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Operadores Asociados a una

Topolog´ıa

_Γ

sobre un Conjunto

X

y Nociones Conexas

†

Operators Associated to a Topology

Γ

over a Set

X

_{and Related Notions}

Carlos Carpintero

(ccarpi@cumana.sucre.udo.edu.ve)

Departamento de Matem´aticas. Universidad de Oriente. N´ucleo de Sucre.

Cuman´a. Venezuela.

Ennis Rosas

(erosas@cumana.sucre.udo.edu.ve)

Departamento de Matem´aticas. Universidad de Oriente. N´ucleo de Sucre.

Cuman´a. Venezuela.

Jorge Vielma

(vielma@ciens.ula.ve) Departamento de Matem´aticas.

Facultad de Ciencias. Universidad de los Andes.

M´erida. Venezuela.

Resumen

Se discuten algunas propiedades relacionadas con el operador asociado con una topolog´ıa y se prueban algunos teoremas for-mulados en las nociones de conjuntos α-semi abiertos de forma similar a los encontrados en topolog´ıa general.

Palabras y frases clave: α-semi abierto, α-semi continuidad,

α-semi conexidad.

†_{Recibido 98/09/25. Revisado 98/12/21. Aceptado 98/12/16.}

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Abstract

We discuss some properties related to the operator asociated to a topology and prove some theorems formulated in the notions ofα-semi open sets, in a similar way as in general topology. Key words and phrases: α-semi open, α-semi continuity, α -semi connectedness.

1 Introducci´

on

En este trabajo se introduce la noci´on de operador asociado con una to-polog´ıa Γ sobre un conjunto X, la cual es definida en la forma siguiente:

α : P(X) −→ P(X), P(X) = partes deX, es un operador asociado a una topologìa Γ sobre un conjunto X siU ⊆α(U) para todo U ∈Γ. En base a esta noción se introducen las nociones de conjunto α-semi abierto y α-semi cerrado. Un conjunto A⊆X se dice α-semi abierto siU ⊆A ⊆α(U) para ciertoU ∈Γ. La noción deα-semi cerrado se define en forma natural: Aesα -semi cerrado siX−Aesα-semi abierto. La colección de los conjuntosα-semi abiertos en X es denotada porα-SO(X), y ésta, en general, no posee estruc-tura topológica. No obstante, usando la definición de conjuntoα-semi abierto pueden obtenerse conceptos conexos con la estructura topológica dada, tales comoα-semi continuidad,α-semi conexidad,α-semi compacidad, propiedades de α-semi separación, las cuales no sólo constituyen generalizaciones de los conceptos clásicos estudiados en topolog´ıa general sino que también engloban ciertos tópicos trabajados anteriormente por matemáticos como Levine, Ka-sahara y Cuevas. Cuandoαes tal queα(A) =A(i.e. α= operador identidad) las nociones anteriormente citadas coinciden con las nociones usuales estudia-das en topolog´ıa general, pero para un operador asociadoαarbitrario ocurren ciertas patolog´ıas en los teoremas clásicos correspondientes a la continuidad, conexidad, compacidad, etc. Se estudian aqu´ı, además, algunas condiciones necesarias y/o suficientes para que estos teoremas, formulados en el ámbito de las α-semi nociones referidas anteriormente, sigan teniendo validez.

2 Operadores Asociados

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Definici´on 2.1. Sean(X,Γ)un espacio topol´ogico yα:P(X)−→P(X). Se dice que αes un operador asociado con la topolog´ıaΓ si para todoU ∈Γ se cumple queU ⊆α(U).

Ejemplo 2.1. Observe que la colecci´on de todos los operadores asociados con una topolog´ıa Γ es no vac´ıa, ya que el operador identidad α(A) = A para todo A ∈ P(X) y el operador α definido por α(A) = X\Fr(A) para cada

A ∈P(X), donde Fr(A) es la frontera de A, satisfacen la condici´on exigida en la definici´on anterior.

