Metode Bagi Dua

Metode Bagi Dua

Metode Bagi Dua ((Bisection Method Bisection Method ))

Sewaktu menerapkan teknik grafik, kita telah mengamati (gambar a) bahwa

Sewaktu menerapkan teknik grafik, kita telah mengamati (gambar a) bahwa f  f  (( xx)) berganti tanda pada kedua sisi yang berlawanan dari kedudukan akar. Pada umumnya, berganti tanda pada kedua sisi yang berlawanan dari kedudukan akar. Pada umumnya, kalau

kalau f  f  (( xx)) _{nyata (riil) dan kontinu dalam interval darinyata (riil) dan kontinu dalam interval dari} xxl l  hinggahingga xxuu , serta, serta f  f  ((xx_l l ))

dan

dan f  f  ((xx_uu)) _{berlainan tanda, yakni :berlainan tanda, yakni :}

0 0 )) (( )) ((xx_l l  f  f   xx_uu << f   f   _…[1]…[1]

maka terdapat sekurang-kurangnya satu akar nyata di antara

maka terdapat sekurang-kurangnya satu akar nyata di antara xxl l  dandan xxuu ..

Metode carian

Metode carian inkreminkremental memodali ental memodali pengapengamatan ini matan ini dengdengan an penempenempatan sebuahpatan sebuah interval di mana fungsi tersebut bertukar tanda. Kemudian penempatan perubahan interval di mana fungsi tersebut bertukar tanda. Kemudian penempatan perubahan tanda (tentunya harga akar) ditandai lebih teliti dengan cara membagi interval tersebut tanda (tentunya harga akar) ditandai lebih teliti dengan cara membagi interval tersebut men

menjadjadi i sejsejumlumlah ah subsubintinterverval. al. SetSetiap iap subsubintinterverval al itu itu dicdicari ari untuntuk uk menmenempempatkaatkann perubahan tanda.

perubahan tanda.

Proses tersebut diulangi dan perkiraan akar diperhalus dengan membagi subinterval Proses tersebut diulangi dan perkiraan akar diperhalus dengan membagi subinterval menjadi lebih bertambah halus.

menjadi lebih bertambah halus.

Metode bagi dua, disebut juga pemotongan biner (

Metode bagi dua, disebut juga pemotongan biner ( binary chopping binary chopping ), ), pembagian pembagian duadua interval (

interval (interval halving interval halving ) atau metode Bolzano, adalah suatu jenis carian incremental) atau metode Bolzano, adalah suatu jenis carian incremental dim

dimana ana intinterverval al sensenantantiasiasa a dibdibagi agi sepseparuaruhnyhnya. a. KalKalau au susuatu atu funfungsi gsi berberubaubah h tantandada sepanjang suatu interval, harga fungsi ditengahnya dievaluasi. Letak akarnya sepanjang suatu interval, harga fungsi ditengahnya dievaluasi. Letak akarnya kemudian ditentukan berada di tengah-tengah subinterval di man perubahan tanda kemudian ditentukan berada di tengah-tengah subinterval di man perubahan tanda terjadi. Proses tersebut diulangi untuk memperoleh taksiran yang diperhalus.

terjadi. Proses tersebut diulangi untuk memperoleh taksiran yang diperhalus. Algoritma

Algoritma

Langkah 1 : Pilih taksiran terendah

Langkah 1 : Pilih taksiran terendah xxl l  dan tertinggidan tertinggi xxuu untuk akar fungsi berubahuntuk akar fungsi berubah

tanda sepanjang interval. Ini

tanda sepanjang interval. Ini dapat diperiksa dengan menyakinkan bahwadapat diperiksa dengan menyakinkan bahwa

0 0 )) (( )) ((xx_l l  f  f   xx_uu << f   f   _..

Langkah 2 : Taksiran pertama akar 

Langkah 2 : Taksiran pertama akar  xxr r  ditentukan oleh :ditentukan oleh :

22 uu l l  xx xx r  r 

xx

₌₌ ++

Langkah 3 : Buat evaluasi

Langkah 3 : Buat evaluasi yang berikut untuk menentukan subinterval, di dalam manayang berikut untuk menentukan subinterval, di dalam mana akar terletak :

akar terletak : a.

a. JiJikkaa f  f  ((xx_l l )) f  f  ((xx_r r )) <<00_{, akar terletak pada subinterval pertama, maka, akar terletak pada subinterval pertama, maka}

r  r  u

u xx

x

b. Jika f  (x_l )f  (x_r ) >0, akar terletak pada subinterval kedua, maka

r 

l  x

x = , dan lanjutkan ke langkah 4.

c. Jika f  (x_l ) f  (x_r ) =0, akar = x_r , hentikan komputasi.

