FORMULA PENJUMLAHAN BILANGAN k-lucas DENGAN INDEKS YANG BERBENTUK an+r KARYA ILMIAH OLEH MELIA NOFERINA PUTRI NIM

FORMULA PENJUMLAHAN BILANGAN k -LUCAS DENGAN INDEKS YANG BERBENTUK an+r. KARYA ILMIAH. OLEH MELIA NOFERINA PUTRI NIM. 1503114521. PROGRAM STUDI S1 MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS RIAU PEKANBARU 2019.

FORMULA PENJUMLAHAN BILANGAN k -LUCAS DENGAN INDEKS YANG BERBENTUK an+r Melia Noferina Putri Mahasiswa Program Studi S1 Matematika Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Riau Kampus Bina Widya, Pekanbaru 28293 melia.noferinaputri@gmail.com. ABSTRACT This articel discusses some proofs for sum of k-Lucas numbers with index an + r. This sum is proved by using the Binet’s formula. This articel is a review of some parts of article of Falcon [Applied Mathematics, 3 (2012), 1202-1206.] Keywords: k-Fibonacci numbers, k-Lucas numbers, sum of k-Lucas numbers, Binet’s formula ABSTRAK Artikel ini membahas beberapa pembuktian penjumlahan bilangan k-Lucas dengan indeks an + r. Penjumlahan bilangan tersebut dibuktikan dengan menggunakan rumus Binet. Artikel ini merupakan tinjauan ulang sebagian artikel Falcon [Applied Mathematics, 3 (2012), 1202-1206.] Kata kunci: Bilangan k-Fibonacci, bilangan k-Lucas, penjumlahan bilangan k-Lucas, rumus Binet 1. PENDAHULUAN Di dalam buku Burton [2, h. 284] dijelaskan bahwa barisan bilangan Fibonacci dikenal setelah seorang matematikawan Italia bernama Leonardo Fibonacci pada tahun 1202, di dalam bukunya berjudul Liber Abaci yang melakukan sebuah pengamatan terhadap peternakan kelinci. Di dalam buku Koshy [8, h. 128] dijelaskan bahwa dilakukan pengamatan selama satu tahun terhadap sepasang kelinci, seekor jantan dan seekor betina. Pengamatan tersebut menghasilkan sebuah barisan bilangan yang ditulis Fibonacci sebagai berikut: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, . . . .. 1.

Benjamin dan Quinn [1] menjelaskan barisan bilangan Fibonacci secara rekursif sebagai berikut: Fn = Fn−1 + Fn−2 , n ≥ 2 dengan F0 = 0 dan F1 = 1, sehingga diperoleh barisan bilangan Fibonacci sebagai berikut: Fn = 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, . . . . Seorang matematikawan Perancis yang bernama Edouard Anatole Lucas, mengembangkan barisan bilangan Fibonacci tersebut. Koshy [9, h. 8] menjelaskan barisan bilangan Fibonacci dan barisan bilangan Lucas ini memiliki kemiripan, hanya nilai awal yang berbeda. Barisan bilangan Lucas dapat ditulis kedalam bentuk barisan sebagai berikut: 2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, . . . . Kemudian, Panwar et al. [10] mendefinisikan barisan bilang Lucas secara rekursif sebagai berikut: Ln = Ln−1 + Ln−2 , n ≥ 2 dengan L0 = 2 dan L1 = 1, sehingga diperoleh barisan bilangan Lucas sebagai berikut: Ln = 2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, . . . . Sedangkan, Koshy [9, h. 6] dan Vajda [11, h. 9] juga menjelaskan bilangan Fibonacci dan bilangan Lucas secara umum. Bilangan Fibonacci Fn adalah suku dari barisan {Fn } dimana masing-masing dari bentuknya merupakan penjumlahan dari dua suku sebelumnya, dimulai dengan nilai awal F0 = 0 dan F1 = 1. Bilangan Lucas Ln adalah suku dari barisan {Ln } dimana masing-masing dari bentuknya merupakan penjumlahan dari dua suku sebelumnya, dimulai dengan nilai awal L0 = 2 dan L1 = 1. Ada banyak barisan Fibonacci dan Lucas yang telah digeneralisasi menjadi barisan bilangan baru, salah satu hasil generalisasi dari bilangan Fibonacci dan Lucas adalah barisan k-Fibonacci dan k-Lucas. Selain itu, bilangan Fibonacci dan bilangan Lucas juga tergeneralisasi menjadi suatu barisan yang lain yaitu bilangan k-Fibonacci dan k-Lucas dengan indeks yang berbentuk an + r dengan a adalah bilangan bulat positif dan r = 0, 1, 2, . . . , a − 1 atau r < a. Tetapi pada artikel ini lebih memfokuskan untuk membahas bilangan k-Lucas dengan indeks yang berbentuk an + r. Di dalam artikel ini dibahas lebih lanjut tentang formula dari bilangan k-Lucas dengan indeks yang berbentuk an + r, penjumlahan bilangan k-Lucas dengan indeks yang berbentuk an + r dan penjumlahan bilangan k-Lucas dengan indeks an + r alternating yang dibuktikan dengan menggunakan rumus Binet. Artikel ini merupakan tinjauan ulang sebagian dari artikel Falcon [4].. 2.

