DAFTAR ISI. Daftar Isi Rangkuman Ujian Tengah Semester Ujian Akhir Semester Ujian Tengah Semester

(1)

(2)

1 DAFTAR ISI

Daftar Isi ... 1

Rangkuman ... 2

Ujian Tengah Semester 2017… ... 14

Ujian Akhir Semester 2017… ... 17

Remidi Ujian Tengah Semester 2018… ... 24

Tugas 1 2019… ... 29

Tugas 2 2019… ... 35

Tugas 3 2019… ... 42

Tugas 1 2020… ... 65

Tugas 2 2020… ... 75

Remidi Ujian Tengah Semester 2020… ... 91

(3)

2

LOGIKA DAN HIMPUNAN Rangkuman

A. Bahasa Matematika

1. Kalimat Deklaratif dan Kalimat Majemuk Dalam matematika dikenal 2 macam kalimat : a. Kalimat Deklaratif

1) Kalimat Deklaratif / Kalimat Tertutup (pernyataan)

Kalimat deklaratif / pernyataan adalah sebuah kalimat yang benar atau salah tetapi tidak sekaligus benar dan salah.

Pernyataan-pernyataan biasanya dilambangkan dengan huruf-huruf misalnya P, Q, R dan S. Pernyataan yang benar diberikan nilai kebenaran B (benar) dan pernyataan yang salah diberi nilai kebenaran S (salah). Contoh:

 P : Anita anak yang rajin (Benar)

 Q : Belah ketupat mempunyai dua diagonal yang berpotongan tegak lurus (Benar)

 R : Akar dua (√2) adalah bilangan irrasional (Benar)

 S : Hasil penjumlahan 3 dan 8 adalah 14 (Salah) 2) Kalimat Terbuka

Kalimat terbuka adalah suatu kalimat yang memuat variabel (unsur yang belum diketahui). Kalimat terbuka dapat berubah menjadi pernyataan apabila variabelnya diganti dengan suatu konstanta. Contoh :

 2x + 3 = 23

 tan x = 1

Variabel/peubah adalah lambang yang digunakan untuk mewakili anggota sebarang dari suatu semesta pembicaraan.

Konstanta adalah lambang yang digunakan untuk mewakili anggota tertentu dari suatu semesta pembicaraan.

Semesta pembicaraan yaitu keseluruhan objek-objek yang dibentangkan dalam pembicaraan.

Contoh:

 Tentukan himpunan penyelesaian dari kalimat-kalimat terbuka di bawah ini, jika x dan y adalah peubah pada bilangan cacah!

a. 2x + 5 = 9 b. 3x + 6 = 5x – 4

Contoh bukan kalimat dalam matematika : - Kemana kamu pergi?

- Patuhilah peraturan di kampus!

- Bukalah jendela itu!

b. Kalimat majemuk

Kalimat majemuk adalah kalimat yang dibentuk dengan menggunakan kata hubung logika. Beberapa kalimat majemuk :

1) Konjungsi

Konjungsi adalah pernyataan baru yang dibentuk dari dua pernyataan dengan kata penghubung “dan”. Kata penghubung ”dan” dinotasikan dengan ”˄”. Konjungsi dari 𝑝 dan 𝑞 ditulis dengan 𝑝 ˄ 𝑞.

(4)

3 2) Disjungsi

Disjungsi adalah pernyataan baru dibentuk dari dua pernyataan dengan kata penghubung ”atau”. Kata penghubung ”atau” dinotasikan dengan ”˅”.

Disjungsi dari 𝑝 dan 𝑞 ditulis dengan 𝑝 ˅ 𝑞.

3) Implikasi

Implikasi adalah pernyataan baru yang dibentuk dari dua pernyataan dengan kata penghubung ” Jika … maka …”. Kata penghubung ” Jika … maka …”.

dinotasikan dengan ” ⇒”. Implikasi dari 𝑝 dan 𝑞 ditulis dengan 𝑝 ⇒ 𝑞.

4) Biimplikasi

Biimplikasi adalah pernyataan baru yang dibentuk dari dua pernyataan dengan kata penghubung “… jika dan hanya jika …”. Kata penghubung “

… jika dan hanya jika … ” dinotasikan dengan “ ⇔ ”.

Biimplikasi dari 𝑝 dan 𝑞 ditulis dengan 𝑝 ⇔ 𝑞.

2. Tabel Nilai dari Kalimat Majemuk a. Tabel kebenaran untuk

konjungsi : P Q P ˄ Q B B B B S S S B S S S S

b. Tabel kebenaran untuk disjungsi :

P Q P ˅ Q

B B B

B S B

S B B

S S S

c. Tabel kebenaran untuk implikasi :

P Q P ⇒ Q

B B B

B S S

S B B

S S B

d. Tabel kebenaran untuk biimplikasi :

P Q P ⇔ Q

B B B

B S S

S B S

S S B

e. Konvers, invers, dan kontraposisi

Dari suatu implikasi 𝑝 ⇒ 𝑞 dapat dibentuk pernyataan baru yaitu 𝑞 ⇒ 𝑝,

~𝑝 ⇒ ~𝑞, dan ~𝑞 ⇒ ~𝑝. Pernyataan 𝑞 ⇒ 𝑝 disebut konvers dari pernyataan 𝑝 ⇒ 𝑞, pernyataan ~𝑝 ⇒ ~𝑞 disebut invers dari pernyataan 𝑝 ⇒ 𝑞, dan pernyataan ~𝑞 ⇒ ~𝑝 disebut kontraposisi dari pernyataan 𝑝 ⇒ 𝑞.

Dengan menggunakan tabel kebenaran dapat kita lihat nilai kebenaran dari masing- masing pernyataan baru sebagai berikut:

(5)

4

𝑝 𝑞 ~𝑝 ~𝑞 𝑝 ⇒ 𝑞 𝑞 ⇒ 𝑝 ~𝑝 ⇒ ~𝑞 ~𝑞 ⇒ ~𝑝

B B S S B B B B

B S S B S B B S

S B B S B S S B

S S B B B B B B

Tampak bahwa, implikasi 𝑝 ⇒ 𝑞 ekuivalen dengan kontraposisi ~𝑞 ⇒ ~𝑝 3. Negasi

Ingkaran/negasi dari suatu pernyataan adalah pernyataan baru yang bernilai benar jika pernyataan semula salah atau bernilai salah jika pernyataan semula bernilai benar.

Negasi/ingkaran dari suatu pernyataan 𝑝 dinotasikan dengan atau

~𝑝 (dibaca non 𝑝). Tabel kebenaran dari negasi adalah sebagai berikut : 𝑝 ~𝑝

B S

S B Keterangan :

B : Benar` S : Salah

Untuk menunjukkan negasi dari suatu pernyataan majemuk digunakan tabel kebenaran. Dengan menggunakan tabel kebenaran, dapat dibuktikan bahwa :

 Negasi dari konjungsi 𝑝 ˄ 𝑞 adalah ~𝑝 ˅ ~𝑞.

 Negasi dari disjungsi 𝑝 ˅ 𝑞 adalah ~𝑝 ˄ ~𝑞.

 Negasi dari implikasi 𝑝 ⇒ 𝑞 adalah 𝑝 ˄ ~𝑞.

 Negasi dari biimplikasi 𝑝 ⇔ 𝑞 adalah (𝑝 ˄ ~𝑞) ˅ (𝑞 ˄ ~𝑝).

Contoh :

Dengan menggunakan tabel kebenaran, buktikan bahwa ~(𝑝 ˄ 𝑞) adalah

~𝑝 ˅~𝑞!

Bukti :

𝑝 𝑞 ~𝑝 ~𝑞 𝑝 ˄ 𝑞 ~(𝑝 ˄ 𝑞) ~𝑝 ˅ ~𝑞

B B S S B S S

B S S B S B B

S B B S S B B

S S B B S B B

Tampak bahwa, ~(𝑝 ˄ 𝑞) ≡ ~𝑝 ˅~𝑞. (Terbukti).

(6)

5 4. Tautologi, Kontradiksi, dan Kontingensi

a. Tautologi

Tautologi adalah pernyataan yang selalu bernilai benar untuk setiap komponennya.

Contoh : (𝑝 ˄ 𝑞) ⇒ 𝑞

𝑝 𝑞 𝑝 ˄ 𝑞 (𝑝 ˄ 𝑞) ⇒ 𝑞

B B B B

B S S B

S B S B

S S S B

b. Kontradiksi

Kontradiksi adalah pernyataan yang selalu bernilai salah untuk setiap komponennya.

Contoh : 𝑞 ˄ (𝑝 ˄ ~𝑞)

𝑝 𝑞 ~𝑞 𝑝 ˄ ~𝑞 𝑞 ˄ (𝑝 ˄ ~𝑞) B

B S S

B S B S

S B S B

S B S S

S S S S c. Kontingensi

Kontingensi adalah pernyataan yang dapat bernilai benar maupun salah untuk setiap komponennya.

5. Penarikan Kesimpulan

Prinsip-prinsip yang digunakan untuk mengambil kesimpulan, antara lain : a. Modus ponens

Penarikan kesimpulan dengan menggunakan modus ponens didasarkan pada prinsip “Jika 𝑝 benar dan 𝑝 ⇒ 𝑞 benar maka 𝑞 pasti benar”. Prinsip tersebut dirumuskan sebagai berikut :

𝑝 ⇒ 𝑞 𝑝 𝑞 Contoh :

Premis 1 : Jika segitiga ∆𝐴𝐵𝐶 sama sisi maka 𝐴𝐵 = 𝐴𝐶 = 𝐵𝐶 Premis 2 : Segitiga ∆𝐴𝐵𝐶 sama sisi

Konklusi : 𝐴𝐵 = 𝐴𝐶 = 𝐵𝐶

(7)

6 b. Modus tollens

Penarikan kesimpulan pada modus tollens didasarkan pada prinsip “Jika 𝑞 tidak benar dan 𝑝 ⇒ 𝑞 benar maka 𝑝 pasti tidak benar”. Prinsip tersebut dapat dirumuskan sebagai berikut :

Premis 1 : 𝑝 ⇒ 𝑞 Premis 2 : ~𝑞 Konklusi : ~𝑝 Contoh :

Premis 1 : Jika segitiga ∆𝐴𝐵𝐶 siku-siku di 𝐵 maka 𝐴𝐶²= 𝐴𝐵²+ 𝐵𝐶² Premis 2 : 𝐴𝐶² ≠ 𝐴𝐵²+ 𝐵𝐶²

Konklusi : Segitiga ∆ABC tidak siku-siku di B c. Silogisme

Penarikan kesimpulan dengan silogisme berdasarkan prinsip “Jika 𝑝 ⇒ 𝑞 benar dan 𝑞 ⇒ 𝑟 benar maka 𝑝 ⇒ 𝑟 pasti benar”. Prinsip tersebut dapat dirumuskan sebagai berikut :

Premis 1 : 𝑝 ⇒ 𝑞 Premis 2 : 𝑞 ⇒ 𝑟 Konklusi : 𝑝 ⇒ 𝑟 Contoh :

Premis 1 : Jika Yuni kaya, maka ia bahagia Premis 2 : Jika Yunia bahagia, maka ia tersenyum Konklusi : Jika Yuni kaya, maka ia tersenyum

(8)

7 B. Kuantor

1. Kuantor Universal

Kuantor universal disebut kuantor umum. Kuantor universal menunjukkan bahwa setiap objek dalam semestanya mempunyai sifat kalimat yang menyatakannya. Kuantor universal disimbolkan dengan “∀”. Misalkan p(x) adalah suatu kalimat terbuka, dengan x anggota himpunan semesta pembicaraan S. Pernyataan :

(∀x ∈ S)p(x) atau (∀x)p(x)

Dibaca “untuk setiap x berlakulah p(x)” disebut kalimat berkuantor universal atau dibaca “untuk setiap x berlakulah, x mempunyai sifat p”. Penggunaan kata

“untuk setiap” pada kuantor universal, senilai dengan kata “untuk semua”,

“untuk tiap-tiap”, “untuk seluruh”.

