Teori Antrian

TEORI

TEORI

ANTRIAN/WAITING

ANTRIAN/WAITING

LINE

Pendahuluan

Pendahuluan

•• Sistem ekonomi dan dunia usaha (bisnis) sebagian besarSistem ekonomi dan dunia usaha (bisnis) sebagian besar beroperasi dengan sumber daya yang

beroperasi dengan sumber daya yang relatif terbatas.relatif terbatas. Sering terlihat,

Sering terlihat, orang-orang, barang, orang-orang, barang, kompkomponen-koonen-komponenmponen atau juga kertas kerja harus menunggu untuk memperoleh atau juga kertas kerja harus menunggu untuk memperoleh  jasa pelayanan.

 jasa pelayanan. Garis-garis tuGaris-garis tunggu ini, biasnggu ini, biasanya disebutanya disebut sebagai

sebagai "antrian" "antrian" (Queues). (Queues). Garis Garis tunggu tunggu tersebut tersebut selaluselalu berkemb

berkembang karena adanya fasilitas ang karena adanya fasilitas pelayanan (Serer)pelayanan (Serer) dimana pengadaan fasilitas

dimana pengadaan fasilitas tersebut !ukup memerlukantersebut !ukup memerlukan biaya yang relatif mahal bila

biaya yang relatif mahal bila menginginkmenginginkan dapatan dapat memenuhi pelayanan yang prima.

memenuhi pelayanan yang prima.

••  eori antrian di!ipt eori antrian di!iptakan tahun #$akan tahun #$%$ oleh seorang ahl%$ oleh seorang ahlii matematika dan juga

matematika dan juga insinyur, berkebaninsinyur, berkebangsaan &enmarkgsaan &enmark

bernama '.. *+'G, dengan menentukan jumlah optimal bernama '.. *+'G, dengan menentukan jumlah optimal dari fasilitas telepon

dari fasilitas telepon si!hing untuk melayani permintaansi!hing untuk melayani permintaan yang terjadi.

Pendahuluan

Pendahuluan

•• Sistem ekonomi dan dunia usaha (bisnis) sebagian besarSistem ekonomi dan dunia usaha (bisnis) sebagian besar beroperasi dengan sumber daya yang

beroperasi dengan sumber daya yang relatif terbatas.relatif terbatas. Sering terlihat,

Sering terlihat, orang-orang, barang, orang-orang, barang, kompkomponen-koonen-komponenmponen atau juga kertas kerja harus menunggu untuk memperoleh atau juga kertas kerja harus menunggu untuk memperoleh  jasa pelayanan.

 jasa pelayanan. Garis-garis tuGaris-garis tunggu ini, biasnggu ini, biasanya disebutanya disebut sebagai

sebagai "antrian" "antrian" (Queues). (Queues). Garis Garis tunggu tunggu tersebut tersebut selaluselalu berkemb

berkembang karena adanya fasilitas ang karena adanya fasilitas pelayanan (Serer)pelayanan (Serer) dimana pengadaan fasilitas

dimana pengadaan fasilitas tersebut !ukup memerlukantersebut !ukup memerlukan biaya yang relatif mahal bila

biaya yang relatif mahal bila menginginkmenginginkan dapatan dapat memenuhi pelayanan yang prima.

memenuhi pelayanan yang prima.

••  eori antrian di!ipt eori antrian di!iptakan tahun #$akan tahun #$%$ oleh seorang ahl%$ oleh seorang ahlii matematika dan juga

matematika dan juga insinyur, berkebaninsinyur, berkebangsaan &enmarkgsaan &enmark

bernama '.. *+'G, dengan menentukan jumlah optimal bernama '.. *+'G, dengan menentukan jumlah optimal dari fasilitas telepon

dari fasilitas telepon si!hing untuk melayani permintaansi!hing untuk melayani permintaan yang terjadi.