Ejemplo 2.2. Observe que la colecci´on de los operadores asociados con una topolog´ıa Γ es muy amplia pues si α es un operador asociado y Y es un subconjunto arbitrario de X diferente del vac´ıo entonces β :P(X)−→P(X)

definido comoβ(A) =α(A)∪Y para todoA∈P(X)es un operador asociado con Γ distinto deα.

Trataremos con dos tipos de operadores particularmente importantes por sus implicaciones, los cuales describiremos a continuaci´on.

Definición 2.2. Sean(X,Γ)un espacio topológico y αun operador asociado con Γ. Se dice que α es un operador monótono si para todo U, V ∈ Γ tales que U ⊆V se tiene α(U)⊆α(V). El operador αse dice que es un operador estrellasi satisface la condiciónα(U)∩V ⊆α(U ∩V)para todo U, V ∈Γ.

Observe que el operador identidad es un operador monótono y estrella, mientras que el operador definido por α(U) = X \Fr(U) no es en general monótono pero s´ı estrella. De igual forma si α es un operador monótono y estrella entonces β definido en el ejemplo 2.2 es un operador monótono y estrella.

En la siguiente secci´on describiremos otra serie de nociones que ser´an de utilidad en este trabajo.

3 Conjuntos

α

_{-Semi Abiertos y}

α

_{-Semi Cerrados}

En esta secci´on la noci´on de conjuntoα-semi abierto que se describe es radi-calmente distinta a la empleada por Kasahara en [1], no obstante se obtienen resultados interesantes.

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conjunto abierto U ∈ Γ tal que U ⊆ A ⊆ α(U). El subconjunto A se dice

α-semi cerrado siX\Aes α-semi abierto.

Nótese que cuandoα es el operador clausura en la definición anterior se tiene la definición de conjunto semi abierto dado por Levine en [3]. En el caso queαsea el operador identidad las definiciones de conjunto abierto yα-semi abierto coinciden, en este sentido la clase de los conjuntos α-semi abiertos, denotadaα-SO(X), es una clase muy amplia de la cual son casos particulares otras clases de conjuntos según sea el operadorα. Por otro lado para cualquier operador asociado αse cumple que todo conjunto abierto es α-semi abierto. Es decir Γ⊆α-SO(X), peroα-SO(X)6⊆Γ (salvo raras excepciones). Ejemplo 3.1. Sea X un espacio de Haussdorff e Y un subconjunto finito de X. El operador α definido por α(A) = Y ∪A es un operador monótono y estrella. Si SO(X) denota la clase de los conjuntos semi abiertos según Levine, entonces SO(X)⊆α-SO(X). AdemásY es α-semi abierto pero no semiabierto (en general, ya que en algunos casos particulares podr´ıa serlo).

Contrariamente al comportamiento que los conjuntos abiertos presentan con respecto a la unión cabe destacar que en general la unión arbitraria de conjuntos α-semi abiertos no es necesariamente α-semi abierta, esto es la colección α-SO(X) no es cerrada o estable respecto a la unión. No obstante bajo ciertas condiciones impuestas al operadorαpuede obtenerse estabilidad con respecto a la unión de conjuntos α-semi abiertos como se muestra en el siguiente teorema.

Teorema 3.1. Sean(X,Γ)un espacio topológico y αun operador monótono asociado con Γ. Entonces la unión de conjuntos α-semi abiertos es α-semi abierto.

Demostraci´on: Sea {Ai}i∈I una colecci´on de conjuntos α-semi abiertos;

en-tonces para cada i ∈ I existe un conjunto abierto Ui tal que Ui ⊆ Ai ⊆

Una consecuencia inmediata de la definici´on 3.1 y el teorema anterior se resume en el siguiente corolario.

