Pembahasan Soal Ujian Nasional Trigonometri

(1)

PEMBAHASAN SOAL UJIAN NASIONAL

TRIGONOMETRI

Updated by Admin Bahan Belajar Sekolah

HOME » BAHAN BELAJAR MATEMATIKA » TRIGONOMETRI » UJIAN NASIONAL » PEMBAHASAN SOAL UJIAN NASIONAL TRIGONOMETRI

Model soal trigonometri yang sering keluar dalam ujian nasional antara lain : menentukan nilai perbandingan trigonometri (sin, cos, tan, cosec, sec, dan cot) sudut

istimewa, menentukan nilai

perbandingan trigonometri suatu sudut bila diketahui beberapa nilai perbandingan trigonometri sudut tertentu, menentukan jumlah, selisih, dan hasil kali perbandingan

trigonometri suatu sudut. Konsep dasar yang harus dipahami untuk menyelesaikan soal-soal tersebut antara lain konsep perbandingan trigonometri sudut istimewa, perbandingan trigonometri sudut berelasi, rumus penjumlahan trigonometri, dan konsep perkalian trigonometri.

Ujian Nasional Matematika - Trigonometri

Kumpulan soal

1. (UJIAN NASIONAL 2005/2006) Nilai sin 105o_{+ cos 15}o_{adalah ...}

A. ½ (-√6 - √2) B. ½ (√3 - √2) C. ½ (√6 - √2) D. ½ (√3 + √2) E. ½ (√6 + √2) Pembahasan :

sin 105o + cos 15o = sin (90o + 15o) + cos 15o sin 105o + cos 15o = cos 15o + cos 15o sin 105o_{+ cos 15}o_{= 2 cos 15}o

sin 105o + cos 15o = 2 cos (45o-30o)

sin 105o_{+ cos 15}o_{= 2 (cos 45}o_{cos 30}o_{+ sin 45}o_{sin 30}o₎

sin 105o_{+ cos 15}o_{= 2 (½√2. ½√3 + ½√2 . ½)} sin 105o + cos 15o = ½√6 + ½√2 -32% -32% -67% -67% -67% Rp350.000 Rp170.000 Rp170.000 Rp195.000 Rp185.000 Rp185.000 Search here...

(2)

Pilih Bahasa

Diberdayakan oleh terjemahan sin 105o + cos 15o = ½ (√6 + √2) ---> opsi E

2. (UJIAN NASIONAL 2005/2006)

Diketahui cos (x-y) = 4/5 dan sin x. sin y = 3/10. Nilai tan x. tan y = ... A. -5/3 B. -4/3 C. -3/5 D. 3/5 E. 5/3 Pembahasan : cos (x-y) = 4/5

cos x cos y + sin x sin y = 4/5 cos x cos y + 3/10 = 4/5 cos x cos y = 4/5 - 3/10 cos x cos y = 1/2

tan x . tan y = (sin x/ cos x) . (sin y/ cos y) tan x . tan y = (sin x. sin y) / (cos x cos y) tan x . tan y = (3/10) / (1/2)

tan x . tan y = (3/10) (2) tan x . tan y = 6/10

tan x . tan y = 3/5 ---> opsi D.

Nilai dari cos 40o_{+ cos 80}o_{+cos 160}o_{adalah ...}

A. -½√2 B. -½ C. 0 D. ½ E. ½√2 Pembahasan :

Agar lebih mudah, tentukan masing-masing terlebih dahulu. cos 40o = cos (30o + 10o)

cos 40o = cos 30o cos 10o - sin 30o sin 10o cos 40o_{= ½√3. cos 10}o_{- ½ sin 10}o

cos 80o = cos (90o - 10o)

cos 80o_{= cos 90}o_{cos 10}o_{+ sin 90}o_{sin 10}o

cos 80o_{= 0. cos 10}o_{+ 1 sin 10}o

(3)

cos 160o_{= cos (150}o_{+ 10}o₎

cos 160o = cos 150o cos 10o - sin 150o sin 10o cos 160o = - ½√3. cos 10o - ½ sin 10o

Maka diperoleh:

cos40o + cos80o + cos160o = ½√3.cos10o - ½sin10o + sin10o + (-½√3.cos10o -½sin10o)

cos40o_{+ cos80}o_{+ cos160}o_{= ½√3.cos10}o_{- ½sin10}o_{+ sin10}o_{- ½√3.cos10}o

-½sin10o

cos40o + cos80o + cos160o = sin10o - sin10o cos40o_{+ cos80}o_{+ cos160}o_{= 0 ---> opsi C.}

Jika sudut α dan β lancip, sin α = 3/5 dan sin β = 7/25, maka cos (α + β) adalah ... A. 3/4 B. 5/3 C. 3/5 D. 4/5 E. 5/4 Pembahasan :

cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β

Karena cos β dan cos α belum diketahui, maka kita harus mencarinya terlebih dahulu. Dari identitas trigonometri sin2_{x + cos}2_{y = 1, diperoleh :}

sin2 α + cos2 α = 1 (3/5)2 _{+ cos}2_{α = 1} cos2_{α = 1 - 9/25} cos2 α = 16/25 cos α = 4/5 sin2_{β + cos}2_{β = 1} (7/25)2 + cos2 β = 1 cos2 β = 1 - 49/625 cos2_{β = 576/25} cos β = 24/25

cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β cos (α + β) = (4/5. 24/25) - (3/5. 7/25)

