MENYELESAIKAN MASALAH GOAL PROGRAMMING
SKRIPSI
JESSICA SIAHAAN 160803029
PROGRAM STUDI S1 MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2021
MENYELESAIKAN MASALAH GOAL PROGRAMMING
SKRIPSI
Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat mencapai gelar Sarjana Sains
JESSICA SIAHAAN 160803029
PROGRAM STUDI S1 MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2021
ANALISIS METODE GRAFIK, SEQUENTIAL LINEAR GOAL
PROGRAMMING, DAN MODIFIED SIMPLEX UNTUKMENYELESAIKAN MASALAH
GOAL PROGRAMMINGABSTRAK
Goal programming adalah suatu metode yang digunakan untuk menangani beberapa masalah dalam pengambilan suatu keputusan yang melibatkan lebih dari satu tujuan (multiobjective) yang ingin dicapai. Masalah goal programming sebagai bentuk pengembangan dari linear programming membutuhkan metode penyelesaian yang efektif. Masalah goal programming diubah kedalam bentuk metode preemtive goal programming dan selanjutnya diselesaikan dengan beberapa metode yaitu metode grafik, metode sequential linear goal programming dan metode modified simplex. Ketiga metode ini memiliki tujuan yaitu untuk mencari solusi yang optimal. Dalam hal ini, dilakukan analisis pada tiap-tiap metode dan membandingkan metode mana yang paling efektif dalam menyelesaikan masalah goal programming. Tujuan dari penelitian ini adalah mengkaji setiap metode untuk memperlihatkan karakteristik, kelebihan dan kekurangan yang dimiliki setiap metode. Hasil penelitian menunjukkan bahwa jika dilihat dari alur kerja pada tiap metode dan banyak iterasi, metode grafik merupakan metode yang paling sederhana, metode sequential linear goal programming merupakan metode yang paling kompleks dan waktu perhitungannya lama sedangkan pada metode modified simplex merupakan metode yang paling efektif.
Kata kunci: goal programming, optimal, metode grafik, metode modified simplex,
metode sequential linear goal programming
ANALYSIS OF GRAPHIC METHODS, SEQUENTIAL LINEAR GOAL PROGRAMMING, AND MODIFIED SIMPLEX TO RESOLVE
PROBLEMS GOAL PROGRAMMING
ABSTRACT
Goal programming is a method used to deal with several problems in making a decision that involves more than one goal (multiobjective) to be achieved. The goal programming problem as a form of development of linear programming requires an effective solution method. The goal programming problem is converted into the preemtive goal programming method and then solved by several methods, namely the graphical method, the sequential linear goal programming method and the modified simplex method. These three methods aim to find the optimal solution. In this case, an analysis is carried out on each method and comparing which method is the most effective in solving the goal programming problem. The purpose of this research is to examine each method to show the characteristics, advantages and disadvantages of each method. The results show that when viewed from the workflow in each method and many iterations, the graphical method is the simplest method, the sequential linear goal programming method is the most complex method and the calculation time is long, while the modified simplex method is the most effective method.
Keywords: goal programming, optimal, graphical method, modified simplex
method, sequential linear goal programming method
PENGHARGAAN
Segala puji dan syukur kepada Tuhan untuk setiap penyertaan dan tuntunanNya sehingga penulis dapat menyelesaikan penyusunan skripsi ini dengan judul Analisis Metode Grafik, Sequential Linear Goal Programming, dan Modified Simplex untuk Menyelesaikan Masalah Goal Programming. Banyak hal yang Dia ijinkan terjadi dalam kehidupan penulis, suka dan duka dipakaiNya untuk kebaikan sesuai dengan rencanaNya.
Selama proses perampungan skripsi, banyak pihak yang membantu, untuk itu pada kesempatan ini penulis menyampaikan terima kasih kepada:
1. Bapak Dr. Sawaluddin, M.IT selaku Dosen Pembimbing saya yang telah memberi saran serta masukan yang membangun untuk skripsi ini.
2. Bapak Dr. Syahriol Sitorus, M.IT dan Bapak Drs. James Piter Marbun, M.Kom selaku Dosen Pembanding untuk setiap masukan dan saran yang membangun kepada penulis dalam pengerjaan skripsi ini.
3. Ibu Dr. Nursahara Pasaribu, M.Si selaku Dekan FMIPA serta seluruh staf pegawai di Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam USU.
4. Bapak Dr. Suyanto, M.Kom dan Bapak Drs. Rosman Siregar, M.Si selaku Ketua dan Sekretaris Departemen Matematika FMIPA USU beserta seluruh Bapak dan Ibu dosen yang telah memberikan ilmu yang bermanfaat kepada penulis selama menjalani perkuliahan di Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam USU.
5. Ayahanda Jhon Leonard Siahaan dan Ibunda Elfarida Sitopu, abang penulis Alfred Rizky Siahaan dan adik penulis Galang Valentino Siahaan yang menjadi pendukung dan pemberi semangat selama proses pengerjaan skripsi ini.
6. Eva, Astri, Merinda, Maya, Esra, Ayu, Ruth, Dayan, Dean serta teman-teman
seperjuangan Matematika FMIPA USU Stambuk 2016 yang selalu
memberikan semangat dalam pengerjaan skripsi ini.
Penulis menyadari bahwa masih terdapat banyak kekurangan dalam penulisan skripsi ini. Oleh karena itu, diperlukan kritik serta saran yang membangun bagi pembaca guna penyempurnaan skripsi ini.
