PENGGUNAAN FUNGSI LAMBERT-W UNTUK
MENYELESAIKAN MASALAH NILAI ASIMTOTIK MODEL
SIR DAN SOLUSI DARI PERSAMAAN DIFERENSIAL
TUNDAAN LINIER DENGAN KOEFISIEN KONSTAN
TUGAS AKHIR
Diajukan untuk Memenuhi Persyaratan Sidang Sarjana Program Studi Matematika ITB
oleh
M.Maulana Yasin J. 10107027
PROGRAM STUDI MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN
ALAM
INSTITUT TEKNOLOGI BANDUNG
BANDUNG
PENGGUNAAN FUNGSI LAMBERT-W UNTUK
MENYELESAIKAN MASALAH NILAI ASIMTOTIK MODEL
SIR DAN SOLUSI DARI PERSAMAAN DIFERENSIAL
TUNDAAN LINIER DENGAN KOEFISIEN KONSTAN
TUGAS AKHIR
oleh
M.Maulana Yasin J. 10107027
Bandung, Oktober 2011 Telah diperiksa dan disetujui oleh
Pembimbing
Dr. Kuntjoro Adji S. NIP: 195309041977101001
PROGRAM STUDI MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN
ALAM
INSTITUT TEKNOLOGI BANDUNG
BANDUNG
i
ABSTRAK
Model SIR merupakan model persebaran penyakit menular sederhana. Pada model ini, populasi diasumsikan terbagi menjadi 3 golongan, Susceptible, Infected, dan Recovered. Kegunaan dari membangun model ini adalah kita dapat memprediksi seberapa parah persebaran penyakit tersebut, sehingga dapat digunakan sebagai pertimbangan untuk mengambil langkah pencegahan dan antisipasi penyakit tersebut. Caranya dengan mengetahui jumlah individu pada masing-masing golongan saat sistem berada pada keadaan setimbang. Masalah ini disebut dengan masalah nilai asimtotik. Namun tidak mudah menyelesaikan masalah ini secara analitik untuk mendapatkan solusi eksplisitnya. Persamaan diferensial tundaan linier dengan koefisien konstan merupakan salah satu bentuk dari persamaan diferensial. Penyelesaian masalah ini pun tidak sederhana seperti halnya menyelesaikan persamaan diferensial biasa. Terdapat beberapa metode untuk menyelesaikan masalah ini, namun kebanyakan metode tersebut tidak praktis dan sulit digunakan. Fungsi Lambert-W, suatu fungsi yang belum banyak diketahui, namun telah banyak digunakan untuk memecahkan permasalahan dari berbagai bidang keilmuan. Fungsi Lambert-W akan digunakan untuk menyelesaikan masalah nilai asimtotik model SIR dan persamaan diferensial tundaan linier dengan koefisien konstan dengan lebih mudah dan lebih praktis digunakan daripada metode lainnya.
Kata kunci : fungsi Lambert-W, model SIR, persamaan diferensial tundaan linier, masalah nilai asimtotik
ii
ABSTRACT
SIR model is a simple model of an infectious disease spreadness. In this model, the population is assumed to be divided into 3 groups, Suscepted , Infected , and Recovered . The usefulness of constructing this model is we can predict whether the disease will spread severely or not, thus we can use this prediction as a consideration to decide the preventive and anticipation action that should be taken. To do so, is by finding out the amount of people on each group when the system has reached the steady state. This problem is called asymptotic value problem. But it is not easy to solve this problem analytically and get the solution in explicit form. Linear delay differential equation with constant coefficient is one form of differential equation problem. Solving a linear delay differential equation problem is not as easy as solving an ordinary differential equation problem. There are few method to solve it, but most of them are not practical and hard to be applied. Lambert-W function, a function that has not been well-known yet, but it has been used to solve many problem from various field of study. Lambert-W function will be used to solve asymptotic value problem of SIR model and linear delay differential equation with constant coefficient in easier way and more practical to use than other methods.
Keywords: Lambert-W function, SIR model, linear delay differential equation, asymptotic value problem
iii
PRAKATA
Alhamdulillahi Rabbil’aalamin, puji dan syukur penulis panjatkan sebesar-besarnya kepada Allah SWT, karena atas kasih, rahmat, karunia, dan kuasa-Nya penulis memperoleh kesehatan, kekuatan, dan kemampuan untuk mengerjakan dan menyelesaikan tugas akhir ini.
