6.1.1. Mengidentifikasi pengukuran sudut dalam derajat dan radian. - BAHAN AJAR TRIGONOMETRI

(1)

Kelompok

Mata Pelajaran

Kelas / Semester

Standar Kompetensi

Kompetensi Dasar

Waktu

:

6.

6.1.

6.2.

6.3.

6.4. Bisnis Manajemen dan Parwisata

Matematika

XI / 3

Memahami konsep perbandingan, fungsi,

persamaan dan identitas trigonometri dan

penerapannya dalam pemecahan masalah.

Menentukan nilai perbandingan trigonometri

suatu sudut

Mengkonversi koordinat kartesius dan kutub

Menerapkan aturan sinus dan kosinus

Menentukan luas segitiga

(2)

INDIKATOR

6.1.1. Mengidentifikasi pengukuran sudut dalam derajat dan radian.

6.1.2. Mengkonversikan satuan sudut dari derajat ke radian atau sebaliknya. 6.1.3. Menentukan perbandingan trigonometri dalam segitiga siku - siku 6.1.4. Menentukan perbandingan trigonometri sudut – sudut istimewa 6.1.5. Menentukan perbandingan trigonometri sudut – sudut berelasi 6.1.6. Menerapkan konsep trigonometri dalam bidang keahlian

TUJUAN PEMBELAJARAN

1. Siswa mampu mengidentifikasi pengukuran sudut dalam derajat dan radian.

2. Siswa mampu mengkonversikan ukuran sudut dalam satuan derajat kesatuan radian atau sebaliknya.

3. Siswa mampu menentukan perbandingan trigonometri dalam segitiga siku – siku. 4. Siswa mampu menentukan perbandingan trigonometri sudut – sudut istimewa. 5. Siswa mampu menentukan perbandingan trigonometr sudut berelasi.

6. Siswa mampu menggunakan konsep trigonometri dalam bidang keahlian.

WAKTU

24 x 40 menit (12 x pertemuan)

KOMPETENSI DASAR

(3)

1 radian

O r

A. PERBANDINGAN TRIGONOMETRI SUATU SUDUT

1. Pengukuran sudut dalam derajat

Derajat adalah nama satuan yang digunakan untuk menyatakan besar sudut. Satuan ini disebut juga satuan sudut sexagesimal, yaitu membagi keliling lingkaran menjadi 360 bagian yang sama, setiap bagian disebut 1 derajat. Dengan demikian :

B B r A

1 putaran = 1 keliling lingkaran = 360∘ 1

360 putaran = 3601 keliling lingkaran = 1∘ Oleh karena itu, diperoleh :

2. Pengukuran sudut dalam radian

1 Radian adalah ukuran sudut pusat lingkaran yang panjang busur di depannya sama dengan jari – jari lingkaran.

A

O r B

Jika panjang busur AB sama dengan panjang OA atau OB (jari – jari), maka besar sudut AOB (∠ AOB) disebut 1 radian.

(4)

π

Panjang busur suatu lingkaran = 2π x r 2π x r disebut 2π radian

2π radian = 360°

π radian = 180°

Sehingga diperoleh :

Contoh 1

Nyatakan sudut berikut dalam bentuk radian.

a. 60° b. 150° c. −120° Jawab :

a. 60° = 60 x 1°_{= 60 x} π

180 radian = 60180π radian = 30π radian = 13 π radian

b. 150°_{= 150 x 1}°_{= 150 x} π

180 radian = 150180π radian = 56π radian = 56 π radian

c. −120° = -120 x 1° = -120 x ₁₈₀π radian = −120₁₈₀π radian = −2₃π radian

= −2₃ π radian

Contoh 2.

Nyatakan sudut berikut dalam bentuk derajat.

a. π₆ radian

b. 7₉π radian

c. π₆ radian

d. 7₉ radian

Jawab :

a. π₆ radian = π₆ x 1 radian = π₆ x 180_π ° = 30°

b. 7₉π radian = 7₉π x 1 radian = 7₉π x 180_π ° = 140°

1 radian = 180_π ° dan 1°₌ π

(5)

c. 1₆ radian = 1₆ x 1 radian = 1₆ x 180_π ° =

₍

30_π

₎

(6)

Hubungan rumus – rumus di atas adalah :

Contoh 3.