Medan, Agustus 2021 Penulis
Jessica Siahaan
NIM. 160803029
DAFTAR ISI
Halaman
PENGESAHAN SKRIPSI i
ABSTRAK ii
ABSTRACT
iii
PENGHARGAAN iv
DAFTAR ISI vi
DAFTAR TABEL viii
DAFTAR GAMBAR ix
DAFTAR LAMPIRAN x
BAB 1 PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang 1
1.2 Rumusan Masalah 2
1.3 Batasan Masalah 2
1.4 Tujuan Penelitian 3
1.5 Manfaat Penelitian 3
BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Linear Programming 4
2.1.1 Bentuk Umum Linear Programming 5 2.1.2 Asumsi Metode Linear Programming 5
2.2 Goal Programming 6
2.2.1 Definisi dan Konsep Dasar Goal Programming
7
2.2.2 Bentuk Umum Goal Programming 8
2.2.3 Komponen Goal Programming 9
2.2.4 Istilah-Istilah dalam Goal Programming 11
2.2.5 Asumsi Goal Programming 14
2.2.6 Perumusan Masalah 15
2.2.7 Metode Penyelesaian Goal Programming 16
2.3 Software Lingo 17
BAB 3 METODE PENELITIAN
3.1 Jenis Penelitian 19
3.2 Sumber dan Jenis Data 19
3.2.1 Sumber Data 19
3.2.2 Jenis Data 19
3.3 Rancana Penelitian 20
3.4 Metodologi Penelitian 21
BAB 4 HASIL DAN PEMBAHASAN
4.1 Penyelesaian Masalah Goal Programming 22 4.1.1 Pembentukan Model Goal Programming 22
4.1.2 Penentuan Solusi Optimal 26
4.2 Metode Penyelesaian Masalah Goal Programming 26
4.2.1 Metode Grafik 26
4.2.2 Metode Sequential Linear Goal Programming
30
4.2.3 Metode Modified Simplex 41
4.3 Contoh Kasus 49
4.3.1 Pembentukan Model Goal Programming 55
4.3.2 Menentukan Solusi Optimum 59
4.3.3 Menentukan Solusi Optimum dengan Software
64
BAB 5 KESIMPULAN DAN SARAN
5.1 Kesimpulan 68
5.2 Saran 69
DAFTAR PUSTAKA 70
LAMPIRAN 71
DAFTAR TABEL
Nomor Tabel
Judul Halaman
2.1 Jenis-jenis Kendala Tujuan 10
4.1 Bentuk Tabel Metode Sequential Linear Goal Programming
32
4.2 Tabel awal untuk k=1 33
4.3 Tabel akhir untuk k=1 34
4.4 Tabel awal untuk k=2 35
4.5 Tabel akhir untuk k=2 35
4.6 Tabel awal dan akhir untuk k=3 36
4.7 Tabel awal untuk k=4 38
4.8 Tabel kedua untuk k=4 38
4.9 Tabel ketiga untuk k=4 39
4.10 Tabel keempat untuk k=4 39
4.11 Tabel akhir solusi 40
4.12 Bentuk Tabel Metode Modified Simplex 42
4.13 Tabel Metode Modified Simplex Awal 43
4.14 Tabel Metode Modified Simplex Iterasi-1 44
4.15 Tabel Metode Modified Simplex Iterasi-2 45
4.16 Tabel Metode Modified Simplex Iterasi-3 46
4.17 Tabel Akhir Modified Simplex 47
4.18 Perbandingan 3 metode untuk menentukan solusi optimal
48
4.19 Data Penjualan Roti Agustus 2017 − Juli 2018 49
4.20 Komposisi Bahan Baku Per Buah 50
4.21 Harga Jual Tiap Jenis Produk 51
4.22 Biaya Bahan Baku 51
4.23 Rincian Biaya Pokok Produksi Tiap Jenis Produk Berdasarkan Komposisi Bahan Baku
52
4.24 Rincian Biaya Produksi Tiap Jenis Produk Secara Keseluruhan
52
4.25 Batasan Target Biaya Tiap Jenis Produk 53
4.26 Keuntungan Tiap Jenis Produk 54
4.27 Target Keuntungan Penjualan Tiap Jenis Roti 54 4.28 Penyimpangan antara Target dengan Solusi Optimal
Metode Sequential Linear Goal Programming
60
4.29 Penyimpangan antara Target dengan Solusi Optimal Metode Modified Simplex
62
4.30 Hasil Penyelesaian Contoh Kasus dari Ketiga Metode 63 4.31 Penyimpangan antara Target dengan Solusi Optimal
Metode Software
67
DAFTAR GAMBAR
Nomor Gambar
Judul Halaman
2.1 Tampilan Awal Program LINGO 17.0 18
4.1 Grafik daerah solusi pada prioritas ke-1 28
4.2 Grafik daerah solusi pada prioritas ke-2 28
4.3 Grafik daerah solusi pada prioritas ke-3 29
4.4 Grafik daerah solusi pada prioritas ke-4 29
4.5 Model Goal Programming dengan Softaware LINGO 65
4.6 Hasil Penyelesaian dengan Softaware LINGO 65
4.7 Hasil Penyelesaian dengan Softaware LINGO 66
DAFTAR LAMPIRAN
Nomor Lampiran
Judul Halaman
1 Tabel Iterasi untuk Metode Sequential Linear Goal Programming
71
2 Tabel Iterasi untuk Metode Modified Simplex 82
BAB 1 PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Suatu bentuk yang memiliki tujuan beraneka macam, tidak semua dari tujuan tersebut memiliki tingkat kepentingan yang sama. Misalnya, pengoptimalan fungsi tujuan yang satu baru dapat dikerjakan setelah pengoptimalan yang lain sudah dikerjakan. Maka dari itu, perlu diberikan prioritas dan bobot dari masing-masing fungsi tujuan yang ada. Permasalahan pengoptimalan yang memiliki fungsi tujuan yang beraneka ragam akan dibahas menggunakan metode goal programming.
Goal programming adalah suatu metode yang digunakan untuk menangani beberapa masalah dalam pengambilan suatu keputusan, yang melibatkan lebih dari satu tujuan (multiobjective) yang ingin dicapai. Goal programming ini terlebih dahulu menentukan prioritas, dimulai dari fungsi tujuan dengan prioritas yang tinggi hingga rendah dan mencoba untuk meminimalisasi penyimpangan dan hal- hal yang dapat dimaksimalkan dengan batasan-batasan tertentu dengan meminimalkan jumlah variabel deviasi.
