ANALISIS POSTOPTIMAL/SENSITIVITAS
Dalam sub bab ini kita akan mempelajari apakah solusi optimal
akan berubah jika terjadi perubahan parameter model awal. Jika solusi
optimal berubah, dapatkah kita menghitung solusi optimal baru tanpa
harus menyelesaikan permasalahan secara lengkap sebagai
permasalahan baru? Kita akan temukan dalam banyak kasus, solusi
optimal baru dapat diperoleh tanpa usaha perhitungan tambahan yang
terlalu banyak.
Dasar analisis optimal terletak pada penyelidikan tabel simpleks
umum dalam bentuk matriks. Perubahan parameter model awal dapat
mempengaruhi optimalitas maupun kelayakan. Perubahan yang terjadi
dan pengaruhnya terhadap optimalitas dan kelayakan adalah sebagai
berikut:
1.Perubahan yang hanya mempengaruhi optimalitas:
a. Perubahan pada koefisien fungsi tujuan (CI, CII).
b. Perubahan penggunaan sumber daya aktivitas non basis.
c. Penambahan aktivitas baru
2.Perubahan yang hanya mempengaruhi kelayakan:
a. Perubahan pada nilai kanan (solusi) b.
b. Penambahan batasan baru
3.Perubahan simultan (CI, CII) dan b akan mempengaruhi baik
optimalitas maupun kelayakan.
Perhitungan yang dibutuhkan untuk mendapatkan solusi optimal
masing-masing kategori di atas adalah:
1.Jika tabel menjadi tidak optimal, gunakan metode primal
simpleks sampai diperoleh tabel optimal baru.
2.Jika tabel menjadi tidak layak, gunakan metode dual simpleks
sampai solusi layak diperoleh.
3.Jika tabel menjadi tidak optimal sekaligus tidak layak,
ketidaklayaknnya. Setelah solusi optimal diperoleh, gunakan
metode dual simpleks untuk mendapatkan solusi optimal
layak.
PERUBAHAN YANG MEMPENGARUHI OPTIMALITAS
Berdasarkan definisi tabel simpleks umum, perubahan (CI, CII)
hanya membutuhkan perhitungan ulang baris tujuan tabel optimal.
Sebagai contoh, model awal permasalahan PL adalah:
Maksimumkan z = 2x1 + 3x2
Terhadap :
10x1 + 5x2 ≤ 600
6x1 + 20x2 ≤ 600
8x1 + 15x2 ≤ 600
x1, x2 ≥ 0
Solusi optimalnya adalah:
VB X1 X2 X3 X4 X5 solusi
z 0 0 0 1/3 11/45 126.67
X3 0 0 1 -5/3 -17/9 166.7
X2 0 1 0 0 -1/5 20
X1 1 0 0 1/6 2/9 100/3
Setelah beberapa lama, fungsi tujuan berubah menjadi maksimumkan
4x1 + 4x2. Perubahan ini dapat mengakibatkan ketidakoptimalan; oleh
karena itu, yang harus kita lakukan adalah memeriksa syarat optimal.
Dari tabel optimal di atas kita dapatkan:
XB = [x3 x2 x1] CB = [0 4 4] B-1 =
Dari formulasi matematik Plnya kita dapatkan: Y = [y1 y2 y3]
= [0 2/3 4/45]
Berikutnya kita menghitung koefisien baris z untuk vektor yang bukan
vektor basis. Dalam hal ini adalah vektor P4 dan P5.
z4 – c4 = YP4 – c4 = [0 2/3 4/45] - 0 = 2/3
z5 – c5 = YP5 – c5 = [0 2/3 4/45] - 0 = 4/45
Karena koefisien fungsi tujuan (vektor non basis) semua masih bernilai
positif dan fungsi tujuan adalah maksimisasi, maka perubahan koefisien
fungsi tujuan tersebut tidak merubah solusi optimal yang sudah ada,
yaitu x1 = 100/3; x2 =20. Nilai yang berubah hanyalah nilai z, karena
perubahan koefisien. Nilai z (keuntungan maksimum) menjadi 4 x
100/3 + 4 x 20 = 213 .333.
Perhatikan, jika koefisien fungsi tujuan itu setelah beberapa lama
berubah menjadi 3x1 + 6x2. Nilai Y berbeda dengan nilai di atas, yaitu:
Y = CBB-1 = [0 6 3]
Berdasarkan perhitungan di atas, tabel menjadi tidak optimal dan vektor
P5 menjadi vektor masuk. Lanjutkan dengan simpleks yang direvisi
untuk mementukan solusi optimal.
Karena dari perhitungan di atas kita sudah mendapatkan vektor masuk,
maka selanjutnya adalah menentukan vektor keluar.
¾ XB = B-1b = = [-6400/3 -120 700/3]T
¾ α5 = B-1P5 = = [-17/9 -1/5
2/9]T
¾ θ = 1050
E =
B-1next = EB-1
Kembali menentukan vektor masuk sekaligus memeriksa syarat
optimalitas. Basis pada iterasi ini adalah P3, P2 dan P5.
Y = CBB-1 = [0 6 0]
Perubahan penggunaan sumber daya oleh aktivitas hanya akan
mempengaruhi opimalitas, karena perubahan itu akan mempengaruhi
sisi kiri pembatas dualnya. Perubahan penggunaan sumber daya ini
kita batasi hanya untuk aktivitas non basis. Perubahan penggunaan
sumber daya aktivitas basis akan mempengaruhi invers dan
mengarahkan perhitungan yang sangat kompleks.
