Yang akan dibicarakan adalah relasi-relasi yang determinatif.

Lecture 3: Relation A A. Pengertian Relasi

Definisi 3.1 (a). Relasi yang didefinisikan pada suatu semesta , misal = { , , … } disebut determinatif pada jika dan hanya jika (∀ , ) kalimat merupakan kalimat deklaratif (yaitu kalimat yang bernilai benar atau salah).

Yang akan dibicarakan adalah relasi-relasi yang determinatif.

Definisi 3.1 (b). Jika terdapat himpunan dan , relasi binair (binary

relation) atau relasi dari ke adalah himpunan bagian dari × , yaitu

himpunan pasangan berurut ( , ), dimana dan .

Relasi selain dituliskan dengan pasangan berurut ( , ) , dapat pula dituliskan dengan atau ( , ) yang artinya “ direlasikan ke oleh ” atau “ berada dalam relasi dengan ”.

Suatu relasi binair pada himpunan didefinisikan sebagai himpu-nan bagian dari × .

Contoh: Survey pada Jurusan Matematika FMIPA UNS dengan angket mengenai mata kuliah yang paling disukai, didapat data dari 4 mahasiswa sebagai berikut.

(1) Ari menyukai mata kuliah Kalkulus dan Sistem Dinamik (2) Budi menyukai mata kuliah Program Linear.

(3) Cecep menyukai mata kuliah Sistem Dinamik. (4) Dila menyukai mata kuliah Kalkulus

Dari data-data, kita mengetahui bahwa himpunan Mahasiswa = {Ari, Budi, Cecep, Dila}

dipetakan pada himpunan

Mata kuliah = {Kalkulus, Program Linear, Sistem Dinamik} dengan relasi

“menyukai mata kuliah”,

yang merupakan kalimat deklaratif. Apabila mahasiswa menyukai mata kuliah dinotasikan dengan pasangan berurut ( , ), maka relasi dari kedua himpunan adalah:

{(Ari, Kalkulus), (Ari, Sistem Dinamik), (Budi, Program Linear), (Cecep, Sistem Dinamik), (Dila, Kalkulus)}

Jika : → dan kita identifikasikan relasi dengan himpunan: = {( , )∈ × : = ( )}

Contoh: Apabila terdapat himpunan = {3,4,5,8} dan = {1,9}, maka × = {(3,1), (3,9), (4,1), (4,9), (5,1), (5,9), (8,1), (8,9)}.

Jika relasi antara dan dinyatakan dengan “lebih besar dari”, maka relasinya adalah

{(3,1),(4,1),(5,1),(8,1)}.

Dapat diperoleh 3 1, 4 1, 5 1, dan 8 1, tetapi 1 3, 5 9 atau dapat ditulis 1 3, 5 9, dsb, dibaca “1 tidak berada dalam relasi dengan 3”.

Relasi Binair (Diadik) adalah relasi yang menyangkut 2 anggota.

(1) Relasi binair dari himpunan ke didefinisikan sebagai himpunan bagian dari × .

(2) Relasi binair pada himpunan didefinisikan sebagai himpunan bagian dari × .

Contoh:

(1) atau ( , ).

(2) Jika semestanya himpunan bilangan alam, maka dalam hal ini 1 berada dalam relasi “lebih kecil” dengan 2, yaitu 1 < 2, ditulis "1 2"; demikian juga "2 4", dsb. Tetapi 3 2 atau 3 2, dibaca “3 tidak berada dalam relasi lebih kecil dengan 2”

Relasi Terniair (Triadik) adalah relasi yang menyangkut 3 anggota. Relasi terniair pada himpunan didefinisikan sebagai himpunan bagian dari × × .

Contoh:

(1) Jika semestanya adalah himpunan orang-orang, maka kalimat “Andi membenci Budi karena fitnah dari Cecep” merupakan relasi triadik, ditulis ( , , )

(2) Jika semestanya adalah himpunan titik-titik, maka kalimat “titik a, b, dan c terletak pada satu garis” adalah relasi, ditulis ( , , ).