2. Kuantor Eksistensial

Kuantor eksistensial disebut kuantor khusus. Simbol “∃” dibaca “ada”, “untuk beberapa”, dan “untuk paling sedikit satu”. Misalkan p(x) adalah suatu kalimat terbuka, dengan x anggota himpunan semesta pembicaraan S. Pernyataan : (∃x ∈ S)p(x) atau (∃x)p(x)

Dibaca “terdapat x sehingga p(x)” disebut kalimat berkuantor eksistensial atau dibaca “terdapatlah suatu x sedemikian hingga mempunyai sifat p”.

Contoh :

Ambil semesta pembicaraan himpunan real. Kalimat : (∀x)[(∃y)(y²< x) ⇒(∀z)(x>-z²)] dibaca :

“Untuk semua x berlakulah, bahwa jika ada suatu y sedemikian hingga y² lebih kecil daripada x itu maka untuk semua z, x tadi lebih besar daripada –z²” atau untuk semua x berlakulah bahwa jika x itu positif maka x itu lebih besar dari setiap bilangan negatif”.

3. Ingkaran Kalimat Berkuantor

~[(∀x)p(x)]≡ (∃x)~p(x)

~[(∃x)p(x)]≡ (∀x)~p(x) Contoh :

Ingkaran dari kalimat (∀x)(∀y)[x≠y⇒(∃z)G(x,y,z)] adalah

~[(∀x)(∀y)[x≠y⇒(∃z)G(x,y,z)] ≡(∃x)(∃y)[~[x≠y⇒(∃z)G(x,y,z)]]

≡(∃x)(∃y)[ x≠y∩(~(∃z)G(x,y,z))]

≡(∃x)(∃y)[ x≠y∩((∀z)~G(x,y,z))]

Kuantor lain : (∃! 𝑥)𝑝(𝑥) diucapkan “terdapat dengan tunggal x yang mempunyai sifat p”.

(9)

8 C. Pembuktian

1. Pembuktian Langsung

Metode pembuktian langsung adalah suatu proses pembuktian pembuktian menggunakan alur maju, mulai dari hipotesis dengan menggunakan implikasi logic sampai pada pernyataan kesimpulan. Misal kita punya teorema p ⇒q, dengan p disini sebagai hipotesis yang digunakan sebagai fakta yang diketahui atau sebagai asumsi. Selanjutnya, dengan menggunakan p kita harus menunjukkan bahwa berlaku q.

Contoh :

Buktikan, jika x bilangan ganjil maka x² bilangan ganjil.

Bukti :

Diketahui x ganjil, jadi dapat didefinisikan sebagai x = 2n + 1 untuk suatu n . Selanjutnya, x² = (2n + 1)² = 4n² + 4n + 1 = 2 (2n² + 2) + 1, dengan mengambil m := 2n² + 2, m maka x² = 2m + 1. Karena m merupakan bilangan bulat maka disimpulkan x² ganjil.

2. Pembuktian Tidak Langsung

Untuk membuktikan pernyataan (p⇒q) kadang-kadang tidak mudah jika dibuktikan secara langsung, sehingga perlu dicari dengan cara lain yaitu secara tidak langsung.

a. Kontraposisi

Metode ini digunakan untuk membuktikan pernyataan implikasi.

Jika P maka Q (P⇒ Q). Kontraposisi dari pernyataan implikasi P⇒Q adalah

~Q ⇒ ~P. Dengan kata lain kontraposisi adalah menegasikan P dan Q lalu membalik arah panahnya. Dalam teori logika, pernyataan implikasi dan kontraposisinya mempunyai nilai kebenaran yang sama.

Latihan: buktikan bahwa jika 3n + 2 bilangan ganjil, maka n bilangan ganjil!

b. Kontradiksi

Pembuktian tidak langsung dengan kontradiksi dimulai dengan membuktikan bahwa ingkaran dari pernyataan implikasi tersebut salah.Dengan terbuktinya bahwa ingkaran tersebut salah, maka pernyataan implikasi tersebut pasti benar. Kesalahan yang diperoleh tersebut ditunjukkan oleh suatu kontradiksi.

Suatu kontradiksi terjadi jika ada suatu atau lebih pernyataan yang bertentangan. Kita bisa tuliskan sebagai : ~(p⇒q) ≡ p∩ ~q

(10)

9 D. Relasi

1. Definisi

Misalkan ditentukan suatu semesta 𝑀 = {𝑎, 𝑏, 𝑐, … }. Relasi 𝑅 dinyatakan determinatif pada 𝑀 jika dan hanya jika untuk setiap 𝑎, 𝑏 dalam 𝑀 kalimat 𝑎𝑅𝑏 (dibaca 𝑎 berada dalam relasi 𝑅 dengan 𝑏) mempunyai nilai benar atau salah.

Relasi yang menyangkut dua anggota disebut relasi biner/diadik, ditulis 𝑎𝑅𝑏 atau 𝑅(𝑎, 𝑏). Jika 𝑎 tidak berada dalam relasi 𝑅 dengan 𝑏 ditulis 𝑎𝑅𝑏. Jika menyangkut tiga anggota, maka relasinya disebut ternier/triadik.

2. Relasi Ekuivalensi

Relasi yang sekaligus memiliki sifat refleksif, simetris, dan transitif disebut relasi ekuivalensi. Contoh relasi kesejajaran antara garis-garis lurus, relasi kesebangunan bentuk-bentuk geometri, dan relasi kongruensi antara bilangan- bilangan bulat.

Adapun teorema relasi ekuivalensi menyatakan bahwa antara anggota- anggota semesta 𝑀 mengakibatkan adanya penggolongan (partioning) di dalam 𝑀 yaitu bahwa 𝑀 terbagi atas himpunan-himpunan bagian (golongan, kelas) masing- masing tidak kosong dan saling asing sedemikian hingga setiap anggota dari 𝑀 berada dalam satu dan hanya satu golongan dari 𝑀. Selanjutnya, kelas-kelas atau golongan-golongan itu disebut kelas-kelas atau golongan-golongan ekuivalensi.

Kelas-kelas itu sering disajikan dengan notasi misal 𝑎.

Adapun macam-macam relasi sebagai berikut : a. Relasi Refleksif

Relasi 𝑅 disebut relasi refleksif jika dan hanya jika untuk setiap 𝑥 pada 𝑆 (Himpunan Semesta), berlaku 𝑥 berelasi dengan dirinya sendiri .

𝑅 refleksif jika dan hanya jika (∀𝑥 ∈ 𝑆)(𝑥, 𝑥) ∈ 𝑅 atau 𝑅 refleksif jika dan hanya jika (∀𝑥 ∈ 𝑆) 𝑥𝑅𝑥

b. Relasi Non Refleksif

Relasi 𝑅 disebut relasi non refleksif jika dan hanya jika ada elemen pada 𝑆 yang tidak berelasi dengan dirinya sendiri.

𝑅 non refleksif jika dan hanya jika (∃𝑥 ∈ 𝑆)(𝑥, 𝑥) ∉ 𝑅 atau 𝑅 non refleksif jika dan hanya jika (∃𝑥 ∈ 𝑆) 𝑥𝑅𝑥

c. Relasi Irrefleksif

Relasi 𝑅 disebut relasi irrefleksif jika dan hanya jika setiap elemen pada 𝑆 tidak berelasi dengan dirinya sendiri.

𝑅 irrefleksif jika dan hanya jika (∀𝑥 ∈ 𝑆)(𝑥, 𝑥) ∉ 𝑅 atau 𝑅 irrefleksif jika dan hanya jika (∀𝑥 ∈ 𝑆) 𝑥𝑅𝑥

d. Relasi Simetris

Relasi 𝑅 disebut relasi simetris jika dan hanya jika (untuk setiap pasang 𝑥 dan 𝑦 pada 𝑆) jika 𝑥 berelasi dengan 𝑦 maka 𝑦 berelasi dengan 𝑥.

𝑅 simetris jika dan hanya jika (∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝑆)(𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅 → (𝑦, 𝑥) ∈ 𝑅 atau 𝑅 simetris jika dan hanya jika (∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝑆) 𝑥𝑅𝑦 → 𝑦𝑅𝑥

e. Relasi Non Simetris

(11)

10

Relasi 𝑅 disebut relasi non simetris jika dan hanya jika ada pasangan 𝑥 dan 𝑦 pada 𝑆 sedemikian sehingga 𝑥 berelasi dengan 𝑦 dan 𝑦 tidak berelasi dengan 𝑥.

𝑅 non simetris jika dan hanya jika (∃𝑥, 𝑦 ∈ 𝑆)(𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅 → (𝑦, 𝑥) ∉ 𝑅 atau

𝑅 non simetris jika dan hanya jika (∃𝑥, 𝑦 ∈ 𝑆) 𝑥𝑅𝑦 → 𝑦𝑅𝑥 f. Relasi Anti Simetris

Relasi 𝑅 disebut relasi anti simetris jika dan hanya jika untuk semua pasang 𝑥 dan 𝑦 pada 𝑆 berlaku jika 𝑥 berelasi dengan 𝑦 dan 𝑦 berelasi dengan 𝑥, pastilah 𝑥 = 𝑦.

𝑅 anti simetris jika dan hanya jika (∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝑆)(𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅 ˄ (𝑦, 𝑥) ∈ 𝑅 → 𝑥 = 𝑦 atau

𝑅 anti simetris jika dan hanya jika (∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝑆) 𝑥𝑅𝑦 ˄ 𝑦𝑅𝑥 → 𝑥 = 𝑦 g. Relasi Asimetries

Relasi 𝑅 disebut relasi asimetris jika dan hanya jika untuk semua pasang 𝑥 dan 𝑦 pada 𝑆 jika berelasi dengan 𝑦, pastilah 𝑦 tidak berelasi dengan 𝑥.

𝑅 asimetris jika dan hanya jika (∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝑆)(𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅 → (𝑦, 𝑥) ∉ 𝑅 atau 𝑅 asimetris jika dan hanya jika (∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝑆) 𝑥𝑅𝑦 → 𝑦𝑅𝑥

h. Relasi Transitif

Relasi 𝑅 disebut relasi transitif jika dan hanya jika untuk setiap tiga elemen (triple) 𝑥, 𝑦, dan 𝑧 pada 𝑆 berlaku jika 𝑥 berelasi dengan 𝑦 dan 𝑦 berelasi dengan 𝑧, maka 𝑥 berelasi dengan 𝑧.

