BAB 2
Teori Pendukung
2.1. Lingkungan
Misalkan z adalah suatu titik pada bidang dan r adalah bilangan nyata 0
positif. Lingkungan r bagi z (r-neighborhood of z) didefinisikan sebagai seluruh 0 titik z pada bidang, sedemikian sehingga z−z0 <r; ditulis N(z0,r).
Lingkungan r terhapus bagi z0 didefinisikan sebagai seluruh titik-titik z sedemikian sehingga 0< z−z0 <r; ditulis N*(z0,r) merupakan cakram yang sama dengan dibuang titik pusatnya.
2.2 Konsep Turunan
Misalkan w= f(z) adalah suatu fungsi kompleks dan ambilah suatu titik z₀ pada bagian dalam domain D bagi f . Misalkan z=z0 +∆z,(∆z=∆x+i∆y) adalah suatu titik di dalam D dan bentuklah selisih terbagi (difference quotient)
z f z z z f z f ∆ ∆ = − − 0 0) ( ) ( (2.1)
Jika limit hasil ini ada untuk z−z0, maka kita katakan bahwa f(z), dapat diturunkan di z ; limitnya dinamakan turunan 0 f di z dan dituliskan 0 f'(z0) atau
) ( ' z w Jadi '( ) lim ( ) ( ), 0 0 0 0 z z z f z f z f z z − − =
→ asal limit ini ada (2.2)
2.3 Fungsi Analitik
Definisi 1:
Jika turunan f' z( )ada di semua titik z dari suatu daerah R, maka f(z) dikatakan analitik dalam R dan dinyatakan sebagai fungsi analitik dalam R. Istilah regular (teratur) dan holomorphic (holomorfik) seringkali digunakan sebagai pengganti istilah analitik.( Spiegel, Murray R. Ph.D, 1964,73)
Suatu fungsi f(z)dikatakan analitik di suatu titik z jika terdapat suatu 0
lingkungan z−z0 <δ sehingga f' z( )ada disetiap titik pada lingkungan tersebut.
2.4 Teori Integral Cauchy
2.4.1 Teorema Integral Cauchy
Teorema 2 (Teorema Integral Cauchy)
Andaikan bahwa f(z) analitik pada daerah terhubung sederhana R.
C adalah suatu lintasan tertutup yang terletak seluruhnya di dalam R , maka
∫
=C
dz z
f( ) 0 (2.3) Catatan: Kebalikan dari teorema Cauchy tak berlaku.
2.4.2 Rumus Integral Cauchy
Teorema 3 (Rumus Integral Cauchy)
maka dz z z z f i z f C
∫
− = 0 0 ) ( 2 1 ) (π
(2.4)Teorema 4 (Rumus Umum Integral Cauchy)
Jika f(z) analitik di dalam dan pada batas C dari suatu daerah terhubung R dan z0 adalah sembarang titik pada R, maka untuk setiap bilangan bulat n=0,1,2,... turunan f (z0)
n
ada dan tertentu dengan rumus :
dz z z z f i n z f C n n
∫
− + = 1 0 0 ) ( ) ( 2 ! ) (π
(2.5) 2.5 Titik SingularSuatu titik dimana f(z) tidak analitik dinamakan titik singular atau kesingularan f(z). Terdapat berbagai jenis kesingularan, yaitu
1. Kesingularan terpencil (isolated singularities).
Titik z= z0 dinamakan kesingularan terpencil atau titik singular terpencil dari )
(z
f jika tidak dapat menentukan δ >0 sehingga lingkaran z−z0 =δ tidak memuat lagi titik singular selain dari z0 (yaitu terdapat suatu lingkungan dari z0
yang dihilangkan yang tidak memuat lagi kesingularan). Jika δ yang demikian tidak dapat ditentukan, maka kita menamakan z0 adalah suatu kesingularan tak terpencil.
Jika z0 bukan suatu titik singular dan kita dapat menentukan δ >0 sehingga δ
= −z0
z tidak mengelilingi titik singular, maka kita menamakan z0 suatu titik biasa dari f(z).
2. Pole (kutub).
Misalkan z =z0 titik singular dari . f(z). Jika kita dapat menentukan suatu bilangan bulat positif n sehingga lim( 0) ( ) 0
0 ≠ = − → z z f z A n z z , maka z= z0
dinamakan suatu pole berorde n. Jika n=1, maka z0 dinamakan suatu pole sederhana.
Jika g(z)=(z−z0)n f(z), di mana f(z)≠0 dan n adalah suatu bilangan bulat positif, makaz= z0 dinamakan nilai nol berorde-n dari g(z).
Jika n=1, maka z0 dinamakan suatu nilai nol sederhana. Dalam hal ini z0 adalah suatu pole berorde n dari fungsi
) ( 1
z
g .