B. Macam-macam Relasi

(1) Relasi Refleksif, Non Refleksif, dan Irrefleksif

Definisi 3.2. Relasi disebut refleksif jika dan hanya jika untuk setiap anggota semestanya, berelasi dengan dirinya sendiri. Jadi

refleksif jika dan hanya jika (∀ ) . Contoh 1 (Kalimat Deklaratif).

(1) Relasi “mencintai” pada himpunan orang-orang yang normal, sebab setiap orang pasti mencintai dirinya sendiri.

(2) Relasi “kesejajaran” pada himpunan garis-garis lurus pada bidang, sebab setiap garis lurus pasti sejajar dengan dirinya sendiri.

Contoh 2 (Matematis).

(1) Jika diketahui = {1,2,3} dan relasi = {(1,1), (1,3), (2,2), (3,3)} pada , maka adalah refleksif, karena untuk setiap terdapat ( , ) pada .

(2) Perhatikan relasi pada himpunan = {1,2,3,4} berikut. = {(1,1), (1,2), (1,4), (2,1), (2,2), (3,3), (4,1), (4,4)}

= {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,2), (2,3), (2,4), (3,3), (3,4), (4,4)}. Relasi-relasi tersebut merupakan relasi refleksif karena memiliki elemen (1,1), (2,2), (3,3), dan (4,4).

Relasi pada disebut non refleksif jika dan hanya jika ada sekurang-kurangnya satu elemen di dalam yang tidak berelasi dengan dirinya sendiri. Jadi,

non refleksif jika dan hanya jika (∃ ∈ ) . Contoh 1 (Kalimat Deklaratif).

Relasi “menguasai diri” pada himpunan orang-orang, sebab ada satu atau lebih orang yang tidak mampu menguasai diri.

Contoh 2 (Matematis).

Perhatikan relasi pada himpunan = {1,2,3,4}. = {(1,1), (1,2), (2,1), (2,2), (3,4), (4,1), (4,4)}.

Relasi merupakan relasi non refleksif, karena (3,3)∉ .

Relasi pada disebut Irrefleksif (anti refleksif) jika dan hanya jika setiap elemen di dalam tidak berelasi dengan dirinya sendiri. Jadi,

irreflekif jika dan hanya jika (∀ ) . Contoh 1 (Kalimat Deklaratif).

(1) Relasi “<” dan “>” pada himpunan bilangan real. (2) Relasi “lebih tua” pada himpunan orang-orang. Contoh 2 (Matematis)

(1) Diketahui = { , , } dan relasi = {( , ), ( , ), ( , )}. Relasi adalah irrefleksif, karena ( , ), ( , ), dan ( , ) bukan elemen . (2) Diketahui = {1,2,3,4} dan relasi = {(2,1), (3,2), (4,1), (4,2), (4,3)}.

Relasi merupakan relasi irrefleksif, karena tidak terdapat elemen ( , ) dimana ∈ .

Contoh. Perhatikan relasi pada ℕ di bawah ini. = {( , ): ≤ } = {( , ): > } = {( , ): = atau =− } = {( , ): = } = {( , ): = + 1} = {( , ): + ≤3}

Manakah yang merupakan relasi refleksif, non refleksif, dan irrefleksif? Answer:

 , , dan adalah relasi refleksif karena syarat pada pembentukan relasi masing-masing memungkinkan menghasilkan pasangan berurut ( , ), sedangkan

 adalah relasi non refleksif, karena syarat pembentukan relasi tersebut, memungkinkan pasangan berurut ( , ), misal (1,1), tetapi terdapat (2,2)∉ .

 dan adalah irrefleksif karena dari syarat pembentukan kedua relasi tersebit tidak mungkin membentuk relasi ( , ).