𝑅 transitif jika dan hanya jika (∀𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑆)(𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅 ˄ (𝑦, 𝑧) ∈ 𝑅 → (𝑥, 𝑧) ∈ 𝑅 atau

𝑅 transitif jika dan hanya jika (∀𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑆) 𝑥𝑅𝑦 ˄ 𝑦𝑅𝑧 → 𝑥𝑅𝑧 i. Relasi Non Transitif

Relasi 𝑅 disebut relasi non transitif jika dan hanya jika sekurang-kurangnya ada satu triple sedemikian sehingga berlaku 𝑥 berelasi dengan 𝑦 dan 𝑦 berelasi dengan 𝑧 dan 𝑥 tidak berelasi dengan 𝑧.

𝑅 non transitif jika dan hanya jika (∃𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑆)(𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅 ˄ (𝑦, 𝑧) ∈ 𝑅 → (𝑥, 𝑧) ∉ 𝑅 atau

𝑅 non transitif jika dan hanya jika (∃𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑆) 𝑥𝑅𝑦 ˄ 𝑦𝑅𝑧 → 𝑥𝑅𝑧 j. Relasi Intransitif

Relasi 𝑅 disebut relasi intransitif jika dan hanya jika untuk setiap triple 𝑥, 𝑦, dan 𝑧 pada 𝑆 berlaku jika 𝑥 berelasi dengan 𝑦 dan 𝑦 berelasi dengan 𝑧, maka pasti 𝑥 tidak berelasi dengan 𝑧.

𝑅 intransitif jika dan hanya jika (∀𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑆)(𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅 ˄ (𝑦, 𝑧) ∈ 𝑅 → (𝑥, 𝑧) ∉ 𝑅 atau

𝑅 intransitif jika dan hanya jika (∀𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑆) 𝑥𝑅𝑦 ˄ 𝑦𝑅𝑧 → 𝑥𝑅𝑧 3. Partisi

Ditentukan himpunan 𝐴. Keluarga himpunan bagian yang tidak kosong dari 𝐴, misal {𝐴_𝑖}, 𝑖 ∈ 𝐼 disebut partisi dari A jika dan hanya jika :

(12)

11 1. ⋃_𝑖∈𝐼𝐴_𝑖 = 𝐴

2. (∀𝐴_𝑖, 𝐴_𝑗)𝐴_𝑖 ≠ 𝐴_𝑗 → 𝐴_𝑖∩ 𝐴_𝑗≠ ∅

Partisi juga dapat dinyatakan sebagai berikut : {𝐴_𝑖}, 𝑖 ∈ 𝐼 disebut partisi dari A jika dan hanya jika : 1. 𝐴_𝑖 ⊆ 𝐴

2. 𝐴_𝑖 ≠ ∅ 3. ⋃_𝑖∈𝐼𝐴_𝑖 = 𝐴

4. (∀𝐴_𝑖, 𝐴_𝑗)𝐴_𝑖 ≠ 𝐴_𝑗 → 𝐴_𝑖∩ 𝐴_𝑗≠ ∅, atau (∀𝐴_𝑖, 𝐴_𝑗)𝐴_𝑖∩ 𝐴_𝑗 ≠ ∅ → 𝐴_𝑖 = 𝐴_𝑗, atau (∀𝐴_𝑖, 𝐴_𝑗)𝐴_𝑖 = 𝐴_𝑗 ˅ 𝐴_𝑖 ∩ 𝐴_𝑗 = ∅

Apabila {𝐴_𝑖}, 𝑖 ∈ 𝐼 adalah suatu partisi pada 𝐴, maka masing-masing 𝐴_𝑖 disebut kelas partisi dari 𝐴.

4. Hubungan Partisi dan Relasi Ekuivalensi

Dalil : Suatu relasi ekuivalensi yang didefinisikan pada himpunan 𝑆 pasti mengakibatkan timbulnya suatu partisi pada 𝑆, yang dalam tiap kelasnya terhimpun semua elemen-elemen dalam 𝑆 yang saling berelasi ekuivalensi tersebut. Kelasnya disebut kelas ekuivalensi dan biasanya dituliskan dengan 𝑎̅, 𝑒̅, 𝑢̅, 1̅, 2̅, dan sebagainya. Sedangkan himpunanya disebut himpunan kuosen (Quetient Set).

E. Fungsi

1. Pengertian Fungsi atau Pemetaan

Relasi antara dua himpunan 𝑆 dan 𝑇 disebut fungsi (misal fungsi 𝑓, biasa dinotasikan sebagai 𝑓: 𝑆 → 𝑇, dibaca “fungsi 𝑓 dari 𝑆 ke 𝑇) jika dan hanya jika setiap elemen himpunan 𝑆 berelasi dengan tepat satu elemen himpunan 𝑇.

Elemen 𝑡 ∈ 𝑇 yang berelasi dengan 𝑠 ∈ 𝑆 biasa ditulis dengan : 𝑡 = 𝑓(𝑠) atau 𝑠 → 𝑓(𝑠) = 𝑡. 𝑓(𝑠) disebut bayangan/peta (image) 𝑠, sedangkan 𝑠 disebut pre image dari 𝑡. Himpunan 𝑆 disebut daerah sumber/asal (domain) fungsi 𝑓, biasa ditulis 𝐷_𝑓. Himpunan 𝑇 disebut daerah hasil/kawan/ (kodomain) fungsi 𝑓, biasa ditulis 𝑅_𝑓 atau 𝑓(𝑠). Jadi, 𝑅_𝑓 = {𝑡 ∈ 𝑇 | 𝑡 = 𝑓(𝑠), 𝑠 ∈ 𝐷_𝑓}

Ciri/sifat khusus fungsi 𝑓 : Setiap elemen 𝑠 ∈ 𝑆 berelasi dengan tepat satu elemen 𝑡 ∈ 𝑇, tetapi elemen 𝑡 tidak harus berelasi dengan satu elemen 𝑆. Istilah 𝑆

“dihabiskan” sedangkan 𝑇 tidak harus “habis”.

Secara sistematis, pengertian fungsi dapat dituliskan : (∀𝑠₁, 𝑠₂ ∈ 𝑆) 𝑠₁ = 𝑠₂ → 𝑓(𝑠₁) = 𝑓(𝑠₂).

2. Bayangan Invers

Bila 𝑓 adalah fungsi dari 𝑆 ke 𝑇, maka bisa dibentuk relasi baru dari 𝑅_𝑓 ke 𝑆 dengan aturan sebagai berikut :

Jika 𝑡 adalah elemen ∈ 𝑇, maka himpunan 𝑠 ∈ 𝑆 yang berelasi dengan 𝑡 disebut bayangan (image) invers dari 𝑇 dan ditulis 𝑓⁻¹(𝑡) :

Jadi, 𝑓⁻¹(𝑡) = {𝑠 ∈ 𝑆 |𝑓(𝑠) = 𝑡}

Karena 𝑡 = 𝑓(𝑠), maka :

𝑓⁻¹(𝑡) = 𝑓⁻¹(𝑓(𝑠)) = (𝑓⁻¹∙ 𝑓)(𝑠)

(13)

12

𝑠 ∈ 𝑆 → 𝑡 = 𝑓(𝑠) : bayangan dari 𝑠 selalu tunggal. 𝑡 ∈ 𝑇 → 𝑓⁻¹(𝑡) : bayangan invers dari 𝑡 bisa berupa himpunan kosong, singleton, atau himpunan yang beranggota lebih dari satu elemen.

3. Fungsi Surjektif, Injektif, dan Bijektif a. Fungsi Surjektif

Fungsi 𝑓: 𝑆 → 𝑇 disebut surjektif jika dan hanya jika setiap elemen di kodomain berelasi dengan elemen di domain.

𝑓: 𝑆 → 𝑇 surjektif jika dan hanya jika (∀𝑡 ∈ 𝑇)(∃𝑠 ∈ 𝑆)𝑓(𝑠) = 𝑡 atau (∀𝑡 ∈ 𝑇)𝑓⁻¹(𝑡) ≠ ∅ atau 𝑅_𝑓 = 𝑓(𝑠) = 𝑇

b. Fungsi Injektif (Fungsi Satu-satu)

Fungsi 𝑓: 𝑆 → 𝑇 disebut injektif jika dan hanya jika elemen di kodomain (𝑇) berelasi dengan tunggal elemen di domain.

𝑓: 𝑆 → 𝑇 injektif jika dan hanya jika (∀𝑓(𝑠₁), 𝑓(𝑠₂) ∈ 𝑇)𝑓(𝑠₁) = 𝑓(𝑠₂) → 𝑠₁ = 𝑠₂ atau (∀𝑡 ∈ 𝑇)𝑓⁻¹(𝑡) = ∅ atau singleton

c. Fungsi Bijektif

Fungsi bijektif adalah fungsi yang bersifat surjektif dan injektif. Terlihat setiap elemen di daerah domain berelasi ke tepat satu anggota kodomain (karena fungsi) dan setiap elemen di daerah kodomain juga berelasi dengan tepat satu anggota domain (karena surjektif dan injektif).

Karena itu fungsi bijektif disebut korespondensi satu-satu. Adapun berlaku pula 𝑓 fungsi bijektif jika dan hanya jika 𝑓⁻¹ merupakan fungsi dan bersifat bijektif pula, disebut fungsi invers.

4. Pergandaan Fungsi

Diberikan dua fungsi 𝑓 dan 𝑔. Dua fungsi tersebut dapat digandakan menjadi 𝑔𝑓 jika dan hanya jika kodomain fungsi 𝑓 = domain fungsi 𝑔. Perhatikan diagram berikut :

𝑓 𝑔

𝑆 → 𝑇 → 𝑈

𝑠 → 𝑓(𝑠) → (𝑔𝑓)(𝑠)

Definisi : Dua fungsi 𝑓 dan 𝑔 dengan domain sama, dikatakan sama jika dan hanya jika ∀𝑠 ∈ 𝑆 maka 𝑓(𝑠) = 𝑔(𝑠).

Teorema : Jika pergandaan masing-masing dapat dikerjakan, maka pergandaan fungsi mempunyai sifat assosiatif, yaitu berlaku (𝑔𝑓)ℎ = 𝑔(𝑓ℎ).

ℎ 𝑓 𝑔

𝑆 → 𝑇 → 𝑈 → 𝑉

𝑠 → ℎ(𝑠) → 𝑓(ℎ(𝑠)) → 𝑔 (𝑓(ℎ(𝑠))) 5. Penjumlahan Dua Fungsi

Dalam cabang-cabang aljabar (teori grup, ring, modul, dll) sering didefinisikan penjumlahan sesuku : Dua fungsi 𝑓 dan 𝑔 dari 𝑀 ke 𝑁 dijumlah dengan ketentuan : (𝑓 + 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)

(14)

13 F. Himpunan Tak Berhingga

Dua himpunan 𝑆 dan 𝑇 disebut ekuipoten jika dan hanya jika ada pemetaan bijektif antara 𝑆 dan 𝑇. Berikut diberikan dua definsi dari himpunan tak berhingga :

 Definisi 1 :

Suatu himpunan 𝑆 disebut berhingga atau induktif jika dan hanya jika 𝑆 ekuipoten dengan himpunan bagian dari himpunan bilangan-bilangan alam, yaitu jika ada bilangan alam 𝑛 sehingga 𝑆 memuat 𝑛 anggota. Jika tidak demikian, maka 𝑆 disebut tidak berhingga atau non-induktif.

