UJIAN TENGAH SEMESTER Mata Kuliah : MATEMATIKA
Nama : Rendri Anggiat Siagian
NIM : 21105032
Prodi :Teknik Elektro
Dosen Pengampu : Iin Kurniasari, S.Kom, M.Si, M.Kom
1. Perbedaan bilangan desimal, biner, oktal dan hexa desimal 2. Aturan dasar eksponen
3. Aturan dasar logaritma
4. Perbedaan grafik sin, cos dan tg
5. Variabel yang mempengaruhi jumlah uang di bank pada waktu yang akan datang 6. Metode penyelesaian persamaan kuadrat
7. Jenis-jenis fungsi JAWABAN :
1. Perbedaan bilangan desimal, biner, oktal dan hexa desimal :
• Sistem bilangan desimal merupakan sistem bilangan mulai dari 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 dan 9. Sistem bilangan desimal ini biasa dikenal sebagai sistem bilangan basis 10, karena setiap angka desimal menggunakan basis 10.
Contoh angka Angka 321 dengan dasar 10 maka : (3 * 10²) + (2 * 10¹) + (1 * 10⁰ ) = 321
• Sistem bilangan biner atau sistem bilangan basis 2 merupakan sistem penulisan angka yakni 0,1. Dari sistem bilangan biner inilah, kita mampu melakukan konversi ke sistem bilangan oktal dan hexa desimal. Sistem ini juga bisa disebut dengan nama bit atau binary digit. Pengelompokkan biner dalam komputer selalu berjumlah 8 atau dengan kata lain 1 byte (1 byte = 8 bit Contoh : 2⁰ = 1
2¹ = 2 2² = 4 2³ = 8 2⁴ =16
10 = ( 1 x 2³ ) + ( 0 x 2² ) + ( 1 x 2¹ ) + ( 0 x 2⁰ )
Dari aturan di atas bilangan biner dari 10 merupakan 1010.
• Sistem bilangan oktal atau sistem bilangan basis 8 merupakan suatu sistem bilangan berbasis 8. Simbol yang digunakan di sistem bilangan oktal adalah 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 dan 7. Konversi sistem bilangan oktal ini sendiri berasal dari sistem bilangan biner yang dikelompokkan di setiap 3 bit biner dari ujung paling kanan atau biasa disebut dengan Least Significant Bit (LSB).
Contoh: Misalnya bilangan oktal 3 adalah hasil pengelompokan dari 000 011 , perhitungan secara manual dapat dibuktikan dengan perhitungan berikut : (1 x 21 )+(1 x 20 ) = (1×2)+(1×1) = 3
• Sistem bilangan hexa desimal atau sistem bilangan basis 16 merupakan suatu sistem bilangan dengan menggunakan sebanyak 16 simbol. Simbol itu berupa 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E dan F. Terlihat dari simbol di atas, sistem bilangan hexa desimal sangat berbeda dengan sistem bilangan desimal, di mana penggunaan dari sistem bilangan hexa desimal dari angka 0 hingga 9 dan ditambah dengan 6 simbol lain dengan menggunakan huruf A hingga F. Sistem
bilangan hexa desimal digunakan dalam menampilkan nilai alamat memori di dalam pemrograman komputer.
Contoh :
35/16 = 2 (3/16) -> sisa 310 = 316
2/16 = 0 -> sisa 210 = 216
sehingga 3510 = 2316
2. Aturan dasar eksponen :
Aturan dasar eksponen
Berikut adalah beberapa aturan dasar yang dapat kita ketahui di dalam memahami materi bilangan eksponen, diantaranya yaitu:
▪ Pertama:
aᵐ. aⁿ = nᵐ ⁺ ⁿ (jika dikali maka pangkatnya harus ditambah) Sebagai contoh: 6² . 6³ = 6² ⁺ ³ = 6⁵
▪ Kedua:
aᵐ . aⁿ = aᵐ ¯ ⁿ (jika dibagi maka sebaliknya pangkatnya harus dikurang) Sebagai contoh: 6⁵ : 5³ = 6⁵ ¯ ³ = 6²
▪ Ketiga:
( aᵐ ) n = aᵐ ˣ ⁿ (jika di dalam kurung, maka pangkatnya harus dikalikan) Sebagai contoh: (6² ) ³ = 6² ˣ ³ = 6⁶
▪ Keempat:
(a . b)ᵐ = aᵐ . bᵐ
Sebagai contoh: (5 . 6)² = 5² . 6²
▪ Kelima:
Sifat selanjutnya adalah sifat ke lima ini, di mana memiliki syarat bahwa “b”
atau penyebutnya tidak boleh sama dengan nol (0).
(a/b)ᵐ= aᵐ/bᵐ
Sebagai contoh: (6/3)² = 6² /3²
▪ Ke enam:
Dalam sifat yang ke enam ini, jika terdapat (an ) di bawah itu merupakan bilangan positif, maka ketika dipindahkan ke atas akan berubah menjadi negatif.