(2) Relasi Simetris, Non Simetris, a-Simetris, dan Anti Simetris

Definisi 3.3. Relasi disebut simetris jika dan hanya jika untuk setiap , dari semestanya berlaku apabila berelasi dengan , maka berelasi dengan . Jadi,

simetris jika dan hanya jika (∀ , ) → . Contoh 1 (Kalimat Deklaratif).

(1) Relasi “kesebangunan” antara bangn-bangun pada bidang datar. (2) Relasi “⊥” antara garis-garis lurus pada bidang datar.

Contoh 2 (Matematis).

Perhatikan relasi pada himpunan = {1,2,3,4} berikut. = {(1,1), (1,2), (2,1)}

= {(1,1), (1,2), (1,4), (2,1), (2,2), (3,3), (4,1), (4,4)}.

Relasi-relasi tersebut merupakan relasi simetris karena setiap ( , ) terdapat ( , ).

Relasi disebut non simetris jika dan hanya jika terdapat sekurang-kurangnya satu pasang , yang berlaku berelasi dengan dan tidak berelasi dengan . Jadi,

non simetris jika dan hanya jika (∃ , ) & . Contoh 1 (Kalimat Deklaratif).

Relasi “mencintai” pada himpunan orang-orang. Contoh 2 (Matematis)

Pada himpunan = { , , 1,2}, terdapat relasi = {(1,2), (2,1), ( , ), ( , ), ( , ), ( , 1)}.

Relasi tersebut non simetris, karena ( , 1)∈ tetapi (1, )∉ . Relasi disebut a-simetris jika dan hanya jika untuk setiap pasang , dalam semestanya berlaku berelasi dengan , maka tidak berelasi dengan . Jadi,

a-simetris jika dan hanya jika (∀ , ) → . Contoh 1 (Kalimat Deklaratif).

(1) Relasi “>” pada himpunan bilangan-bilangan. (2) Relasi “lebih tua” pada himpunan orang-orang. Contoh 2 (Matematis).

Perhatikan relasi pada himpunan = {1,2,3,4} berikut. = {(1,2), (1,3), (1,4), (2,3), (2,4), (3,4)}.

Relasi tersebut merupakan relasi a-simetris, karena tidak terdapat ( , ) dan ( , ) sekaligus di dalam .

Relasi disebut anti simetris jika dan hanya jika untuk setiap pasang , dalam semestanya berlaku jika berelasi dengan dan berelasi dengan , maka sama dengan . Jadi,

anti simetris jika dan hanya jika (∀ , ) & → = . Contoh 1 (Kalimat Deklaratif).

Relasi inklusi (⊆) pada himpunan. Contoh 2 (Matematis)

Perhatikan relasi pada himpunan = {1,2,3,4} berikut.

= {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,2), (2,3), (2,4), (3,3), (3,4), (4,4)}. Relasi tersebut merupakan relasi anti simetris, karena tidak terdapat ( , ) dan ( , ) sekaligus dimana ≠ , sedangkan ( , ) dan ( , ) ada untuk = .

Contoh. Perhatikan relasi pada ℕ di bawah ini. = {( , ): ≤ } = {( , ): > } = {( , ): = atau =− } = {( , ): = } = {( , ): = + 1} = {( , ): + ≤3}

Manakah yang merupakan relasi simetris, non simetris, a-simetris, dan anti simetris?

Answer:

 dan anti simetris. anti simetris karena ≤ dan ≤ yang mengakibatkan = .

 dan a-simetris. a-simetris karena tidak mungkin terjadi > dan > sekaligus.

 dan simetris. simetris karena jika = atau =− , maka = atau =− . simetris karena + ≤3 berakibat + ≤3.

Catatan. Hal yang perlu diperhatikan adalah hubungan antara relasi yang simetris dan dengan relasi yang anti-simetris bukan komplemen satu sama lain. Suatu relasi bisa saja simetris sekaligus anti-simetris, seperti himpunan relasi

= {(1,1), (2,2), (3,3}.