 Definisi 2 :

Suatu himpunan 𝑆 disebut tak berhingga atau refleksif jika dan hanya jika 𝑆 ekuipoten dengan himpunan bagian sejati dari dirinya sendiri. Jika tidak demikian, maka 𝑆 disebut berhingga atau non-refleksif.

(15)

14 SOAL

UJIAN TENGAH SEMESTER

LOGIKA MATEMATIKA DAN HIMPUNAN TAHUN 2017/2018

1. Tunjukkan apakah masing-masing dari dua pernyataan berikut ekuivalen : a. 𝑝 → (𝑞 ˄ 𝑟) dengan (𝑝 → 𝑞) ˄ (𝑞 → 𝑟)

b. (𝑝 ˄ 𝑞) → 𝑟 dengan (𝑝 ˄ ~𝑟) → ~𝑞

2. Nyatakan kalimat berikut dalam bentuk simbol/notasi dengan menggunakan kuantor eksintensial dan kuantor universal. Tulis juga negasi dari masing- masing pernyataan.

a. Persamaan 𝑥²− 𝑎 = 0 memiliki akar real untuk sebarang bilangan real negatif 𝑎

b. Terdapat bilangan rasional diantara sebarang dua bilangan real yang berbeda

3. Buktikan :

a. Untuk setiap 𝑛 anggota himpunan bilangan asli berlaku

∑(2𝑘 − 1) = 𝑛²

𝑛

𝑘=1

b. 3¹+ 3²+ 3³+ ⋯ + 3^𝑛 = ³⁽³^𝑛⁻¹⁾

2

4. Diberikan himpunan-himpunan 𝐴, 𝐵, dan 𝐶. Buktikan sifat-sifat berikut : a. (𝐴 − 𝐵) ∪ (𝐵 − 𝐴) = (𝐴 ∪ 𝐵) − (𝐴 ∩ 𝐵)

b. Jika 𝐵 ⊆ 𝐶 maka𝐴 − 𝐶 ⊆ 𝐴 − 𝐵 Jawab : 1.

a. 𝑝 → (𝑞 ˄ 𝑟) ≡ ~𝑝 ˅ (𝑞 ˄ 𝑟)

≡ (~𝑝 ˅ 𝑞) ˄ (~𝑝 ˅ 𝑟)

≡ (𝑝 → 𝑞) ˄ (𝑞 → 𝑟)

∴ Benar bahwa 𝑝 → (𝑞 ˄ 𝑟) ≡ (𝑝 → 𝑞) ˄ (𝑝 → 𝑟) b. (𝑝 ˄ 𝑞) → 𝑟 ≡ ~(𝑝 ˅ 𝑞) ˅ 𝑟

≡ (~𝑝 ˅ ~𝑞) ˅ 𝑟

≡ ~𝑝 ˅ ~𝑞 ˅ 𝑟

≡ ~𝑝 ˅ 𝑟 ˅ ~𝑞

≡ (~𝑝 ˅ 𝑟) ˅ ~𝑞 misal ~𝐴 = (~𝑝 𝑥 < 𝑎 < 𝑦 𝑟)

≡ ~𝐴 ˅ ~𝑞

≡ 𝐴 → ~𝑞, dengan 𝐴 = ~(~𝐴) = ~(~𝑝 ˅ 𝑟)

≡ 𝑝 ˄ ~𝑟 ≡ (𝑝 ˄ ~𝑟) → ~𝑞

∴ Benar bahwa (𝑝 ˄ 𝑞) → 𝑟 ≡ (𝑝 ˄ ~𝑟) → ~𝑞 2.

a. (∃𝑎 ∈ ℝ, 𝑎 < 0)(∀𝑥 ∈ ℝ)[𝑥²− 𝑎 ≠ 0]

b. (∃𝑥, 𝑦 ∈ ℝ, 𝑥 ≠ 𝑦)(∀𝑎 ∈ ℚ)[𝑎 < 𝑥 < 𝑦 ˅ 𝑎 > 𝑦 > 𝑥]

(16)

15 3.

a. ∑^𝑛_𝑘=1(2𝑘 − 1) = 𝑛² dapat ditulis menjadi :

(2(1) − 1) + (2(2) − 1) + ⋯ + (2(𝑛) − 1) = 𝑛² i. Akan dibuktikan untuk 𝑛 = 1

Ruas kiri : 2(𝑛) − 1 = 2(1) − 1 = 1 Ruas kanan : 𝑛² = 1² = 1

∴ Ruas kiri = ruas kanan, maka terbukti benar untuk 𝑛 = 1 ii. Dianggap benar untuk 𝑛 = 𝑝, sehingga

(2(1) − 1) + (2(2) − 1) + ⋯ + (2(𝑝) − 1) = 𝑝² iii. Akan dibuktikan benar untuk 𝑛 = 𝑝 + 1

(2(1) − 1) + (2(2) − 1) + ⋯ + (2(𝑝) − 1)

= (2(1) − 1) + (2(2) − 1) + ⋯ + (2(𝑝) − 1) + (2(𝑝 + 1) − 1)

= 𝑝²+ (2(𝑝 + 1) − 1)

= 𝑝²+ (2𝑝 + 2 − 1)

= 𝑝²+ 2𝑝 + 1

= (𝑝 + 1)²

∴ Dari i, ii, dan iii terbukti bahwa ∑^𝑛_𝑘=1(2𝑘 − 1) = 𝑛², 𝑛 ∈ ℕ b. 3¹+ 3²+ 3³+ ⋯ + 3^𝑛 = ³⁽³^𝑛⁻¹⁾

2 i. Akan dibuktikan untuk 𝑛 = 1

Ruas kiri : 3^𝑛 = 3¹ = 3 Ruas kanan : ³⁽³

𝑛−1)

2 = ³⁽³¹⁻¹⁾

2 =³⁽²⁾

2 = 3

∴ Ruas kiri = ruas kanan, maka terbukti benar untuk 𝑛 = 1 ii. Dianggap benar untuk 𝑛 = 𝑘, sehingga

3¹+ 3²+ 3³+ ⋯ + 3^𝑘 =³⁽³^𝑘⁻¹⁾

2 iii. Akan dibuktikan benar untuk 𝑛 = 𝑘 + 1

3¹+ 3²+ 3³+ ⋯ + 3^𝑘+1

= 3¹+ 3²+ 3³+ ⋯ + 3^𝑘+ 3^𝑘+1

= 3(3^𝑘− 1)

2 + 3^𝑘+1

= 3(3^𝑘− 1) + 2. 3^𝑘+1 2

= 3. 3^𝑘− 3 + 2. 3^𝑘+1 2

= 3. 3^𝑘+1− 3 2

= 3(3^𝑘+1− 1) 2

∴ Dari i, ii, dan iii terbukti bahwa 3¹+ 3²+ 3³+ ⋯ + 3^𝑛 = ³⁽³^𝑛⁻¹⁾

2

(17)

16 4.

a. Akan dibuktikan bahwa (𝐴 − 𝐵) ∪ (𝐵 − 𝐴) = (𝐴 ∪ 𝐵) − (𝐴 ∩ 𝐵)

Ambil 𝑥 sebarang anggota (𝐴 − 𝐵) ∪ (𝐵 − 𝐴) maka 𝑥 ∈ (𝐴 − 𝐵) ∪ (𝐵 − 𝐴)

⇒ 𝑥 ∈ (𝐴 − 𝐵) atau 𝑥 ∈ (𝐵 − 𝐴)

⇒ (𝑥 ∈ 𝐴 atau 𝑥 ∉ 𝐵) atau (𝑥 ∈ 𝐵 atau 𝑥 ∉ 𝐴)

⇒ (𝑥 ∈ 𝐴 atau 𝑥 ∈ 𝐵) atau (𝑥 ∉ 𝐵 atau 𝑥 ∉ 𝐴)

⇒ 𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) − (𝐵 ∩ 𝐴)

Jadi, (𝐴 − 𝐵) ∪ (𝐵 − 𝐴) ⊆ (𝐴 ∪ 𝐵) − (𝐴 ∩ 𝐵)

Ambil 𝑦 sebarang anggota (𝐴 − 𝐵) ∪ (𝐵 − 𝐴) maka 𝑦 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) − (𝐴 ∩ 𝐵)

⇒ 𝑦 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) atau 𝑦 ∉ (𝐴 ∩ 𝐵)

⇒ (𝑦 ∈ 𝐴 atau 𝑦 ∈ 𝐵) atau (𝑦 ∉ 𝐴 atau 𝑦 ∉ 𝐵)

⇒ (𝑦 ∈ 𝐴 atau 𝑦 ∉ 𝐵) atau (𝑦 ∈ 𝐵 atau 𝑦 ∉ 𝐴)

⇒ 𝑦 ∈ (𝐴 − 𝐵) ∪ (𝐵 − 𝐴)

Jadi, (𝐴 ∪ 𝐵) − (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ (𝐴 − 𝐵) ∪ (𝐵 − 𝐴)

∴ Terbukti bahwa (𝐴 − 𝐵) ∪ (𝐵 − 𝐴) = (𝐴 ∪ 𝐵) − (𝐴 ∩ 𝐵) b. Akan dibuktikan bahwa jika 𝐵 ⊆ 𝐶 maka𝐴 − 𝐶 ⊆ 𝐴 − 𝐵

Ambil 𝑥 ∈ (𝐴 − 𝐶) maka 𝑥 ∈ 𝐴 dan 𝑥 ∉ 𝐶

Oleh karena (𝐴 − 𝐶) ⊆ (𝐴 − 𝐵) maka 𝑥 ∈ (𝐴 − 𝐵) 𝑥 ∈ (𝐴 − 𝐵) maka 𝑥 ∈ 𝐴 dan 𝑥 ∉ 𝐵

Oleh karena 𝑥 ∉ 𝐶 ⇒ 𝑥 ∉ 𝐵 maka (kontraposisinya) 𝑥 ∈ 𝐵 ⇒ 𝑥 ∈ 𝐶 ekuivalen dengan 𝐵 ⊆ 𝐶

∴ Terbukti bahwa jika 𝐵 ⊆ 𝐶 maka𝐴 − 𝐶 ⊆ 𝐴 − 𝐵

(18)

17

SOAL UJIAN AKHIR SEMESTER 2017 1.

a. Berikan masing-masing contoh relasi asimetris, relasi anti simetris, relasi non transitif, dan relasi intransitif

b. Buktikan bahwa 𝑅 relasi asimetris jika dan hanya jika 𝑅 ∩ 𝑅⁻¹= ∅

(Nilai : 25) 2. Buktikan bahwa 𝑓: (0,1) → (0, ∞) dengan 𝑓(𝑥) = ^𝑥

1−𝑥 merupakan fungsi bijektif. Selanjutnya, tentukan fugsi inversnya.

