4
Oleh :
Debrina Puspita Andriani, ST., M.Eng
Teknik Industri
Universitas Brawijaya
e-mail :
debrina@ub.ac.id
www.debrina.lecture.ub.ac.id
O
U
T
L
I
N
E
1. Gradien
a.
Gradien Aritmatik
b.
Gradien Geometrik
2. Bunga Nominal vs Bunga Efektif
3. Majemuk Kontinyu
4. Pemajemukan Kontinyu untuk Aliran Kas Diskrit
5. Pemajemukan Kontinyu untuk Aliran Kas Kontinyu
1. GRADIEN ARITMATIK
(
)
(
A
G
i
n
)
G
A
i
n
i
G
A
n
,
,
/
1
1
1
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
+
−
=
GRADIEN ARITMATIK
CONTOH 1 (1)
Seseorang berencana untuk menyimpan pemasukannya per tahun
sebesar $1000 dan dapat menaikkan pemasukannya sebesar
$200/tahun selama 9 tahun berikutnya.
Rangkaian cashflow bermula pada akhir tahun pertama, dan jumlah
tabungan terakhir akan terjadi pada akhir tahun kesepuluh
Bila bunga adalah 8% per thn, berapa annual worth yang setara
yang dimulai pada akhir tahun 1 dan berakhir pada tahun 10,
dimana annual worth tsb memperhitungkan adanya rangkaian
gradien/kenaikan pemasukan $200/thn?
SOLUSI :
A = $1.000 + $200
1
0, 08
−
10
1+ 0, 08
(
)
10−1
"
#
$
$
%
&
'
'
A = $1.000 + $200 12, 5 −
10
1,1589
"
#
$
%
&
'
A = $1.000 + $200 12, 5 − 8, 6287
[
]
A = $1.000 + $200 3,8713
[
]
A = $1.000 + $774, 2628
A = $1.774
GRADIEN ARITMATIK
CONTOH 1 (2)
Atau dengan Tabel
A = $1000 + $200(A / G,i, n)
A = $1000 + $200(A / G,8%,10)
A = $1000 + $200(3.8713)
GRADIEN ARITMATIK
CONTOH 2 (1)
ENGINEERING ECONOMY - WWW.DEBRINA.LECTURE.UB.AC.ID
7
Bunga 9% per tahun
SOLUSI :
(
)
(
)
650
.
3
$
A
350
.
1
$
000
.
5
$
A
2498
,
2
600
$
000
.
5
$
A
6
%,
9
,
G
/
A
600
$
000
.
5
$
A
=
-=
-=
-=
GRADIEN ARITMATIK
CONTOH 2 (2)
GRADIEN ARITMATIK
ENGINEERING ECONOMY - WWW.DEBRINA.LECTURE.UB.AC.ID
9
F =
G
i
(1+ i)
N
−1
i(1+ i)
N
−
N
i 1+ i
(
)
N
"
#
$
$
%
&
'
'
(
1+ i
)
N
F = G F / G,i%, N
(
)
P =
G
i
(1+ i)
N
−1
i(1+ i)
N
−
N
i 1+ i
(
)
N
"
#
$
$
%
&
'
'
P = G P / G,i%, N
(
)
GRADIEN ARITMATIK
G / P, i%, N
(
)
= G / A, i%, N
(
)
(
A / P, i%, N
)
G / F, i%, N
(
)
= G / P, i%, N
(
)
(
P / F, i%, N
)
G / A, i%, N
(
)
= G / F, i%, N
(
)
(
F / A, i%, N
)
Dan seterusnya.
HUBUNGAN P, F, A DENGAN G
ENGINEERING ECONOMY - WWW.DEBRINA.LECTURE.UB.AC.ID
11
G
A
F
P
(A/G, i%, N)
(G/A, i%, N)
(F/G, i%, N)
(G/F, i%, N)
(P/G, i%, N)
GRADIEN GEOMETRIK
ENGINEERING ECONOMY - WWW.DEBRINA.LECTURE.UB.AC.ID
13
P =
F
1
1+ g
1+ g'
(
)
n
−1
g' 1+ g'
(
)
n
"
#
$
$
%
&
'
'
P =
F
1
1+ g
(
P / A, g', n
)
g' =
1+ i
1+ g
−1
[
]
(
)
(
)
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
−
+
+
=
→
<
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
=
→
=
+
=
→
>
n
n
g
g
g
g
F
P
g
g
n
F
P
g
n
g
A
P
g
F
P
g
'
1
'
1
'
1
1
0
'
1
0
'
,'
,
/
1
0
'
1
1
1
Catatan !
SOAL
TUGAS
1. Pemasukan dari suatu usaha tertentu diestimasi akan naik 7%
per tahun dari dasar tahun pertama sebesar $360.000. Berapa
harga saat ini dari 10 tahun pemasukan tersebut dengan suku
bunga 15%?