Anis et al. (2017) meneliti tentang pencapaian target keuntungan dengan metode goal programming di PT NM mengatakan bahwa penggunaan metode goal programming efektif untuk menyelesaikan masalah dengan multitujuan yang sasarannya berbeda seperti mengoptimalkan perencanaan produksi yang tujuannya untuk menentukan optimasi jumlah produk, meminimumkan biaya produksi dan memaksimalkan penggunaan mesin sehingga PT NM dapat mencapai target keuntungan yang diinginkan.
Dalam dunia perusahaan sering dihadapkan dengan berbagai tujuan sebagai
target dan kendala, penyimpangan nilai kendala tujuan terhadap nilai fungsi tujuan
yang sering terjadi memberi dampak pada hasil yang diperoleh tidak memenuhi
target yang telah dipilih menurut prioritas masing-masing, karena disebabkan oleh
adanya kelemahan informasi dalam memenuhi analisis yang terbaik. Maka dari itu,
goal programming berupaya memenuhi target (setidaknya mendekati target) yang
telah ditentukan menurut prioritasnya masing-masing.
Upaya untuk menyelesaikan multiobjective ini ialah dengan teknik goal programming yang bertujuan untuk menyelesaikan masalah multiobjective tanpa mengasingkan tujuan-tujuan yang lainnya, sehingga diharapkan dapat memperoleh solusi yang optimal.
Dalam penelitian ini diperlukan metode yang digunakan dalam menyelesaikan goal programming yang menghasilkan solusi optimal. Dari uraian diatas, penulis memberi judul penelitian dengan “Analisis Metode Grafik, Sequential Linear Goal Programming, dan Modified Simplex untuk Menyelesaikan Masalah Goal Programming”.
1.2 Rumusan Masalah
Sesuai dengan uraian pada latar belakang penelitian ini, maka yang menjadi pokok permasalahan pada penelitian ini adalah:
1. Mementuk model goal programming.
2. Mengkaji dan menyelesaikan bentuk goal programming menggunakan metode grafik, metode sequential linear goal programming dan metode modified simplex.
3. Menguji keoptimalan setiap metode dengan mengaplikasikan pada contoh kasus dan membandingkan hasil dari ketiga metode menggunakan software untuk menetukan apakah solusi yang diperoleh sudah merupakan solusi yang optimal atau tidak.
1.3 Batasan Masalah
Agar penelitian yang dilakukan dapat menghasilkan penelitian yang fokus dan optimal, maka diberikan batasan masalah dalam penelitian ini:
1. Mengoptimalkan produksi yang dimaksud dalam penelitian ini adalah dengan menyelesaikan bentuk goal programming menggunakan metode grafik, metode sequential linear goal programming dan metode modified simplex.
2. Pengolahan data menggunakan bantuan software LINGO 17.0.
1.4 Tujuan Penelitian
Tujuan yang ingin dicapai pada penelitian ini adalah:
1. Mengetahui pembentukan model goal programming.
2. Menyelesaikan goal programming dan membandingkan metode yang digunakan dengan grafik, sequential linear goal programming dan modified simplex.
3. Melakukan analisis karakteristik dari ketiga metode dengan metode grafik, sequential linear goal programming dan modified simplex, dengan melihat kelebihan dan kelemahan setiap metode sehingga suatu metode dapat disimpulkan sebagai metode optimal.
1.5 Manfaat Penelitian
Manfaat dari penelitian ini adalah:
1. Berguna bagi perusahaan karena dapat memilih metode yang sesuai dengan permasalahan yang ada agar memberikan solusi optimal.
2. Menambah wawasan peneliti dalam mengaplikasikan ilmu pengetahuan yang diperoleh agar lebih selektif dalam memilih metode multiobjective yang sesuai dengan kasus yang ingin diteliti.
3. Menyusun laporan dalam bentuk skripsi.
BAB 2
TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Linear Programming
Linear programming merupakan teknik memodelkan permasalahan sehari-hari ke dalam model matematika yang bersifat analitis dengan tujuan memperoleh solusi terbaik ataupun optimal. Linear programming merupakan metode matematika dalam mengalokasikan sumber daya yang langka untuk mencapai tujuan tunggal seperti memaksimumkan keuntungan atau meminimumkan biaya.
Linear programming ini menggunakan model matematis untuk menjelaskan persoalan yang dihadapi, sifat linear di sini memberi arti bahwa seluruh fungsi matematis dalam model ini merupakan fungsi linear, sedangkan kata
“programming” merupakan sinonim, untuk perencanaan. Dengan demikian linear programming adalah perencanaan aktivitas-aktivitas untuk memperoleh suatu hasil yang optimum, yaitu suatu hasil yang mencapai tujuan terbaik diantara seluruh alternatif yang fisibel. Model perumusan dan pemecahan berbagai model matematis yang mengandung suatu fungsi tujuan satu himpunan kendala dinamakan model program matematis. Model linear programming merupakan jenis khusus model program matematis dimana fungsi tujuan dan semua fungsi kendalanya linear.
Linear programming banyak digunakan untuk menyelesaikan masalah optimisasi di dalam industri, perbankan, pendidikan dan masalah-masalah lain yang dapat dinyatakan dalam bentuk linear. Secara umum, fungsi pada linear programming ada dua macam yaitu fungsi tujuan dan fungsi kendala. Fungsi tujuan digunakan untuk menentukan nilai optimum dari fungsi tersebut yaitu nilai maksimal untuk masalah keuntungan dan nilai minimal untuk masalah biaya.