(Nilai : 20) 3. Didefinisikan relasi 𝑅 pada ℤ (himpunan semua bilangan bulat) yaitu 𝑝𝑅𝑞 jika

dan hanya jika 5 membagi habis 𝑝 − 𝑞.

a. Buktikan bahwa 𝑅 merupakan relasi ekuivalensi b. Tentukan kelas-kelas ekuivalensi 0̅, 2̅, −2̅̅̅̅, 5̅, dan −5̅̅̅̅

(Nilai : 20) 4. Diberikan fungsi 𝑓: 𝑆 → 𝑇 dengan 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 1; 𝑆, 𝑇: semua himpunan

bilangan real. Misalkan 𝐴, 𝐵 ⊆ 𝑆 dengan𝐴 = {𝑎|−4 ≤ 𝑎 ≤ 3}, 𝐵 = {𝑏|−5 ≤ 𝑏 ≤ 8} dan 𝑀, 𝑁 ⊆ 𝑇 dengan 𝑀 = [−6, 4], 𝑁 = (2, 8]. Tentukan 𝑓(𝑆), 𝑓(𝐴) ∩ 𝑓(𝐵), 𝑓(𝐴 ∩ 𝐵), 𝑓(𝐴) ∪ 𝑓(𝐵), 𝑓(𝐴 ∪ 𝐵), 𝑓⁻¹(𝑀) − 𝑓⁻¹(𝑁), dan 𝑓⁻¹(𝑀 − 𝑁).

(Nilai : 25) 5. Buktikan bahwa himpunan semua bilangan bulat adalah denumerabel.

(Nilai : 10) Jawab :

1.

a. - Relasi asimetris = (∀𝑎, 𝑏 ∈ 𝑀)(𝑎𝑅𝑏 → 𝑏𝑅𝑎̅̅̅̅̅) Contoh : {(1,2), (2,3), (3,1)}

- Relasi antisimetris = (∀𝑎, 𝑏 ∈ 𝑀)(𝑎𝑅𝑏 ˄ 𝑏𝑅𝑎 → 𝑎 = 𝑏).

Contoh : {(2,2), (4,4), (5,5), (4,2)}

- Relasi non transitif = (∃𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝑀)((𝑎𝑅𝑏 ˄ 𝑏𝑅𝑐) ˄ 𝑎𝑅𝑐̅̅̅̅̅) Contoh : {(1,2), (2,3), (3,4)}

- Relasi intransitif = (∀𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝑀)(𝑎𝑅𝑏 ˄ 𝑏𝑅𝑐 → 𝑎𝑅𝑐̅̅̅̅̅).

Contoh : {(1,2), (2,3), (2,5), (3,4), (5,7)}

2.

i. Cek Fungsi

Ambil 𝑥 ∈ (0,1) maka terdapat 𝑦 ∈ (0, ∞) dimana 𝑦 = ^𝑥

1−𝑥 = 𝑓(𝑥)

(19)

18

Ambil 𝑥₁, 𝑥₂ ∈ (0,1) dimana 𝑥₁ = 𝑥₂ maka diperoleh 𝑓(𝑥₁) = 𝑥₁

1 − 𝑥₁ = 𝑥₂

1 − 𝑥₂= 𝑓(𝑥₂)

∴ 𝑓(𝑥) = ^𝑥

1−𝑥 adalah fungsi.

ii. Cek Injektif

Ambil 𝑥₁, 𝑥₂ ∈ (0,1) dimana 𝑥₁ ≠ 𝑥₂, sehingga 𝑓(𝑥₁) = 𝑥₁

1 − 𝑥₁ ≠ 𝑥₂

1 − 𝑥₂= 𝑓(𝑥₂)

∴ 𝑓(𝑥) = ^𝑥

1−𝑥 adalah fungsi injektif.

iii. Cek Surjektif

Ambil 𝑦 ∈ (0, ∞), maka terdapat 𝑥 ∈ (0,1) dengan 𝑥 = ^𝑦

1+𝑦, diperoleh : 𝑓(𝑥) = 𝑓 ( 𝑦

1 + 𝑦) = 𝑦 1 + 𝑦 1 − 𝑦

1 + 𝑦

= 𝑦 1 + 𝑦 1 + 𝑦 − 𝑦

1 + 𝑦

= 𝑦 1 + 𝑦

1 1 + 𝑦

= 𝑦

∴ 𝑓(𝑥) = ^𝑥

1−𝑥 adalah fungsi surjektif.

Berdasarkan pembuktian pada i, ii, dan iii terbukti bahwa 𝑓(𝑥) = ^𝑥

1−𝑥 adalah fungsi bijektif. Sehingga dapat dicari inversnya :

𝑓(𝑥) = 𝑥 1 − 𝑥

𝑦 = 𝑥

1 − 𝑥 𝑦(1 − 𝑥) = 𝑥

𝑦 − 𝑦𝑥 = 𝑥 𝑦 = 𝑥 + 𝑥𝑦 𝑦 = 𝑥(1 + 𝑦)

𝑥 = 𝑦

1 + 𝑦⇒ 𝑓⁻¹(𝑥) = 𝑥 1 + 𝑥 3.

a. Akan dibuktikan bahwa 𝑅 relasi ekuivalensi i. Cek Refleksif

Ambil 𝑥 ∈ ℤ akan dibuktikan 𝑥𝑅𝑦 diperoleh 𝑥𝑅𝑦 ⇔ 𝑥 − 𝑥 = 5𝑘

0 = 5𝑘 𝑘 = 0

(20)

19

∴ Oleh karena 0 ∈ ℤ, terbukti bahwa 𝑅 refleksif ii. Cek Simetris

Ambil 𝑥, 𝑦 ∈ ℤ akan dibuktikan bahwa 𝑥𝑅𝑦 ⇒ 𝑦𝑅𝑥 diperoleh : 𝑥𝑅𝑦 ⇔ 𝑥 − 𝑦 = 5𝑘

−(𝑥 − 𝑦) = −5𝑘 𝑦 − 𝑥 = 5(−𝑘), misal −𝑘 = 𝑝

𝑦 − 𝑥 = 5𝑝 ⇒ 𝑦𝑅𝑥

∴ Oleh karena 𝑝 ∈ ℤ, terbukti bahwa 𝑅 simetris iii. Cek Transitif

Ambil 𝑥, 𝑦 ∈ ℤ akan dibuktikan bahwa 𝑥𝑅𝑦 ˄ 𝑦𝑅𝑧 ⇒ 𝑥𝑅𝑧 diperoleh 𝑥𝑅𝑦 ⇔ 𝑥 − 𝑦 = 5𝑘, 𝑘 ∈ ℤ

𝑦𝑅𝑧 ⇔ 𝑦 − 𝑧 = 5𝑙, 𝑙 ∈ ℤ 𝑥 − 𝑧 = 5𝑘 + 5𝑙

𝑥 − 𝑧 = 5(𝑘 + 𝑙), misal 𝑘 + 𝑙 = 𝑝, 𝑝 ∈ ℤ 𝑥 − 𝑧 = 5𝑝 ⇒ 𝑥𝑅𝑧

∴ Terbukti bahwa 𝑅 transitif

Berdasarkan pembuktian i, ii, dan iii terbukti bahwa 𝑅 merupakan relasi ekuivalensi.

b. 0̅ = {… , … , −10, −5, 0, 5, 10, … , … } 2̅ = {… , … , −8, −3, 2, 7, 12, … , … }

−2̅̅̅̅ = {… , … , −7, −2, 3, 8, 13, … , … } 5̅ = 0 = {… , … , −10, −5, 0, 5, 10, … , … }

−5̅̅̅̅ = 5 = 0 = {… , … , −10, −5, 0, 5, 10, … , … } 4.

a. 𝑓(𝑆) = (−∞, ∞)

b. 𝑓(𝐴) ∩ 𝑓(𝐵) = [−3, 4] ∩ [−4, 9) = [−3, 4) c. 𝑓(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑓([−4, 3)) = [−3, 4)

d. 𝑓(𝐴) ∪ 𝑓(𝐵) = [−3, 4) ∪ [−4, 9) = [−4, 9) e. 𝑓(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑓([−5, 8)) = [−4, 9)

f. 𝑓⁻¹(𝑀) − 𝑓⁻¹(𝑁) = [−7, 3] − (1, 7] = [−7, 1) g. 𝑓⁻¹(𝑀 − 𝑁) = 𝑓⁻¹([−6, 2)) = [−7, 1)

(21)

20

5. Akan dibuktikan bahwa ℤ (himpunan bilangan bulat) adalah denumerabel.

Diperoleh enumerasi antara ℤ dengan ℕ (himpunan bilangan asli).

ℤ : 0 -1 1 -2 2 -3 3 … … −𝑛 𝑛

↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓

ℕ : 1 2 3 4 5 6 7 … … 𝑝 𝑞

∴ Terbukti bahwa himpunan semua bilangan bulat (ℤ) adalah denumerabel.

(22)

21 SOAL

UJIAN TENGAH SEMESTER

LOGIKA MATEMATIKA DAN HIMPUNAN TAHUN 2018 Waktu : 100 menit, Closed Book

1. Tunjukkan apakah masing-masing dari dua pernyataan berikut ekuivalen a) (𝑝 ⇔ 𝑞)˄(𝑝 ⇔ 𝑟) dengan 𝑝 ⇔ (𝑞˄𝑟)

b) (𝑝˄𝑞) ⇒ (𝑟˅𝑠) dengan (−𝑝˅ − 𝑞)˅ (𝑟 ˅ 𝑠)

2. Nyatakan kalimat berikut dalam bentuk simbol/notasi dengan menggunakan kuantor ekstensial dan kuantor universal. Tulis juga negasi dari masing-masing pernyataan.

a) Jika 𝑛 ≥ 3, maka persamaan 𝑥^𝑛+ 𝑦^𝑛 = 𝑧^𝑛 tidak memiliki solusi bilangan bulat z,y,z ∈ Z.

b) Untuk setiap bilangan real x,y, jika x bilangan rasional dan y bilangan irrasional, maka x+y bilangan irrasional

3. Buktikan :

a) Jika untuk setiap a ∈ A terdapat 𝑎^′ ∈ A sedemikian sehingga berlaku 𝑎 + 𝑎^′ = 𝑎^′+ 𝑎 = 0 maka untuk setiap (𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝐴) persamaan 𝑎 + 𝑏 = 𝑎 + 𝑐 berakibat 𝑏 = 𝑐 b) Untuk setiap n anggota himpunan bilangan asli berlaku

∑ 2^𝑘= 2^𝑛+1− 1

𝑛

𝑘=0

4. Diberikan himpunan-himpunan A, B, C. Buktikan sifat-sifat berikut : a) 𝐴 − (𝐵 ∪ 𝐶) = (𝐴 − 𝐵) − 𝐶

b) Jika 𝐴 ⊆ 𝐵 dan 𝐴 ⊆ 𝐶 maka 𝐴 ⊆ (𝐵 ∩ 𝐶) Jawab :

1. Akan ditunjukkan ekuivalensi pernyataan tersebut dengan tabel kebenaran : a.

p q r p⇔q p⇔r 𝑞 ⇔ r (p⇔q) ˄ (p⇔r) p⇔(q˄r)

B B B B B B B B

B B S B S S S S

B S B S B S S S

B S S S S S S S

S B B S S B S S

S B S S B S S B

S S B B S S S B

S S S B B S S B

Tampak bahwa (𝑝 ⇔ 𝑞)˄(𝑝 ⇔ 𝑟) dengan 𝑝 ⇔ (𝑞˄𝑟) memiliki nilai yang berbeda maka kedua pernyataan tidak ekuivalen.