Pada segitiga siku – siku ABC dengan panjang sisi a = 3 cm, b = 4 cm dan c = 5 cm. Carilah nilai ke enam perbandingan trigonometri untuk sudut α°_.

(7)

Jika diketahui nilai sinθ=12₁₃ , hitunglah nilai perbandingan trigonometri lainnya.

Jawab : A

(8)

33

15 9

b) √13

2 3

c) p q

r

2. Jika α° sudut lancip, carilah nilai perbandingan trigonometri sudut α° yang lain untuk :

a) sin α° = 3₇

b) cos α° = 2₃

c) tg α° = 3₂

4. Perbandingan trigonometri sudut – sudut istimewa

Perhatikan gambar berikut :

√2 2 600

1 1 450 300

1 √3

Gambar a gambar b a. Berdasarkan gambar a, dapat ditemukan :

3

Sudut istimewa adalah nilai perbandingan trigonometri yang dapat ditentukan tanpa menggunakan table atau kalkulator.

(9)

sin 45° = 1

c. Untuk menentukan perbandingan trigonometri sudut 0°_{dan 90}°_{, kita biasa gunakan} lingkaran satuan di koordinat kartesius. Garis OP membentuk sudut θ dengan sumbu X Panjang ON adalah x satuan

(10)

Panjang OP adalah 1 satuan (OP jari – jari lingkaran)

Δ ONP adalah segitiga siku – siku di N

Perbandingan trigonometri untuk sudut θ adalah :

(11)

a. Hitunglah :

i. sin 30° + cos 0°

ii. sin 30°.cos 60° + cos 30°.sin 60°

b. Tunjukkan bahwa : sin 60°_{.cos 30}°_{- cos 60}°_{.sin 30}°_{= sin 30}° Jawab :

a. Nilai dari :

i. sin 30°_{+ cos 0}°₌1

2 + 1 = 1 12 ii. sin 30°_{.cos 60}°_{+ cos 30}°_{.sin 60}°

= (1₂ . 1₂) + ( 1₂ √3 . 1₂ √3 ) = 1₄ + 3₄ = 1

b. Tunjukkan bahwa :

sin 60°_{.cos 30}°_{- cos 60}°_{.sin 30}°_{= sin 30}°

( 1₂ √3 . 1₂ √3 ) - ( 1₂ √3 . 1₂ √3 ) = 1₂

3

4 - 14 = 12

2₄ = 1₂

1₂ = 1₂

Latihan 3

1. Hitunglah nilai dari a) ctg 45° + cos 60° b) tg 30° + tg 60° c) sec 30° + cosec 60° d) sin 45°.cos 45° + cos 60°

e) sin 30°.cos 30° + sin 60°.cos 60°

2. Tunjukkan bahwa :

(12)

3. Apakah 2.sin 30° = cos 60°?

5. Perbandingan trigonometri sudut – sudut berelasi

Perhatikan gambar di bawah ini :

Y+¿¿

II I

X−¿¿_X+¿ ¿

III IV

Y−¿ ¿

Besar sudut poitif di ukur berlawanan arah dengan perputaran jarum jam. Sudut selalu dihitung mulai dari sumbu X positif.

Bidang koordinat dibagi menjadi empat bagian yang disebut dengan kuadran

 Sudut yang terletak pada kuadran pertama adalah sudut yang besarnya antara 0°_dan 90°

 Sudut yang terletak pada kuadran kedua adalah sudut yang besarnya antara 90° dan 180°

 Sudut yang terletak pada kuadran ketiga adalah sudut yang besarnya antara 180° dan 270°

 Sudut yang terletak pada kuadran keempat adalah sudut yang besarnya antara 270° dan 360°

Bebarapa hal yang perlu dipahami dalam menentukan nilai perbandingan trigonometri suatu sudut yang berpangkal di O, berujung di titik (x,y) dan memiliki jari – jari r =

_√

x2+y2 adalah sebagai berikut :

(13)

 cos θ = x, yaitu perbandingan antara absis dengan jari – jarinya.

 sin θ = _xy, yaitu perbandingan antara ordinat dengan absisnya.