3. Kesingularan yang dapat dihapuskan.
Titik singular z0 dinamakan kesingularan yang dapat dihapuskan dari f(z) jika lim ( ) 0 z f z z− ada. atau
Tidak ada (z−z0) yang berpangkat negatif pada uraian deret Laurent. Pada kasus ini , z dinamakan singularitas yang dapat dihapuskan. 0
Contoh : Titik Singular z =0 adalah suatu kesingularan yang dapat dihapuskan dari
z z z
f( )= sin , karena limsin 1 0 = − z z z z . 4. Kesingularan Esensial.
Suatu kesingularan yang bukan suatu pole dan kesingularan yang dapat dihapuskan dinamakan kesingularan esensial.
Contoh : 2
1 ) (z =ez−
2.6 Deret Laurent
Teorema 1 (Teorema Laurent)
Misalkan bahwa f(z) analitik pada setiap titik di annulus tertutup
A:
{
z r≤ z−z0 ≤ρ
}
. Maka terdapat suatu deret dalam (z−z0) berpangkat positif dan negatif yang menyatakan f pada setiap titikξ
di dalam annulus (terbuka) B:{
z r< z−z0 <ρ
}
∑
∑
∞ = ∞ = − + − = 1 0 0 0 ( ) ) ( ) ( n n n n n n z b z a f ξ ξ ξ (2.6)Koefisien deret tersebut diberikan oleh rumus: ,... 2 , 1 , 0 , ) ( ) ( 2 1 1 0 = − =
∫
+ dz n z z z f i a K n nπ
(2.7) dan ,... 2 , 1 , 0 , ) ( ) ( 2 1 1 0 = − =∫
− + dz n z z z f i b C n n π (2.8)dimana K:
{
z z−z0 =ρ
}
dan C:{
z z−z0 =r}
. Keduanya berorientasi positifPerhatikan gambar (2.1) di bawah ini
Gambar 2.1 Anulus Konvergensi K
Γ
C
ρ
Deret Laurent f pada z
₀
dan anulus r < z−z0 <ρ
adalah n n n z z c ( − 0)∑
∞ −∞ = (2.9) dengan ,... 2 , 1 , 0 , ) ( ) ( 2 1 1 0 ± ± = − =∫
Γ + n dz z z z f i cn nπ
(2.10)dan Γ adalah lintasan tertutup sederhana di dalam annulus terhadap B
2.7 Deret Fourier
Fungsi periodik y(t)dengan periode T₀, disajikan sebagai deret Fourier
[
]
∑
∞ = + + = 1 0 0 0 ) 2 sin( ) 2 cos( 2 ) ( n n n n f t b n f t a a t yπ
π
(2.11) dimana 0 0 1 T f = = frekuensi dasar.Koefisien a dan n b diberikan dalam bentuk integral : n
∫
− = = 2 2 0 0 0 0 ,... 2 , 1 , 0 , ) 2 cos( ) ( 2 T T n y t n f t dt n T aπ
(2.12)∫
− = = 2 2 0 0 0 0 ,... 2 , 1 , ) 2 sin( ) ( 2 T T n y t n f t dt n T bπ
(2.13) Dengan menggunakan identitas(
i nf t i nf t)
e e t f n 2 0 2 0 0 2 1 ) 2 cos(π
= π + − π (2.14) dan(
i nf t i nf t)
e e t f n 2 0 2 0 0 2 1 ) 2 sin(π
= π − − π (2.15) maka (2.1) dapat ditulis sebagait f n i n n n t f n i n n n ib e a ib e a a t y 0 2 0 1 2 1 0 ) ( 2 1 ) ( 2 1 2 ) ( π − π ∞ = ∞ = + + − + =
∑
∑
(2.16)Dari persamaan (2.2) dan (2.3) kita peroleh a−n =an dan b−n =−bn,
sehingga dapat ditulis :
∑
∑
−∞ − = − ∞ = = 1 2 2 1 0 0 n t f n i n t f n i n ne a e a π π (2.17)∑
∑
−∞ − = − ∞ = − = 1 2 2 1 0 0 n t f n i n t f n i n ne ib e ib π π (2.18)Substitusikan (2.7)dan (2.8) ke (2.6) diperoleh:
i nf t n n n ib e a a t y 0 ( ) 2 0 2 1 2 ) (
∑
π ∞ −∞ = − + = = i nf t n ne c 2π 0∑
∞ −∞ = (2.19) Persamaan (2.9) adalah deret Fourier yang disajikan dalam bentuk eksponensial dengan koefisien ,.... 2 , 1 , 0 ), ( 2 1 ± ± = − = a ib n cn n n (2.20) nc adalah bilangan kompleks
atau ,... 2 , 1 , 0 , ) ( 1 2 2 ) 2 ( 0 0 0 0 = ± ± =
∫
− − n dt e t y T c T T t f n i n π (2.21)2.8 Transformasi Fourier Diskrit (DFT=discrete Fourier Transform)
Untuk melakukan analisis frekuensi dari sinyal waktu diskrit x(n) , maka perlu mendapatkan representasi domain frekuensi dari sinyal yang biasanya
dinyatakan dalam domain waktu. DFT digunakan untuk melakukan analisa frekuensi dari sinyal waktu diskrit.