Pengertian

Pengertian

••

_{&alam teori antrian terdapat istilah}

_{&alam teori antrian terdapat istilah}

yang sering

yang sering dipergunak

dipergunakan yaitu

an yaitu

 –

 –

Garis antrian  dimana orang, mobil atau

Garis antrian  dimana orang, mobil atau

k

konsumen yang

onsumen yang lainnya harus mengantri

lainnya harus mengantri

atau menunggu giliran

atau menunggu giliran

 –

 –

/asilitas pelayanan  dimana konsumen

/asilitas pelayanan  dimana konsumen

mendapatk

mendapatkan pelayanan

an pelayanan yang

yang

diinginkan

diinginkan

 –

 –

Sistem antrian  terdiri dari garis antrian

Sistem antrian  terdiri dari garis antrian

dan fasilitas pelayanan

N Noo SSiisstteemm GGaarriis s ttuunnggggu u aattaauu antrian antrian Fasilitas Fasilitas pelayanan pelayanan # # ++aappaannggaann terbang terbang Pesaat menunggu di Pesaat menunggu di landasan landasan +andasan di +andasan di bandara bandara 0

0 11aannkk aassaabbaah h aassiirr 2

2 PPeenn!!uu!!iiaan n mmoobbiill 33oobbiill eemmppaat t ppeenn!!uu!!iiaann mobil mobil 4 4 11oonnggkkaar r mmuuaatt barang barang 

aappaall,,ttrruukk //aassiilliittaas s bboonnggkkaarr muatan

muatan 5

5 PPeerrppuussttaakkaaaann ''nnggggootta pa peerrppuussttaakkaaaann PPeeggaaaaii

perpustakaan perpustakaan

 ujuan teori antrian

•

_{3enentukan tingkat pelayanan terbaik bagi}

sebuah organisasi

•

_{Suatu tingkat pelayanan yang optimum}

 –

 ugas seorang manager harus

mempertimbangkan 0 jenis biaya

• 1iaya harus menunggu

• 1iaya pelayanan

•

3anager berhubungan dengan trade o6

antara biaya dalam memberikan pelayanan

dengan biaya yang terjadi karena konsumen

harus menunggu

Queuing 7osts and Seri!e +eels

   C  o   s    t  o    f    O   p   e   r   a    t    i  n   g    S  e   r   v    i  c   e    F  a   c    i    l    i    t  y

Service Level

Total

Expected

Cost

Cost of

Providing

  Service

Cost of

Waiting

Time

O

 ptimal

Service Level

Biaya menunggu di antrian Biaya penyediaan pelayanan Tingkat pelayanan Biaya operasi fasilitas pelayanan Tingkat pelayanan optimal Total biaya

•

1erdasarkan gra8k antara !ost dengan leel

of seri!e terlihat baha

 –

_{7ost of proiding seri!e semakin banyak leel}

of seri!e semakin besar !ost of proing seri!e

• 7o loket pembayaran di jalan tol, semakin banyak loket yang dibuka semakin besar biayanya

 –

_{7ost of aiting  semakin sedikit leel of seri!e}

semakin besar !ost of aiting

• 7o antrian di bank, misalkan seseorang yang

mengantri di bank karena sedikit loket yang dibuka, akhirnya dia tidak jadi menyimpan uangnya.

arakteristik Sistem 'ntrian

•

_{&isiplin antrian (pada urutan keberapa pelanggan}

akan dilayani)

 – /irst !ome 8rst sered

 – +ast !ome 8srt sered

•

Sifat populasi pelanggan (!alling population)

 – /inite (terbatas) mis bengkel mobil yang hanya bersedia melayani 5 mobil9hari

 – :n8nite (tidak terbatas) mis rumah makan padang

•

 _{ingkat kedatangan (seberapa sering pelanggan ada}

di antrian) biasanya berdistribusi poisson

•

 _{ingkat pelayanan (seberapa !epat pelanggan}

Elemen Dari Sistem

Antrian

•

&istribusi kedatangan &istribusi ini

umumnya adalah distribusi poisson. &i

dalam ilmu statistika, peluang terdapat

sejumlah ; yang datang pada satu

periode aktu tertentu adalah , ; <

%,#,0,=

•

&imana

 –

; < >umlah kedatangan pada suatu periode

aktu tertentu

 –

λ

 (ba!a lambda) < tingkat kedatangan

rata-rata per satuan aktu

•

Panjang antrian jumlah orang yang

menunggu untuk dilayani, dimana

 >umlahnya dapat bersifat terbatas

maupun tak terbatas.

•

*an!angan fasilitas pelayanan yaitu

elemen dari sususan !hannel atau serer

yang ditempatkan. *an!angan ini dapat

bersifat tunggal, seri, paralel, maupun

 jaringan kerja.

