Operadores Asociados a una
Topolog´ıa
Γ
sobre un Conjunto
X
y Nociones Conexas
†
Operators Associated to a Topology
Γ
over a Set
X
and Related Notions
Carlos Carpintero
(ccarpi@cumana.sucre.udo.edu.ve)Departamento de Matem´aticas. Universidad de Oriente. N´ucleo de Sucre.
Cuman´a. Venezuela.
Ennis Rosas
(erosas@cumana.sucre.udo.edu.ve)Departamento de Matem´aticas. Universidad de Oriente. N´ucleo de Sucre.
Cuman´a. Venezuela.
Jorge Vielma
(vielma@ciens.ula.ve) Departamento de Matem´aticas.Facultad de Ciencias. Universidad de los Andes.
M´erida. Venezuela.
Resumen
Se discuten algunas propiedades relacionadas con el operador asociado con una topolog´ıa y se prueban algunos teoremas for-mulados en las nociones de conjuntos α-semi abiertos de forma similar a los encontrados en topolog´ıa general.
Palabras y frases clave: α-semi abierto, α-semi continuidad,
α-semi conexidad.
†Recibido 98/09/25. Revisado 98/12/21. Aceptado 98/12/16.
Abstract
We discuss some properties related to the operator asociated to a topology and prove some theorems formulated in the notions ofα-semi open sets, in a similar way as in general topology. Key words and phrases: α-semi open, α-semi continuity, α -semi connectedness.
1
Introducci´
on
En este trabajo se introduce la noci´on de operador asociado con una to-polog´ıa Γ sobre un conjunto X, la cual es definida en la forma siguiente:
α : P(X) −→ P(X), P(X) = partes deX, es un operador asociado a una topolog`ia Γ sobre un conjunto X siU ⊆α(U) para todo U ∈Γ. En base a esta noci´on se introducen las nociones de conjunto α-semi abierto y α-semi cerrado. Un conjunto A⊆X se dice α-semi abierto siU ⊆A ⊆α(U) para ciertoU ∈Γ. La noci´on deα-semi cerrado se define en forma natural: Aesα -semi cerrado siX−Aesα-semi abierto. La colecci´on de los conjuntosα-semi abiertos en X es denotada porα-SO(X), y ´esta, en general, no posee estruc-tura topol´ogica. No obstante, usando la definici´on de conjuntoα-semi abierto pueden obtenerse conceptos conexos con la estructura topol´ogica dada, tales comoα-semi continuidad,α-semi conexidad,α-semi compacidad, propiedades de α-semi separaci´on, las cuales no s´olo constituyen generalizaciones de los conceptos cl´asicos estudiados en topolog´ıa general sino que tambi´en engloban ciertos t´opicos trabajados anteriormente por matem´aticos como Levine, Ka-sahara y Cuevas. Cuandoαes tal queα(A) =A(i.e. α= operador identidad) las nociones anteriormente citadas coinciden con las nociones usuales estudia-das en topolog´ıa general, pero para un operador asociadoαarbitrario ocurren ciertas patolog´ıas en los teoremas cl´asicos correspondientes a la continuidad, conexidad, compacidad, etc. Se estudian aqu´ı, adem´as, algunas condiciones necesarias y/o suficientes para que estos teoremas, formulados en el ´ambito de las α-semi nociones referidas anteriormente, sigan teniendo validez.
2
Operadores Asociados
Definici´on 2.1. Sean(X,Γ)un espacio topol´ogico yα:P(X)−→P(X). Se dice que αes un operador asociado con la topolog´ıaΓ si para todoU ∈Γ se cumple queU ⊆α(U).
Ejemplo 2.1. Observe que la colecci´on de todos los operadores asociados con una topolog´ıa Γ es no vac´ıa, ya que el operador identidad α(A) = A para todo A ∈ P(X) y el operador α definido por α(A) = X\Fr(A) para cada
A ∈P(X), donde Fr(A) es la frontera de A, satisfacen la condici´on exigida en la definici´on anterior.