( )
k X nx( )←NpointDFT→ dimana n=0,1,2,…,N-1, dan k = 0,1,2,…,N-1 DFT dapat dihitung menggunakan persamaan
∑
− = = 1 0 ) ( ) ( N n kn N W n x k X (2.22) dimana N i N e W π 2 − = (2.23) Sehingga n N k i N n e n x k X − − =∑
= 1 2π 0 ) ( ) ( (2.24) Invers DFT (IDFT) menghitung kembali representasi sinyal waktu diskrit x(n) dari sinyal yang dinyatakan dalam domain frekuensi X(ω).∑
− = = 1 0 2 ) ( 1 ) ( N n n N k i e k X N n x π (2.25) =∑
− = − i N n kn N W k X N 0 ) ( 1 (2.26) dengan N i N e W π 2 − = Merupakan akar ke-N kompleks.DFT dan IDFT dapat juga dipandang sebagai transformasi linier antara x(n) dan
X(k), jadi
xN ↔ XN
dimana x dan N XN masing-masing adalah vector dengan n buah elemen.
− = ) 1 ( ) 0 ( N x x xN M M dan − = ) 1 ( ) 0 ( N X X XN M M (2.27)
Jika dinyatakan dalam matriks WN
WN=
[
wlm=WNlm]
dengan l=0,1,2,…,(N-1) ; m=0,1,2,…,(N-1) (2.28)maka DFT dengan N titik, dapat dinyatakan dalam bentuk :
N
X = WN .xN (2.29)
Sedangkan IDFT dapat dihitung jika terdapat invers dari WN N
x = WN-1 .XN , jika WN -1
ada. (2.30)
2.9 Transformasi Fourier Cepat (FFT=Fast Fourier Transform).
Transformasi Fourier cepat adalah suatu algoritma untuk menghitung transformasi Fourier diskrit (DFT=Discrete Fourier Transform) dengan cepat dan efisien . Transformasi Fourier cepat diterapkan dalam beragam bidang, mulai dari pengolahan sinyal digital, memecahkan persamaan differensial parsial, dan untuk algoritma untuk mengalikan bilangan bulat besar.
Misalkan “x(0),....,x(N-1)”merupakan bilangan kompleks. Transformasi Fourier Diskrit didefinisikan oleh rumus
∑
− = = 1 0 ) ( ) ( N n kn N W n x k X , k=0,1,2,3,....,(N-1) dan n= 0,1,2,3,....,(N-1) (2.31) dengan N i N e W π 2 − = − = N i Nπ
π
2 sin 2 cos (2.32) Menghitung deret ini secara langsung memerlukan operasi aritmetika sebanyak O(N²). Sebuah algoritma FFT hanya memerlukan operasi sebanyak O(NlogN) untuk menghitung deret yang sama. Secara umum algoritma tersebut tergantung pada pemfaktoran N.Setiap algoritma FFT, dengan penyesuaian, dapat diterapkan pula untuk menghitung DFT invers. Ini karena DFT invers adalah sama dengan DFT, namun dengan tanda eksponen berlawanan dan dikalikan dengan faktor 1/N. sebagai berikut:
x(k)=
∑
− = − i N n kn N W k X N 0 ) ( 1 (2.33) Algoritma FFT yang paling awal dan karena itu paling populer adalah Cooley-Tukey.Contoh: Jika N=4 dan jika kita misalkan iN
N e W π 2 − = (2.34) Maka persamaan (2.21) dapat ditulis sebagai
0 4 0 4 0 4 0 4 (1) (2) (3) ) 0 ( ) 0 ( x W x W x W x W X = + + + 3 4 2 4 1 4 0 4 (1) (2) (3) ) 0 ( ) 1 ( x W x W x W x W X = + + + 6 4 4 4 2 4 0 4 (1) (2) (3) ) 0 ( ) 2 ( x W x W x W x W X = + + + (2.35) 9 4 6 4 3 4 0 4 (1) (2) (3) ) 0 ( ) 3 ( x W x W x W x W X = + + +
Persamaan (2.35) dapat ditulis dalam bentuk matriks
) 3 ( ) 2 ( ) 1 ( ) 0 ( X X X X = ) 3 ( ) 2 ( ) 1 ( ) 0 ( 9 4 6 4 3 4 0 4 6 4 4 4 2 4 0 4 3 4 2 4 1 4 0 4 0 4 0 4 0 4 0 4 x x x x W W W W W W W W W W W W W W W W (2.36) atau = ) (n X WN x(k) (2.37) Perhatikan bahwa beberapa dari WN dan mungkin semua x(k) adalah kompleks,
maka ada N2 perkalian kompleks dan N(N −1)penjumlahan kompleks. Oleh karena itu perlu algoritma FFT untuk perkalian dan penjumlahan yang diperlukan pada perhitungan (2.36) tersebut.