Misalkan untuk kasus di atas, setelah beberapa lama terjadi
perubahan penggunaan sumber daya pertama, kedua dan ketiga oleh
aktivitas 1 berubah dari 10, 6 dan 8 ke 8, 7 dan 9 secara berturut-turut.
Batasan dual yang sesuai untuk perubahan itu adalah:
8y1 + 7y2 + 9y3 ≤ 2
Faktor terakhir yang akan kita pelajari yang dapat mempengaruhi
optimalitas adalah penambahan aktivitas baru. Misalkan untuk kasus
di atas, setelah beberapa lama perusahaan memproduksi produk 3 (x6)
menggunakan fasilitas produksi yang sama. Model matematik umum
PL-nya menjadi:
Maksimumkan z = 2x1 + 3x2 + x6
Terhadap :
6x1 + 20x2 + x6 ≤ 600
8x1 + 15x2 + x6 ≤ 600
x1, x2, x6 ≥ 0
Penambahan aktivitas baru sama dengan mengkombinasikan
analisis perubahan pada tujuan dan koefisien kendala (penggunaan
sumber daya). Kita dapat membayangkan x6 seolah-olah bagian dari
model awal dengan semua koefisien bukan nol, dengan kata lain, x6
adalah non basis. Hal pertama yang harus kita lakukan adalah
memeriksa batasan dual yang sesuai:
2y1 + y2 + y3 ≥ 1
Karena x6 berfungsi sebagai variabel non basis pada solusi awal
(tabel awal simpleks), maka nilau dual tidak berubah. Oleh karena itu
koefisien x6 dalam tabel optimalnya adalah:
2(0) + 1/3 + 11/45 – 1 = -19/45
Angka ini menunjukkan bahwa solusi optimal saat ini akan lebih
baik jika x6 bernilai positif. Tabel optimal saat ini dimodifikasi dengan
menambahkan satu kolom x6 dengan koefisien pada baris znya adalah
-19/45. Koefisien pembatasnya dihitung dengan cara berikut:
B-1P6 = (1 -5/3 -17/9 (2
0 0 -1/5 1
0 1/6 2/9 1
= [-14/9 -1/5 7/18]T
Lanjutkan iterasi, maka akan didapatkan seperti tabel simpleks di
X3 4 0 0 1 -1 -1 300.01
X2 18/35 1 0 0 3/35 -3/35 37.14
X6 18/7 0 1 0 6/14 4/7 85.7
PERUBAHAN YANG MEMPENGARUHI KELAYAKAN
Dua faktor yang dapat mempengaruhi kelayakan solusi tabel
simpleks, yaitu perubahan pada nilai kanan (vektor b) dan penambahan
pembatas baru.
Misalkan untuk kasus di atas (kasus 2.5), jam kerja mesin
pertama berubah dari 600 ke 580 menit dan mesin kedua dari 600 ke
575 menit, karena kedua mesin harus mendapatkan perawatan rutin per
hari selama 20 dan 25 menit secara berturut-turut. Karena perubahan
nilai kanan hanya akan mempengaruhi kelayakan, maka kita akan
menghitung nilai XB [x3 x2 x1]
XB = B-1b = [ -1511.6633 -120 1375/6]T
Karena nilai x3 dan x2 menjadi negatif, maka iterasi kita teruskan
dengan nilai kanan variabel basis sama nilai XB di atas.
VB X1 X2 X3 X4 X5 solusi
Tabel sudah optimal pada iterasi pertama.
Perubahan yang terjadi pada kasus di atas ada pada ketersediaan
sudah berkurang. Bagaimana jika terjadi penambahan batasan baru,
misalnya permintaan terhadap produk yang dihasilkan yang tadinya
tidak dibatasi menjadi terbatas (baik bataasan =/≤/≥)? Penambahan
batasan baru ini juga akan mempengaruhi kelayakan tabel simpleks.
Misalkan untuk kasus di atas, setelah beberapa lama perusahaan
dapat menjalin kerja sama dengan salah satu distributor. Distributor
sudah menyepakati untuk disuplai produk 2 maksimum 50 unit setiap
hari. Karena kontrak yang ditandatangani mengatakan bahwa produk 2
hanya akan dijual ke distributor tersebut, maka permasalahan optimasi
ini mendapatkan satu kendala baru, yaitu:
x2 ≤ 50
Batasan baru ini tidak dipenuhi tabel simpleks optimal di atas,
dimana pada tabel optimal tersebut nilai x2 (jumlah produk 2 yang
diproduksi supaya optimal) adalah 20 unit. Untuk menyelesaikannya,
pertama-tama batasan baru tersebut kita rubah kedalam bentuk
bakunya, yaitu:
x2 + x6 = 50
Nilai x2 pada persamaan di atas harus digantikan dengan nilai x2
dari tabel optimalnya, karena x2 berfungsi sebagai variabel basis pada
tabel tersebut. Maka akan diperoleh:
PERUBAHAN YANG MEMPENGARUHI OPTIMALITAS DAN
KELAYAKAN
Perubahan yang terjadi tidak hanya dapat mempengaruhi
optimalitas atau kelayakan secara terpisah, tetapi dapat juga
mempengaruhi keduanya secara bersamaan. Perhatikan misalnya
kasus di atas, setelah beberapa lama:
1. terjadi perubahan pada koefisien fungsi tujuan menjadi 3x1 +
6x2
2. jam kerja mesin pertama berubah dari 600 menit menjadi
580 menit dan mesin kedua dari 600 menit menjadi 575
menit.
