunan bagian yang memuat objek-objek yang bersifat Pi. Banyaknya anggota yang memiliki semua sifat Pi1, Pi2, ... Pin dapat dinyatakan dengan N(Pi1,
Pi2, ... Pin). Jika ditulis dalam istilah himpunan, diperoleh :
| Ai1 ∩ Ai2 ∩...∩Aik | = N(Pi1, Pi2, ... Pin)
Jka banyaknya anggota yang tidak memiliki sifat P1, P2, ... Pn dinyatakan dengan N(P1’, P2’, ... Pn’) dan banyanya anggota himpunan dalam himpunan itu N, maka
N(P1’, P2’, ... Pn’) = N - | A1 U A2 U ... U An|
E. Relasi Berulang
Suatu relasi berulang dari barisan {𝑎𝑛} adalah suatu persamaan yang menyatakan 𝑎𝑛 dalam suku-suku dari satu atau lebih suku sebelumnya dari barisan tersebut, sebutlah 𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎𝑛−1 , untuk semua bilangan bulat 𝑛0, dengan 𝑛0adalah bilangan bulat non negatif. Suatu barisan dikatakan penyelesaian dari suatu relasi berulang jika suku- sukunya memenuhi relasi berulang tersebut ( relasi berulang tersebut secara rekursif mendefinisikan barisan ).
Syarat awal barisan yang didefinisikan secara rekursif menentukan suku-suku yang mendahului suku pertama di mana relasi berulang mulai berlaku. Misalnya pada contoh pertama syarat awalnya adalah 𝑎0= 2 dan pada contoh kedua syarat awalnya 𝑎0= 3 dan 𝑎1= 5
Pemodelan Relasi Berulang o Menara Hanoi
Teka-teki Menara Hanoi adalah masalah teka-teki yang ditemukan pada akhir abad 19 oleh matematikawan Prancis Edourad Lucas. Yang dimaksud Menara Hanoi sendiri adalah alat bermain yang terdiri dari 3 tiang yang dipasang pada sebilah papan dan sejumlah cakram dalam berbagai ukuran Aturan teka-teki Menara Hanoi, membolehkan cakram dipindahkan dari satu tiang ke tiang yang lain selama cakram tidak pernah diletakkan di atas cakram yang lebih kecil. Target dari permainan ini adalah semua cakram berada di tiang kedua dalam urutan cakram yang paling besar ada pada bagian paling bawah. Misal 𝐻𝑛 menyatakan banyaknya perpindahan yang dibutuhkan untuk menyelesaikan masalah Menara Hanoi dengan 𝑛 cakram. Susun relasi berulang untuk barisan 𝐻𝑛
Metode Iterasi
Banyak metode yang bisa digunakan untuk menyelesaikan relasi berulang. Pada perkuliahan ini, hanya akan membahas dua cara yakni metode iterasi dan metode akar persamaan karakteristik .
F. Menyelesaikan Relasi Berulang
Relasi berulang sering muncul dalam model matematika untuk menyelesaikan masalah.
Ada beberapa cara yang dapat dipakai untuk mencari penyelesaian dari relasi berulang. Salah satunya adalah dengan menggunakan metode iterasi seperti yang sudah dibahas pada pertemuan sebelumnya. Berikut ini kita akan meninjau suatu metode lain untuk mencari penyelesaian relasi berulang , khususnya untuk relasi berulang yang dinyatakan sebagai kombinasi linier dari suku-suku sebelumnya. Pertama kita lihat dulu untuk kasus relasi berulang linier yang homogen.
Suatu relasi berulang linier homogen dengan derajat 𝑘 dengan koefisien konstan adalah relasi berulang dalam 𝑎𝑛= 𝑐1𝑎𝑛−1+ 𝑐2𝑎𝑛−2+ ⋯ + 𝑐𝑘𝑎𝑛−𝑘 dimana 𝑐1, 𝑐2, … , 𝑐𝑘 adalah bilangan riil dan 𝑐𝑘 ≠ 0
Mencari penyelesaian Relasi Linier Homogen dengan koefisien konstan
Pendekatan yang paling mendasar dalam menyelesaikan relasi berulang linier homogen adalah mencari penyelesaian dalam bentuk 𝑎𝑛= 𝑟𝑛, dengan 𝑟 konstan. Barisan 𝑎𝑛dengan 𝑎𝑛=𝑟𝑛 , adalah penyelesaian dari relasi berulang 𝑎𝑛= 𝑐1𝑎𝑛−1+ 𝑐2𝑎𝑛−2+ ⋯ + 𝑐𝑘𝑎𝑛−𝑘 jika dan hanya jika 𝑟 adalah penyelesaian dari persamaan Persamaan tersebut disebut persamaan karakteristik dari relasi berulang. Penyelesaian dari persamaan karakteristik di sebut akar karakteristik dari relasi berulang. Akar karakteristik ini dapat digunakan untuk memberikan rumus eksplisit untuk relasi berulang linier homogen.