a. Perbandingan trigonometri sudut di kuadran pertama. Perhatikan gambar di bawah ini :

Y

P(x,y)

φ

r

θ X 0 P1 (r,0)

 sin θ = _ry Karena nilai x dan y semua positif di

 cos θ = _rx kuadran I, maka nilai sin θ, cos θ

 tg θ = _xy tg θ juga positif jika 0°

¿θ¿ 90°

Dari gambar juga diketahui bahwa sin φ = _rx , cos φ = _ry dan ctg φ = _xy ,

sehingga sin θ = cos φ , cos θ = sin φ dan tg θ = ctg φ

Karena φ = 90°_-_θ_{, diperoleh :}

Jadi jika θ pada kuadran I, dengan 0° ¿θ¿ 90°, maka,

tanda  cos (90°_-_θ_{) = sin}_θ_{atau cos (}π

2 – θ) = sin θ

 sin (90°_-_θ_{) = cos}_θ_{atau sin (}π

2 – θ) = cos θ

(14)

sin θ cos θ tg θ

Kuadran I + + +

Sudut θ dengan (90°_-_θ_{) dikatakan berpenyiku sesamanya.}

 sinus sebuah sudut = kosinus penyikunya

 kosinus sebuah sudut = sinus penyikunya

 tangen sebuah sudut = kotangen penyikunya

Contoh 7 :

Nyatakan perbandingan trigonometri berikut ini dalam perbandingan trigonometri sudut penyikunya.

a. sin 43° b. cos 21° c. tg 64°

d. ctg 15° e. sec 3°

f. cosec 37° Jawab :

a. sin 43° _{= sin(90−47)}° _{= cos 47}°

b. cos 21° = cos(90−69)°

= sin 69° c. tg 64°_{= tg(90−26)}° _{= ctg 26}°

d. ctg 15° = ctg(90−75)°

= tg 75° e. sec 3° = sec(90−87)°

= cosec 87° f. cosec 37° = cosec(90−53)°

= sec 53°

b. Perbandingan trigonometri sudut di kuadran kedua. Perhatikan gambar di bawah ini :

Y

P(x,y) P'₍_x'_,_y'₎ r (180°_-_θ_{) r}

(15)

Garis OP ada di kuadran kedua. OP dicerminkan terhadap sumbu Y. ∠ XO

P' = θ, maka ∠ XOP = (180°- θ). Titik P' adalah bayangan (peta) dari P karena pencerminan OP terhadap sumbu Y, maka kita dapatkan hubungan berikut :

x = - x' y = y'

sin θ = y_r' sin (180°_-_θ_{) = sin}_θ

sin (180°_-_θ_{) =}y

r = y

'

r

cos θ = x_r' cos (180°_-_θ_{) = - cos}_θ

cos (180°- θ) = _rx = - x_r'

tg θ = y '

x' tg (180

°_-_θ_{) = - tg}_θ

tg (180°_-_θ_{) =}y

x = - y

'

x'

Dari uraian di atas dapat disimpulkan :

Perbandingan trigonometri pada kuadran kedua juga dapat dinyatakan sebagai ( 90° + θ), sehingga :

Jadi jika θ pada kuadran II, dengan 9 0°

¿θ¿ 180°, maka,

 sin (180°- θ) = sin θ atau sin(π - θ) = sinθ  cos (180°- θ) = - cos θ atau cos(π - θ) = - cosθ  tg (180°- θ) = - tg θ atau tg(π - θ) = - tgθ

 Sin (90°₊_θ_{) = cos}_θ_{atau sin (}π

2 + θ) = cos θ

 cos (90°₊_θ_{) = - sin}_θ_{atau cos (}π

2 + θ) = - sin θ

(16)

tanda

sin θ cos θ tg θ

Kuadran II + -

-Sudut θ dengan (180°_-_θ_{) dikatakan berperlurus sesamanya.}

 sinus sebuah sudut = sinus pelurusnya

 kosinus sebuah sudut = - kosinus pelurusnya

 tangen sebuah sudut = - tangen pelurusnya

Contoh 8 :

Nyatakan perbandingan trigonometri berikut ini dalam perbandingan trigonometri sudut pelurusnya.