2. Pemasukan dari aktivitas tertentu dihitung naik 10% per tahun
dari awal tahun pertama $10.000. Berapa harga saat ini dari 10
tahun pemasukan tersebut dengan tingkat suku bunga 10%?
3. Gaji lulusan terakhir diharapkan meningkat 12% per tahun dari
awal $52.000 untuk 5 tahun berikutnya. Bila tingkat suku bunga
diambil 10% selama periode tersebut, berapa harga saat ini atas
pendapatan tersebut?
BUNGA NOMINAL VS BUNGA EFEKTIF
Muncul karena adanya pertimbangan frekuensi majemuk
Tingkat suku bunga efektif adalah tingkat suku bunga aktual yang
digunakan bila periode pemajemukannya kurang dari satu tahun
Tingkat suku bunga nominal dinyatakan atas dasar per tahun dan
ditentukan dengan mengalikan tingkat suku bunga aktual
(efektif) per periode bunga dengan jumlah periode majemuk per
tahun
Perhitungan tingkat bunga nominal mengabaikan nilai uang dari
waktu
TINGKAT SUKU BUNGA NOMINAL DAN EFEKTIF
r = tingkat suku bunga nominal per tahun
i = tingkat suku bunga efektif dalam interval
waktu (per periode pemajemukan)
l = jangka interval waktu (dalam tahun)
m = timbal balik dari jangka periode
majemuk/jumlah pemajemukan (dalam tahun)
c = jumlah periode yang dimajemukkan
dalam interval waktu (c = l x m)
TINGKAT SUKU BUNGA NOMINAL
TINGKAT SUKU BUNGA EFEKTIF
ENGINEERING ECONOMY - WWW.DEBRINA.LECTURE.UB.AC.ID
19
i
eff
= (1 + i)
m
– 1
TI
N
GK
AT
SU
K
U
BU
N
G
A
N
O
M
IN
AL
D
AN
EFEK
TIF
Jumlah
Pemajemukan/
tahun
(m)
Tingkat bunga
Nominal
(r)%
Tingkat bunga efektif
i
eff
%
1
15
2
15
12
15
TINGKAT SUKU BUNGA EFEKTIF
Dengan pendekatan lain, tingkat bunga efektif dapat dihitung dari
ENGINEERING ECONOMY - WWW.DEBRINA.LECTURE.UB.AC.ID
21
i
eff
=
F − P
P
i
eff
=
F
P
−1
F = P(1+ i
eff
)
n
⇔ i
eff
=
F
P
#
$%
&
'(
1
N
−1
CONTOH (1)
Seorang karyawan meminjam uang Rp. 3 juta dan dia
harus mengembalikan pinjaman tersebut 6,5 tahun
lagi sebesar 4,5 juta. Bila periode pemajemukan
adalah 6 bulan, berapakah besarnya bunga efektif
tahunan dari pinjaman tersebut?
JAWAB
ENGINEERING ECONOMY - WWW.DEBRINA.LECTURE.UB.AC.ID
23
setahun
i
eff
=
F
P
!
"#
$
%&
1
N
−1
i
eff
=
4, 5
3
!
"#
$
%&
1
6,5
−1
i
eff
= 1, 5
1
6,5
−1
i
eff
= 1, 0644 −1
i
eff
= 0, 0644 = 6, 44%
i =
F
P
!
"#
$
%&
1
n
−1
i =
4, 5
3
!
"#
$
%&
1
13
−1
i = 1, 5
1
13
−1
i = 1, 0317 −1
i = 0, 0317 = 3,17%
0
,
0644
6
,
44
%
1
0644
,
1
1
2
0634
,
0
1
1
1
0634
,
0
2
0317
,
0
2
=
=
−
=
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
=
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
=
=
×
=
i
i
i
m
r
i
r
r
m
JAWAB
Atau juga bisa dengan cara
setahun
per 6 bln
CONTOH (2)
Apabila seseorang menabung sebanyak Rp. 1 juta
sekarang, Rp. 3 juta untuk 4 tahun dari sekarang, dan
Rp 1,5 juta untuk 6 tahun dari sekarang dengan
tingkat bunga 12% per tahun dan dimajemukkan tiap
6 bulan, berapa uang yang ia miliki 10 tahun dari
sekarang?