Tugas akhir ini disusun untuk memenuhi persyaratan dalam menyelesaikan Program Sarjana di Program Studi Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut Teknologi Bandung. Penulisan tugas akhir ini juga ditujukan untuk memberikan sumbangan bagi kemajuan ilmu matematika.
Tugas akhir ini dapat diselesaikan berkat dukungan dan bantuan dari segenap pihak. Oleh karena itu, penulis ingin mengucapkan terima kasih sedalam-dalamnya kepada segenap pihak yang telah berperan dalam penyusunan tugas akhir ini dan juga yang telah membantu penulis selama mengikuti Program Sarjana di Program Studi Matematika Institut Teknologi Bandung, yaitu:
1. Epi Syahadat dan Wiwik Nugeraheni, orangtua penulis, yang tiada henti-hentinya mendoakan, menyayangi, dan mendukung penulis. Membahagiakan kalian adalah motivasi saya untuk terus maju. Melindungi dan mensejahterakan kalian adalah cita-cita saya di masa depan.
2. M.Maulana Yusuf Jayasatria dan Siti Syarifah Anugeraheni, saudara kandung dari penulis yang selalu memberikan dukungan pada penulis. 3. Keluarga penulis di Bandung, Subekti Kartasasmita, Lestari Pudjiastuti,
Rd. Rizki , Dita Asriati, Alvin Rianto dan Marcia Aisyah, terima kasih atas dukungan dan bimbingannya selama penulis melaksanakan studi di Bandung.
iv 4. Keluarga besar Sadiman Hadiatmodjo dan keluarga besar Tutang
Sumarna, terima kasih atas doa dan dukungannya kepada penulis. 5. Bapak Dr. Kuntjoro Adjie Sidarto, sebagai dosen pembimbing yang telah
bersedia meluangkan waktu, tenaga, pikiran, dan tak pernah lelah dalam memberikan bimbingan, pengarahan dan petunjuk dalam penyusunan tugas akhir ini.
6. Dosen Penguji ibu Dr. Nuning Nuraini dan bapak Drs. Warsoma Djohan, M.Si yang bersedia meluangkan waktunya untuk memberikan kritik membangun untuk tugas akhir ini.
7. Bapak Iwan Pranoto, selaku dosen wali akademik yang memberikan pengarahan selama penulis melakukan studi di Program Studi Matematika.
8. Bapak Dr. Janson Naiborhu, sebagai ketua Program Studi Matematika. 9. Seluruh staf pengajar Program Studi Matematika yang telah mendidik
dan mengajarkan banyak ilmu bermanfaat bagi penulis.
10. Ibu Diah, dan seluruh staf tata usaha Program Studi Matematika yang selalu membantu penulis mengenai administrasi akademik selama menjalani studi dan juga dukungannya kepada penulis.
11. Ade Apriza Pratiwi, yang selalu memberikan semangat dukungan kepada penulis dalam mengerjakan tugas akhir.
12. Teman-teman satu dosen bimbingan : Ajar Ashaq, Rinaldy Dasilfa, Zulva Algiftiah, Irwan Jaenudin, dan Eki Junanta yang saling mendukung dan membantu satu sama lain selama menyelesaikan tugas akhir.
13. Teman-teman sepermainan dan seangkatan penulis, Silfa, Prasandi, Agus, Krisha , Ajar, Aem Ridho, Irwan, Rudi dan lainnya. Terima kasih atas keceriaan dan bantuannya selama penulis melaksanakan studi. 14. Keluarga besar HIMATIKA ITB yang memfasilitasi dan menjadi tempat
v 15. Teman-teman atlet dan olahraga HIMATIKA, suatu kebanggaan buat saya bisa berjuang dengan kalian untuk mengharumkan nama HIMATIKA.
16. Teman-teman badminton HIMATIKA, Agus, Robieth, Saras, Awal, Dika, Irsyad, Nikko, Yongki, Aby dan lainnya. Terima kasih telah membantu menghilangkan kepenatan belajar selama penulis melaksanakan studi.