Begitu pula sebaliknya, jika (an ) di bawah itu merupakan bilangan negatif, maka ketika dipindahkan ke atas otomatis akan berubah menjadi positif.
Mari kita simak rumus dan contohnya di bawah ini:
1/aⁿ = a¯ⁿ Sebagai contoh: 1/ 3⁶ = 3¯⁶
▪ Ke tujuh:
Dalam sifat yang ketujuh ini, kita dapat menjumpai jika terdapat akar ⁿ dari aᵐ.
Jika pada saat kita sederhanakan, maka akar ⁿ akan menjadi penyebut serta akar ᵐ akan menjadi pembilang.
Dengan syarat ⁿ harus bernilai lebih besar sama dengan 2.
Contoh rumusnya ialah sebagai berikut:
n √aᵐ = aᵐ Sebagai contoh:
4√3 6 = 4⁶/⁴
▪ Ke delapan:
Sifat ke delapan adalah bilangan eksponen nol seperti a = 1.
Sebagai contoh:
2 = 1 6 = 1 9 = 1
Syaratnya a tidak diperbolehkan sama dengan nol.\
3. Aturan dasar logaritma :
Berikut adalah contoh aturan dasar logaritma : Contoh 1 :
Jika aⁿ = x maka alog x = n Keterangan:
a: merupakan pokok (basis), di mana memiliki syarat: a > 0 dan a ≠ 1.
x: merupakan bilangan yang dicari nilai algoritmanya (numerus), syaratnya: x > 1 n: merupakan besar pangkat/ nilai logarithm.
Contoh 2:
1. Apabila 32 = 9, maka dalam bentuk logaritma akan berubah menjadi 3log 9 = 2 2. Apabila 23 = 8, maka dalam bentuk logaritma akan berubah menjadi 2log 8 = 3 3. Apabila 53 = 125, maka dalam bentuk logaritma akan berubah menjadi 5log 125 =3 4. Perbedaan grafik sin, cos dan tangen :
▪ Grafik Fungsi Sinus, y = sin x
Nilai dari sinus adalah -1 ≤ sin (x) ≤
Nilai dari sinus adalah -1 ≤ sin (x) ≤ 1
▪ Grafik Fungsi Cosinus, y = cos x Nilai dari cosinus adalah -1 ≤ cos (x) ≤ 1
▪ Grafik Fungsi Tangen, y = tan x
Grafik tangen ini tidak mempunyai nilai maksimum.
5. Variabel yang mempengaruhi jumlah uang di bank pada waktu yang akan datang : Hasil penelitian menunjukkan bahwa variabel variabel yang mempengaruhi jumlah uang beredar dalam arti luas (M2 = Ml + time deposite) lebih banyak dan lebih kuat, karena itu penelitian ini didekati melalui M2. Variabel-variabel ekonomi yang mempunyai hubungan erat adalah : Pendapatan Nasional, Tingkat Harga Umum, Tingkat suku bunga domestik, Kredit Restrain, Cadangan Devisa, Defisit APBN dan Angka Pengganda Uang. Ketujuh variabel tersebut bersama-sama mempunyai keeratan hubungan sebesar 99% dengan Pendapatan Nasional sebagai variabel terkuat yang mempengaruhi uang beredar (M2) dengan koefisien elastisitas sebesar 0,9830.
6. Metode penyelesaian persamaan kuadrat : 1. Faktorisasi atau memfaktorkan
Faktorisasi dalam matematika adalah dekomposisi suatu objek (misalnya, suatu bilangan, polinomial, atau matriks) menjadi suatu produk objek lain, atau faktor, yang ketika
dikalikan bersama menghasilkan bilangan asalnya.
Contohnya, bilangan 15 difaktorkan menjadi bilangan prima sebagai 3 × 5, dan
polinomial x² − 4 difaktorkan menjadi (x − 2)(x + 2). Dalam segala kasus, diperoleh suatu produk dari objek yang lebih sederhana.
Sebagai contoh:
Tentukan akar-akar dari x² + 5x + 6 = 0 Jawab :
a = 1 ; b = 5 ; c = 6
Artinya, kita akan mencari dua buah bilangan yang jika dikalikan menghasilkan 6 dan jika dijumlahkan menghasilkan 5
Nilai yang sesuai adalah 3 dan 2, karena 3 × 2 = 6 dan 3 + 2 = 5 Dengan demikian, faktornya adalah (x + 3)(x + 2) = 0
2. Melengkapkan Kuadrat
Cara berikutnya yang dapat digunakan untuk menentukan akar persamaan kuadrat, disamping faktorisasi, adalah dengan melengkapkan kuadrat. Ini bisa menjadi salah satu alternatif jika akarakar persamaan kuadrat memuat bentuk akar (irasional) sehingga sulit untuk difaktorkan.