Ejemplo 2.2. Observe que la colecci´on de los operadores asociados con una topolog´ıa Γ es muy amplia pues si α es un operador asociado y Y es un subconjunto arbitrario de X diferente del vac´ıo entonces β :P(X)−→P(X)
definido comoβ(A) =α(A)∪Y para todoA∈P(X)es un operador asociado con Γ distinto deα.
Trataremos con dos tipos de operadores particularmente importantes por sus implicaciones, los cuales describiremos a continuaci´on.
Definici´on 2.2. Sean(X,Γ)un espacio topol´ogico y αun operador asociado con Γ. Se dice que α es un operador mon´otono si para todo U, V ∈ Γ tales que U ⊆V se tiene α(U)⊆α(V). El operador αse dice que es un operador estrellasi satisface la condici´onα(U)∩V ⊆α(U ∩V)para todo U, V ∈Γ.
Observe que el operador identidad es un operador mon´otono y estrella, mientras que el operador definido por α(U) = X \Fr(U) no es en general mon´otono pero s´ı estrella. De igual forma si α es un operador mon´otono y estrella entonces β definido en el ejemplo 2.2 es un operador mon´otono y estrella.
En la siguiente secci´on describiremos otra serie de nociones que ser´an de utilidad en este trabajo.
3
Conjuntos
α
-Semi Abiertos y
α
-Semi Cerrados
En esta secci´on la noci´on de conjuntoα-semi abierto que se describe es radi-calmente distinta a la empleada por Kasahara en [1], no obstante se obtienen resultados interesantes.
conjunto abierto U ∈ Γ tal que U ⊆ A ⊆ α(U). El subconjunto A se dice
α-semi cerrado siX\Aes α-semi abierto.
N´otese que cuandoα es el operador clausura en la definici´on anterior se tiene la definici´on de conjunto semi abierto dado por Levine en [3]. En el caso queαsea el operador identidad las definiciones de conjunto abierto yα-semi abierto coinciden, en este sentido la clase de los conjuntos α-semi abiertos, denotadaα-SO(X), es una clase muy amplia de la cual son casos particulares otras clases de conjuntos seg´un sea el operadorα. Por otro lado para cualquier operador asociado αse cumple que todo conjunto abierto es α-semi abierto. Es decir Γ⊆α-SO(X), peroα-SO(X)6⊆Γ (salvo raras excepciones). Ejemplo 3.1. Sea X un espacio de Haussdorff e Y un subconjunto finito de X. El operador α definido por α(A) = Y ∪A es un operador mon´otono y estrella. Si SO(X) denota la clase de los conjuntos semi abiertos seg´un Levine, entonces SO(X)⊆α-SO(X). Adem´asY es α-semi abierto pero no semiabierto (en general, ya que en algunos casos particulares podr´ıa serlo).
Contrariamente al comportamiento que los conjuntos abiertos presentan con respecto a la uni´on cabe destacar que en general la uni´on arbitraria de conjuntos α-semi abiertos no es necesariamente α-semi abierta, esto es la colecci´on α-SO(X) no es cerrada o estable respecto a la uni´on. No obstante bajo ciertas condiciones impuestas al operadorαpuede obtenerse estabilidad con respecto a la uni´on de conjuntos α-semi abiertos como se muestra en el siguiente teorema.
Teorema 3.1. Sean(X,Γ)un espacio topol´ogico y αun operador mon´otono asociado con Γ. Entonces la uni´on de conjuntos α-semi abiertos es α-semi abierto.
Demostraci´on: Sea {Ai}i∈I una colecci´on de conjuntos α-semi abiertos;
en-tonces para cada i ∈ I existe un conjunto abierto Ui tal que Ui ⊆ Ai ⊆
Una consecuencia inmediata de la definici´on 3.1 y el teorema anterior se resume en el siguiente corolario.