Fungsi kendala diperlukan berkenaan dengan adanya keterbatasan sumber daya
yang tersedia. Tujuan utama dari linear programming adalah menentukan nilai
optimum (maksimal/minimal) dari fungsi yang telah ditetapkan, untuk
memecahkan permasalahannya yaitu dengan metode grafik dan metode simpleks
(Siswanto, 2007).
2.1.1 Bentuk Umum Model Linear Programming Bentuk umum model linear programming :
Fungsi Tujuan:
Maksimumkan atau minimumkan
𝑍 = ∑ 𝑐
𝑗𝑥
𝑗𝑛
𝑗=1
(2.11)
Terhadap fungsi kendala-kendala
∑ 𝑎
𝑖𝑗𝑥
𝑗≤ 𝑎𝑡𝑎𝑢 ≥ 𝑏
𝑖𝑛
𝑗=1
(2.12)
Kendala nonnegatif
𝑥
𝑗≥ 0 (𝑗 = 1,2, … , 𝑛) (2.13) keterangan:
𝑍 = fungsi tujuan yang dicari nilai optimalnya (maksimal, minimal) 𝑐
𝑗= koefisien dari 𝑥
𝑗𝑥
𝑗= variabel keputusan yang menunjukkan bahwa banyaknya kegiatan atau produksi
𝑎
𝑖𝑗= banyaknya sumber daya 𝑖 yang dikonsumsi oleh kegiatan 𝑗 𝑏𝑖 = batasan atau target yang ingin dicapai
Persamaan (2.11) dinamakan fungsi tujuan, yaitu fungsi matematis dari variabel-variabel keputusan yang menunjukkan hubungan dengan nilai sisi kanannya. Persamaan (2.12) dinamakan kendala utama, yaitu fungsi matematis dari variabel-variabel simpangan yang menyatakan kombinasi sebuah objektif.
Persamaan (2.13) dinamakan kendala nonnegatif, yaitu tujuan yang tidak boleh dilanggar dengan pengertian mempunyai penyimpangan positif atau bernilai nol.
2.1.2 Asumsi Model Linear Programming
Beberapa asumsi model linear programming sebagai berikut (Ignizio dan Cavalier,
1994):
1. Asumsi kesebandingan (Proportionality)
Naik turunnya nilai Z dan penggunaan sumber/fasilitas yang tersedia akan berubah secara sebanding dengan perubahan tingkat kegiatan.
2. Asumsi penambahan (Additivity)
Nilai tujuan dari kegiatan tidak saling mempengaruhi atau dalam linear programming dianggap bahwa kenaikan dari nilai tujuan (Z) yang dilakukan oleh suatu kegiatan dapat ditambahkan tanpa mempengaruhi nilai Z yang diperoleh dari kegiatan lain.
3. Asumsi pembagian (Divisibility)
Dalam persoalan linear programming, variabel keputusan dapat diasumsikan berupa bilangan pecahan.
4. Asumsi kepastian (Certainty)
Setiap parameter yaitu koefisien fungsi tujuan, ruas kanan dan koefisien teknologis, diasumsikan dapat diketahui secara pasti.
2.2 Goal Programming
Model linear programming tidak mampu menyelesaikan kasus-kasus manajemen yang menghendaki sasaran-sasaran tertentu dicapai secara simultan. Kelemahan ini dilihat oleh A. Charnes dan W.M. Cooper. Mereka berdua kemudian mengembangkan model linear programming agar mampu menyelesaikan kasus- kasus tersebut. Dalam hal ini, konsep dasar model yang mereka temukan itu sudah mulai dikenalkan pada tahun 1955. Selanjutnya, pada tahun 1961 mereka mulai mempopulerkan model tersebut dengan nama goal programming. Model ini mampu menyelesaikan kasus-kasus linear programming yang memiliki lebih dari satu sasaran yang hendak dicapai.
Goal programming merupakan variasi khusus dari linear programming.
Analisisnya bertujuan untuk meminimumkan jarak atau deviasi-deviasi terhadap
tujuan atau sasaran yang telah ditetapkan dengan usaha yang dapat ditempuh untuk
mencapai tujuan secara memuaskan sesuai dengan ikatan syarat yang ada, yang
membatasinya berupa sumber daya yang tersedia, teknologi yang ada, kendala
tujuan dan sebagainya (Nasendi dan Anwar, 1985).
2.2.1 Definisi dan Konsep Dasar Goal Programming
Konsep dasar dari goal programming adalah apakah tujuan dapat dicapai atau tidak, suatu tujuan akan dinyatakan dalam pengoptimalan yang memberikan suatu hasil yang sedekat mungkin dengan tujuan yang akan dicapai. Sehingga tujuan dari goal programming adalah untuk meminimumkan deviasi dari setiap sasaran tujuan yang ingin dicapai (Orumie dan Ebong, 2014).
Dalam linear programming fungsi tujuannya hanya mengandung satu tujuan, sementara dalam goal programming semua tujuan apakah satu atau beberapa digabungkan dalam sebuah fungsi tujuan. Ini dapat dilakukan dengan mengekspresikan tujuan itu dalam bentuk sebuah kendala (goal constraint), memasukkan suatu variabel simpangan (deviational variable) dalam kendala tersebut untuk menunjukkan seberapa jauh tujuan itu tercapai, dan menggabungkan variabel simpangan dalam fungsi tujuan. Dalam linear programming tujuannya dapat maksimisasi atau minimisasi, sementara dalam goal programming tujuannya adalah meminimumkan penyimpangan-penyimpangan dari tujuan-tujuan tertentu.
Ini berarti semua masalah goal programming adalah masalah minimisasi (Mulyono, 2017).