Struktur 'ntrian

• 1erdasarkan sifat proses pelayanannya serta fasilitas

pelayanan yang ada dalam sistem, maka strutur antrian diklasi8kasikan dalam berbagai kombinasi susunan

saluran (7hannel) dan phase. 7hanel9saluran bisa bersifat banyak (multipel) atau sebuah (tunggal9single), demikian  juga phase bisa tunggal atau banyak.

• &imana saluran9!hannel dan phase dapat diartikan sebagai berikut 

Saluran 97hannel < jumlah jalur (tempat) untuk memasuki sistem pelayanan, yang juga menunjukkan jumlah fasilitas pelayanan.

Phase < >umlah stasion pelayanan dimana para langganan harus melaluinya sebelum pelayanan dinyatakan lengkap

Fasilitas Pelayanan Kedatangan  Antrian Keberangkatan setelah pelayanan

Singel Channel, Singel Phase System

Kedatangan

 Antrian

Keberangkatan setelah pelayanan

Singel Channel, Multiphase System

Tipe Fasilitas Pelayanan 1 Tipe Fasilitas Pelayanan 2

Fasilitas Pelayanan 2 Kedatangan  Antrian Keberangkatan setelah pelayanan

Multichannel, Singel Phase System

Fasilitas Pelayanan 1 Kedatangan  Antrian Keberangkatan setelah pelayanan

Multichannel, Multiphase System

Tipe 1 Fasilitas Pelayanan 1 Tipe 2 Fasilitas Pelayanan 1 Tipe 1 Fasilitas Pelayanan 2 Tipe 2 Fasilitas Pelayanan 2

•

&istribusi aktu pelayanan &istribusi ini

umumnya adalah distribusi eksponensial

negatif .

dimana 

 –

µ

 < tingkat pelayanan rata-rata per satuan

aktu

 –

t < aktu yang dibutuhkan dalam

pelayanan, berupa ariabel

•

_{3isalkan terdapat kasus dimana}

suatu system pelayanan dalam

aktu satu jam, rata-rata dapat

melayani sebanyak B% pelanggan,

maka nilai

µ

 < B% pelanggan9jam,

atau # pelanggan9menit.

•

_{&isiplin antrian9disiplin pelayanan}

yaitu bagaimana urutan pelayanan.

 erdapat beberapa jenis disiplin

antara lain

•

&isiplin yang bersifat umum, !ontoh First

in First Out (FIFO), Last in First Out (LIFO),

service in random order 

•

&isiplin pelayanan yang berdasarkan

prioritas, !ontoh Emergency First, Critical

Condition First.

•

_{Perilaku manusia dimana untuk}

antrian manusia berbeda

perilakunya dibandingkan untuk

antrian barang yang timbul karena

sifat manusiainya antara lain

•

*ebutan

•

Penolakan

•

ondisi steady state ( keadaan tetap ),

yaitu baha kondisi antrian berada

dalam tingkat keadaan tetap. Penjelasan

lebih lengkap mengenai kondisi ini

dibahas dalam analisa 3arko, dimana

dikatakan baha keadaan tetap

merupakan tingkat rata-rata yang

konstan yang dialami oleh suatu sistem

setelah sejumlah periode aktu.

ondisi yang umumnya ingin di!ari

dalam system antrian sebagai

berikut

•

1agaimana tingkat kesibukan dari fasilitas

pelayanan, hal ini disimbolkan dengan huruf



ρ

 (ba!a rho)

•

1agaimana tingkat kedatangan rata-rata per

satuan aktu, hal ini disimbolkan dengan

huruf 

λ

 (ba!a lambda)

•

1agaimana tingkat pelayanan rata-rata per

satuan aktu, hal ini disimbolkan dengan

huruf 

µ

(ba!a miu)

•

1erapa panjang antrian, hal ini disimbolkan

dengan huruf  +C

•

1erapa panjang di dalam sistem antrian

(yang sedang antri dan yang sedang

dilayani), hal ini disimbolkan dengan huruf 

+s

•

1erapa aktu tunggu, hal ini disimbolkan

dengan huruf  DC

•

1erapa aktu di dalam sistem antrian

(waiting time in te system), hal ini

disimbolkan dengan huruf  Ds

•

1erapa kemungkinan stasiun pelayanan

menganggur, hal ini disimbolkan dengan

huruf  P(%)

•

1erapa kemungkinan terdapat n

Notasi Lee ! "en#all$

%o#el Sistem Antrian

&a/'/()* &#/e/+)