Seg´un lo anterior podemos introducir de manera natural las nociones de
α-semi interior yα-semi clausura de un subconjuntoA⊆X, denotadas res-pectivamenteα-s Int(A) yα-s Cl(A).
En lo que se refiere a la intersecci´on de conjuntosα-semi abiertos se de-rivan una serie de resultados interesantes, los cuales engloban algunos resul-tados previamente hallados por otros autores. A continuaci´on expondremos detalladamente cada uno de estos resultados.
Lema 3.1. Sea(X,Γ)un espacio topol´ogico yαun operador estrella asociado con Γ. Si A∈Γy O∈α-SO(X). entoncesO∩A∈α-SO(X).
Demostraci´on: Por hip´otesis O ∈ α-SO(x), entonces existe U ∈ Γ tal que
U ⊆O⊆α(U), luegoU ∩A⊆O∩A⊆α(U)∩A. Como αes un operador estrella, obtenemos que U∩A⊆O∩A⊆α(U∩A), pero U ∩A∈Γ, luego esto nos indica que O∩A∈α-SO(X).
Es de observar que el lema anterior generaliza el resultado dado por Caldas en [5].
Definici´on 3.2. Sea (X,Γ) un espacio topol´ogico y αun operador asociado con Γ. Decimos que un subconjunto A deX es unaα-1em semi vecindad de un punto x∈X, si existeO∈α-SO(X) tal quex∈O⊆A.
Observemos que cuandoαes el operador clausura, la definici´on anterior coincide con la definici´on dada en [5] por Caldas.
Lema 3.2. Sea (X,Γ) un espacio topol´ogico, αun operador asociado con Γ
y A⊆X. Entonces A∈α-SO(X)si y s´olo si A es unaα-semi vecindad de cada uno de sus puntos.
Demostraci´on: Sup´ongase queAes unaα-semi vecindad de cada puntox∈A. Esto significa que para cadax∈Aexiste un conjuntoOx∈α-SO(X) tal que
x ∈ Ox ⊆ A, por lo tanto, como α es mon´otona, A = Sx∈AOx es α-semi
abierto.
Observe que la condici´on necesaria es inmediata.
Definici´on 3.3. Sea (X,Γ) un espacio topol´ogico, α un operador asociado con Γ. Decimos que una familia {Ai}i∈I de subconjuntos de X tiene la
pro-piedad α-semi localmente finita, denotada por α-SLF, si para cada x ∈ X
existe una α-semi vecindadOx dextal que Ox∩A=∅para todo i excepto
Observe que una familia {Ai}i∈I de subconjuntos de X tiene la
propie-dadα-semi localmente finita, denotada porα-SLF, si para cadax∈X existe una α-semi vecindad Ox dexy un subconjunto finito Ωx deI tal queOx⊆
T
i∈I\Ωx(X \Ai). Notemos adem´as que la propiedad semi localmente finita
es obtenida cuando α es el operador identidad, mientras que cuando α es el operador clausura la propiedad α-SLF equivale a la definici´on dada por Caldas Cuevas en [5].
Definici´on 3.4. Sea (X,Γ) un espacio topol´ogico y αun operador asociado con Γ. Una familia {Ai}i∈I de subconjuntos deX tiene la propiedad α-SLF
relativa a un subconjunto T deX si dicha familia tiene la propiedadα-SLF
en cada puntox∈T.
Teorema 3.2. Sea (X,Γ) un espacio topol´ogico y α un operador estrella y mon´otono asociado con Γ. Una condici´on necesaria y suficiente para que la intersecci´on de una familia {Ai}i∈I de subconjuntos abiertos sea α-semi
abierta es que la familia {X\Ai}i∈I tenga la propiedad α-SLF relativa al
subconjunto A=Ti∈IAi.
Demostraci´on: (Suficiencia) Sup´ongase que la familia {X\Ai}i∈I tiene la
propiedad α-SLF relativa al subconjuntoA =Ti∈IAi, donde cada Ai ∈Γ.