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Seg´un lo anterior podemos introducir de manera natural las nociones de

α-semi interior yα-semi clausura de un subconjuntoA⊆X, denotadas res-pectivamenteα-s Int(A) yα-s Cl(A).

En lo que se refiere a la intersecci´on de conjuntosα-semi abiertos se de-rivan una serie de resultados interesantes, los cuales engloban algunos resul-tados previamente hallados por otros autores. A continuaci´on expondremos detalladamente cada uno de estos resultados.

Lema 3.1. Sea(X,Γ)un espacio topol´ogico yαun operador estrella asociado con Γ. Si A∈Γy O∈α-SO(X). entoncesO∩A∈α-SO(X).

Demostraci´on: Por hip´otesis O ∈ α-SO(x), entonces existe U ∈ Γ tal que

U ⊆O⊆α(U), luegoU ∩A⊆O∩A⊆α(U)∩A. Como αes un operador estrella, obtenemos que U∩A⊆O∩A⊆α(U∩A), pero U ∩A∈Γ, luego esto nos indica que O∩A∈α-SO(X).

Es de observar que el lema anterior generaliza el resultado dado por Caldas en [5].

Definici´on 3.2. Sea (X,Γ) un espacio topol´ogico y αun operador asociado con Γ. Decimos que un subconjunto A deX es unaα-1em semi vecindad de un punto x∈X, si existeO∈α-SO(X) tal quex∈O⊆A.

Observemos que cuandoαes el operador clausura, la definici´on anterior coincide con la definici´on dada en [5] por Caldas.

Lema 3.2. Sea (X,Γ) un espacio topol´ogico, αun operador asociado con Γ

y A⊆X. Entonces A∈α-SO(X)si y s´olo si A es unaα-semi vecindad de cada uno de sus puntos.

Demostraci´on: Sup´ongase queAes unaα-semi vecindad de cada puntox∈A. Esto significa que para cadax∈Aexiste un conjuntoOx∈α-SO(X) tal que

x ∈ Ox ⊆ A, por lo tanto, como α es mon´otona, A = Sx∈AOx es α-semi

abierto.

Observe que la condici´on necesaria es inmediata.

Definici´on 3.3. Sea (X,Γ) un espacio topol´ogico, α un operador asociado con Γ. Decimos que una familia {Ai}i∈I de subconjuntos de X tiene la

pro-piedad α-semi localmente finita, denotada por α-SLF, si para cada x ∈ X

existe una α-semi vecindadOx dextal que Ox∩A=∅para todo i excepto

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Observe que una familia {Ai}i∈I de subconjuntos de X tiene la

propie-dadα-semi localmente finita, denotada porα-SLF, si para cadax∈X existe una α-semi vecindad Ox dexy un subconjunto finito Ωx deI tal queOx⊆

T

i∈I\Ωx(X \Ai). Notemos adem´as que la propiedad semi localmente finita

es obtenida cuando α es el operador identidad, mientras que cuando α es el operador clausura la propiedad α-SLF equivale a la definici´on dada por Caldas Cuevas en [5].

Definici´on 3.4. Sea (X,Γ) un espacio topol´ogico y αun operador asociado con Γ. Una familia {Ai}i∈I de subconjuntos deX tiene la propiedad α-SLF

relativa a un subconjunto T deX si dicha familia tiene la propiedadα-SLF

en cada puntox∈T.

Teorema 3.2. Sea (X,Γ) un espacio topológico y α un operador estrella y monótono asociado con Γ. Una condición necesaria y suficiente para que la intersección de una familia {Ai}i∈I de subconjuntos abiertos sea α-semi

abierta es que la familia {X\Ai}i∈I tenga la propiedad α-SLF relativa al

subconjunto A=Ti∈IAi.

Demostraci´on: (Suficiencia) Sup´ongase que la familia {X\Ai}i∈I tiene la

propiedad α-SLF relativa al subconjuntoA =Ti∈IAi, donde cada Ai ∈Γ.