a. sin 111° b. cos 42° c. tg 162°

d. ctg 92° e. sec 73° f. cosec 175°

Jawab :

a. sin 111°_{= sin(180−69)}°_{= sin 69}° b. cos 42°_{= cos(180}₋₁₃₈₎°

= - cos 138° c. tg 162°_{= tg(180}₋₁₈₎°_{= - tg 18}° d. ctg 92°_{= ctg(180−88)}°_{= - ctg 88}°

e. sec 73° = sec(180−107)° = - cosec 107° f. cosec 175°_{= cosec(180−5)}°_{= cosec 5}°

c. Perbandingan trigonometri sudut di kuadran ketiga. Perhatikan gambar di bawah ini :

Y

P’(x’,y;)

(180°₊_θ_{) r}

θ

(17)

P(x,y)

Garis OP berada di kuadran ke tiga

(18)

Contoh 9 :

(19)

∠ XOP' = θ, maka ∠ XOP = (360°- θ). Titik P' adalah bayangan (peta) dari P karena pencerminan OP terhadap sumbu X, maka kita dapatkan hubungan berikut :

(20)

b. cos 333°_{= cos(360−27)}°

= cos 27° c. tg 292°_{= tg(360−68)}°

= - tg 68°

e. Perbandingan trigonometri untuk sudut negatif. Perhatikan gambar di bawah ini :

Y

P'₍_x'_,_y'₎

r

θ X 0 -θ 360°

r

P(x,y)

x' = x y' = y

Besar sudut (-θ) berarti besar sudut yang diukur searah perputaran jarum jam. Perhatikan gambar

sin (−θ) = _ry = −_ry' = - sin θ

cos ¿) = _rx = x

'

r = cos θ

tg ¿) = _xy = −y

'

x' = - tg θ

Contoh 11 :

(21)

Nyatakan perbandingan trigonometri berikut ini dalam perbandingan trigonometri sudut lancip.

a. sin (−60)° b. cos (−40)° c. tan (−300)°

Jawab :

c. sin (−60)°= - sin 60° d. cos (−40)° = cos 40° e. tan (−300)°

= −tan300°=−tan(3600−600)=−tan(−tan 600)=tan 600

f. Perbandingan trigonometri untuk sudut yang lebih dari 360°. Perhatikan gambar di bawah ini :

Y

P

r

θ 360°₊_θ_X 0

Karena besar sudut putaran 360°_{maka sudut yang lebih dari 360}°_{misalnya (360}°₊

θ) akan sama dengan θ.

Contoh 12 :

 sin (k.360°

+¿θ) = sin θ atau sin (k.2π + θ) = sin θ

 cos (k.360°

+¿θ) = cos θ atau cos(k.2π + θ) = cos θ

 tg (k.360°

+¿θ) = tg θ atau tg (k.2π + θ) = tg θ

(22)

Nyatakan perbandingan trigonometri berikut ini dalam perbandingan trigonometri

2. Nyatakan perbandingan trigonometri berikut ini dalam perbandingan trigonometri sudut pelurusnya.

3. Nyatakan perbandingan trigonometri berikut ini dalam perbandingan trigonometri sudut lancip.

(23)

a. sin (−102)° b. cos (−55)° c. tg (−262)°

a. sin 2000° b. cos 675° c. tg 432°

d. sin 710° e. cos 622° f. tg 900°

7. a. Jika θ sudut di kuadran keempat dan cosθ=3₄ , tentukan nilai dari sin θ dan tan θ

b. Diketahui cosθ=−1₃ , dan θ sudut di kuadran kedua. Tentukanlah sin θ dan cos θ di

kuadran pertama.

5. Penerapan trigonometri dalam bidang keahlian

Contoh 13:

Elfrida berdiri 8 meter dari pohon cemara yang tingginya 9,5 meter. Jika tinggi elfrida 1,5 meter. Tentukan perbandingan trigonometri untuk sudut α.

Jawab :

a. Diketahui :

B

9,5 m A α C

1,5 m

D E 8 m AE = CD = 1,5 m

AC = ED = 8 m

(24)

Maka AB =

_√

AC2+BC2

Suatu tangga panjangnya 12 meter, disandarkan pada dindig sebuah rumah. Sudut yang dibentuk tangga dan tanah sebesar 60°_{. Tentukan tinggi dinding dari tanah.}

(25)

Latihan 5

1. Dony mengamati bahwa sudut elevasi dari gedung di depannya adalah 350_{, jika tinggi}

gedung 30 m dan tinggi Dony 170 cm, tentukan jarak Dony terhadap gedung tersebut.