TEOREMA 1
Misal 𝑐1dan 𝑐2bilangan riil. Misal 𝑟2− 𝑐1𝑟− 𝑐2 = 0 memiliki dua akar yang berbeda 𝑟1 dan 𝑟2, maka barisan 𝑎𝑛adalah penyelesaian dari relasi berulang 𝑎𝑛= 𝑐1𝑎𝑛−1+ 𝑐2𝑎𝑛−2 jika dan hanya jika 𝑎𝑛= 𝑎1𝑟1𝑛+ 𝑎2𝑟2𝑛 untuk 𝑛 = 0,1,2, … untuk suatu 𝑎1dan 𝑎2 konstanta
TEOREMA 2
Misal 𝑐1dan 𝑐2bilangan riil. Misal Misal 𝑟2− 𝑐1𝑟− 𝑐2 = 0 hanya memiliki satu akar yang berbeda 𝑟0 , maka baraisan 𝑎𝑛adalah penyelesaian dari relasi berulang 𝑎𝑛 = 𝑐1𝑎𝑛−1+ 𝑐2𝑎𝑛−2 jika dan hanya jika 𝑎𝑛= 𝑎1𝑟𝑛+ 𝑎2𝑛𝑟𝑛 , untuk 𝑛 = 0,1,2, … dengan 𝑎1dan 𝑎2 konstanta
Mencari penyelesaian Relasi Linier Homogen dengan koefisien konstan
Suatu relasi berulang linier nonhomogen dengan koefisien konstan adalah relasi berulang dalam bentuk
Definisi
𝑎𝑛 = 𝑐1𝑎𝑛−1+ 𝑐2𝑎𝑛−2+ ⋯ + 𝑐𝑘𝑎𝑛−𝑘+ 𝐹(𝑛)
dimana 𝑐1, 𝑐2, … , 𝑐𝑘adalah bilangan riil dan 𝐹(𝑛) adalah fungsi tak nol dan hanya bergantung pada 𝑛 Relasi berulang 𝑎𝑛= 𝑐1𝑎𝑛−1+ 𝑐2𝑎𝑛−2+ ⋯ + 𝑐𝑘𝑎𝑛−𝑘 disebut relasi berulang homogen yang bersesuaian.
Setiap penyelesaian relasi berulang linier non homogen adalah jumlah dari penyelesaian khusus dan penyelesaian dari persamaan linier homogen yang bersesuaian , seperti yang ditunjukkan teorema berikut:
Teorema 5
Jika {𝑎𝑛𝑝 }adalah penyelesaian khusus relasi berulang linier non homogen dengan koefisien konstan
𝑎𝑛= 𝑐1𝑎𝑛−1+ 𝑐2𝑎𝑛−2+ ⋯ + 𝑐𝑘𝑎𝑛−𝑘
maka setiap penyelesaian dalam bentuk {𝑎𝑛(𝑝)+ 𝑎𝑛(ℎ)} dengan 𝑎𝑛(ℎ)adalah penyelesaian dari relasi berulang linier homogen adalah penyelesaian dari relasi berulang linier homogen
𝑎𝑛= 𝑐1𝑎𝑛−1+ 𝑐2𝑎𝑛−2+ ⋯ + 𝑐𝑘𝑎𝑛−𝑘 Teorema 6
Misal 𝑎𝑛 memenuhi relasi berulang linier non homogen
𝑎𝑛= 𝑐1𝑎𝑛−1+ 𝑐2𝑎𝑛−2+ ⋯ + 𝑐𝑘𝑎𝑛−𝑘 Dengan 𝑐1, 𝑐2, … , 𝑐𝑘adalah bilangan riil𝑠
(𝑛) = (𝑏𝑡𝑛𝑡+ 𝑏𝑡−1𝑛𝑡−1+ ⋯ + 𝑏1𝑛 + 𝑏0) 𝑠𝑛 dimana 𝑏0, 𝑏1, … , 𝑏𝑡 dan 𝑠 adalah bilangan riil. Jika 𝑠 bukan akar dari persamaan karakteristik dari relasi berulang linier homogen, terdapat penyelesaian khusus dalam bentuk
(𝑝𝑡𝑛𝑡+ 𝑝𝑡−1𝑛𝑡−1+ ⋯ + 𝑝1𝑛 + 𝑝0)𝑠𝑛
Jika 𝑠 adalah akar dari persamaan karakteristik dan muncul sebanyak , terdapat penyelesaian khusus dalam bentuk
𝑛𝑚(𝑝𝑡𝑛𝑡+ 𝑝𝑡−1𝑛𝑡−1+ ⋯ + 𝑝1𝑛 + 𝑝0)𝑠𝑛