Kita akan bahas secara intuitif, bagaimana reduksi ini dilakukan.
Pengembangan Intuitif pada ilustrasi algoritma FFT.
Pilih bilangan pada titik sampel x(k) berdasarkan hubungan N =2γ dimana
Ingat kembali bahwa pada (2.36) memilih N =4=22. Oleh karena itu, kita dapat menggunakan FFT untuk perhitungan (2.36)
Dapat dibuktikan bahwa Nnkmod( N) nk
N W
W = , dan ingat bahwa
) mod(
[nk N adalah sisa pembagian dari N nk
. Jika N =4,n=2 dan k =3, maka 2
6 W
W = , sehingga (2.36) dapat ditulis menjadi:
) 3 ( ) 2 ( ) 1 ( ) 0 ( X X X X = ) 3 ( ) 2 ( ) 1 ( ) 0 ( 1 1 1 1 1 1 1 1 4 2 4 3 4 2 4 0 4 2 4 3 4 2 4 1 4 x x x x W W W W W W W W W (2.38) karena
[
π
]
π
3 exp ) 6 ( 4 2 exp 6 4 4 j j W W nk = − − = = = exp(−jπ
)=exp − ) 2 ( 4 2π
j =W42= W4nkmod(N)Lakukan faktorisasi matriks (2.38), dan pertukarkan baris kedua dengan baris ketiga, sehingga diperoleh
) 3 ( ) 1 ( ) 2 ( ) 0 ( X X X X = 3 4 1 4 2 4 0 4 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 W W W W ) 3 ( ) 2 ( ) 1 ( ) 0 ( 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 2 4 2 4 0 4 0 4 x x x x W W W W (2.39)
Metode faktorisasi ini adalah dasar teori algoritma FFT, dengan menuliskan kembali = ) (n X ) 3 ( ) 1 ( ) 2 ( ) 0 ( X X X X
) 3 ( ) 2 ( ) 1 ( ) 0 ( 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 2 4 2 4 0 4 0 4 x x x x W W W W = ) 3 ( ) 2 ( ) 1 ( ) 0 ( 1 1 1 1 x x x x (2.40)
Selanjutnya kalikan lagi
3 4 1 4 2 4 0 4 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 W W W W ) 3 ( ) 2 ( ) 1 ( ) 0 ( 1 1 1 1 x x x x = ) 3 ( ) 2 ( ) 1 ( ) 0 ( 2 2 2 2 x x x x = ) 3 ( ) 1 ( ) 2 ( ) 0 ( X X X X (2.41) Jadi misalnya x2(0)=x1(0)+W40 x1(1) 2.10 Error Function(erf)
Error function atau fungsi kesalahan didefinisikan sebagai berikut
dt e x erf x t
∫
− = 0 2 2 ) (π
(2.42)2.11 Metode Secant dan Metode Newton-Raphson
Metode secant adalah salah satu metode iterasi dalam metode numerik, yang merupakan modifikasi dari metode Newton-Raphson dengan mengganti f' x( ) dengan bentuk lain yang ekivalen
y= g(x)
xr+1 xr−1 xr X Gambar 2.2. Metode Secant
Berdasarkan gambar 2.2, dapat kita hitung gradien dengan hampiran selisih mundur diperoleh 1 1) ( ) ( ) ( ' − − − − = ∆ ∆ = r r r r r x x x f x f x f x f (2.43)
Substitusikan ke dalam rumus Newton-Raphson :
) ( ' ) ( 1 r r r r x f x f x x + = − (2.44) sehingga diperoleh : ) ( ) ( ) )( ( 1 1 1 − − + = − − − r r r r r r r x f x f x x x f x x (2.45)
yang merupakan prosedur iterasi metode secant. Dalam hal ini diperlukan dua buah tebakan awal akar, yaitu x0 dan x1. Iterasi berhenti, bila galat mutlak xr+1−xr <
ε
dan galat hampiran − <δ + + 1 1 r r r x x x