(4)

cos (α + β) = 96/125 - 21/125 cos (α + β) = 75/125

cos (α + β) = 3/5 ---> opsi C

Jika tan α = 1 dan tan β = 1/3 dengan sudut lancip, maka sin (α - β) = ... A. 2/3√5 B. 1/5√5 C. ½ D. 2/5 E. 1/5 Pembahasan :

Karena sudut lancip, maka : tan α = 1 ---> sin α = cos α = ½√2

tan β = 1/3 ---> sin β = (√10) /10 dan cos β = (3√10) /10 sin (α - β) = sin α cos β - cos α sin β

sin (α - β) = {½√2 . (3√10) /10} - {½√2 . (√10) /10} sin (α - β) = {(3√20) /20} - {(√20) /20} sin (α - β) = (3√20 - √20) /20 sin (α - β) = (2√20) /20 sin (α - β) = {2√(4.5)} /20 sin (α - β) = (4√5) /20 sin (α - β) = (4/20)√5 sin (α - β) = 1/5√5 ---> opsi B 6. (UJIAN NASIONAL 2008/2009)

Diketahui sin α = 1/5√13, α lancip. Nilai cos 2α adalah ... A. -1 B. - ½ C. -1.5 D. -1/25 E. 1 Pembahasan : cos 2α = 1 - 2 sin2 α cos 2α = 1 - 2 (1/5√13)2 cos 2α = 1 - 2 (13/25) cos 2α = 1 - 26/25 cos 2α = -1/25 ---> opsi D

(5)

Nilai dari (sin 27o_{+ sin 63}o_{) / (cos 138}o_{+ cos 102}o_{) adalah ...}

A. -√2 B. - ½√2 C. 1 D. ½√2 E. √2 Pembahasan :

(sin 27o + sin 63o) / (cos 138o + cos 102o)

= {2 sin ½(27o + 63o) . cos ½(27o - 63o)} / {2 sin ½(138o + 102o) . cos ½(138o -102o_)}

Karena cos(-α) = cos α maka :

(sin 27o + sin 63o) / (cos 138o + cos 102o) = {2 sin 45o_{. cos (- 18}o_{)} / {2 sin 120}o_{. cos 18}o_}

= {2 (½√2) . cos 18o_{} / {2 (-½) . cos 18}o_}

= √2 / -1 = -√2 ---> opsi A.

Diketahui tan α tan β = 1/3, dan cos α . cos β = 48/65 (α, β lancip). Nilai sin (α -β) adalah ... A. 63/65 B. 33/65 C. 26/65 D. 16/48 E. 16/65 Pembahasan : tan α - tan β = 1/3

(sin α / cos α) - (sin β / cos β) = 1/3 ---> samakan penyebut (sin α .cos β - cos α .sin β ) / (cos α .cos β) = 1/3

{sin (α - β)} / 48/65 = 1/3 sin (α - β) = 1/3 (48/65) sin (α - β) = 16/65 ---> opsi E.

Nilai dari (cos 140o_{+ cos 100}o_{) / (sin 140}o_{- sin 100}o_{) adalah ...}

A. -√3 B. - ½√3 C. ½√3

(6)

D. 1/3√3 E. √3

Pembahasan :

(cos 140o + cos 100o) / (sin 140o - sin 100o)

= {-2 sin ½(140o_{+ 100}o_{) . sin ½(140}o_{- 100}o_{)} / {2 cos ½(140}o_{+ 100}o_{) . sin}

½(140o_{- 100}o_)}

= {-2 sin ½(140o + 100o) . sin ½(140o - 100o)} / {2 cos ½(140o + 100o) . sin ½(140o - 100o)} = -2 sin 120o_{/ 2 cos 120}o = - sin 120o / cos 120o = - tan 120o = - (-√3) = √3 ---> opsi E. 10. (UJIAN NASIONAL 2011/2012) Nilai dari sin 75o - sin 165o adalah ... A. -¼√3 B. ¼√3 C. ¼√6 D. ½√2 E. ½√6 Pembahasan :

sin 75o_{- sin 165}o_{= 2 cos ½(75}o_{+ 165}o_{) . sin ½(75}o_{- 165}o₎

sin 75o_{- sin 165}o_{= 2 cos 120}o_{. sin (- 45}o₎

Karena sin (-a) = - sin a, maka :

sin 75o_{- sin 165}o_{= 2 cos 120}o_{. sin (- 45}o₎

sin 75o_{- sin 165}o_{= 2 cos 120}o_{. (-sin 45}o₎

sin 75o - sin 165o = - 2 cos 120o . sin 45o Untuk mencari cos 120o_{dapat digunakan :}

cos 120o_{= cos (180}o_{- 60}o_{) = - cos 60}o

Maka diperoleh :

sin 75o - sin 165o = - 2 cos (180o - 60o) . sin 45osin 75o - sin 165o = - 2 (- cos 60o) . sin 45o

sin 75o_{- sin 165}o_{= 2 (½) .(½√2)}

(7)

Pembahasan Soal Ujian Nasional Trigonometri