Consideremos x∈A; seg´un la hip´otesis han de existir un subconjunto finito Ωx de I y una α-semi vecindad Ox dex tales que Ox ⊆Ti∈I\ΩxAi. Luego

contiene a xy es un subconjunto deA, pero αes mon´otono, lo que implica seg´un el Lema 3.2 que A=Ti∈IAi esα-semi abierto.

Corolario 3.2. Sea(X,Γ) un espacio topológico y αun operador monótono asociado con Γ. Una condición necesaria y suficiente para que la unión de una familia {Ai}i∈I de subconjuntos cerrados sea α-semi cerrado es que la

familia {X\Ai}_i_∈_I tenga la propiedad α-SLF relativa al subconjunto D =

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En la próxima sección estudiaremos otras generalizaciones, en base a un operador α, de las nociones de continuidad y conexidad asi como también algunos resultados importantes relativos a estas nociones generalizadas.

4 α

_{-Semi Continuidad y}

α

_{-Semi Conexidad.}

Definici´on 4.1. Dos subconjuntos no vac´ıos A, B de un espacio topol´ogico

(X,Γ)se dicenα-semi separados si[α-sCL(A)]∩B=A∩[α-sCL(B)] =∅_.

Definición 4.2. En un espacio topológico(X,Γ), un conjunto que no puede expresarse como unión de dos conjuntos α-semi separados se dice que es α

-semi conexo.

Observemos que las definiciones anteriores constituyen una generalización de la noción usual de conexidad, la cual se obtiene en las definiciones anteriores para el caso particular en que αes el operador identidad. Veamos ahora que esta nueva noción deα-semi conexidad tiene propiedades análogas a las de la conexidad usual. Esto se demuestra en los siguientes teoremas.

Teorema 4.1. Un espacioX esα-semi conexo si y sólo si los únicos subcon-juntos de X que son simultáneamente α-semi abiertos yα-semi cerrados son

∅_y _X_.

Demostraci´on: SiA es un subconjunto propio no vac´ıo deX que es simult´a-neamente α-semi abierto y α-semi cerrado, entonces los conjuntos U =A y

V =X\Aconstituyen unaα-semi separaci´on deX. Rec´ıprocamente, siU y

V forman una α-semi separaci´on de X yX =U∪V, entonces U es no vacio y diferente de X, y como

U∩V ⊆U∩(α-sCL(V)) = (α-sCL(U))∩V =∅_.

obtenemos que ambos conjuntos son α-semi abiertos yα-semi cerrados. Teorema 4.2. SiAesα-semi conexo yA⊆C∪D dondeCyD sonα-semi separados, entonces A⊆C oC⊆D.

Demostraci´on: EscribamosA= (A∩C)∪(A∩D). Observemos que (A∩C)∩(α-sCL(A))∩(α-sCL(D))⊆C∩(α-sCL(D)).

Como C yD son α-semi separados, C∩(α-sCL(D)) = ∅_{. Similarmente se}

tiene

(8)

Si ocurriese A∩C 6=∅y_A∩_D 6=∅simult´aneamente, entonces _Ano ser´ıa

α-semi conexo. Por lo tantoA∩C 6=∅o _A∩_D 6=∅. esto demuestra que

A⊆Co A⊆D.

Teorema 4.3. Si C-semi conexo y C ⊆ α-sCL(E) ⊆ α-sCL(C), entonces

α-sCL(E)es un conjuntoα-semi conexo.