2. Seorang ahli pertamanan berdiri dengan jarak 20 meter dari sebuah pohon dan melihat puncak pohon dengan sudut 300_{terhadap horizontal. Tentukan tinggi pohin}

(26)

INDIKATOR

6.2.1. Mengkonversikan koordinat kartesius ke koordinat kutub 6.2.2. Mengkonversikan koordinat kutub ke koordinat kartesius

1. Siswa mampu mendefefinisikan koordinat kartesius 2. Siswa mampu mendefefinisikan koordinat kartesius

3. Siswa mampu mengkonversikan koordinat kartesius ke koordinat kutub 4. Siswa mampu mengkonversikan koordinat kutub ke koordinat kartesius

WAKTU

KOMPETENSI DASAR

(27)

B. KOORDINAT KARTESIUS DAN KOORDINAT KUTUB

1. Pengertian koordinat kutub suatu titik

Kita mengetahui bahwa kedudukan atau letak suatu titik pada bidang X-Y dapat disajikan dengan koordinat kartesius

Y

P(x,y) Koordinat karteius titip P, Dengan absis x dan ordinat y r y Koordinat kartesius titik P adalah (x,y)

X 0 x

Letak titik P pada bidang X-Y dapat pula disajikan dengan menggunakan koordinat kutub P(r, α°)

Y

P(r, α°) r = OP = jarak titik O ke P

α° menyatakan besar sudut r yang dibentuk oleh OP dengan

α° X Sumbu X positif atau α° = ∠ XOP

Contoh 15

(28)

P

3 Q 2

60°_{X 135}°_X 0 0

(a) (b) Jawab :

a. P (3, 600₎

b. Q (2, 1350₎

2. Hubungan koordinat kartesius dengan koordinat kutub

Perhatikan gambar di bawah ini :

Y Y

P(x,y) P(r,α°)

y r y

X α° X 0 x 0 x

Dari gambar di atas dapat dinyatakan :

Apabila koordinat kutub titik P(r,α°_{) diketahui, koordinat kartesius titik P(x,y) dapat} ditentukan dengan menggunakan hubungan :

sin α° = _ry ↔ y = r sin α°

cos α°₌x

r ↔ x = r cos α°

Sebaliknya, apabila koordinat kartesius titik P(x,y) diketahui, koordinat kutub titik P(r,

α°) dapat ditentukan dengan menggunakan hubungan

(29)

Contoh 16 :

Nyatakan koordinat kutub berikut ini ke dalam koordinat kartesius. a). A(8,30¿¿°)¿

b). B(6,135¿¿°)¿

Jawab :

a. A(8,30¿¿°)¿, maka r = 8 dan α°= 30° . Dengan menggunakan hubungan

x = r cos α° = 8 cos 30°_{= 8 .}1

2 √3 = 4 √3

y = r sin α°_{= 8 sin 30}°_{= 8 .}1

2 = 4

Jadi koordinat kartesius titik A adalah (4 √3 , 4)

b. B(6,135¿¿°)¿ , maka r = 6 dan α°= 135°. Dengan menggunakan hubungan

x = r cos α°_{= 6 cos 135}°_{= 6 cos (90+}₄₅₎°

= 6. (-sin45°

¿= 6 . −1₂ √2 = - 3 √2

y = r sin α° = 6 sin 135° = 6 sin (90+45)°

= 6 cos 45° = 6 .1₂ √2 = 3 √2

Jadi koordinat kartesius titik B adalah (-3 √2 , 3 √2 )

Contoh 17 :

Nyatakan koordinat kartesius berikut ini ke dalam koordinat kutub: a) P (3,4)

b) Q (-2,3)