Karena penyimpangan-penyimpangan dari tujuan itu diminimumkan, sebuah model goal programming dapat menangani aneka ragam tujuan dengan dimensi atau satuan ukuran yang berbeda. Tujuan-tujuan yang saling bertentangan juga dapat diselesaikan. Jika terdapat banyak tujuan, prioritas atau urutan ordinalnya dapat ditentukan dan proses penyelesaian goal programming itu akan berjalan sedemikian rupa sehingga tujuan dengan prioritas tertinggi dipenuhi sedekat mungkin sebelum memikirkan tujuan-tujuan dengan prioritas lebih rendah. Jika linear programming berusaha mengidentifikasi solusi optimum dari suatu himpunan solusi layak, goal programming mencari titik yang paling memuaskan dari sebuah persoalan dengan beberapa tujuan. Maka goal programming ingin meminimumkan penyimpangan-penyimpangan dari tujuan-tujuan dengan mempertimbangkan hirarki prioritas.
Goal programming merupakan suatu metode flexible yang dapat digunakan
untuk mengambil keputusan terhadap masalah yang kompleks tidak seperti linear
programming yang hanya bisa untuk menyelesaikan masalah meminimumkan atau
memaksimalkan sehingga solusi yang diperoleh akan lebih optimal (Sen dan Nandi, 2012).
2.2.2 Bentuk Umum Goal Programming
(Eiselt dan Sandblom, 2007) Bentuk umum dari metode goal programming adalah:
Fungsi tujuan:
Minimum
𝑍 = ∑ 𝑑
𝑖++ 𝑑
𝑖−𝑀
𝑖=1
(2.14)
Kendala
∑ 𝑎
𝑖𝑗𝑥
𝑗−
𝑛
𝑗=1
𝑑
𝑖++ 𝑑
𝑖−= 𝑏
𝑖(2.15)
Kendala nonnegatif
𝑥
𝑗, 𝑑
𝑖−, 𝑑
𝑖+≥ 0 (2.16)
keterangan:
𝑖 = 1, 2, … , 𝑚 𝑗 = 1, 2, … , 𝑛
𝑑
𝑖+= Deviasi (penyimpangan) positif 𝑑
𝑖−= Deviasi (penyimpangan) negatif 𝑎
𝑖𝑗= Koefisien fungsi kendala tujuan 𝑥
𝑗= Variabel pengambilan keputusan 𝑏
𝑖= Tujuan atau target yang ingin dicapai
Untuk setiap tujuan, target yang ingin dicapai dinyatakan dalam 𝑏
𝑖, yang harus
dipenuhi. Sehingga penyimpangan 𝑑 = (𝑑
𝑖++ 𝑑
𝑖−) yang telah dinyatakan dalam 𝑏
𝑖akan diminimumkan dengan menggunakan fungsi tujuan (𝑍).
2.2.3 Komponen Goal Programming
Pada metode goal programming pada umumnya terdapat komponen yang wajib digunakan dalam penyelesaiannya, antara lain:
1. Fungsi Tujuan
Fungsi tujuan dalam goal programming pada umumnya adalah masalah minimasi karena dalam model goal programming terdapat variabel deviasi di dalam fungsi tujuan yang harus diminimumkan. Berdasarkan penggunaannya, fungsi tujuan dalam goal programming pada penelitian ini adalah:
a.
𝑀𝑖𝑛 𝑍 = ∑(𝑑
𝑖+𝑚
𝑖=1
+ 𝑑
𝑖−) (2.17)
Model ini merupakan bentuk umum dari goal programming yang digunakan apabila variabel simpangan dalam suatu masalah tidak ada pembedaan menurut prioritas atau bobot.
b.
𝑀𝑖𝑛 𝑍 = ∑ 𝑃
𝑘(𝑑
𝑖+𝑚
𝑖=1
+ 𝑑
𝑖−) (2.18)
𝑃
1= tujuan yang paling penting
𝑃
𝑘= urutan tujuan ke-k berdasarkan prioritas 𝑘 = 1,2, …
Model ini sering disebut juga dengan preemptive goal programming.
Preemptive goal programming digunakan apabila fungsi tujuan membutuhkan
urutan tujuan-tujuan sehingga tingkat prioritas akan dilakukan terhadap
variabel-variabel simpangan. Langkah awal dalam penggunaan preemptive
goal programming ini dimulai deng an satu tujuan yang dianggap paling
penting dari tujuan-tujuan lainnya dan menempatkan fungsi tujuan tersebut
sebagai prioritas utama . tujuan utama dianggap jauh lebih penting dari pada
tujuan yang kedua, tujuan kedua jauh lebih penting dari tujuan ketiga , dan
begitu seterusnya. Artinya urutan tujuan yang lebih rendah hanya akan
diselesaikan jika tujuan yang lebih tinggi sudah diselesaikan. Pada hal ini
sistem urutan tujuan dapat ditulis sebagai berikut:
𝑃
1> 𝑃
2> 𝑃
3> ⋯ > 𝑃
𝑘c.
𝑀𝑖𝑛 𝑍 = ∑ 𝑤
𝑖𝑃
𝑘(𝑑
𝑖+𝑚
𝑖=1
+ 𝑑
𝑖−) (2.19)
Model ini merupakan gabungan dari preemptive goal programming dan weight goal programming sehingga model ini disebut dengan preemptive weight goal programming. Model fungsi tujuan ini digunakan apabila tujuan-tujuan diurutkan dan variabel deviasi pada setiap tingkat prioritas dibedakan dengan menggunakan bobot yang berlainan.
2. Kendala Tujuan
Kendala tujuan pada goal programming adalah suatu tujuan yang dinyatakan dalam persamaan matematik dengan menambahkan sepasang variabel simpangan yang berguna untuk menampung deviasi atau penyimpangan yang terjadi pada ruas kiri suatu persamaan kendala terhadap nilai ruas kanannya.
Pada hal ini kendala tujuan dibedakan atas enam yang berdasarkan hubungan dengan fungsi tujuan.