2. BILANGAN k -FIBONACCI DAN k -LUCAS Falcon dan Plaza [6] mendefinisikan barisan bilangan k-Fibonacci sebagai berikut: Definisi 1 Sebarang k bilangan bulat positif, barisan k-Fibonacci {Fk,n }∞ n=1 didefinisikan secara rekursif oleh Fk,n+1 = kFk,n + Fk,n−1 ,. (1). untuk n ≥ 1 dengan Fk,0 = 0 dan Fk,1 = 1. Sedangkan barisan bilangan k-Lucas merupakan generalisasi dari barisan bilangan Lucas. Godase dan Dhakne [7] mendefinisikan barisan bilangan k-Lucas sebagai berikut: Definisi 2 Barisan k-Lucas {Lk,n }∞ n=1 didefinisikan sebagai Lk,n+1 = kLk,n + Lk,n−1 ,. (2). untuk n ≥ 1 dengan Lk,0 = 2 dan Lk,1 = k. Bilangan k-Lucas untuk setiap nilai n ≥ 0 diberikan pada Tabel 1 [3]. Tabel 1: Bilangan k-Lucas n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 .. .. Lk,n 2 k k2 + 2 k 3 + 3k k 4 + 4k 2 + 2 k 5 + 5k 3 + 5k k 6 + 6k 4 + 9k 2 + 2 k 7 + 7k 4 + 14k 3 + 7k k 8 + 8k 6 + 20k 4 + 16k 2 + 2 k 9 + 9k 7 + 27k 5 + 30k 3 + 9k k 10 + 10k 8 + 35k 6 + 50k 4 + 25k 2 + 2 .. .. 3. RUMUS BINET UNTUK BILANGAN k -FIBONACCI DAN k -LUCAS Pada bagian ini dipaparkan rumus Binet untuk bilangan k-Fibonacci dan bilangan k-Lucas. Falcon dan Plaza [6] menjelaskan rumus Binet dari bilangan k-Fibonacci sebagai berikut: 3.

Proposisi 1 Rumus Binet bilangan k-Fibonacci diberikan oleh Fk,n =. σ1n − σ2n , σ1 − σ2. (3). √ √ dengan σ1 = (k + k 2 + 4)/2 dan σ2 = (k − k 2 + 4)/2 adalah akar-akar karakteristik pada persamaan σ 2 = kσ + 1. Bukti. Bukti dari Proposisi 1 dapat dilihat pada artikel Falcon dan Plaza [6]. ✷. Selain rumus Binet untuk bilangan k-Fibonacci, Falcon [3] juga menjelaskan rumus Binet untuk bilangan k-Lucas sebagai berikut: Teorema 3 Rumus Binet bilangan k-Lucas diberikan oleh Lk,n = σ1n + σ2n ,. (4). √ √ dengan σ1 = (k + k 2 + 4)/2 dan σ2 = (k − k 2 + 4)/2 adalah akar-akar karakteristik pada persamaan σ 2 = kσ + 1. Bukti. Bukti dari Teorema 3 dapat dilihat pada artikel Falcon [3]. ✷. Selanjutnya diberikan contoh untuk penggunaan Teorema 3. Contoh 1 Akan ditentukan bilangan k-Lucas untuk L3,3 . Dengan mensubstitusikan k = 3 dan n = 3 ke persamaan (4) untuk ruas kirinya diperoleh L3,3 = 3L3,2 + L3,1 , = 3(11) + 3, L3,3 = 36. Untuk ruas kiri diperoleh L3,3 = 36, selanjutnya untuk ruas kanannya menjadi L3,3 = σ13 + σ23 , √ √  3  3 3 − 32 + 4 3 + 32 + 4 = + , 2 2 √ 3  √ 3  3 + 13 3 − 13 + , = 2 2 = 36, 0277563773 + (−0, 0277563773), L3,3 = 36.. 4.

4. BILANGAN k -FIBONACCI DAN k -LUCAS DENGAN INDEKS an+r Pada bagian ini dipaparkan rumus bilangan k-Fibonacci dengan indeks an + r dan bilangan k-Lucas dengan indeks an + r. Selanjutnya, Falcon dan Plaza [5] menjelaskan rumus bilangan k-Fibonacci dengan indeks an + r sebagai berikut: Lema 4 Jika a, k adalah bilangan bulat positif, n ≥ 1 dan r = 0, 1, 2, . . . , a − 1, maka Fk,a(n+2)+r = (Fk,a−1 + Fk,a+1 )Fk,a(n+1)+r − (−1)a Fk,a+r . (5) Bukti. Bukti dari Lema 4 dapat dilihat pada artikel Falcon dan Plaza [5]. ✷. Kemudian, Falcon [4] menjelaskan rumus bilangan k-Lucas dengan indeks yang berbentuk an + r sebagai berikut: Teorema 5 Jika a, k adalah bilangan bulat positif, n ≥ 1 dan r = 0, 1, 2, . . . , a − 1, maka Lk,a(n+1)+r = Lk,a Lk,an+r − (−1)a Lk,a(n−1)+r . (6) Bukti. Bukti dari Teorema 5 dapat dilihat pada artikel Falcon [4]. ✷. Terdapat banyak kasus untuk memperoleh barisan bilangan k-Lucas dengan indeks an + r, tergantung pada nilai a, r, dan k. (i) Untuk a = 1 dan r = 0 (a) Jika k = 1, maka barisan bilangan k-Lucas dengan indeks an + r adalah 2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, . . . . (b) Jika k = 2, maka barisan bilangan k-Lucas dengan indeks an + r adalah 2, 2, 6, 14, 34, 82, 198, 478, . . . . (c) Jika k = 3, maka barisan bilangan k-Lucas dengan indeks an + r adalah 2, 3, 11, 36, 119, 393, 1298, 4287, . . . . (ii) Untuk a = 2 (a) Ketika r = 0, sehingga (i) Untuk k = 1, diperoleh barisan bilangan k-Lucas dengan indeks an + r adalah 2, 3, 7, 18, 47, 123, 322, . . . .. 5.

(ii) Untuk k = 2, diperoleh barisan bilangan k-Lucas dengan indeks an + r adalah 2, 6, 34, 198, 1.154, 6.726, 39.202, . . . . (iii) Untuk k = 3, diperoleh barisan bilangan k-Lucas dengan indeks an + r adalah 2, 11, 119, 1.298, 14.159, 154.451, 1.684.802, . . . . (b) Ketika r = 1, sehingga (i) Untuk k = 1, diperoleh barisan bilangan k-Lucas dengan indeks an + r adalah 1, 4, 11, 29, 76, 199, 521, . . . . (ii) Untuk k = 2, diperoleh barisan bilangan k-Lucas dengan indeks an + r adalah 2, 14, 82, 478, 2.786, 16.238, 94.642, . . . . (iii) Untuk k = 3, diperoleh barisan bilangan k-Lucas dengan indeks an + r adalah 3, 36, 393, 4.287, 46.764, 510.117, 5.564.523, . . . .. 5. PENJUMLAHAN BILANGAN k -LUCAS DENGAN INDEKS YANG BERBENTUK an+r Pada bagian ini dipaparkan formula penjumlahan bilangan k-Lucas dengan indeks yang berbentuk an + r menggunakan rumus Binet serta contohnya. Teorema 6 [4] Jika a, k adalah bilangan bulat positif dan r = 0, 1, 2, . . . , a − 1 maka n X Lk,a(n+1)+r − (−1)a Lk,an+r + (−1)r Lk,a−r − Lk,r Lk,aj+r = . (7) a−1 L − (−1) k,a j=0 Bukti. Bukti dari Teorema 6 dapat dilihat pada artikel Falcon [4]. ✷. Selanjutnya diberikan contoh untuk penggunaan Teorema 6. Contoh 2 Akan ditentukan jumlah sepuluh suku pertama dari barisan bilangan kLucas dengan indeks an+r, diberikan nilai a = 2, r = 0, k = 1, dan n = 10. Masalah ini diselesaikan dengan menggunakan dua cara yaitu dengan menjumlahkan bilangan k-Lucas dengan indeks an + r secara langsung dan dengan menggunakan formula penjumlahan bilangan k-Lucas dengan indeks an + r pada Teorema 6.. 6.

(i) Menjumlahkan bilangan k-Lucas dengan indeks an + r secara langsung 10 X. L1,2j = L1,0 + L1,2 + L1,4 + L1,6 + L1,8 + L1,10 + L1,12 + L1,14. j=0. + L1,16 + L1,18 + L1,20 , = 2 + 3 + 7 + 18 + 47 + 123 + 322 + 843 + 2.207 + 5.778 + 15.127, 10 X. L1,2j = 24.477.. j=0. (ii) Menggunakan formula penjumlahan bilangan k-Lucas dengan indeks an + r pada Teorema 6 10 X. L1,2j+0 =. j=0. L1,2(10+1)+0 − (−1)2 L1,2(10)+0 + (−1)0 L1,2−0 − L1,0 , L1,2 − (−1)2 − 1. L1,22 − L1,20 + L1,2 − L1,0 , L1,2 − 1 − 1 39.603 − 15.127 + 3 − 2 = , 3−2 =. 10 X. L1,2j = 24.477.. j=0. Jadi, P dapat dilihat dari kedua cara pada contoh tersebut, untuk mendapatkan nilai 10 dari j=0 L1,2j lebih sederhana menggunakan Teorema 6, dibandingkan dengan menjumlahkan bilangan k-Lucas dengan indeks an + r secara langsung. Kemudian dengan menggunakan Teorema 6, Falcon [4] menjelaskan bahwa terdapat rumus untuk kasus a ganjil, yaitu a = 2p + 1 dengan p ≥ 0 sebagai berikut: Akibat 7 [4] Jika a = 2p + 1, maka persamaan (7) menjadi n X j=0. Lk,(2p+1)j+r =. Lk,(2p+1)(n+1)+r + Lk,(2p+1)n+r − Lk,r + (−1)r Lk,(2p+1)−r . Lk,2p+1. (8). 7.

Bukti. Dengan mensubstitusikan a = 2p + 1 ke persamaan (7) diperoleh n X. Lk,(2p+1)j+r =. j=0. n X. Lk,(2p+1)(n+1)+r − (−1)2p+1 Lk,(2p+1)n+r Lk,2p+1 − (−1)2p+1 − 1. (−1)r Lk,(2p+1)−r − Lk,r + , Lk,2p+1 − (−1)2p+1 − 1 Lk,(2p+1)j+r =. j=0. Lk,(2p+1)(n+1)+r + Lk,(2p+1)n+r − Lk,r + (−1)r Lk,(2p+1)−r . Lk,2p+1. Oleh karena itu, Akibat 7 terbukti. ✷ Selanjutnya dengan menggunakan Teorema 6, Falcon [4] juga menjelaskan bahwa terdapat rumus untuk kasus a genap, yaitu a = 2p dengan p ≥ 1 yaitu: Akibat 8 [4] Jika a = 2p, maka persamaan (7) menjadi n X. Lk,2pj+r. j=0. Lk,2p(n+1)+r − Lk,2pn+r − Lk,r + (−1)r Lk,2p−r = . Lk,2p − 2. (9). Bukti. Dengan mensubstitusikan a = 2p ke persamaan (7) diperoleh n X. Lk,2pj+r =. n X. Lk,2p(n+1)+r − (−1)2p Lk,2pn+r + (−1)r Lk,2p−r − Lk,r , Lk,2p − (−1)2p − 1. Lk,2pj+r =. Lk,2p(n+1)+r − Lk,2pn+r − Lk,r + (−1)r Lk,2p−r . Lk,2p − 2. j=0. j=0. Dengan demikian, Akibat 8 terbukti.. ✷. 6. PENJUMLAHAN BILANGAN k -LUCAS DENGAN INDEKS YANG BERBENTUK an+r ALTERNATING Pada bagian ini dipaparkan formula penjumlahan bilangan k-Lucas dengan indeks an + r alternating menggunakan rumus Binet serta contohnya. Teorema 9 [4] Jika a, k adalah bilangan bulat positif dan r = 0, 1, 2, . . . , a − 1 maka n X j=0. j. (−1) Lk,aj+r. (−1)a+n Lk,an+r + (−1)n Lk,a(n+1)+r + (−1)r Lk,a−r + Lk,r . (10) = Lk,a + (−1)a + 1. Bukti. Bukti dari Teorema 9 dapat dilihat pada artikel Falcon [4]. ✷. Selanjutnya diberikan contoh untuk penggunaan Teorema 9.. 8.