17. Teman-teman alumni dan mahasiwa Matematika ITB, khususnya angkatan 2007.
18. Teman-teman TPB dan satu band, Rudi, Fakri, Haekal, Yudhis, Fikri, Kun, Yunus, Lulus dan lainnya. Terima kasih atas bantuan dan keceriaan yang kalian bawakan.
19. Teman-teman sepermainan SMA, Fajar, Ferdy, Abas, Bejo yang sampai sekarang masih setia menemani penulis setiap pulang kampung.
20. Kepada bintang-bintang Hallyu Wave dari Korea, terutama Girls Generation, IU, Yoo Jae Suk, dan lainnya atas keceriaan yang kalian berikan pada penulis untuk menghilangkan kepenatan selama penulis melaksanakan studi.
21. Kepada pihak-pihak lainnya yang tidak penulis sebutkan, terimakasih untuk bantuan dan motivasinya.
Semoga Allah SWT senantiasa membalas seluruh kebaikan mereka dengan kesehatan, keselamatan serta rahmat dan lindungan-Mu. Amin.
Dalam penyusunan tugas akhir ini, penulis menyadari masih terdapat banyak kekurangan. Oleh karena itu, penulis terbuka akan segala saran dan kritik yang terkait dengan tugas akhir ini. Penulis berharap tulisan ini dapat bermanfaat bagi siapapun yang membacanya.
Bandung, September 2011
vii
DAFTAR ISI
ABSTRAK ... i
ABSTRACT ... ii
PRAKATA ... iii
DAFTAR ISI... vii
DAFTAR GAMBAR ... ix
BAB 1 PENDAHULUAN ... 1
1.1 Latar Belakang ... 1
1.2 Tujuan Penelitian ... 2
1.3 Sistematika Penulisan ... 2
BAB 2 MODEL SIR, FUNGSI LAMBERT-W DAN PERSAMAAN DIFERENSIAL TUNDAAN LINEAR ... 3
2.1 Model SIR ... 3
2.1.1Pembangunan Model SIR ... 5
2.1.2 Syarat Epidemik untuk Model SIR ... 9
2.1.3Permasalahan Nilai Asimtotik untuk Model SIR ... 10
2.2 Fungsi Lambert-W ... 13
2.3 Mencari Cabang Kompleks Fungsi Lambert-W ... 17
2.3.1 Cabang Fungsi Logaritma Kompleks ... 18
2.3.2 Cabang Kompleks Fungsi Lambert-W ... 21
2.4 Persamaan Diferensial Tundaan ... 24
2.4.1Persamaan Diferensial Tundaan Linier dengan Koefisien Konstan . 25 2.4.2Metode Langkah ... 25
BAB 3PENGGUNAAN FUNGSI LAMBERT-W ... 27
viii 3.2 Penggunaan Fungsi Lambert-W Untuk Solusi Persamaan Diferensial
Tundaan Linier Dengan Koefisien Konstan... 28
3.2.1Kasus 1 : ... 29
3.2.2 Kasus 2 : ... 30
3.2.3Hampiran Menggunakan Lambert-W dan Konstanta ... 32
BAB 4SIMULASI PENGGUNAAN METODE DARI FUNGSI LAMBERT-W ... ... 36
4.1 Simulasi Penyelesaian Masalah Nilai Asimtotik Model SIR ... 36
4.2 Simulasi Penyelesaian Persamaan Diferensial Tundaan Linier Dengan Koefisien Konstan ... 39
BAB 5KESIMPULAN ... 46
ix
DAFTAR GAMBAR
Gambar 2.1 Grafik dari fungsi ...14
Gambar 2.2 Grafik dari cabang fungsi Lambert-W bernilai riil ...15
Gambar 4.1 Grafik dari Kasus 1 ...37
Gambar 4.2 Grafik dari Kasus 2 ...38
Gambar 4.3 Grafik solusi contoh kasus 1 menggunakan Metode Langkah ...40
Gambar 4.4 Perbandingan grafik dari solusi contoh kasus 1 ...42
Gambar 4.5 Solusi Contoh Kasus 2 Menggunakan Metode Langkah ...43