(23)

22 b.

p q r s -p -q p˄q r˅s -p˅-q (p˄q)⇒(r˅s) (p˄q)˅(r˅s)

B B B B S S B B S B B

B B B S S S B B S B B

B B S B S S B B S B B

B B S S S S B S S S S

B S B B S B S B B B B

B S B S S B S B B B B

B S S B S B S B B B B

B S S S S B S S B B B

S B B B B S S B B B B

S B B S B S S B B B B

S B S B B S S B B B B

S B S S B S S S B B B

S S B B B B S B B B B

S S B S B B S B B B B

S S S B B B S B B B B

S S S S B B S S B B B

Tampak bahwa (𝑝˄𝑞) ⇒ (𝑟˅𝑠) dengan (−𝑝˅ − 𝑞)˅ (𝑟 ˅ 𝑠) memiliki nilai yang sama maka kedua pernyataan ekuivalen.

2. a. Negasi : ∃𝑛 ≥ 3 ˄ 𝑥^𝑛+ 𝑦^𝑛 ≠ 𝑧^𝑛 (∀𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑍) b. (𝑥 ∈ 𝑄, 𝑦 ∈ 𝑇 → 𝑥 + 𝑦 ∈ 𝑇)

3. a. Jika untuk setiap Jika untuk setiap a ∈ A terdapat 𝑎^′ ∈ A sedemikian sehingga berlaku 𝑎 + 𝑎^′ = 𝑎^′+ 𝑎 = 0 maka untuk setiap (𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝐴) persamaan 𝑎 + 𝑏 = 𝑎 + 𝑐 berakibat 𝑏 = 𝑐.

Bukti :

Diketahui jika 𝑎 + 𝑎^′ = 𝑎^′ + 𝑎 = 0 ⇒ 𝑎 + 𝑏 = 𝑎 + 𝑐 akan dibuktikan 𝑏 = 𝑐 Ambil sembarang a ∈ A sehingga diperoleh 𝑎^′ = −𝑎 ∈ A

Maka 𝑎 + 𝑎^′ = 𝑎^′ + 𝑎 = −𝑎 + 𝑎 = 0

Karena 𝑎 + 𝑎^′ = 𝑎^′+ 𝑎 = 0, maka 𝑎 + 𝑏 = 𝑎 + 𝑐 𝑎 + 𝑎^′+ 𝑏 = 𝑎 + 𝑎^′+ 𝑐

𝑎 + 𝑏 = 𝑎 + 𝑐 𝑏 = 𝑐 Diperoleh hasil bahwa 𝑏 = 𝑐. Terbukti.

b. Akan dibuktikan bahwa untuk setiap 𝑛 ∈ 𝑁 berlaku

∑ 2^𝑘 = 2^𝑛+1− 1

𝑛

𝑘=0

Bukti :

1) Diketahui untuk 𝑛 = 1

Ruas kiri ∑¹_𝑘=02^𝑘 = 2⁰− 2¹ = 1 + 2 = 3 Ruas kanan 2^𝑛+1− 1 = 2²− 1 = 4 − 1 = 3 Tampak bahwa ruas kiri = ruas kanan = 3

(24)

23 2) Dianggap benar untuk 𝑛 = 𝑘

∑ 2^𝑘= 2^𝑘+1− 1

𝑘

𝑘=0

3) Akan dibuktikan untuk 𝑛 = 𝑘 + 1

∑ 2^𝑘= 2⁰+ 2¹+ ⋯ 2^𝑘+ 2^𝑘+1

𝑘

𝑘=0

= 1 + 2 + ⋯ +2^𝑘+ 2^𝑘+1

= ∑ 2^𝑘+

𝑘

𝑘=0

2^𝑘+1

= 2^𝑘+1− 1 + 2^𝑘+1

= 2(2^𝑘+1) − 1

= 2(2^𝑘. 2) − 1

= 2^𝑘. 2²− 1

= 2^𝑘+2− 1 2^𝑘+1+1− 1 = 2^𝑘+2− 1

Diperoleh bahwa ruas kiri = ruas kanan = 2^𝑘+2 − 1. Terbukti.

4. a. 𝐴 − (𝐵 ∪ 𝐶) = (𝐴 − 𝐵) − 𝐶

Akan dibuktikan 𝐴 − (𝐵 ∪ 𝐶) = (𝐴 − 𝐵) − 𝐶 Bukti :

𝐴 − (𝐵 ∪ 𝐶) = 𝐴 ∩ (𝐵 ∪ 𝐶)^𝑐

= 𝐴 ∩ (𝐵^𝐶∩ 𝐶^𝐶)

= (𝐴 ∩ 𝐵^𝐶) ∩ 𝐶^𝐶

= (𝐴 − 𝐵) ∩ 𝐶^𝐶

= (𝐴 − 𝐵) − 𝐶 . Terbukti.

b. Akan dibuktikan 𝐴 ⊆ 𝐵 dan 𝐴 ⊆ 𝐶 maka 𝐴 ⊆ (𝐵 ∩ 𝐶) Bukti :

Ambil 𝑥 ∈ 𝐴 , karena 𝐴 ⊆ 𝐵 maka 𝑥 ∈ 𝐵.

Karena x maka 𝑥 ∈ 𝐶.

Berarti 𝑥 ∈ 𝐵 dan 𝑥 ∈ 𝐶 atau 𝑥 ⊆ (𝐵 ∩ 𝐶) . Terbukti.

(25)

24

SOAL REMIDI UTS

LOGIKA MATEMATIKA DAN HIMPUNAN TAHUN 2018

1. Tunjukkan apakah masing-masing dari dua pernyataan berikut ekuivalen : (𝑝 ˄ 𝑞) ⇔ (𝑝 ˄ 𝑟) dengan 𝑝 ˄ (−𝑞 ˅ 𝑟)

2. Nyatakan kalimat berikut dalam bentuk simbol/notasi dengan menggunakan kuantor eksistensial dan kuantor universal. Tulis juga negasi dari masing-masing pernyataan.

a) Jika n bilangan ganjil, maka n² juga bilangan ganjil b) Persamaan x³ = 10 memilki solusi bilangan real

3. Buktikan bahwa untuk setiap n anggota himpunan bilangan asli berlaku

∑(2𝑘 − 1) = 𝑛²

𝑛

𝑘=1

4. Diberikan himpunan-himpunan A,B,C. Buktikan sifat-sifat berikut:

a) (𝐴 ∪ 𝐵) − (𝐴 ∩ 𝐵) = (𝐴 − 𝐵) ∪ −(𝐵 − 𝐴) b) Jika 𝐴 ⊆ 𝐵 dan 𝐵 ⊆ 𝐶 maka 𝐴 ⊆ 𝐶

(26)

25

SOAL DAN PEMBAHASAN UJIAN AKHIR SEMESTER LOGIKA MATEMATIKA DAN HIMPUNAN TAHUN 2018

Waktu : 100 menit, Closed Book

1. a. Himpunan A : {a,b,c,d,e,f}, buatlah relasi asimetris, relasi antisimetris, relasi nontransitif dan relasi intransitif yang didefinisikan pada himpunan A.

Jawab :

- Asimetris : (∃𝑎, 𝑏 ∈ A)(aRb ˄ b 𝑅̅ a) Misal : R = {(a,b),(b,b),(c,c),(b,a),(a,c)}

- Antisimetris : (∀𝑎, 𝑏 ∈ 𝐴)(𝑎𝑅𝑏 → 𝑏𝑅̅𝑎) Misal : R = {(a,b), (c,d), (e,f)}

- Nontransitif : (∃𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ A)(𝑎𝑅𝑏 ⋀ 𝑏𝑅𝑐 ∧ 𝑎 𝑅̅ c) Misal : R = {(a,b), (b,c), (a,c), (c,d)}

- Intransitif : = (∀𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ A)(𝑎𝑅𝑏 ⋀ 𝑏𝑅𝑐 → 𝑎𝑅̅ 𝑐) Misal : R = {(a,b), (b,c), (c,d), (d,e), (e,f)}

b. Buatlah relasi ekuivalensinya Jawab :

A = {a,b,c,d,e,f}

Misal R = {(a,a),(b,b),(c,c),(d,d),(e,e),(f,f),(a,b),(b,a),(c,d),(d,c), (e,f), (f,e)}

i) Akan dibuktikan bahwa R merupakan relasi reflektif Ambil a ∈ A maka untuk setiap a ∈ A, terdapat (aRa) ∈ R (a,a) ∈ R, (b,b) ∈ R, (c,c) ∈ R, (d,d) ∈ R, (e,e) ∈ R, (f,f) ∈ R

∴ terbukti (∀𝑎 ∈ A) (aRa) maka R merupakan relasi refleksif ii) Akan dibuktikan bahwa R merupakan relasi simetris

Ambil a,b ∈ A jika aRb ∈ R maka bRa ∈ R (a,b)∈ R → (b,a)∈ R

(c,d)∈ R → (d,c)∈ R (e,f)∈ R → (f,e)∈ R

∴ (∀𝑎, 𝑏 ∈ R)(𝑎𝑅𝑏 → 𝑏𝑅a) sehingga R merupakan relasi simetris iii) Akan dibuktikan bahwa R merupakan relasi transitif

Ambil a,b,c ∈ A, jika 𝑎𝑅𝑏, 𝑏𝑅c, maka 𝑎𝑅c ∈ 𝑅 (a,b)∈ R ˄ (b,a)∈ R → (a,a)∈ R

(c,d)∈ R ˄ (d,c)∈ R →(c,c)∈ R (e,f)∈ R ˄ (f,e)∈ R →(e,e)∈ R

∴(∀𝑎, 𝑏, c ∈ R)(𝑎𝑅𝑏 ˄ 𝑏𝑅 c) → 𝑎𝑅c) sehingga R merupakan relasi transitif Dari (i),(ii), dan (iii) terbukti bahwa R merupakan relasi ekuivalensi

2. Buktikan bahwa 𝑓: (0,1) → (0, ∞) dengan 𝑓(𝑥) = ^𝑥

1+𝑥 merupakan fungsi bijektif. Selanjutnya, tentukan fungsi inversnya.