Contoh 3 Akan ditentukan jumlah sepuluh suku pertama dari barisan bilangan k-Lucas dengan indeks an + r alternating, diberikan nilai a = 1, r = 0, k = 2, dan n = 10. Masalah ini diselesaikan dengan menggunakan dua cara yaitu dengan menjumlahkan bilangan k-Lucas dengan indeks an + r alternating secara langsung dan dengan menggunakan formula penjumlahan bilangan k-Lucas dengan indeks an + r alternating pada Teorema 9. (i) Menjumlahkan bilangan k-Lucas dengan indeks an+r alternating secara langsung 10 X. (−1)j L2,j = (−1)0 L2,0 + (−1)1 L2,1 + (−1)2 L2,2 + (−1)3 L2,3. j=0. 10 X. + (−1)4 L2,4 + (−1)5 L2,5 + (−1)6 L2,6 + (−1)7 L2,7 + (−1)8 L2,8 + (−1)9 L2,9 + (−1)10 L2,10 , = 2 − 2 + 6 − 14 + 34 − 82 + 198 − 478 + 1.154 − 2.786 + 6.726, (−1)j L2,j = 4.758.. j=0. (ii) Menggunakan formula penjumlahan bilangan k-Lucas dengan indeks an + r alternating pada Teorema 9 10 X. (−1)j L2,(1)j+0 =. j=0. (−1)1+10 L2,1(10)+0 + (−1)10 L2,1(10+1)+0 L2,1 + (−1)1 + 1. (−1)0 L2,1−0 + L2,0 , L2,1 + (−1)1 + 1 −L2,10 + L2,11 + L2,1 + L2,0 , = L2,1 − 1 + 1 −6.726 + 16.238 + 2 + 2 = , 2−1+1 +. 10 X. (−1)j L2,j = 4.758.. j=0. Jadi,P dapat dilihat dari kedua cara pada contoh tersebut, untuk mendapatkan nilai j dari 10 j=0 (−1) L2,j lebih sederhana menggunakan Teorema 9, dibandingkan dengan menjumlahkan bilangan k-Lucas dengan indeks an + r alternating secara langsung.. 9.

6. KESIMPULAN Berdasarkan hasil pembahasan yang telah dikemukakan sebelumnya, dapat disimpulkan bahwa bilangan k-Lucas dengan indeks an + r merupakan generalisasi dari bilangan k-Lucas. Kemudian dari barisan bilangan k-Lucas dengan indeks yang berbentuk an + r ini diperoleh formula penjumlahan bilangan k-Lucas dengan indeks yang berbentuk an + r. Formula ini dapat digunakan untuk mempermudah menghitung jumlah n-suku pertama dalam barisan bilangan k-Lucas dengan indeks an + r. Kemudian, juga diperoleh formula penjumlahan bilangan k-Lucas dengan indeks an + r alternating. Formula penjumlahan ini dibuktikan dengan menggunakan rumus Binet. Ucapan terima kasih Penulis mengucapkan terima kasih kepada Dr. Sri Gemawati, M. Si. yang telah memberikan arahan dan bimbingan dalam penulisan artikel ini. DAFTAR PUSTAKA [1] A. T. Benjamin dan J. J. Quinn, Recounting Fibonacci and Lucas identities, The College Mathematics Journal, 30 (1999), 359-366. [2] D. M. Burton, Elementary Number Theory, Seventh Edition, McGraw-Hill Companies, New York, 2011. [3] S. Falcon, On the k-Lucas numbers, International Journal of Contemporary Mathematical Sciences, 6 (2011), 1039-1050. [4] S. Falcon, On the k-Lucas numbers of arithmetic indexes, Applied Mathematics, 3 (2012), 1202-1206. [5] S. Falcon dan A. Plaza, On k-Fibonacci numbers of arithmetic indexes, Appllied Mathematics and Computation, 208 (2009), 180-185. [6] S. Falcon dan A. Plaza, The k-Fibonacci sequence and the Pascal 2-triangle, Chaos, Solitons dan Fractals, 33 (2007), 38-49. [7] A. D. Godase dan M. B. Dhakne, Fibonacci and k-Lucas sequences as series of fraction, Mathematical Journal of Interdisciplinary Sciences, 4 (2016), 107119. [8] T. Koshy, Elementary Number Theory with Applications, Second Edition, Elsevier Academic Press, London, 2007. [9] T. Koshy, Fibonacci and Lucas Numbers with Applications, Jhon Wiley & Sons, Framingham, 2001.. 10.

[10] Y. K. Panwar, G. P. S. Rathore dan R. Chawla, On sums of odd and even terms of the k-Fibonacci numbers, Global Journal of Mathematical Analysis, 2 (2014), 115-119. [11] S. Vajda, Fibonacci and Lucas Number and the Golden Section, Elsevier Academic Press, London, 2007.. 11.