Demostraci´on: Siα-sCL(E) no esα-semi conexo, entonces podemos escribir

α-sCL(E) =A∪B, dondeA6=∅,_B6=∅,_A∩_α-_sCL(_B) =_α-_sCL(_A)∩_B= ∅. Por el Teorema 4.2 debe ocurrir que _C ⊆ _A o _C ⊆ _B. Sin p´erdida de

generalidad, supongamos que C ⊆ A. Se sigue de la definici´on de α-semi clausura que (α−sCL(C))∩B ⊆(α−sCL(A)). Adem´as (α−sCL(C))∩

B ⊆ α-sCL(A)∩B = ∅_{. Por otra parte} _B _⊆ _α_-_sCL₍_E₎ _⊆ _α_-_sCL₍_C_{) y}

α-sCL(C)∩B=B, por lo que puede inferirse queB=∅_{lo cual es imposible.}

Por lo tanto α-sCL(E) esα-semi conexo.

Teorema 4.4. Sea (X,Γ) un espacio topológico, α un operador monótono asociado con Γy A un subconjunto abierto. EntoncesA esα-semi conexo si y sólo si (A,ΓA) esα-semi conexo (ΓA es la topolog´ıa relativa sobreA).

Demostración: Supóngase queAno seaα-semi conexo y seanH yK unaα -semi separación de A. Entonces H yK son subconjuntos α-semi separados, cualquiera sea elX que contenga aA, pues

α-sCL(H)∩K=α-sCL(H)∩A∩K= (α-sCL(H)∩A)∩K

= (α-sCLA(H))∩K=∅.

Similarmente se tiene (α-sCL(K))∩H = (α-sCLA(K))∩H =∅. Rec´ıprocamente,

siH yK es unaα-semiseparaci´on deAyA=H∪Kentonces tendremos:

α-sCLA(H) = (α-sCL(H))∩A= (H∪K)∩(α-sCL(H))

=H∩(α-sCL(H))∪(K∩(α-sCL(H))) =H.

Por lo tantoH esα-semi cerrado enA. SimilarmenteK esα-semi cerrado en

A. ComoAes un conjunto abierto, obtenemos queK=A\H yH =A\K

sonα-semi abiertos enA, de donde sigue el resultado.

Podr´ıamos continuar generalizando en forma natural las nociones de com-ponentes, conexidad local, etc., usando un operador asociado. Si el lector quiere ahondar en mayores detalles puede revisar [4].

(9)

Definici´on 4.3. Una funci´onf : (X,Γ)−→(Y,Ψ) se dice(α, β)-semi conti-nua si para cada conjunto β-semi abierto V en Y,f−1₍

V)esα-semi abierto en X.

Observemos que esta definición no sólo constituye una generalización de la continuidad usual (caso en que α= identidad y β = identidad) sino que también generaliza la noción de semi-continuidad de Levine [3] (caso α = clausura yβ = identidad) y la de función irresoluta.

Teorema 4.5. Si f : (X,Γ)−→(Y,Ψ) es una funci´on (α, β)-semi continua

Sigue de aqu´ı que A y B son conjuntos β-semi abiertos y β-semi cerrados en Y, luegof−1

El teorema anterior nos dice que la α-semi conexidad es “compatible” con la noci´on de (α, β)-semi continuidad. Usando este ´ultimo Teorema y el Teorema 4.4 podemos demostrar el siguiente

Teorema 4.6. Sea f : (X,Γ)−→(Y,Ψ) una funci´on(α, β)-semi continua y abierta, y A un subconjunto abierto de X. Si A es α-semi conexo entonces

f(A) esα-semi conexo.

Referencias

[1] KasaHara, S. Operation-Compact Spaces, Math. Japonica, 21(1979), 97– 105.

[2] Ogata, H.Operation on Topological Spaces and Associated Topology, Math. Japonica36n0

1 (1991), 175–184.

(10)

[4] Vielma J. and Rosas E.α-Semi Open Set andαβ-Continuity in Topological Spaces. Submitted to Math. Japonica.

[5] Caldas C., Miguel. La Intersecci´on Arbitraria de una Familia de Subcon-juntos Abiertos con la Propiedad S-localmente Finita es Semi-abierta, Pro Mathematica: Vol X, Nos. 19-20 (1996), 35–42.