TUJUAN PEMBELAJARAN OUTCOME PEMBELAJARAN

(1)

Agar pembaca memahami tentang Sistem Koordinat Kartesian beserta fungsinya yaitu titik, jarak dua titik, persamaan bola serta Vektor dalam ruang dimensi tiga beserta aplikasinya yaitu sudut antara dua vektor, persamaan bidang yang dibentuk dari vektor, hasil kali silang beserta penafsiran secara geometri

Setelah mempelajari bab ini diharapkan mahasiswa dapat :

1. Memahami dan mampu menyelesaikan segala permasalahan yang berkaitan dengan koordinat kartesian dalam ruang dimensi tiga, antara lain Titik, Jarak dua Titik, Persamaan Bola, Posisi dua buah Bola, Persamaan Bidang secara Geometri dan Aljabar

2. Memahami dan mampu menyelesaikan Permasalahan yang berkaitan dengan vektor di Ruang Tiga, yaitu Persamaan Bidang

3. Memahami dan mampu menafsirkan sebuah Hasil Kali Silang dua vektor beserta penerapannya dalam sebuah bidang

TUJUAN PEMBELAJARAN

(2)

4.1. Sistem Koordinat Dimensi Tiga

Pada pembahasan yang telah kita lakukan, kita telah memahami dan belajar pada bidang datar yang dikenal sebagai bidang Euclides atau ruang dimensi dua hal ini telah diterapkan pada fungsi variable tunggal yaitu fungsi yang dapat digambarkan pada bidang datar.

Bagaimana jika fungsi yang akan kita pelajari adalah fungsi yang mempunyai variable ganda atau yang sering kita sebut dengan kalkulus peubah ganda, yaitu yang diterapkan pada suatu fungsi yang mempunyai dua peubah atau lebih.

Ambil tiga garis koordinat yang saling tegak lurus, misalnya sumbu-sumbu

X

,

Y

dan

Z

dengan titik Nol berada pada suatu titik

O

yang sama.disebut titik asal._{Sistem koordinat dimensi tiga dapat}

digambarkan seperti Gambar 4.1

Ketiga sumbu tersebut menentukan tiga bidang, yaitu bidang

yz

, bidang

xz

dan bidang

xy

yang membagi ruang menjadi delapan oktan, Jika titik

P

dalam ruang, maka koordinat kartesiusnya dituliskan berupa bilangan ganda tiga yaitu

P

(

x

,

y

,

z

)

Dalam sistem koordinat dimensi tiga terbagi atas tiga bidang, yaitu : 1. bidang

yz

yaitu bidang yang tegak lurus sumbu-x

2. bidang

xz

yaitu bidang yang tegak lurus sumbu-y 3. bidang

xy

yaitu bidang yang tegak lurus sumbu-z

ketiga bidang tersebut dapat digambarkan seperti Gambar 4.2 berikut Gambar 4.1. Sistem Koordinat Dimensi 3

O Z

X

(3)

Diketahui dua Titik yaitu titik

P

(

2 ,

1 ,

2 )

dan titik

Q

(



2 ,



3 ,

4 )

dimana letak kedua titik tersebut

. Titik

P

(

2 ,

1 ,

2 )

, maka artinya titik

P

terletak pada 2 satuan dari

X

Sumbu



, 1 satuan dari

Sumbu



Y

dan 2 satuan dari

Z

Sumbu



artinya titik

P

terletak pada Oktan pertama

. Titik

Q

(



2 ,



3 ,

4 )

, maka artinya titik

Q

terletak pada -2 satuan dari

Sumbu



X

, -3 satuan dari

Sumbu



Y

dan 4 satuan dari

Z

Sumbu



artinya titik

Q

terletak pada Oktan ketiga Gambar 4.2. Tiga Bidang dalam Koordinat Dimensi Tiga

O

Y Z

X

(a) Bidang yz

O

Y Z

X

(b) Bidang xy

(c) Bidang xz

O

Y Z

X

Contoh 4.1 :

(4)

Jika titik

P

(

x

,

y

,

z

)

sebenarnya merupakan jarak dari tiga bidang tersebut, titik

P

(

x

,

y

,

z

)

berarti berjarak x dari bidang yz, berjarak y dari xz dan berjarak z dari bidang xy sehingga jika digambar dalam sistem koordinat dimensi tiga seperti Gambar 4.3.

Diketahui titik

P

(



4 ,

3 ,



5 )

gambarkan dalam sistem koordinat dimesi tiga

Gambar titik

P

(



4 ,

3 ,



5 )

seperti bangun sebuah balok

O

Y Z

X

-5

-4

3



(-4,3,-5) O

Z

X Y



(x,y,z)

y x

z

Gambar 4.3. Jarak ke tiga bidang

Contoh 4.2 :

(5)

4.1.1. Jarak Dua Titik

Misalnya ada dua titik yaitu

P

₁



x

₁

,

y

₁

,

z

₁



dan dalam ruang dimensi tiga dimana

x

₁



x

₂,

y

₁



y

₂ dan

z

₁



z

₂,

P

₁ dan

P

₂ merupakan titik sudut yang berlawanan didalam suatu balok seperti pada Gambar 4.4.

Jika kita letakan sebuah titik

Q

dan titik

R

ternyata masing-masing titik mempunyai koordinat

Q



x

₂

,

y

₂

,

z

₁



dan titik R mempunyai koordinat

R



x

₂

,

y

₁_,

z

₁



, karena segiriga



P

₂

QP

₁ siku-siku di

Q

dan segitiga



QRP

₁ siku-siku di

R

, maka akan diperoleh panjang garis

2 1

P

dan panjang garis

QP

₁ menurut rumus Pytagoras yaitu

.