Jawab :

a). P (3,4), maka x = 3 dan y = 4, dengan menggunakan hubungan r =

_√

x2

+y2 =

_√

32+42 = √9+16 = √25 = 5

tg α° = _xy = 4₃ = 1,333 , dengan table diperoleh α° = 53,1°

(30)

b). Q (-2,3), maka x = -2 dan y = 3, dengan menggunakan hubungan r =

_√

x2+y2 =

_√

(−2)2+32 = √4+9 = √13 = 3,61

tg α° = _xy = −3₂ = -1,5 , dengan table diperoleh α° = 123,7°

Jadi koordinat titik Q adalah (3,61, 123,7°₎

Latihan 6

1. Nyatakan koordinat kutub berikut ini ke dalam koordinat kartesius. a. A(5, 30°)

b. B(3, 450₎

c. C(6, 600₎

d. D(5, 1200₎

2. Nyatakan koordinat kartesius berikut ini ke dalam koordinat kutub: a. P (1 , 1)

b. Q (1 ,√3)

c. R (−√3 , 3)

d. S (5, −5)

3. Seseorang berjalan lurus dari sebuah tempat dalam arah 65°_{Utara dari Timur.} Kecepatan rata – rata perjalanan orang itu sama dengan 10 meter/menit. Setelah 5 menit berjalan, orang itu berhenti,. Hitunglah :

a) Jarak yang ditempuh

(31)

INDIKATOR

6.3.1. Menyebutkan rumus aturan sinus dalam sebuah segitiga 6.3.2. Menyebutkan rumus aturan kosinus dalam sebuah segitiga 6.3.3. Menggunakan aturan sinus dalam sebuah segitiga

6.3.4. Menggunakan aturan kosinus dalam sebuah segitiga 6.3.5. Menerapkan aturan sinus dalam program keahlian 6.3.6. Menerapkan aturan kosinus dalam program keahlian.

1. Siswa mampu menggunakan aturan sinus dalam sebuah segitiga 2. Siswa mampu menggunakan aturan kosinus dalam sebuah segitiga

WAKTU

KOMPETENSI DASAR

(32)

C. ATURAN SINUS DAN ATURAN KOSINUS

1. Aturan Sinus

Pengertian dan penggunaan dari aturan sinus.

Jika diberikan sebuah segitiga ABC sembarang yang diketahui ukuran dua sudut dan sebuah sisinya atau panjang dua buah sisi dan salah satu sudut di depan sisi tersebut, maka dapat ditentukan ukuran dua sudut yang lain atau ukuran dua sisi yang lainnya dengan menggunakan aturan sinus

Perhatikan segitiga ABC di bawah ini: C a

B

B c

A

Hubungan sisi dan sudut pada segitiga sembarang ABC dapat dinyatakan sebagai berikut :

Contoh 18.

1. Diketahui segitiga ABC dengan ∠ A = 38°_,_∠_{B = 64}°_{dan sisi b = 5.} Hitunglah :

a) ∠ C

b) Panjang sisi a dan c

(33)

Jawab :

C

b = 5

38°₆₄° A c B

a) ∠ C = 180°_{- (}_∠_{A +}_∠_B) = 180°_{- (38}°_{+ 64}°₎ = 180°_{- 102}°

∠ C = 78°

b) Panjang sisi a dan c ditentukan dengan aturan sinus Panjang sisi a:

a

sinA = sinbB

a = _sinb_B x sin A

a = _{sin 64}5 ° x sin 38°

a = ₀_,₈₉₈₈5 x 0,6157

a = 3,4

Panjang sisi c:

b

sinB = sincC

c = _sinb_B x sin C

c = _{sin 64}5 ° x sin 78°

c = ₀_,₈₉₈₈5 x 0,9871

c = 5,4

Contoh 19.

Diketahui segitiga ABC dengan ∠ C = 54°_{, sisi b = 6 dan sisi c = 8. Hitunglah}_∠ B

Jawab :

C 54°

b = 6 a

(34)

Besar sudut B

b

sinB = sincC

sin B = b xsin_c C

sin B = 6xsin 54₈ °

sin B = 6x0,8090₈

sin B = 0,6067 ∠ B = 37,4°

Latihan 7

1. Dalam tiap segitiga ABC berikut diketahui tiga buah unsur. Hitung panjang sisi yang diminta dengan ketelitian sampai 1 tempat desimal.

a) ∠ A = 30°_,_∠_{C = 120}°_{dan c = 6, hitunglah sisi a dan b} b) ∠ B = 70°_,_∠_{C = 67}°_{dan b = 10, hitunglah sisi a dan c} c) ∠ B = 49°_,_∠_{C = 121}°_{dan a = 8, hitunglah sisi b dan c}

2. Dalam tiap segitiga ABC berikut diketahui tiga buah unsur. Hitunglah besar sudut yang diminta dengan ketelitian sampai 1 tempat desimal.

a) a = 8 , c = 12 , ∠ C = 50°_{. Hitunglah}_∠_{A dan}_∠_B b) b = 15 , c = 12 , ∠ B = 64°_{. Hitunglah}_∠_{A dan}_∠_C c) a = 20 , b = 10 , ∠ A = 50°_{. Hitunglah}_∠_{B dan}_∠_C

2. Aturan Kosinus

Pengertian dan penggunaan dari aturan kosinus.

Ada kemungkinan lain bahwa pada suatu segitiga sembarang ABC hanya diketahui ukuran sebuah sudut dan panjang dua sisi yang mengapitnya. Maka panjang sisi yang lain dapat ditentukan dengan menggunakan aturan kosinus.

Perhatikan segitiga ABC di bawah ini: B

c a x

(35)

Hubungan sisi dan sudut pada segitiga sembarang ABC dapat dinyatakan sebagai berikut :

Contoh 20.

Diketahui segitiga ABC dengan sisi b = 5, sisi c = 6 dan ∠ A = 52°_{, Hitunglah} panjang sisi a:

Jawab :

C

b = 5 a

52°

A c = 6 B aturan kosinus pada segitiga ABC adalah :

a2 = b2 + c2 - 2bc cos A

a2 = 52_{+ 6}2_{– (2 x 5 x 6 x cos 52}°₎

a2 = 25 + 36 – (60 x 0,6157)

a2 = 61 – 36,9

a2 = 24,1 a = √24,1

a = 4,91

Contoh 21.

Diketahui segitiga ABC dengan sisi a = 4,12, sisi c = 6,49 dan ∠ B = 113°_, Hitunglah panjang sisi b:

Jawab : C

a2 = b2 + c2 - 2bc cos A

b2 = a2 + c2 - 2ac cos B

(36)

b a = 4,12

113° A c = 6,49 B

b2₌_a2₊_c2_{- 2ac cos B}

b2 = (4,12)2_{+ (6,49}

)2 – (2 x 4,12 x 6,49 x cos 113°)

b2_{= 16,97 + 42,12 – (8,24 x 6,49 x (- cos 67}°₎₎

b2_{= 16,97 + 42,12 + (8,24 x 6,49 x cos 67}°₎

b2 = 16,97 + 42,12 + 20,89

b2 = 79,98 b = √79,98

b = 8,94

Contoh 22.

Diketahui segitiga ABC dengan sisi a = 7 , sisi b = 8 dan sisi c = 9. Hitunglah besar sudut A, B dan C

Jawab:

Besar sudut A, dari rumus

a2 = b2 + c2 - 2bc cos A

cos A = b2+₂c_bc2−a2

cos A = 82+9_2.8.92−72

cos A = 64+₁₄₄81−49

cos A = ₁₄₄96

cos A = 0,6666 A = 48,2°

Besar sudut B, dari rumus

b2 = a2 + c2 - 2ac cos B

cos B = a2+₂c_ac2−b2

cos B = 72+9_{2.7 .9}2−82

cos B = 49+81−64₁₂₆

cos B = ₁₂₆66

cos B = 0,5238 B = 58,4°

Besar sudut C,

(37)

∠ C = 73,4° Latihan 8

Dalam tiap segitiga ABC berikut diketahui tiga buah unsur. Hitung panjang sisi ketiga dengan ketelitian sampai 1 tempat desimal.

1. a = 6, b = 8 dan ∠ C = 49° 2. a = 6,1 , c = 7,4 dan ∠ B = 104° 3. b = 12, c = 14 dan ∠ A = 74°

3. Penerapan Aturan Sinus dan Aturan Kosinus

Aturan Sinus : _sina_A = _sinb_B = _sinc_C

a2₌_b2₊_c2_{- 2bc cos A}

b2₌_a2₊_c2_{- 2ac cos B Aturan Kosinus}

c2 = a2 + b2 - 2ab cos C

Contoh 23.

Ali, Bio dan Carli bermain disuatu lapangan yang datar. Jarak Boi dan Carli 10 m, besar sudut yang dibentuk Boi, Carli dan Ali adalah 42°, sudut yang dibentuk oleh Boi, Ali dan Carli adalah 74°. Carilah jarak Ali dari Boi dan dari Carli.

Jawab : A

B

10 m C Jarak Ali dan Bio = AB

Jarak Bio dan Carly = BC = 10 m Jarak Ali dan Carly = AC

∠B=1800−∠A−∠C

∠B=1800−740−420 ∠B=640

Jarak Ali dari Bio = AB

AB

sinC=sinBCA

Jarak Ali dari Carly = AC

AC

(38)

AB

(39)

Perhatikan △ BCD

sin 390 =CD_BD

CD=BDsin 390

CD=7,05x(0,6293)

CD=4,44m

INDIKATOR

6.4.1.Menyebutkan rumus luas segitiga dengan menggunakan aturan sinus 6.4.2.Menentukan luas segitiga dengan menggunakan aturan sinus

1. Siswa mampu menentukan luas segitiga dengan menggunakan aturan sinus

WAKTU

KOMPETENSI DASAR

(40)

D. LUAS SEGITIGA

Luas segitiga dengan menggunakan aturan sinus Perhatikan segitiga ABC di bawah ini:

B

c a

A D C x

Luas segitiga ABC = alas .tinggi₂ = b . x₂ = b . c sinA₂

Jadi L Δ ABC = 1₂ bc sin A

Dengan menggunakan alas dan garis tinggi yang lain , diperoleh :

Contoh 25

Hitunglah luas segitiga ABC jika a = 4 cm, b = 6 cm dan ∠ C = 30°

Jawab :

L Δ ABC = 1₂ bc sin A

L Δ ABC = 1₂ ac sin B

(41)

Diketahui segitiga ABC jika a = 4 cm, b = 6 cm dan ∠ C = 30° .

L Δ ABC = 1₂ ab sin C

L Δ ABC = 1₂ x 4 x 6 x sin 30°

L Δ ABC = 1₂ x 4 x 6 x 1₂

L Δ ABC = 6 cm2

Contoh 26 .

Pada jajaran genjang ABCD, diketahui AB = 8 cm, AD = 6 cm dan ∠ BAD = 60°_. Hitunglah luas jajaran genjang itu!

Jawab :

Diketahui : D C

6

A 8 B

L Δ ABD = 1₂ x AB x AD x sin ∠ BAD

L Δ ABD = 1₂ x 8 x 6 x sin 60°

L Δ ABD = 1₂ x 8 x 6 x 1₂√3

L Δ ABD = 12√3 cm2

Karena Δ CDB kongruen (sama dan sebangun) dengan Δ ABD, maka luas Δ CDB = luas Δ ABD = 12√3 cm2

Jadi, luas jajaran genjang ABCD = luas Δ ABD + luas Δ CDB = 12√3cm2 + 12√3cm2

(42)

3 cm Contoh 27.

Hitunglah luas Δ ABC, jika diketahui ∠ A = 42°_{, ∠ B = 56}°_{dan sisi c = 8 cm.} Jawab :

∠ C = 180°_{- (}_∠_{A +}_∠_B) ∠ C = 180°_{- (42}°_{+ 56}°₎ ∠ C = 82°

L = c2x₂sin_x_sinA x_CsinB= 8

2_x_{sin 42}°_x_{sin 56}°

2xsin 82°

L = 64x0,6691₂_x_{0, 1392}x0,5592= 104,8 cm2

Latihan 9

1. Hitunglah luas segitiga di bawah ini

5 cm

300

3 cm

2. Luas segitiga ABC pada gambar di bawah ini adalah B

A 1 cm C

3. Diketahui Δ ABC dengan a = 2, b = 3, c = 4. Luas segitiga ABC = …… satuan luas.

4. ABCD adalah segiempat talibusur dengan Ab = 1 cm, BC = 2 cm, CD = 3 cm, dan