•

&alam model +ee E endall, sistem antrian

dinotasikan dengan B komponen yaitu

(a9b9!)F (d9e9f), dimana arti dari

masing-masing notasi adalah sebagai berikut

 –

a  3enunjukkan distribusi kedatangan,

dimana seperti telah dijelaskan di atas,

distribusi kedatangan umumnya mengikuti

distribusi poisson atau markoian. &istribusi ini

diberi simbol (3).

b  3enunjukkan distribusi aktu pelayanan,

notasi untuk masing-masing distribusi adalah

• ksponensial negatif (3)

• &eterministik (&)

• endall (G<general), untuk distribusi yang tidak spesi8k

!  3enunjukkan banyaknya fasilitas pelayanan,

dimana

! < # untuk serer tunggal,

! < 0 untuk serer ganda, dst, sampai

! < k untuk serer sebanyak k buah.

•

d  &isiplin pelayanan, dimana umumnya

adalah

/:/ (/irst in /irst ut)

+:/ (last in /irst ut)

 >ika tidak disebut, maka diasumsikan G&<general

disiplin

•

e  3enunjukkan jumlah maksimum yang

diiHinkan berada di dalam sistem antrian (yang

sedang antri ditambah yang sedang dilayani).

otasi untuk jumlah ini adalah

• Panjang antrian yang bersifat terbatas ()

• Panjang antrian yang tidak terbatas (

∝

<tak hingga).

•

f  3enunjukkan sumber kedatangan, dimana

sumber ini dinotasi sebagai berikut

• Intuk sumber yang bersifat terbatas ()

3odel Pelayanan unggal

•

_{arakteristik}

 –

Populasi pelanggan yang tidak terbatas

 –

&isiplin dimana yang datang pertama

akan diberikan pelayanan yang pertama

(8rst !ome 8rst sered)

 –

 ingkat kedatangan berdistribusi

poisson

 –

Daktu pelayanan berdistribusi

3odel Pelayanan unggal

(3939#)F(G&9J9J)

•

_{K  menunjukan tingkat kedatangan}

•

_{L  menunjukan tingkat pelayanan}

•

_{'sumsi  K M L pelanggan dilayani}

dengan tingkat ke!epatan yang lebih

tinggi dari tingkat kedatangan

ormu a a am stem

'ntrian untuk Pelayanan

 unggal

•

_{*ata-rata jumlah pelanggan dalam}

suatu sistem antrian ( jumlah

pelanggan yang dilayani dan berada

dalam baris antrian) adalah

+s < K 9 (L - K)