Melengkapkan kuadrat dapat dilakukan dengan cara mengubah salah satu ruas menjadi bentuk kuadrat sempurna (x + p)²
Bentuk diatas dapat dijabarkan menjadi (x + p)² = x² + 2px + p² dengan a = 1 , b = 2p dan c = p²
Karena b = 2p, maka p = b/2. Akibatnya, persamaan diatas dapat ditulis menjadi (x + b/2)² = x² + bx + (b/2)²
Persamaan inilah yang nantinya dijadikan acuan dalam mengubah bentuk persamaan kuadrat ke dalam bentuk kuadrat sempurna.
3. Rumus Kuadrat atau Rumus ABC
Rumus ABC atau yang lebih dikenal sebagai rumus persamaan kuadrat, tersusun dari huruf A, B, dan C dimana masing-masing adalah koefisien dari x2, koefisien x dan konstanta. Rumus ini biasanya digunakan untuk penyelesaian masalah hitungan yang rumit dan rumus ABC mempermudah proses perhitungan menjadi lebih mudah dipahami dan dimengerti.
Persamaan kuadrat yang dipergunakan dalam rumus ABC secara umum yakni:
ax2 + bx + c = 0; dimana a≠0
Selain rumus persamaan kuadrat, rumus ABC juga mempunyai rumus tersendiri yang dapat digunakan untuk mencari nilai dari x. Berikut penjelasannya:
Contoh Soal :
Tentukan akar-akar dari persamaan kuadrat 2x2 + 3x -9 = 0, ( a=2| b=3| c=-9 )!
7. Jenis-jenis fungsi
• Fungsi Polinom
Polinom atau yang sering di sebut suku banyak disebut dengan polinom merupakan bentuk suku suku dengan nilai banyak yang disusun dari perubah variabel dan konstanta. Operasi yang digunkana hanya penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pangkat bilangan bulat tak negative.
Bentuk umum suku banyak (polinom) berderajat n dengan variable x adalah:
an xn + an-1 xn-1 + . . . + a1 x + a0
dengan an , an-1 , …. , a1 , a0 € R koefisien/konstanta suku banyak an ≠ 0 , dan n bilangan bulat positif.
Pangkat tertinggi dari x adlah derajat suku banyak, sedangkan suku yang tidak memuat variable (a0) dinamakna suku tetap (konstan).
• Fungsi Rasional
Fungsi rasional adalah fungsi yang memiliki bentuk Dengan p dan d merupakan polinomial dan d(x) ≠ 0. Domain dari V(x) adalah semua bilangan real, kecuali pembuat nol dari d.
Fungsi rasional yang paling sederhana adalah fungsi y = 1/x dan fungsi y = 1/x², yang keduanya memiliki pembilang konstanta dan penyebut polinomial dengan satu suku, serta kedua fungsi tersebut memiliki domain semua bilangan real kecuali x ≠ 0.
• Fungsi Nilai Mutlak
Seperti penjelasan sebelumnya bahwa nilai mutlak dari suatu bilangan adalah nilai positif dari bilangan itu. Misalnya nilai mutlak dari 10 adalah 10 sedangkan nilai mutlak dari –10 adalah 10 juga. Notasi nilai mutlak atau harga mutlak adalah dua garis garis tegak, |-10|= 10 dibaca “ harga mutlak -10 sama dengan 10
Secara matematika nilai mutlak didefinisikan sebagai berikut :
Secara matematika nilai mutlak didefinisikan sebagai berikut :
Untuk x ≥ 0 maka |x| = x , |x| dibaca nilai mutlak x Untuk x ≤ 0 maka |x| =-x
atau dapat dibuat skema
Contoh
Untuk x = 5, x ≥ 0 maka |5| =5
Untuk x = - 5, x ≤ 0 maka |-5| =-(-5) =5
Untuk mudahnya, nilai mutlak dari suatu bilangan adalah nilai positif dari bilangan itu
Contoh 1
• Fungsi Floor
Fungsi floor di notasikan [ X ] dan bisa juga didefinisikan sebagai bilangan bulat terbersar yang lebih kecil atau sama dengan X
Contoh : [ 3,5 ] = 3 , [ 1,75 ] = 1 , dan [- 2,7 ] = - 3
• Fungsi Trigonometri
Trigonometri mempunyai fungsi sederhana. Fungsi trigonometri sederhana terdiri dari fungsi sinus, fungsi cosinus dan fungsi tangen. Masing-masing fungsi tersebut dapat dijelaskan menggunakan grafik fungsi trigonometri.
Fungsi trigonometri merupakan suatu fungsi yang grafiknya berulang secara terus menerus dalam periode tertentu. Fungsi dari periode itu sendiri merupakan suatu jarak antara dua puncak/lembah atau jarak antara awal puncak dan akhir lembah. Selain itu, terdapat amplitudo yang merupakan setengah dari selisih nilai maksimum dan minimum dari suatu fungsi. Rumus amplitudo sebagai berikut:
