IT105
MATEMATIKA DISKRIT
TUJUAN
Mahasiswa
Memahami
dan
menguasai
konsep dasar logika matematika
Mahasiswa mempunyai daya nalar yang
POKOK BAHASAN
Pernyataan dan Penghubung Pernyataan
Konvers, Invers, Kontraposisi, Tautologi &
Kontradiksi
Ekuivalensi
Penarikan Kesimpulan
Kalimat berkuantor/Kalkulus Predikat
Aljabar Boole & Gerbang Logika
Bentuk-Bentuk Normal : DNF/Minterm,
CNF/Maxterm
Program sebagai Logika Instruksi
DAFTAR PUSTAKA
Prof. Ir. Danny Manongga, M.Sc., Ph.D.
(2007).
Matematika Diskrit.
Fakultas
Teknologi Informasi UKSW.
PENILAIAN
Dosen (75%)
Tugas : 30%
TTS : 35%
TAS : 35%
PENENTUAN NILAI HURUF
>= 80
A
>= 75
–
< 80
AB
>= 70
–
< 75
B
>= 65
–
< 70
BC
>= 60
–
< 65
C
>= 55
–
< 60
CD
>= 50
–
< 55
D
Aturan Kuliah
Dressing Code
– Kemeja atau Kaos ber-krah, rapi dan bersepatu, tidak bersandal-jepit (wajib dan tidak menerima alasan apapun - jika tidak sesuai, tidak
diperbolehkan mengikuti kuliah)
Presensi
– Absen > 3 kali, tanpa alasan yang jelas, Nilai : E
Jam Kuliah :
– Kelas D / Selasa, 09.00 – 11.00 WIB
Mulai 09.10 WIB
TOPIK 1
MATERI 1
PERNYATAAN
LOGIKA (1)
Logika merupakan studi penalaran
(
reasoning
).
Dalam Kamus Besar Bahasa Indonesia
disebutkan definisi penalaran :
–
cara berpikir dengan mengembangkan
sesuatu berdasarkan akal budi
–
bukan dengan perasaan atau pengalaman.
Materi logika difokuskan pada hubungan
LOGIKA (2)
Perhatikan argumen berikut:
Semua pengendara sepeda motor memakai helm.
Setiap orang yang memakai helm adalah mahasiswa. Jadi, semua pengendara sepeda motor adalah
LOGIKA (3)
Di dalam matematika, hukum-hukum logika :
– menspesifikasikan makna dari pernyataan matematis.
– untuk membedakan antara argumen yang valid dan tidak valid.
– untuk membuktikan teorema-teorema di dalam matematika.
Logika mempunyai aplikasi yang luas di dalam
ilmu komputer : dalam bidang pemrograman,
PERNYATAAN
Adalah kalimat yang mempunyai nilai kebenaran
(benar/salah)
kalimat deklaratif/proposisi
Contoh:
– UKSW berada di Salatiga. (pernyataan benar)
– 5+3=9. (pernyataan salah)
– 100+1=101. (pernyataan, benar/salah tergantung konteks biner/desimal)
– Meja itu besar. (bukan pernyataan)
PENGHUBUNG PERNYATAAN (1)
Untuk membuat pernyataan yang lebih
kompleks dari pernyataan-pernyataan yang lebih
sederhana dibutuhkan penghubung.
Pernyataan-pernyataan yang lebih kompleks ini
disebut pernyataan majemuk (
compound
statement
).
Jadi pernyataan primer atau atomik adalah
pernyataan-pernyataan yang tidak mempunyai
penghubung.
PENGHUBUNG PERNYATAAN (2)
Negasi
Konjungsi
Disjungsi
Kondisi (Conditional)/Implikasi
NEGASI (1)
Notasi: ¬ atau
~ atau ¯ atau ’
Negasi pernyataan P adalah suatu pernyataan
~P yang mempunyai nilai kebenaran berlawanan
dari nilai kebenaran pernyataan semula.
Contoh:
– P : Hari ini hujan.
– Q : Hari ini panas.
Maka pernyataan NOT dari P dan Q adalah
– ~P: Hari ini tidak hujan.
NEGASI (2)
DISJUNGSI (1)
Notasi:
atau + atau
Disjungsi dari dua pernyataan P dan Q adalah
– suatu pernyataan P Q yang mempunyai nilai
kebenaran T jika P atau Q atau keduanya mempunyai nilai kebenaran T, selain itu P Q bernilai F.
Contoh:
P: Hari ini hujan.
Q: Ada 10 kamar dalam rumah ini.
DISJUNGSI (2)
Saya akan menonton pertandingan di tv atau pergi ke lapangan pertandingan.
“atau” dipakai dalam bentuk yang eksklusif untuk
memilih salah satu dari dua alternatif tetapi tidak keduanya (P atau Q saja tetapi tidak P dan Q).
Ada sesuatu yang salah dengan bolam itu atau dengan pengabelannya.
“atau” dipakai dalam bentuk yang inklusif yaitu bisa
salah satu atau kedua alternatif terjadi (P, atau Q atau
P dan Q). “atau” digunakan seperti yang dimaksud
(simbol ).
Dua atau tiga orang cedera dalam kecelakaan itu.
“atau” tidak ditujukan dalam arti Penghubung yang
DISJUNGSI (3)
Sifat simetri: P
Q = Q
P.
Negasi P
Q adalah ~P
~Q.
KONJUNGSI (1)
Notasi:
, . ,
, atau
Konjungsi dari dua pernyataan P dan Q adalah
– suatu pernyataan P Q yang mempunyai nilai
kebenaran T bila P dan Q keduanya mempunyai nilai kebenaran T, selain itu P Q bernilai F.
Contoh:
P: Hari ini hujan.
Q: Ada 10 kamar dalam rumah ini.
KONJUNGSI (2)
Mawar berwarna merah dan kucing berwarna hitam.
“dan” digunakan seperti yang dimaksud (simbol ). Prinsip simetri berlaku. PQ = QP
Inem membuka pintu dan berjalan masuk.
“dan” berarti “kemudian” karena “berjalan masuk”
terjadi setelah “Inem membuka pintu” tidak dapat diterjemahkan dengan .
Prinsip simetri tidak berlaku. PQ QP
Inem dan Ponim bersaudara.
“dan” bukan penghubung, karena hanya satu kalimat
bukan dua kalimat setara yang dihubungkan dengan AND.
Bila dipecah, akan menjadi kalimat berita tidak lengkap.
“Inem bersaudara”. Kalimat menjadi tidak lengkap
KONJUNGSI (3)
Sifat simetri: P
Q = Q
P.
Negasi P
Q adalah ~P
~Q.
IMPLIKASI (1)
Notasi:
Jika P dan Q adalah dua pernyataan, maka
implikasi pernyataan P
Q dapat dibaca
sebagai IF P, THEN Q.
P dan Q adalah suatu pernyataan conditional. P
disebut proposisi antecedent/premis/kondisi dan
Q adalah consequent/konklusi.
IMPLIKASI (2)
Implikasi
p
q
memainkan peranan penting
dalam penalaran. Implikasi ini tidak hanya
diekspresikan dalam pernyataan standard “jika
p
, maka
q
” tetapi juga dapat diekspresikan
dalam berbagai cara, antara lain:
IMPLIKASI (3)
– Tulis dalam bentuk simbolis: “Kalau William
mengambil Kalkulus atau Harry mengambil Sosiologi,
maka Charles akan mengambil Bahasa Inggris.”
J: William mengambil Kalkulus. K: Harry mengambil Sosiologi.
IMPLIKASI (4)
P
Q
(ekuivalen dengan) ~P
Q.
Buktikan dengan tabel kebenaran!
~(P
Q)
~(~P
Q)
P
~Q.
IMPLIKASI (5)
Proposisi-proposisi berikut adalah implikasi dalam berbagai bentuk:
a) Jika hari hujan, maka tanaman akan tumbuh subur. b) Jika tekanan gas diperbesar, mobil melaju kencang.
c) Es yang mencair di kutub mengakibatkan permukaan air laut naik.
d) Orang itu mau berangkat jika ia diberi ongkos jalan.
e) Ahmad bisa mengambil matakuliah Teori Bahasa Formal hanya jika ia sudah lulus matakuliah Matematika Diskrit.
f) Syarat cukup agar pom bensin meledak adalah percikan api dari rokok.
g) Syarat perlu bagi Indonesia agar ikut Piala Dunia adalah dengan mengontrak pemain asing kenamaan.