Langkah 4 : Hitung taksiran baru akar :

2 u l  x x r 

x

₌ +

Langkah 5 : Putuskan apakah taksiran baru anda cukup akurat sesuai kebutuhan. Jika “ya”, hentikan komputasi, jika “tidak” kembali ke langkah 3.

Contoh :

Gunakan metode bagi dua untuk menentukan akar dari f  (x) =e−x −x.

Dari grafik fungsi (gambar a) terlihat bahwa harga akar terletak antara 0 dan 1. Karena interval awal dapat dipilih dari x_l  =0 hingga x_u =1.

Dengan sendirinya, taksiran awal akar terletak di tengah interval tersebut :

5

,

0

2 1 0 = = + r  x

Taksiran ini menunjukan kesalahan dari (harga sebenarnya adalah 0,56714329…) : 06714329 , 0 5 , 0 56714329 , 0 − = = t  E  atau dalam bentuk relatif :

%

8

,

1 1

%

1 0 0

5 6 7 1 4 3 2 9 , 0 0 6 7 1 4 3 2 9 , 0

=

=

x t  ε 

dimana indeks t  menunjukkan bahwa kesalahan diacu terhadap harga sebenarnya. Sekarang kita hitung :

0 10653 , 0 ) 10653 , 0 .( 1 ) 5 , 0 ( ). 0 ( f   = = > f  

Tidak ada perubahan tanda terjadi antara xl  dan xr .

akar selanjutnya terletak pada interval antara x =0,5 dan 1,0 ( =0,5

l  x ₎

7 5

,

0

2 0 , 1 5 , 0 = = + r 

x

_dan =32,2% t  ε 

Proses dapat dilanjutkan lagi agar mendapatkan taksiran yang lebih halus. misalnya untuk iterasi ketiga adalah :

0 030 , 0 ) 5 , 0 ( ). 0 ( f   =− < f  

Karena akar terletak di antara 0,5 dan 0,75 ( x_u =0,75 ) :

6 2

,

0

2 7 5 , 0 5 , 0 = = + r 

x

_dan ε _t  =10,2%

Dan iterasi keempat adalah : 0 010 , 0 ) 625 , 0 ( ). 5 , 0 ( f   =− < f  

Karena akar terletak di antara 0,5 dan 0,625 ( x_u =0,625 ) :

5 6 2

,

0

2 6 2 5 , 0 5 , 0 = = + r 

x

_dan ε _t  =0,819%

sampai seterusnya diulangi untuk memperoleh taksiran yang lebih halus.

Kriteria Terminasi dan Taksiran Kesalahan

Mengembangkan suatu kriterian objektif untuk menentukan kapan metode ini berhenti. Kita memerlukan suatu taksiran kesalahan yang tidak ditentukan oleh pengetahuan tentang akar itu sebelumnya. Suatu kesalahan aproksimasi dapat dihitung

% 100 baru lama baru × − = r  r  r  a x x x ε  

dimana xr  baru adalah akar dari iterasi sekarang, dan xr  lama adalah akar iterasi

sebelumnya. Harga absolut dipakai karena kita biasanya cenderung memakai besarnya

a

ε   _{ketimbang tandanya. Bila} ε  _a menjadi lebih kecil daripada suatu kriteria

penghentian praspesifikasi ε  s, komputasi dihentikan.

Contoh :

Taksiran kesalahan untuk metode bagidua Taksiran pertama x_r  =0,5 Taksiran kedua x_r  =0,75

%

3

,

3 3

%

1 0 0

7 5 , 0 5 , 0 7 5 , 0 = = − x a ε  Iterasi xr  ε t % ε a % 1 0,5 11,8 2 0,75 32,2 33,3 3 0,625 10,2 20,0 4 0,5625 0,819 11,1 5 0,59375 4,69 5,3

Metode Posisi Salah (The False-Position Method )

Kecenderungan :

a

ε   _{selalu lebih besar dari} ε  _{t  →}

karakteristik ekstrim

Jadi bila ε  _{a jatuh di bawah} s ε   _,

komputasi dapat dihentikan dengan keyakinan bahwa akar telah diketahui sekurang-kurangnya sama telitinya dengan tingkat penentua awal yang dapat diterima