(3) Relasi Transitif, Non Transitif, dan Intransitif

Definisi 3.4. Relasi disebut transitif jika dan hanya jika untuk setiap triple , , dari semestanya berlaku apabila berelasi dengan dan berelasi dengan , maka berelasi dengan . Jadi,

transitif jika dan hanya jika (∀ , , ) & → . Contoh 1 (Kalimat Deklaratif).

(1) Relasi “>” pada himpunan bilangan real. (2) Relasi “//” pada himpunan garis-garis lurus. Contoh 2 (Matematis).

Pada ℕ didefinisikan relasi

= {(1,2), (1,3), (1,4), (2,3), (3,4)}.

Relasi adalah transitif, karena elemen-elemen (1,2), (2,3), (1,3) dan (1,3), (3,4), (1,4) menunjukkan sifat transitif.

Relasi disebut non transitif jika dan hanya jika terdapat sekurang-kurangnya satu triple , , dari semestanya dengan berelasi dengan dan berelasi dengan dan tidak berelasi dengan . Jadi,

non transitif jika dan hanya jika (∃ , , ) & & . Contoh 1 (Kalimat Deklaratif).

Relasi “mencintai” pada himpunan orang-orang. Contoh 2 (Matematis).

Pada ℕ didefinisikan relasi = {(1,2), (1,3), (2,3), (3,4)}.

Relasi adalah non transitif, karena elemen-elemen (1,2), (2,3), (1,3) ada, sedangkan elemen-elemen (1,3), (3,4) ada, tetapi (1,4) tidak ada. Relasi disebut intransitif jika dan hanya jika untuk setiap triple , , dari semestanya, jika berelasi dengan dan berelasi dengan , maka pastilah tidak berelasi dengan . Jadi,

intransitif jika dan hanya jika (∀ , , ) & → .

Contoh 1 (Kalimat Deklaratif).

Contoh 2 (Matematis). Pada ℕ didefinisikan relasi

= {(1,2), (2,3), (3,4)}.

Relasi adalah intransitif, karena elemen-elemen (1,2), (2,3) ada, tetapi (1,3) tidak ada.

Contoh. Perhatikan relasi pada ℕ di bawah ini. = {( , ): ≤ } = {( , ): > } = {( , ): = atau =− } = {( , ): = } = {( , ): = + 1} = {( , ): + ≤3}

Manakah yang merupakan relasi transitif, non transitif, dan anti-transitif? Answer:

 , , , transitif. transitif karena ≤ dan ≤ berakibat ≤ . transitif karena > dan > berakibat > . transitif karena = ± dan = ± berakibat = ± .

 anti-transitif. anti-transitif karena (2,1) dan (1,0) ada tetapi tidak terdapat (2,0).

 non simetris non transitif karena (2,1) dan (1,2) ada tetapi tidak terdapat (2,2), sedangkan (0,1), (1,2), dan (0,2) ada.

(4) Relasi Ekuivalensi

Definisi 3.4. Relasi yang mempunyai sifat refleksif, simetris, maupun transitif disebut relasi ekuivalensi.

Contoh.

(1) Relasi “kesejajaran” antara garis-garis lurus.

(2) Relasi “kongruensi” antara bilangan-bilangan bulat (buktikan). Relasi Kongruensi. Misal = { , , … } adalah himpunan bilangan-bila-ngan bulat. Relasi kongruensi antara anggota-anggotanya, dengan simbol “≡” didefinisikan sebagai berikut.

≡ (mod ) jika dan hanya jika − = dengan = bilangan alam

= 0, ±1, ±2, ±3, ... Contoh.

(1) Apakah 12≡3 (mod 3)? Answer:

12−3 = 9 = 3.3 = . Jadi, terbukti 12≡3 (mod 3). (2) 15≢1 (mod 5)