Jawab :

i) Cek fungsi

Ambil 𝑥 ∈ (0,1) maka terdapat 𝑦 ∈ (0, ∞) dimana 𝑦 = ^𝑥

1−𝑥= 𝑓(𝑥) Ambil 𝑥₁𝑥₂∈ (0,1) dimana 𝑥₁= 𝑥₂ maka diperoleh 𝑓(𝑥₁) = ^𝑥¹

1−𝑥₁= ^𝑥²

1−𝑥₂= 𝑓(𝑥₂)

∴ 𝑓(𝑥) = ^𝑥

1−𝑥 adalah fungsi

(27)

26 ii) Cek injektif

Ambil 𝑥₁𝑥₂∈ (0,1) dimana 𝑥₁≠ 𝑥₂ sehingga 𝑓(𝑥₁) = ^𝑥¹

1−𝑥₁≠ ^𝑥²

1−𝑥₂= 𝑓(𝑥₂)

∴ 𝑓(𝑥) = ^𝑥

1−𝑥 adalah fungsi injektif

iii) Cek surjektif 𝑦 ∈ (0, ∞), maka terdapat 𝑥 ∈ (0,1) dengan 𝑥 = ^𝑥

1−𝑥, diperoleh : 𝑓(𝑥) = 𝑓 ( 𝑦

1 + 𝑦) = 𝑦 1 + 𝑦 1 − 𝑦

1 + 𝑦

= 𝑦 1 + 𝑦 1 + 𝑦 − 𝑦

1 + 𝑦

= 𝑦 1 + 𝑦

1 1 + 𝑦

= 𝑦

1 + 𝑦 . (1 + 𝑦) = 𝑦

∴𝑓(𝑥)= ^𝑥

1−𝑥 adalah fungsi surjektif.

∴ dari i), ii), dan iii) terbukti bahwa 𝑓(𝑥) =_1−𝑥^𝑥 adalah fungsi bijektif, sehingga dapat dicari inversnya :

𝑓(𝑥) = 𝑥 1 − 𝑥

𝑦 = 𝑥

1 − 𝑥 𝑦(1 − 𝑥) = 𝑥 𝑦 = 𝑥 + 𝑥𝑦 𝑦 = 𝑥(1 + 𝑦) 𝑥 = 𝑦

1 + 𝑦

∴ 𝑓⁻¹(𝑥) = 𝑥 1 − 𝑥

3. Definisikan relasi 𝑅 pada 𝑍 (himpunan semua bilangan bulat) yaitu p𝑅q jika dan hanya jika 6 membagi habis (𝑝 − 𝑞)

a. Buktikan bahwa 𝑅 merupakan relasi ekuivalensi b. Tentukan kelas-kelas ekuivalensi 0̅, 3̅ , −3,̅̅̅̅̅ 6̅, −6̅̅̅̅

c. Tentukan banyak kelas ekuivalensi Jawab :

a. Akan dibuktikan 𝑅 relasi ekuivalensi dengan 𝑝 − 𝑞 = 6𝑘 i) Cek refleksif

Ambil 𝑥 ∈ 𝑍, akan dibuktikan x 𝑅 y Diperoleh x 𝑅 y ⇔ x-x = 6k

0 = 6k K = 0

∴ oleh karena 0 ∈ 𝑍, terbukti bahwa R refleksif ii) Cek simetris

Ambil 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑍 akan dibuktikan bahwa x 𝑅 y ⇔ y 𝑅 x diperoleh : x 𝑅 y ⇔ x – y = 6k

-(x-y) = -6k

y – x = 6(-k) , misal –k=p

y-x = 6p ⇒ y 𝑅 x

∴ oleh karena 𝑝 ∈ 𝑍, maka terbukti bahwa R simetris.

(28)

27 iii) Cek transitif

Ambil 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑍 akan dibuktikan bahwa x 𝑅 y ˄ y 𝑅 x ⇒ x 𝑅 z diperoleh : x 𝑅 y ⇔ x – y = 6k, k ∈ 𝑍

y 𝑅 x ⇔ y – z = 6l, l ∈ 𝑍 x – z = 6k + 6l

x – z = 6 (k+l) , misal k + l = p, p ∈ 𝑍 x – z = 6p ⇒ x 𝑅 z

∴ terbukti R transitif

∴ dari i), ii), dan iii) terbukti R adalah relasi ekuivalensi b. 0̅ = [ ..., -12, -6, 0, 6, 12, ... ]

3̅ = [ ..., -9, -3, 3, 9, ... ]

−3̅̅̅̅ = [ ..., -9, -3, 3, 9, ... ] 6̅ = [ ..., -12, -6, 0, 6, 12, ... ]

−6̅̅̅̅ = [ ..., -12, -6, 0, 6, 12, ...]

c. Karena 0̅ = 6̅, maka banyaknya kelas-kelas ekuivalensi ada 6, yaitu 1̅, 2̅, 3̅, 4̅, 5̅, 6̅

4. Diberikan fungsi f : S → T dengan 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 5; S, T : semua himpunan bilangan real. Misalkan A,B ⊆ 𝑆 dengan 𝐴 = {𝑎| − 5 < 𝑎 ≤ 4}, 𝐵 = {𝑏|−4 ≤ 𝑏 < 9}. M, N ⊆ T dengan M = [-4,10], N= [0,12]. Tentukan 𝑓(𝑠), 𝑓(𝐴) ∩ 𝑓(𝐵), 𝑓(𝐴 ∩ 𝐵), 𝑓(𝐴) ∪ 𝑓(𝐵), 𝑓(𝐴 ∪ 𝐵), 𝑓⁻¹(𝑀) − 𝑓⁻¹(𝑁), dan 𝑓⁻¹(𝑀 − 𝑁)

Jawab : 1) 𝑓(𝑠) = T

2) 𝑓(𝐴) ∩ 𝑓(𝐵) = 𝑓((−5,4]) ∩ 𝑓([−4,9))

= (−15,3] ∩ [−13,13)

= [−13,3]

3) 𝑓(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑓((−5,4] ∩ [−4,9))

= 𝑓([−4,4])

= [−13,3]

4) 𝑓(𝐴) ∪ 𝑓(𝐵) = 𝑓((−5,4]) ∪ 𝑓([−4,9))

= (−15,3] ∪ [−13,3)

= (−15, 13)

5) 𝑓(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑓((−5,4] ∪ [−4,9))

= 𝑓((−5,9))

=(−15,13)

6) 𝑓⁻¹(𝑀) − 𝑓⁻¹(𝑁) = 𝑓⁻¹([−4,10)) − 𝑓⁻¹((0,12])

=[¹

2,¹⁵

2) − (⁵

2,¹⁷

2)

= [¹

2,¹⁵

2]

7) 𝑓⁻¹(𝑀 − 𝑁) = 𝑓⁻¹([−4,10)) − 𝑓⁻¹((0,12])

= 𝑓⁻¹([−4,0))

= [¹

2,¹⁵

2]

(29)

28

5. Buktikan bahwa himpunan semua bilangan cacah adalah denumerabel.

Jawab :

Himpunan bilangan cacah C ={0, 1, 2, 3, ...}

Akan dibuktikan bahwa C adalah denumerabel Diperoleh enumerasi antara C dengan N

C : 0 1 2 3 5 ... ... n-1 n

↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓

N : 1 2 3 4 5 ... ... n+1 n+1

∴ terbukti bahwa himpunan semua bilangan C adalah denumerabel

(30)

29 TUGAS 1

LOGIKA MATEMATIKA DAN HIMPUNAN 2019 1. Construct truth tables for the following statements :

a. 𝑝 ˅ (𝑞 ˅ 𝑟) b. (𝑝 ˅ 𝑞) ˅ 𝑟

c. 𝑝 ˄ (𝑞 ˅ 𝑟) d. (𝑝 ˄ 𝑞) ˅ (𝑝 ˄ 𝑟) 2. Which of the statements in Exercise 1 are logically equivalent?

3. Parts (a) and (b) Exercise 1 show that ˅ has the associative property. We can therefore allow ourselves the freedom to write 𝑝 ˅ 𝑞 ˅ 𝑟 and understand it to mean either (𝑝 ˅ 𝑞) ˅ 𝑟 or 𝑝 ˅ (𝑞 ˅ 𝑟). Does ˄ have the associative property? Verify your answer with a truth table.

4. Below are several logical equivalences that are called DeMorgan’s laws ( a name you’ll want to remember). Verify these forms of DeMorgan’s laws with truth tables :

a. ¬(𝑝 ˄ 𝑞); ¬𝑝 ˅ ¬𝑞 b. ¬(𝑝 ˅ 𝑞); ¬𝑝 ˄ ¬𝑞

c. ¬(𝑝 ˄ 𝑞 ˄ 𝑟); ¬𝑝 ˅ ¬𝑞 ˅ ¬𝑟 d. ¬(𝑝 ˅ 𝑞 ˅ 𝑟); ¬𝑝 ˄ ¬𝑞 ˄ ¬𝑟 5. Show that ˅ distributes over ˄.

6. Show that ¬(𝑝 ˄ 𝑞) ˅ (𝑝 ˅ 𝑞) from Example 1.16 is a tautology.

7. Construct a statement using only 𝑝, 𝑞, ˄, ˅, and ¬ that is logically equivalent to 𝑝 ⩒ 𝑞. Demonstrate logical equivalence with a truth table.

8. Which of the following are true? The domain for each is given in parentheses.

a. ∀𝑥(𝑥 + 1 ≥ 𝑥) (Real numbers)

b. ∃𝑥(2𝑥 + 3 = 5𝑥 + 1) (Natural numbers) c. ∃𝑥(𝑥²+ 1 = 2^𝑥) (Real numbers)

d. ∃𝑥(𝑥² = 2) (Rational numbers) e. ∃𝑥(𝑥² = 2) (Real numbers)

f. ∀𝑥(𝑥³+ 17𝑥²+ 6𝑥 + 100 ≥ 0) (Real numbers) g. ∃𝑥(𝑥³+ 𝑥²+ 𝑥 + 1 ≥ 0) (Real numbers)

h. ∀𝑥∃𝑦(𝑥 + 𝑦 = 0) (Real numbers) i. ∃𝑥∀𝑦(𝑥 + 𝑦 = 0) (Real numbers) j. ∀𝑥∃! 𝑦(𝑦 = 𝑥²) (Real numbers) k. ∀𝑥∃! 𝑦(𝑦 = 𝑥²) (Natural numbers) l. ∀𝑥∃𝑦∀𝑧(𝑥𝑦 = 𝑥𝑧) (Real numbers) m. ∀𝑥∃𝑦∀𝑧(𝑥𝑦 = 𝑥𝑧) (Prime numbers) n. ∀𝑥∃𝑦(𝑥 ≥ 0 ⇒ 𝑦² = 𝑥) (Real numbers) o. ∀𝑥[𝑥 < 0 ⇒ ∃𝑦(𝑦² = 𝑥)] (Real numbers)

p. ∀𝑥[𝑥 < 0 ⇒ ∃𝑦(𝑦² = 𝑥)] (Positive real numbers)

(31)

30 Jawab :

1. Akan ditunjukkan pernyataan-pernyataan tersebut dengan tabel kebenaran : a. 𝑝 ˅ (𝑞 ˅ 𝑟)

𝑝 𝑞 𝑟 𝑞 ˅ 𝑟 𝑝 ˅ (𝑞 ˅ 𝑟)

T T T T T

T T F T T

T F T T T

T F F F T

F T T T T

F T F T T

F F T T T

F F F F F

b. (𝑝 ˅ 𝑞) ˅ 𝑟

𝑝 𝑞 𝑟 𝑝 ˅ 𝑞 (𝑝 ˅ 𝑞)˅ 𝑟

T T T T T

T T F T T

T F T T T

T F F T T

F T T T T

F T F T T

F F T F T

F F F F F

c. 𝑝 ˄ (𝑞 ˅ 𝑟)