CONTOH
Maka
F
= Rp. 1 juta (F/P, 12,36%, 10) + Rp. 3 juta (F/P,
12,36%, 6) + Rp. 1,5 juta (F/P, 12,36%, 4)
= Rp. 11,6345 juta
CONTOH
Cara lain
F = Rp. 1 juta [F/P, 12/2%, 2(10)] + Rp. 3 juta [F/P,
12/2%, 2(6)] + Rp. 1,5 juta [F/P, 12/2%, 2(4)]
= Rp. 1 juta (F/P, 6%, 20) + Rp. 3 juta (F/P, 6%,
12) + Rp. 1,5 juta (F/P, 6%, 8)
= Rp. 11,6345 juta
BUNGA SETAHUN EFEKTIF UNTUK MAJEMUK
TERUS-MENERUS
ENGINEERING ECONOMY - WWW.DEBRINA.LECTURE.UB.AC.ID
29
i
eff
= lim
m→∞
1+
r
m
#
$
%
&
'
(
m
−1
i
eff
= lim
m→∞
1+
r
m
#
$
%
&
'
(
m
r
*
+
,
,
-.
/
/
r
−1
lim
m→∞
1+
r
m
#
$
%
&
'
(
m
r
≈ e
i
eff
= e
r
−1
e
= 2,71828
PEMAJEMUKAN KONTINYU
UNTUK ALIRAN KAS DISKRIT
ENGINEERING ECONOMY - WWW.DEBRINA.LECTURE.UB.AC.ID
31
Single Payment Compound Amount Factor
Single Payment Present Worth Factor
Uniform Series Compound Amount Factor
Uniform Series Sinking Fund Factor
Uniform Series Present Worth Factor
Uniform Series Capital Recovery Factor
Gradien Aritmatik & Gradien Geometrik
SINGLE PAYMENT COMPOUND AMOUNT FACTOR
F = P(e
rN
)
SINGLE PAYMENT PRESENT WORTH FACTOR
ENGINEERING ECONOMY - WWW.DEBRINA.LECTURE.UB.AC.ID
33
P = F
1
e
rN
!
"#
$
%&
P = F P / F, r%, N
(
)
UNIFORM SERIES COMPOUND AMOUNT FACTOR
F = A
e
rN
−1
e
r
−1
"
#
$
%
&
'
F = A F / A, r%, N
(
)
UNIFORM SERIES SINKING FUND FACTOR
ENGINEERING ECONOMY - WWW.DEBRINA.LECTURE.UB.AC.ID
35
A = F
e
r
−1
e
rN
−1
"
#
$
%
&
'
A = F A / F, r%, N
(
)
UNIFORM SERIES PRESENT WORTH FACTOR
P = A
1− e
−rN
e
r
−1
"
#
$
%
&
'
P = A
e
rN
−1
e
rN
(
e
r
−1
)
"
#
$
$
%
&
'
'
P = A P / A, r%, N
(
)
UNIFORM SERIES CAPITAL RECOVERY FACTOR
ENGINEERING ECONOMY - WWW.DEBRINA.LECTURE.UB.AC.ID
37
A = P
e
r
−1
1− e
−rN
"
#
$
%
&
'
A = P
e
rN
e
r
−1
(
)
e
rN
−1
"
#
$
$
%
&
'
'
A = P A / P, r%, N
(
)
GRADIEN ARITMATIK
A = G
1
e
r
−1
−
N
e
rN
−1
"
#$
%
&'
A = G A / G, r%, N
(
)
GRADIEN GEOMETRIK
ENGINEERING ECONOMY - WWW.DEBRINA.LECTURE.UB.AC.ID
39
g' =
1+ e
r
−1
(
)
(
)
1+ g
(
)
−1
g' =
e
r
1+ g
(
)
−1
P = F
1
(
P / A, g', N
)
1+ g
"
#
$
%
&
'
CONTOH
Seorang pelajar menabung setiap akhir tahun
dengan jumlah Rp 60.000 per tahun. Bila
tingkat bunga sebesar 10% dan dibungakan
secara kontinyu, hitunglah tingkat bunga
efektif dan nilai awal (P) dari semua
tabungannya!
JAWAB
(
)
(
)
(
)
624
.
360
0104
,
6
000
.
60
1
1
000
.
60
1
1
000
.
60
%
52
,
10
1052
,
0
1
1
10
,
0
10
10
,
0
10
10
,
0
10
,
0
Rp
P
Rp
P
e
e
e
Rp
P
e
e
e
Rp
P
i
e
i
e
i
r
rn
rn
r
=
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
=
=
=
−
=
−
=
×
×
ENGINEERING ECONOMY - WWW.DEBRINA.LECTURE.UB.AC.ID
41
Tingkat bunga efektif
UNIFORM SERIES COMPOUND AMOUNT FACTOR
ENGINEERING ECONOMY - WWW.DEBRINA.LECTURE.UB.AC.ID
43
(
F
A
r
n
)
A
F
r
e
A
F
rn
,
,
/
1
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
=
UNIFORM SERIES SINKING FUND FACTOR
(
A
F
r
n
)
F
A
e
r
F
A
rn
,
,
/
1
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
=
UNIFORM SERIES PRESENT WORTH FACTOR
ENGINEERING ECONOMY - WWW.DEBRINA.LECTURE.UB.AC.ID