Consideremos x∈A; seg´un la hip´otesis han de existir un subconjunto finito Ωx de I y una α-semi vecindad Ox dex tales que Ox ⊆Ti∈I\ΩxAi. Luego
contiene a xy es un subconjunto deA, pero αes mon´otono, lo que implica seg´un el Lema 3.2 que A=Ti∈IAi esα-semi abierto.
Corolario 3.2. Sea(X,Γ) un espacio topol´ogico y αun operador mon´otono asociado con Γ. Una condici´on necesaria y suficiente para que la uni´on de una familia {Ai}i∈I de subconjuntos cerrados sea α-semi cerrado es que la
familia {X\Ai}i∈I tenga la propiedad α-SLF relativa al subconjunto D =
En la pr´oxima secci´on estudiaremos otras generalizaciones, en base a un operador α, de las nociones de continuidad y conexidad asi como tambi´en algunos resultados importantes relativos a estas nociones generalizadas.
4
α
-Semi Continuidad y
α
-Semi Conexidad.
Definici´on 4.1. Dos subconjuntos no vac´ıos A, B de un espacio topol´ogico
(X,Γ)se dicenα-semi separados si[α-sCL(A)]∩B=A∩[α-sCL(B)] =∅.
Definici´on 4.2. En un espacio topol´ogico(X,Γ), un conjunto que no puede expresarse como uni´on de dos conjuntos α-semi separados se dice que es α
-semi conexo.
Observemos que las definiciones anteriores constituyen una generalizaci´on de la noci´on usual de conexidad, la cual se obtiene en las definiciones anteriores para el caso particular en que αes el operador identidad. Veamos ahora que esta nueva noci´on deα-semi conexidad tiene propiedades an´alogas a las de la conexidad usual. Esto se demuestra en los siguientes teoremas.
Teorema 4.1. Un espacioX esα-semi conexo si y s´olo si los ´unicos subcon-juntos de X que son simult´aneamente α-semi abiertos yα-semi cerrados son
∅y X.
Demostraci´on: SiA es un subconjunto propio no vac´ıo deX que es simult´a-neamente α-semi abierto y α-semi cerrado, entonces los conjuntos U =A y
V =X\Aconstituyen unaα-semi separaci´on deX. Rec´ıprocamente, siU y
V forman una α-semi separaci´on de X yX =U∪V, entonces U es no vacio y diferente de X, y como
U∩V ⊆U∩(α-sCL(V)) = (α-sCL(U))∩V =∅.
obtenemos que ambos conjuntos son α-semi abiertos yα-semi cerrados. Teorema 4.2. SiAesα-semi conexo yA⊆C∪D dondeCyD sonα-semi separados, entonces A⊆C oC⊆D.
Demostraci´on: EscribamosA= (A∩C)∪(A∩D). Observemos que (A∩C)∩(α-sCL(A))∩(α-sCL(D))⊆C∩(α-sCL(D)).
Como C yD son α-semi separados, C∩(α-sCL(D)) = ∅. Similarmente se
tiene
Si ocurriese A∩C 6=∅yA∩D 6=∅simult´aneamente, entonces Ano ser´ıa
α-semi conexo. Por lo tantoA∩C 6=∅o A∩D 6=∅. esto demuestra que
A⊆Co A⊆D.
Teorema 4.3. Si C-semi conexo y C ⊆ α-sCL(E) ⊆ α-sCL(C), entonces
α-sCL(E)es un conjuntoα-semi conexo.