IMPLIKASI (6)
Ubahlah proposisi c sampai h, ke dalam bentuk
proposisi “jika p, maka q ”.
Penyelesaian:
– Jika es mencair di kutub, maka permukaan air laut naik.
– Jika orang itu diberi ongkos jalan, maka ia mau berangkat.
– Jika Ahmad mengambil matakuliah Teori Bahasa Formal, maka ia sudah lulus matakuliah Matematika Diskrit.
– Pernyataan yang diberikan ekivalen dengan “Percikan api dari
rokok adalah syarat cukup untuk membuat pom bensin
meledak” atau “Jika api memercik dari rokok, maka pom bensin meledak”
– Pernyataan yang diberikan ekivalen dengan “Mengontrak
pemain asing kenamaan adalah syarat perlu untuk Indonesia
agar ikut Piala Dunia” atau “Jika Indonesia ikut Piala Dunia maka Indonesia mengontrak pemain asing kenamaan”.
BIIMPLIKASI (1)
Notasi:
Jika P dan Q adalah dua pernyataan,
maka biimplikasi pernyataan P
Q
(dibaca P jika dan hanya jika Q)
mempunyai nilai T bilamana baik P dan Q
keduanya mempunyai nilai kebenaran
yang sama.
PQ mempunyai sifat simetri yaitu:
BIIMPLIKASI (2)
Terdapat sejumlah cara untuk menyatakan
bikondisional
p
q
dalam kata-kata,
yaitu:
–
p
jika dan hanya jika
q
.
–
p
adalah syarat perlu dan cukup untuk
q
.
BIIMPLIKASI (3)
P
Q
(P
Q)
(Q
P)
BIIMPLIKASI (4)
Proposisi majemuk berikut adalah
bi-implikasi:
–
1 + 1 = 2 jika dan hanya jika 2 + 2 = 4.
–
Syarat cukup dan syarat perlu agar hari hujan
adalah kelembaban udara tinggi.
BIIMPLIKASI (5)
Tuliskan setiap proposisi berikut ke dalam
bentuk “
p
jika dan hanya jika
q
”:
a) Jika udara di luar panas maka anda membeli es
krim, dan jika anda membeli es krim maka udara di luar panas.
b) Syarat cukup dan perlu agar anda memenangkan pertandingan adalah anda melakukan banyak
latihan.
c) Anda naik jabatan jika anda punya koneksi, dan anda punya koneksi jika anda naik jabatan.
d) Jika anda lama menonton televisi maka mata anda lelah, begitu sebaliknya.
BIIMPLIKASI (6)
Penyelesaian:
a) Anda membeli es krim jika dan hanya jika udara di luar panas.
b) Anda melakukan banyak latihan jika dan hanya jika anda memenangkan pertandingan.
c) Anda naik jabatan jika dan hanya jika anda punya koneksi.
d) Mata anda lelah jika dan hanya jika anda lama menonton televisi.
TABEL
MATERI 2
Dari suatu implikasi, bisa dibentuk varian
implikasi yang lain, yaitu:
–
Konvers (Q
P)
–
Invers (~P
~Q)
–
Kontraposisi (~Q
~P)
P
Q
~Q
~P
Buktikan dengan tabel kebenaran!
KONVERS, INVERS, KONTRAPOSISI (2)
Jika A merupakan suatu bujursangkar, maka A merupakan suatu 4 persegi panjang
P : A merupakan suatu bujursangkar
Q : A merupakan suatu 4 persegi panjang
Kn: Q P : Jika A merupakan 4 persegi panjang, maka A adalah suatu bujursangkar In: P Q : Jika A bukan bujursangkar,
maka A bukan 4 persegi panjang Kt: Q P : Jika A bukan 4 persegi panjang,
maka A bukan bujursangkar
KONVERS, INVERS, KONTRAPOSISI (3)
Jika n adalah bilangan prima > 2, maka n adalah bilangan ganjil.
P : n adalah bilangan prima > 2 Q : n adalah bilangan ganjil
Kn: Q P : Jika n adalah bilangan ganjil,
maka n adalah bilangan prima > 2 In: P Q : Jika n bukan bilangan prima > 2,
maka n bukan bilangan ganjil Kt: Q P : Jika n bukan bilangan ganjil,
maka n bukan bilangan prima > 2