𝑝 𝑞 𝑟 𝑞 ˅ 𝑟 𝑝 ˄ (𝑞 ˅ 𝑟)

T T T T T

T T F T T

T F T T T

T F F F F

F T T T F

F T F T F

F F T T F

F F F F F

d. (𝑝 ˄ 𝑞) ˅ (𝑝 ˄ 𝑟)

𝑝 𝑞 𝑟 𝑝 ˄ 𝑞 𝑝 ˄ 𝑟 (𝑝 ˄ 𝑞) ˅ (𝑝 ˄ 𝑟)

T T T T T T

T T F T F T

T F T F T T

T F F F F F

F T T F F F

F T F F F F

F F T F F F

F F F F F F

(32)

31

2. Berdasarkan tabel kebenaran pada nomor 1, diketahui bahwa pernyataan yang saling berekuivalensi adalah :

 𝑎 ≡ 𝑏 → 𝑝 ˅ (𝑞 ˅ 𝑟) ≡ (𝑝 ˅ 𝑞) ˅ 𝑟

 𝑐 ≡ 𝑑 → 𝑝 ˄ (𝑞 ˅ 𝑟) ≡ (𝑝 ˄ 𝑞) ˅ (𝑝 ˄ 𝑟)

3. Pada sifat asosiatif, jumlah operator dan jumlah pernyataan komponen tetap hanya saja posisi tanda kurungnya berubah. Sifat asosiatif juga berlaku baik pada konjungsi

"˄" maupun disjungsi "˅".

a. Sifat asosiatif pada konjungsi (𝑝 ˄ 𝑞) ˄ 𝑟 ≡ 𝑝 ˄ (𝑞 ˄ 𝑟)

Pembuktian menggunakan tabel kebenaran :

𝑝 𝑞 𝑟 𝑝 ˄ 𝑞 (𝑝 ˄ 𝑞) ˄ 𝑟 𝑞 ˄ 𝑟 𝑝 ˄ (𝑞 ˄ 𝑟)

B B B B B B B

B B S B S S S

B S B S S S S

B S S S S S S

S B B S S B S

S B S S S S S

S S B S S S S

S S S S S S S

Terbukti bahwa (𝑝 ˄ 𝑞) ˄ 𝑟 ≡ 𝑝 ˄ (𝑞 ˄ 𝑟).

b. Sifat asosistif pada disjungsi (𝑝 ˅ 𝑞) ˅ 𝑟 ≡ 𝑝 ˅ (𝑞 ˅ 𝑟)

Pembuktian menggunakan tabel kebenaran :

𝑝 𝑞 𝑟 𝑝 ˅ 𝑞 (𝑝 ˅ 𝑞) ˅ 𝑟 𝑞 ˅ 𝑟 𝑝 ˅ (𝑞 ˅ 𝑟)

B B B B B B B

B B S B B B B

B S B B B B B

B S S B B S B

S B B B B B B

S B S B B B B

S S B S B B B

S S S S S S S

Terbukti bahwa (𝑝 ˅ 𝑞) ˅ 𝑟 ≡ 𝑝 ˅ (𝑞 ˅ 𝑟).

4. Membuktikan pernyataan dari DeMorgan’s laws menggunakan tabel kebenaran : a. ¬(𝑝 ˄ 𝑞); ¬𝑝 ˅ ¬𝑞

𝑝 𝑞 ¬𝑝 ¬𝑞 𝑝 ˄ 𝑞 ¬(𝑝 ˄ 𝑞) ¬𝑝 ˅ ¬𝑞

B B S S B S S

B S S B S B B

S B B S S B B

S S B B S B B

Terbukti bahwa ¬(𝑝 ˄ 𝑞) ≡ ¬𝑝 ˅ ¬𝑞.

(33)

32 b. ¬(𝑝 ˅ 𝑞); ¬𝑝 ˄ ¬𝑞

𝑝 𝑞 ¬𝑝 ¬𝑞 𝑝 ˅ 𝑞 ¬(𝑝 ˅ 𝑞) ¬𝑝 ˄ ¬𝑞

B B S S B S S

B S S B B S S

S B B S B S S

S S B B S B B

Terbukti bahwa ¬(𝑝 ˅ 𝑞) ≡ ¬𝑝 ˄ ¬𝑞.

c. ¬(𝑝 ˄ 𝑞 ˄ 𝑟); ¬𝑝 ˅ ¬𝑞 ˅ ¬𝑟

𝑝 𝑞 𝑟 𝑝 ˄ 𝑞 𝑝 ˄ 𝑞 ˄ 𝑟 ¬(𝑝 ˄ 𝑞 ˄ 𝑟)

B B B B B S

B B S B S B

B S B S S B

B S S S S B

S B B S S B

S B S S S B

S S B S S B

S S S S S B

𝑝 𝑞 𝑟 ¬𝑝 ¬𝑞 ¬𝑟 ¬𝑝 ˅ ¬𝑞 ¬𝑝 ˅ ¬𝑞 ˅ ¬𝑟

B B B S S S S S

B B S S S B S B

B S B S B S B B

B S S S B B B B

S B B B S S B B

S B S B S B B B

S S B B B S B B

S S S B B B B B

Berdasarakn dua tabel kebeneran di atas, maka terbukti bahwa

¬(𝑝 ˄ 𝑞 ˄ 𝑟) ≡ ¬𝑝 ˅ ¬𝑞 ˅ ¬𝑟.

d. ¬(𝑝 ˅ 𝑞 ˅ 𝑟); ¬𝑝 ˄ ¬𝑞 ˄ ¬𝑟

𝑝 𝑞 𝑟 𝑝 ˅ 𝑞 𝑝 ˅ 𝑞 ˅ 𝑟 ¬(𝑝 ˅ 𝑞 ˅ 𝑟)

B B B B B S

B B S B B S

B S B B B S

B S S B B S

S B B B B S

S B S B B S

S S B S B S

S S S S S B

(34)

33

𝑝 𝑞 𝑟 ¬𝑝 ¬𝑞 ¬𝑟 ¬𝑝 ˄ ¬𝑞 ¬𝑝 ˄ ¬𝑞 ˄ ¬𝑟

B B B S S S S S

B B S S S B S S

B S B S B S S S

B S S S B B S S

S B B B S S S S

S B S B S B S S

S S B B B S B S

S S S B B B B B

Berdasarakn dua tabel kebeneran di atas, maka terbukti bahwa

¬(𝑝 ˅ 𝑞 ˅ 𝑟); ¬𝑝 ˄ ¬𝑞 ˄ ¬𝑟 .

5. Sifat distributif ditandai dengan penambahan atau pendistribusian sebuah operator logika dari salah satu operator yang digunakan dan biasanya melibatkan tiga pernyataan komponen yaitu 𝑝, 𝑞, dan 𝑟.

a. Distributif konjungsi terhadap disjungsi

𝑝 ˄ (𝑞 ˅ 𝑟) ≡ (𝑝 ˄ 𝑞) ˅ (𝑝 ˄ 𝑟) b. Distributif disjungsi terhadap konjungsi

𝑝 ˅ (𝑞 ˄ 𝑟) ≡ (𝑝 ˅ 𝑞) ˄ (𝑝 ˅ 𝑟)

6. Membuktikan bahwa ¬(𝑝 ˄ 𝑞) ˅ (𝑝 ˅ 𝑞) termasuk pernyataan tautologi menggunakan tabel kebenaran :

𝑝 𝑞 𝑝 ˄ 𝑞 ¬(𝑝 ˄ 𝑞) 𝑝 ˅ 𝑞 ¬(𝑝 ˄ 𝑞) ˅ (𝑝 ˅ 𝑞)

B B B S B B

B S S B B B

S B S B B B

S S S B S B

Berdasarkan hasil tabel kebenaran di atas, diketahui bahwa

¬(𝑝 ˄ 𝑞) ˅ (𝑝 ˅ 𝑞) menghasilkan pernyataan majemuk yang selalu benar untuk semua kemungkinan nilai kebenaran dari pernyataan-pernyataan komponennya sehingga terbukti bahwa ¬(𝑝 ˄ 𝑞) ˅ (𝑝 ˅ 𝑞) merupakan pernyataan yang tautologi.

7. Membuat persamaan yang ekuivalen dengan 𝑝 ⩒ 𝑞 dengan menggunakan 𝑝, 𝑞, ˄, ˅, and

¬. Perlu diketahui bahwa 𝑝 ⩒ 𝑞 memiliki tabel kebenaran sebagai berikut :

𝑝 𝑞 𝑝 ⩒ 𝑞

B B S

B S B

S B B

S S S

Berdasarkan hasil pada tabel kebenaran 𝑝 ⩒ 𝑞 di atas, diperoleh persamaan (𝑝 ˅ 𝑞) ˄ ¬(𝑝 ˄ 𝑞) yang ekuivalen dengan 𝑝 ⩒ 𝑞. Hal ini terbukti melalui pembuktian berikut :

(35)

34

𝑝 𝑞 𝑝 ˅ 𝑞 𝑝 ˄ 𝑞 ¬(𝑝 ˄ 𝑞) (𝑝 ˅ 𝑞) ˄ ¬(𝑝 ˄ 𝑞)

B B B B S S

B S B S B B

S B B S B B

S S S S B S

Terbukti bahwa 𝑝 ⩒ 𝑞 ≡ (𝑝 ˅ 𝑞) ˄ ¬(𝑝 ˄ 𝑞).

8.

a. ∀𝑥(𝑥 + 1 ≥ 𝑥) (Real numbers) Benar

b. ∃𝑥(2𝑥 + 3 = 5𝑥 + 1) (Natural numbers) Salah c. ∃𝑥(𝑥²+ 1 = 2^𝑥) (Real numbers) Benar

d. ∃𝑥(𝑥² = 2) (Rational numbers) Salah

e. ∃𝑥(𝑥² = 2) (Real numbers) Benar

f. ∀𝑥(𝑥³+ 17𝑥²+ 6𝑥 + 100 ≥ 0) (Real numbers) Salah g. ∃𝑥(𝑥³+ 𝑥²+ 𝑥 + 1 ≥ 0) (Real numbers) Benar

h. ∀𝑥∃𝑦(𝑥 + 𝑦 = 0) (Real numbers) Benar

i. ∃𝑥∀𝑦(𝑥 + 𝑦 = 0) (Real numbers) Salah

j. ∀𝑥∃! 𝑦(𝑦 = 𝑥²) (Real numbers) Benar

k. ∀𝑥∃! 𝑦(𝑦 = 𝑥²) (Natural numbers) Benar

l. ∀𝑥∃𝑦∀𝑧(𝑥𝑦 = 𝑥𝑧) (Real numbers) Salah

m. ∀𝑥∃𝑦∀𝑧(𝑥𝑦 = 𝑥𝑧) (Prime numbers) Salah

n. ∀𝑥∃𝑦(𝑥 ≥ 0 ⇒ 𝑦²= 𝑥) (Real numbers) Benar o. ∀𝑥[𝑥 < 0 ⇒ ∃𝑦(𝑦² = 𝑥)] (Real numbers) Salah p. ∀𝑥[𝑥 < 0 ⇒ ∃𝑦(𝑦² = 𝑥)] (Positive real numbers) Salah