Demostraci´on: Siα-sCL(E) no esα-semi conexo, entonces podemos escribir
α-sCL(E) =A∪B, dondeA6=∅,B6=∅,A∩α-sCL(B) =α-sCL(A)∩B= ∅. Por el Teorema 4.2 debe ocurrir que C ⊆ A o C ⊆ B. Sin p´erdida de
generalidad, supongamos que C ⊆ A. Se sigue de la definici´on de α-semi clausura que (α−sCL(C))∩B ⊆(α−sCL(A)). Adem´as (α−sCL(C))∩
B ⊆ α-sCL(A)∩B = ∅. Por otra parte B ⊆ α-sCL(E) ⊆ α-sCL(C) y
α-sCL(C)∩B=B, por lo que puede inferirse queB=∅lo cual es imposible.
Por lo tanto α-sCL(E) esα-semi conexo.
Teorema 4.4. Sea (X,Γ) un espacio topol´ogico, α un operador mon´otono asociado con Γy A un subconjunto abierto. EntoncesA esα-semi conexo si y s´olo si (A,ΓA) esα-semi conexo (ΓA es la topolog´ıa relativa sobreA).
Demostraci´on: Sup´ongase queAno seaα-semi conexo y seanH yK unaα -semi separaci´on de A. Entonces H yK son subconjuntos α-semi separados, cualquiera sea elX que contenga aA, pues
α-sCL(H)∩K=α-sCL(H)∩A∩K= (α-sCL(H)∩A)∩K
= (α-sCLA(H))∩K=∅.
Similarmente se tiene (α-sCL(K))∩H = (α-sCLA(K))∩H =∅. Rec´ıprocamente,
siH yK es unaα-semiseparaci´on deAyA=H∪Kentonces tendremos:
α-sCLA(H) = (α-sCL(H))∩A= (H∪K)∩(α-sCL(H))
=H∩(α-sCL(H))∪(K∩(α-sCL(H))) =H.
Por lo tantoH esα-semi cerrado enA. SimilarmenteK esα-semi cerrado en
A. ComoAes un conjunto abierto, obtenemos queK=A\H yH =A\K
sonα-semi abiertos enA, de donde sigue el resultado.
Podr´ıamos continuar generalizando en forma natural las nociones de com-ponentes, conexidad local, etc., usando un operador asociado. Si el lector quiere ahondar en mayores detalles puede revisar [4].
Definici´on 4.3. Una funci´onf : (X,Γ)−→(Y,Ψ) se dice(α, β)-semi conti-nua si para cada conjunto β-semi abierto V en Y,f−1(
V)esα-semi abierto en X.
Observemos que esta definici´on no s´olo constituye una generalizaci´on de la continuidad usual (caso en que α= identidad y β = identidad) sino que tambi´en generaliza la noci´on de semi-continuidad de Levine [3] (caso α = clausura yβ = identidad) y la de funci´on irresoluta.
Teorema 4.5. Si f : (X,Γ)−→(Y,Ψ) es una funci´on (α, β)-semi continua
Sigue de aqu´ı que A y B son conjuntos β-semi abiertos y β-semi cerrados en Y, luegof−1
El teorema anterior nos dice que la α-semi conexidad es “compatible” con la noci´on de (α, β)-semi continuidad. Usando este ´ultimo Teorema y el Teorema 4.4 podemos demostrar el siguiente
Teorema 4.6. Sea f : (X,Γ)−→(Y,Ψ) una funci´on(α, β)-semi continua y abierta, y A un subconjunto abierto de X. Si A es α-semi conexo entonces
f(A) esα-semi conexo.
Referencias
[1] KasaHara, S. Operation-Compact Spaces, Math. Japonica, 21(1979), 97– 105.
[2] Ogata, H.Operation on Topological Spaces and Associated Topology, Math. Japonica36n0
1 (1991), 175–184.
[4] Vielma J. and Rosas E.α-Semi Open Set andαβ-Continuity in Topological Spaces. Submitted to Math. Japonica.
[5] Caldas C., Miguel. La Intersecci´on Arbitraria de una Familia de Subcon-juntos Abiertos con la Propiedad S-localmente Finita es Semi-abierta, Pro Mathematica: Vol X, Nos. 19-20 (1996), 35–42.