Tabel 2.1 Jenis-jenis Kendala Tujuan Kendala tujuan Variabel simpangan
dalam fungsi tujuan
Kemungkinan simpangan
Penggunaan nilai RHS yang diinginkan
𝑎
𝑖𝑗𝑥
𝑗+ 𝑑
𝑖−= 𝑏
𝑖𝑑
𝑖−Negatif = 𝑏
𝑖𝑎
𝑖𝑗𝑥
𝑗+ 𝑑
𝑖+= 𝑏
𝑖𝑑
𝑖+Positif = 𝑏
𝑖𝑎
𝑖𝑗𝑥
𝑗+ 𝑑
𝑖−− 𝑑
𝑖+= 𝑏
𝑖𝑑
𝑖−Negatif dan Positif
𝑏
𝑖atau lebih
𝑎
𝑖𝑗𝑥
𝑗+ 𝑑
𝑖−− 𝑑
𝑖+= 𝑏
𝑖𝑑
𝑖+Negatif dan Positif
𝑏
𝑖atau kurang
𝑎
𝑖𝑗𝑥
𝑗+ 𝑑
𝑖−− 𝑑
𝑖+= 𝑏
𝑖𝑑
𝑖−𝑑𝑎𝑛 𝑑
𝑖+Negatif dan Positif
= 𝑏
𝑖𝑎
𝑖𝑗𝑥
𝑗− 𝑑
𝑖+= 𝑏
𝑖𝑑
𝑖+(artfisial) Tidak ada = 𝑏
𝑖3. Kendala nonnegatif
Kendala nonnegatif pada goal programming sama dengan linear programming yaitu bernilai lebih besar atau sama dengan nol. Kendala nonnegatif pada goal programming terdiri dari variabel simpangan dan variabel keputusan, sehingga kendala nonnegatif dapat dinyatakan sebagai berikut: 𝑥
𝑗, 𝑑
𝑖−, 𝑑
𝑖+≥ 0.
2.2.4 Istilah-istilah dalam Goal Programming 1. Variabel Deviasi
Fungsi variabel deviasi yaitu menampung deviasi terhadap tujuan-tujuan yang dikehendaki. Variabel deviasi dibedakan atas dua, yaitu:
a. Variabel Deviasi Negatif
Variabel deviasi negatif berfungsi untuk menampung deviasi yang berada di bawah tujuan yang dikehendaki dan tercermin pada nilai ruas kanan suatu kendala tujuan. Dengan kata lain variabel deviasi ini berfungsi untuk menampung deviasi negatif. Variabel deviasi negatif dinotasikan sebagai 𝑑
𝑖−dan selalu berkoefisien +1 pada setiap kendala tujuan sehingga bentuk umum fungsi kendalanya adalah:
∑ 𝑎
𝑖𝑗𝑥
𝑗𝑛
𝑗=1
+ 𝑑
𝑖−= 𝑏
𝑖(2.19)
atau
∑ 𝑎
𝑖𝑗𝑥
𝑗𝑛
𝑗=1
= 𝑏
𝑖−𝑑
𝑖−(2.20)
keterangan:
𝑖 = 1,2, … , 𝑚
𝑗 = 1,2, … , 𝑛
b. Variabel Deviasi Positif
Variabel deviasi positif berfungsi untuk menampung deviasi yang berada di atas tujuan yang dikehendaki. Dengan kata lain variabel deviasi ini berfungsi untuk menampung deviasi positif. Variabel deviasi positif dinotasikan sebagai 𝑑
𝑖−dan selalu berkoefisien −1 pada setiap kendala tujuan sehingga kendalanya adalah:
∑ 𝑎
𝑖𝑗𝑥
𝑗𝑛
𝑗=1
− 𝑑
𝑖+= 𝑏
𝑖(2.21)
atau
∑ 𝑎
𝑖𝑗𝑥
𝑗𝑛
𝑗=1
= 𝑏
𝑖+𝑑
𝑖+(2.22)
keterangan:
𝑖 = 1,2, … , 𝑚 𝑗 = 1,2, … , 𝑛
Dengan demikian jelas bahwa kedua jenis variabel mendekati sebuah garis kendala dari dua arah yang berlawanan. Secara matematika hal ini tercermin pada persamaan berikut:
∑ 𝑎
𝑖𝑗𝑥
𝑗−
𝑛
𝑗=1
𝑑
𝑖++ 𝑑
𝑖−= 𝑏
𝑖(2.23)
atau
∑ 𝑎
𝑖𝑗𝑥
𝑗𝑛
𝑗=1
= 𝑏
𝑖+𝑑
𝑖+− 𝑑
𝑖−(2.24)
Karena nilai minimum 𝑑
𝑖+dan 𝑑
𝑖−adalah nol maka persamaan di atas akan terpenuhi jika,
1.a 𝑑
𝑖+= 𝑑
𝑖−= 0, sehingga
∑ 𝑎
𝑖𝑗𝑥
𝑗= 𝑏
𝑖𝑛
𝑗=1
(2.25)
Artinya bahwa tujuan tercapai
1.b 𝑑
𝑖+> 0 dan 𝑑
𝑖−= 0, sehingga
∑ 𝑎
𝑖𝑗𝑥
𝑗𝑛
𝑗=1
= 𝑏
𝑖−𝑑
𝑖+(2.26)
Artinya bahwa tujuan tidak tercapai karena
∑ 𝑎
𝑖𝑗𝑥
𝑗𝑛
𝑗=1
< 𝑏
𝑖(2.27)
1.c 𝑑
𝑖+= 0 dan 𝑑
𝑖−> 0, sehingga
∑ 𝑎
𝑖𝑗𝑥
𝑗𝑛
𝑗=1
< 𝑏
𝑖−𝑑
𝑖+(2.28)
Artinya bahwa tujuan akan terlampaui
∑ 𝑎
𝑖𝑗𝑥
𝑗𝑛
𝑗=1
> 𝑏
𝑖(2.29)
Jadi, jelas bahwa kondisi dimana 𝑑
𝑖+> 0 dan 𝑑
𝑖−> 0 pada sebuah kendala tujuan tidak akan terjadi.