Walupun metode bagidua merupakan suatu teknik sempurna yang berlaku secara sempurna untuk menentukan akar-akar, pendekatan “Paksa-Besar (“brute-force”)”nya relatif kurang efisien. Posisi salah merupakan suatu alternative perbaikan berdasarkan suatu pengertian grafik. Kelemahan metode bagidua ialah dalam membagi interval

l 

x _hingga x_{u ke dalam paruhan-paruhan yang sama, tidak ada perhitungan}

mengenai besar harga f  (x_l ) _{dan . Misalnya jika} f  (x_l ) _{lebih mendekati nol} daripada f  (x_u)_{, tampaknya akar menjadi lebih dekat ke} xl  daripada ke xu

(gambar c). l  x r  x x_u gambar c

Suatu metode alternative yang menggali pengertian grafik ini ialah dengan menggabungkan titik-titik oleh sebuah garis lurus. Perpotongan dari garis ini dengan sumbu x menyatakan sebuah taksiran perbaikan dari akar. Ternyata penempatan kembali kurva oleh sebuah garis lurus memberikan suatu “posisi salah” dari akar-akar, nama aslinya adalah metode posisi salah (method of false position) atau regula falsi dalam bahasa latin. Metode ini juga dinamakan metode interpolasi linier.

Dengan memakai segitiga yang serupa (gambar c), perpotongan garis lurus dengan sumbu x dapat ditaksir sebagai :

u r  u l  r  l  x x x f   x x x f   − − = ) ( ) ( …[1]

yang dapat diselesaikan menjadi

) ( ) ( ) ).( ( u l  u l  u u r  x f   x f   x x x f   x x − − − = …[2] ) (x_l  f   x ) (x_u f  

ALGORITMA

Langkah 1 : Pilih taksiran terendah xl dan tertinggi xuuntuk akar fungsi berubah tanda

sepanjang interval. ini dapat diperiksa dengan menyaksikan bahwa f(xl).f(xu)<0. Langkah 2 :

( )(

)

( ) ( )

_{l  u} u l  u u r  x f   x f   x x x f   x x − − − =

Langkah 3 : Buat evaluasi yang berikut untuk menentukan subinterval, di dalam mana akar terletak :

a. Jika f  (x_l ) f  (x_r ) <0_{, akar terletak pada subinterval pertama, maka}

r 

u x

x = , dan lanjut ke langkah 4.

b. Jika f  (x_l )f  (x_r ) >0_{, akar terletak pada subinterval kedua, maka}

r 

l  x

x = , dan lanjutkan ke langkah 4.

c. Jika f  (x_l ) f  (x_r ) =0, akar = x_r , hentikan komputasi.

Langkah 4 : Hitung taksiran baru akar dengan :

( )(

)

( ) ( )

_{l  u} u l  u u r  x f   x f   x x x f   x x − − − =

Langkah 5 : Putuskan apakah taksiran baru anda cukup akurat sesuai kebutuhan. Jika “ya”, hentikan komputasi, jika “tidak” kembali ke langkah 3.

REKOMENDASI

Walaupun metode posisi salah kelihatannya selalu menjadi metode prefrensi mengurung, ada harus-harus dimana metode ini bekerja kurang baik. ternyata pada masalah yang lain, dimana bagi dua mengandung hasil yang lebih baik.

Contoh :

Suatu harus dimana metode Bisection lebih disukai dari pada metode posisi salah. Pernyataan masalah :

Gunakan metode Bisection dan posisi salah untuk menempatkan akar-akar:

( )

x =x10 −1 f  

diantara x = 0 dan 1,3 selusi :

dengan menggunakan metode Bisection, diperoleh hasil-hasil yang dapat diringkaskan sebagai berikut :

1 2 3 4 5 0 0.65 0.975 0.975 0.975 1.3 1.3 1.3 1.1375 1.05625 0.65 0.975 1.1375 1.05625 1.015625 35 2.5 13.8 5.6 1.6 33.3 14.3 7.7 4.0 jadi, setelah lima kali iterasi, kesalahan sebenarnya dikurangi sampai kurang dari 2%. Untuk posisi salah, harga-harga yang sangat berbeda diperoleh :

Iterasi Xl Xu Xr  ∈t % ∈a% 1 2 3 4 5 0 0.09430 0.18176 0.26287 0.33811 1.3 1.3 1.3 1.3 1.3 0.09430 0.18176 0.26287 0.33811 0.40788 90.6 81.8 73.7 66.2 59.2 48.1 30.9 22.3 17.1 Setelah lima kali iterasi, kesalahan sebenarnya hanya dikurangi menjadi kira-kira 59%. Sebagai tambahan, patut dicatat bahwa ∈a <∈t  . Jadi, kesalahan aproksinasi

ternyata meleset.

( )

10 1 − =x x f   gambar b 1

x

) (x f   -1