•

_{Daktu rata-rata yang dihabiskan}

seorang pelanggan dalam

keseluruhan antrian ( aktu untuk

menunggu dan dilayani ) adalah

/ormula 'ntrian untuk

Pelayanan unggal

•

_{*ata-rata jumlah pelanggan yang}

berada dalam antrian

•

_{Daktu rata-rata yang dihabiskan}

seorang pelanggan untuk menunggu

dalam antrian sampai dilayani

•

Probabilitas baha pelayan sedang sibuk

( merupakan probabilitas seorang pelanggan

harus menunggu) disebut dengan faktor utilitas

N < P < K 9 L

•

Probabilitas baha pelayan sedang tidak sibuk

•

Probabilitas terdapat n pelanggan dalam suatu

sistem antrian adalah

Soal #

•

_{&alam /ast Shop 3arket diketahui}

baha rata-rata pelanggan yang

datang ke tempat kasir adalah 04

orang 9 jam, sedangkan rata-rata

kasir dapat melayani pelanggan

adalah 2% orang 9 jam

•

 _{entukanlah}

 >aab

•

Po < %,0% yang berarti probabilitas tidak adanya

pelanggan dalam sistem

•

+s < 4 yang berarti terdapat rata-rata 4

pelanggan dalam sistem antrian

•

+C < 2,0 yang berarti rata-rata 2,0 pelanggan

dalam baris antrian

•

D < %,#B? jam(#% menit) aktu rata-rata tiap

pelanggan dalam sistem

•

DC < %,#22 jam ( @ menit) aktu rata-rata tiap

pelanggan dalam baris antrian

•

O < %,@% probabilitas pelayan akan sibuk dan

pelanggan harus antri

Soal 0

•

3anajer sebuah kios makan 9restoran merasa

prihatin dengan panjangnya antrian

pelanggannya pada saat jam sibuk makan siang

dan makan malam. al ini diketahui setelah

melakukan aan!ara dengan para

langganannya, yang merasa tidak nyaman

karena aktu tunggu yang terlalu lama sehingga

banyak langganannya yang meren!anakan untuk

pindah ke kios makanan lainnya. Sehubungan

dengan hal tadi, manajer menemui seorang

konsultan untuk mengetahui kelemahan dan

memperoleh adis. &ari pengalaman, diketahui

baha tingkat kedatangan rata-rata langganan

pada jam sibuk adalah 5% orang per jam, dan

 >aab

•

_{*ata-rata banyaknya langganan pada}

periode sibuk <

λ

 < 5%

pelanggan9jam

•

_{Daktu pelayanan rata-rata < #9}

µ

_<

# menit < #9B% jam, maka

µ

 < B%

pelanggan9jam, selanjutnya kita

dapat menghitung berbagai ariabel

untuk 3odel 'ntrian  3939# dengan

anggapan pada kios tersebut hanya

ada seorang pelayan

3odel Pelayanan Ganda

•

_{arakteristik sama dengan}

pelayanan tunggal

•

_otasi

 –

K  tingkat kedatangan ( rata-rata jumlah

kedatangan per periode aktu)

 –

L  tingkat pelayanan ( rata-rata jumlah

orang yang dilayani per periode aktu

per pelayanan9saluran)

Cuations (3939!)

•

_{Probablilitas tidak adanya pelanggan}

dalam sistem tersebut ( para pelayan

menganggur)

•

_{Probabilitas terdapat n pelanggan}

dalam sistem antrian tersebut

 –

Intuk n R !

Intuk

λ   µ   µ   µ  λ   µ  λ 

−

 

 

 

 



 

 

+

















 

 

 

 



 

 

=

∑

= − = c c c n  P  c c n n n ! 1 ! 1 1 1 0 0 o n c n n

P 

c

n

 P 

_  

 

 



 

 

=

₋

 µ 

λ 

!

1

o n n P   P 

=

1

_

 

λ 

_ 

 

 

•

_{*ata-rata jumlah pelanggan dalam}

sistem antrian

•

_{Daktu rata-rata yang dibutuhkan}

pelanggan dalam sistem antrian

( )

(

)

µ 

λ 

λ 

 µ 

 µ 

λ 

λµ 

+

−

−

 

 

 



 

 

=

_

P

0

!

1

L

c

c

c

W

λ 

 L

=

•

 _{>umlah rata-rata pelanggan dalam}

antrian

•

_{Daktu rata-rata yang dibutuhkan}

pelanggan dalam antrian menunggu

untuk dilayani

 µ 

λ 

−

=

L  L

λ 

 µ 

q

 L

W 

−

=

=

1

W



•

Probabilitas baha pelayan sedang sibuk

(probabilitas seorang pelanggan harus

menunggu) dikenal dengan faktor utilitas

•

Probabilitas seorang pelanggan yang

datang dalam sistem tersebut harus

menunggu untuk dilayani (probabilitas

seluruh pelayan sibuk)

 µ 

λ 

 ρ 

c

=

o c w P  c c C   P 

λ 

 µ 

 µ 

 µ 

λ 

−

 

 

 

 



 

 

=

! 1

Soal #

•

 _{>ika pada suatu toserba rata-rata}

pelanggan datang untuk minta

dilayani oleh pramuniaga sebesar #%

pelanggan9jam, sedangkan rata-rata

pelanggan yang dapat dilayani oleh

pramuniaga sebanyak 4 orang9jam,

dimana toserba tersebut hanya

memiliki 2 orang pramuniaga,

apabila menggunakan formula model

pelayanan multipel, bagaimana

 >aab

•

Po < (%.%44$) probabilitas tidak adanya

pelanggan di bagian pelayanan

•

+ < B pelanggan rata-rata dalam bagian

pelayanan

•

D < %,B% jam (2B 3enit) aktu rata-rata

per pelanggan di bagian pelayanan

•

+C < 2,5 pelanggan rata-rata yang

menunggu untuk dilayani

•

DC < %,25 jam (0# menit) aktu rata-rata

menunggu per pelanggan dalam barisan

•

_{'pabila manajemen toserba tersebut}

menambah pramuniaga menjadi 4

orang apa yang akan terjadi