1. Variabel Keputusan
Seperangkat variabel yang tak diketahui (dalam model Goal programming dilambangkan dengan 𝑥
𝑗, dimana 𝑗 = 1,2, … , 𝑛) yang akan dicari nilainya.
Biasa disebut Decision variables.
2. Nilai Ruas Kanan
Nilai-nilai yang biasanya menunjukkan ketersediaan sumber daya (dilambangkan dengan 𝑏
𝑖) yang akan ditentukan kekurangan atau kelebihan penggunaannya. Biasa disebut Right hand side values (RHS).
3. Tujuan
Keinginan untuk meminimumkan angka penyimpangan dari suatu nilai RHS pada suatu kendala tujuan tertentu. Biasa disebut Goal.
4. Kendala Tujuan
Suatu tujuan yang diekspresikan dalam persamaan matematik dengan
memasukkan variabel simpangan. Biasa disebut Goal constraint.
5. Urutan Prioritas
Suatu sistem urutan (yang dilambangkan dengan 𝑃
𝑘, di mana 𝑘 = 1,2, … , 𝐾 dan 𝐾 menunjukkan banyaknya tujuan dalam model) yang memungkinkan tujuan-tujuan disusun secara ordinal dalam model goal programming. Sistem urutan itu menempatkan tujuan-tujuan dalam susunan dengan hubungan seperti berikut:
𝑃
1> 𝑃
2>>> 𝑃
𝑘𝑃
1merupakan tujuan yang paling penting
𝑃
2merupakan tujuan yang kurang penting dan seterusnya 6. Variabel Simpangan
Variabel-variabel yang menunjukkan kemungkinan penyimpangan negatif dari suatu nilai ruas kanan (RHS) kendala tujuan (dalam model goal programming dilambangkan dengan 𝑑
𝑖−, dimana 𝑖 = 1,2, … , 𝑚 dan 𝑚 adalah banyaknya kendala tujuan dalam model) atau penyimpangan positif dari suatu nilai RHS (dilambangkan dengan 𝑑
𝑖+). Variabel-variabel ini serupa dengan slack variable dalam linear programming. Biasa disebut Deviational variables.
7. Pembobotan
Timbangan matematik yang diekspresikan dengan angka kardinal (dilambangkan dengan 𝑤
𝑘𝑖dimana 𝑘 = 1,2, … , 𝐾 dan 𝑖 = 1,2, … , 𝑚).
Digunakan untuk membedakan variabel simpangan 𝑖 di dalam suatu tingkat prioritas 𝑘.
8. Koefisien Fungsi Kendala Tujuan
Nilai-nilai numerik (dilambangkan dengan 𝑎
𝑖𝑗) yang menunjukkan penggunaan nilai 𝑏
𝑖per unit untuk menciptakan 𝑥
𝑗.
2.2.5 Asumsi Goal Programming
Untuk menyelesaikan permasalahan dengan menggunakan goal programming
terdapat beberapa asumsi yang harus diperhatikan, antara lain:
1. Additivitas dan Linearitas
Diasumsikan bahwa proporsi penggunaan 𝑏
𝑖yang ditentukan oleh 𝑎
𝑖𝑗harus tetap benar tanpa memperhatikan nilai solusi 𝑥
𝑗yang dihasilkan. Hal ini berarti bahwa nilai sisi kiri kendala tujuan harus sama dengan RHS.
2. Divisibilitas
Diasumsikan bahwa nilai 𝑥
𝑗, 𝑑
𝑖+, 𝑑
𝑖−yang dihasilkan dapat dipecah. Hal ini berarti bahwa penyelesaian dapat dilakukan dengan jumlah pecahan nilai 𝑥
𝑗dan menggunakan jumlah pecahan sumber daya dalam solusi itu.
3. Terbatas
Diasumsikan bahwa nilai 𝑥
𝑗, 𝑑
𝑖+, 𝑑
𝑖−yang dihasilkan harus terbatas. Artinya nilai variabel keputusan, sumber daya, atau penyimpangan keputusan harus terbatas.
4. Kepastian dan periode waktu statis
Diasumsikan bahwa parameter pada goal programming seperti 𝑎
𝑖𝑗, 𝑏
𝑖, 𝑃
𝑘, 𝑤
𝑘𝑖diketahui dengan pasti dan akan tetap statis selama periode perencanaan dilakukan.
2.2.6 Perumusan Masalah
Beberapa langkah perumusan permasalahan goal programming adalah sebagai berikut:
1. Penentuan variabel keputusan,
Merupakan dasar dalam pembuatan model keputusan untuk mendapatkan solusi yang dicari. Makin tepat penentuan variabel keputusan akan mempermudah pengambilan keputusan yang dicari.
2. Penentuan sistem kendala
Faktor yang paling menentukan adalah penentuan nilai RHS, menentukan koefisien teknologi yang cocok dan variabel keputusan yang diikutsertakan dalam kendala.
3. Perumusan fungsi kendala
Pada sisi kiri setiap tujuan ditambahkan variabel simpangan. Jika
penyimpangan diperbolehkan dalam dua arah maka tambahkan kedua
variabel deviasi, jika tidak maka pililhlah salah satu variabel deviasi yiatu deviasi positif atau deviasi negatif. Dengan ditambahkannya variabel deviasi, maka bentuk dari fungsi kendala tujuan menjadi
𝑎
𝑖𝑗𝑥
𝑗+ 𝑑
𝑖−− 𝑑
𝑖+= 𝑏
𝑖(2.30) 4. Penentuan prioritas utama
Pada langkah ini dibuat urutan dari sasaran-sasaran (Jika mengandung urutan prioritas, jika tidak maka dapat diabaikan). Penentuan sasaran ini tergantung pada hal-hal berikut:
a. Keinginan dari pengambil keputusan.
b. Keterbatasan sumber-sumber yang ada.
5. Penentuan pembobotan
Pada tahap ini merupakan kunci dalam menentukan urutan dalam suatu tujuan dibandingkan dengan tujuan yang lain. Langkah ini diperlukan jika mengandung nilai bobot, jika tidak dapat diabaikan.
6. Penentuan fungsi tujuan
Dalam hal ini, yang menjadi kuncinya adalah memilih variabel deviasi yang benar untuk dimasukkan dalam fungsi tujuan. Dalam memformulasikan fungsi tujuan adalah menggabungkan setiap tujuan yang berbentuk minimasi variabel deviasi sesuai dengan prioritasnya.
7. Penyelesaian model goal programming.
2.2.7 Metode Penyelesaian Goal Programming 1. Metode Grafik
Metode Grafik merupakan salah satu metode yang digunakan untuk memecahkan masalah optimasi dalam goal programming, akan tetapi keterbatasan metode grafik ini adalah hanya dua variabel yang dapat digunakan, untuk lebih dari dua variabel akan lebih sulit dilakukan.
2. Metode Sequential Linear Goal Programming
Metode sequential linear goal programming merupakan suatu metode yang
bertujuan untuk menyelesaikan masalah goal programming. Metode ini juga
diselesaikan secara berurutan yang dimana pada fungsi tujuan yang
mempunyai prioritas pertama diselesaikan terlebih dahulu hingga mendapatkan hasil solusi yang optimal, jika solusi optimal sudah ditemukan maka dilanjutkan dengan mencari solusi optimal pada fungsi tujuan prioritas kedua dan begitu seterusnya hingga didapat solusi optimal untuk prioritas terakhir, pada proses iterasinya akan berhenti hingga mendapatkan solusi optimal.
3. Metode Modified Simplex.
Metode modified simplex merupakan salah satu metode alternatif yang dapat digunakan untuk menyelesaikan permasalahan linear programming yang mengandung tiga atau lebih variabel keputusan. Dalam tabel simpleks yang dimodifikasi untuk goal programming, variabel model ditempatkan paling atas, dimulai dengan kolom variabel-variabel keputusan, lalu variabel-variabel penyimpangan negatif dan variabel penyimpangan positif (Safitri et al., 2017).
2.3 Software LINGO
LINGO adalah perangkat lunak yang dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah-masalah linear programming, nonlinear, kuadratik, stokastik, dan optimasi model integer dengan lebih cepat dan efisien. Aplikasi pemrograman linear adalah suatu pemodelan matematika yang digunakan untuk mendapatkan penyelesaian optimal dengan kendala yang ada. Dalam pembuatan model LINGO yang digunakan untuk optimasi harus diperhatikan beberapa bagian utama yaitu:
fungsi tujuan, variabel dan batasannya.
Untuk menggunakan software LINGO ada beberapa tahapan yang perlu dilakukan, yaitu:
1. Merumuskan masalah dalam kerangka linear programming. Dapat dituliskan pada software Ms. Word
2. Menuliskan dalam persamaan matematika
3. Merumuskan rumusan ke dalam LINGO dan mengeksekusinya
4. Interpretasi keluaran LINGO
Gambar 2.1 Tampilan Awal Program LINGO 17.0
Untuk menginput script dapat dilakukan dengan mengetik tulisan biasa, untuk
memperoleh hasil dilakukan dengan cara klik LINGO pada sub menu kemudian
pilij Solve pada sub menu maka hasil akan diperoleh. Sedangkan untuk melakukan
uji sensitivitas, perintah yang dilakukan adalah dengan cara pilih Range pada sub
menu LINGO.
BAB 3
METODE PENELITIAN
3.1 Jenis Penelitian
Penelitian ini merupakan penelitian aplikatif, yaitu jenis penelitian yang hasilnya dapat secara langsung diterapkan untuk memecahkan permasalahan yang dihadapi.
Penelitian ini menggunakan pendekatan studi literatur dan deskriptif.
Pada studi literatur dilakukan dengan cara mengumpulkan bahan-bahan pustaka yang dibutuhkan oleh peneliti sebagai acuan dalam menyelesaikan penelitian. Sedangkan pendekatan deskriptif kuantitatif yaitu dengan menganalisis data dan menyusun data yang sudah ada sesuai dengan kebutuhan peneliti. Pada penelitian ini, teori yang diuji adalah teori goal programming yang diterapkan pada hasil optimum suatu produksi roti.
3.2 Sumber dan Jenis Data 3.2.1 Sumber Data
Pada penelitian ini data yang digunakan adalah data sekunder. Data sekunder adalah data yang diperoleh dari buku-buku, hasil penelitian, jurnal-jurnal ataupun sarana- sarana lainnya yang biasa diambil dari instansi terkait. Peneliti memperoleh data dari penelitian terdahulu oleh Yusnita (2019) yaitu data dari produksi roti. Data yang dipakai adalah data penjualan, data biaya produksi, data harga jual roti tahun 2019. Data tersebut digunakan karena penelitian terdahulu menggunakan metode De Novo Programming untuk menghitung hasil optimum produksi barang.
3.2.2 Jenis Data
Jenis data yang digunakan dalam penelitian ini adalah data kuantitatif yaitu data
yang diperoleh dari perusahaan dalam bentuk angka-angka seperti jumlah
penjualan, biaya dan produksi.
3.3 Rancangan Penelitian
Gambar 3.1 berikut merupakan alur metode penelitian.
Gambar 3.1 Rancangan Penelitian Studi Pustaka
Mengumpulkan data yang diambil dari jurnal dan penelitian terdahulu.
Menentukan batasan masalah yang akan dianalisis, goal programming, metode grafik, metode
sequential linear goal programming
dan metode modified simplex
Menguji keoptimalan dengan bantuan software
LINGO 17.0
Kesimpulan dan Saran Goal programming
Metode modified simplex
Mengkaji dan melakukan analisis karakteristikdan langkah kerja setiap metode dalam menyelesaikan kasus pengoptimalan produksi