P

₁

P

₂ 2



P

₂

Q

2



QP

₁ 2

Gambar 4.4. Jarak Dua Titik

(6)

Secara umum jika diketahui dua titik

P

1



x

1

,

y

1

,

z

1



dan

maka panjang atau jarak antara titik

P

₁ dan

P

₂ dirumuskan sebagai berikut :

Penyelesaian 4.3 :

(7)

Diketahui titik

P



4 ,



5 ,



3 

dan titik

Q





2 ,



1 ,



7 

, maka jarak kedua

4.1.2. Bola dan Persamaanya

Pada pembahasan materi sebelumnya, yaitu telah diketahui bahwa jarak dua buah titik misalnya titik

P

₁



x

₁

,

y

₁

,

z

₁



dan titik

maka persamaan bola dapat dirumuskan sebagai berikut :

Penyelesaian 4.4 :

(8)

Jika kita gambarkan sebuah bola dengan titik pusat



a

,

b

,

c



dengan jari-jari

R

seperti pada Gambar 4.5.

Jika persamaan



x



a

 

2



y



b

 

2



z



c



2



R

2 kita uraikan, maka akan menjadi persamaan :



 

2

 

2



2 2 persamaan akan menjadi :

 2



2



2





0

Dengan Catatan :

a

Gambar 4.5. Bola dengan titik pusat (a,b,c)

(9)

Tentukan persamaan bola yang berpusat di titik



2 ,

4 ,



2 

dengan jari-jari 4.

Diketahui titik pusat bola



2 ,

4 ,



2 

jari-jarinya

R



4

, maka persamaanya :





 

2

 

2



2 2

R

c

z

b

y

a

x

















 

2

 

2



2 2

4

2

4

2 









y

z

x

Sehingga persamaan bolanya adalah :



x



2  

2



y



4  

2



z



2 

2



16

Tentukan persamaan bola yang berpusat di titik



0 ,

0 

dengan jari-jari 3.

Diketahui titik pusat bola



0 ,

0 

jari-jarinya

R



3

, maka persamaanya :





 

2

 

2



2 2

R

c

z

b

y

a

x

















 

2

 

2



2 2

3

0

0 











y

z

x

Sehingga persamaan bolanya adalah :

x

2



y

2



z

2



9

Diketahui bola

x

2



y

2



z

2



10 x



8 y



12 z



68 

0

, tentukan pusat dan kari-jarinya

Contoh 4.5 :

Penyelesaian 4.5 :

Contoh 4.6 :

Penyelesaian 4.6 :

(10)

Diketahui persamaan bola

x

2



y

2



z

2



10 x



8 y



12 z



68 

0

, maka diperoleh data

A





10

,

B





8

,

C





12

dan

D



68

, karena

.

A





2 a





2 a





10



a



5

.

B





2 b





2 b





8



b



4

.

C





2 c





2 c





12



c



6

.

D



a

2



b

2



c

2



R

2 

68 

5

2



4

2



6

2



R

2



R

2



25 

16 

36 

68



R

2



9



R



3

Sehingga diperoleh kesimpulan bola tersebut mempunyai titik pusat di titik



5 ,

4 ,

6 

dengan jari-jari

R



3

Grafiknya seperti Gambar 4.6

4.1.3. Titik Tengah

Hal lain yang berkaitan dengan jarak antara dua titik adalah titik tengah, misalkan diketahui dua titik

P

₁



x

₁

,

y

₁

,

z

₁



dan

P

₂



x

₂

,

y

₂

,

z

₂



yang masing-masing merupakan titik ujung dari sebuah garis, jika titik tengah dari garis tersebut dituliskan sebagai

M



m

₁

,

m

₂

,

m

₃



dimana

m

1,

m

2 dan

m

3 diperoleh dari rumus :

2

2 1 1

x

m





,

2

2 1 2

y

m





,

2

2 1 3

z

m





.

Penyelesaian 4.7 :

Z

X

Y 



5 ,

4 ,

6 

3

4

5

(11)

Jika kita gambar, maka seperti Gambar 4.7 kitagambarkan seperti pada Gambar 4.8

Gambar 4.7. Titik tengah pada suatu Garis



2 2 2



(12)

Tentukan persamaan bola yang pusatnya merupakan titik tengah jari belum diketahui, maka langkah pertama adalah menentukan pusat bola dan jari-jari.

. Koordinat Titik tengah antara titik

P

₁





1 ,

2 ,

3 

dan titik

P

₂



5 ,



2 ,

7 

titik pusat bola

Gambar 4.8. Titik tengah pada suatu Garis

Z

(13)

. Jari-jari bola adalah jarak titik tengah

M



2 ,

0 ,

5 

ke titik

Sehingga persamaan bola yang dimaksud adalah :





 

2

 

2



2

 

2

Atau dalam bentuk :

0

4.1.4. Persamaan Bidang Datar

Grafik dalam ruang dimensi tiga pada prinsipnya sama dengan grafik pada bidang dimensi dua, jika pada dimensi dua berupa garis, maka pada dimensi tiga akan berupa bidang, demikian juga jika pada dimensi dua berupa bidang, maka jika digambar pada dimensi tiga akan berupa ruang.

Persamaan linier pada ruang dimensi tiga merupakan sebuah bidang, secara umum persamaan linier dalam ruang dimensi tiga dirumuskan sebagai berikut :

dengan syarat

A

2



B

2



C

2



0

(14)

dan titik potong sumbu-z yaitu

R



0 ,

z



, untuk menentukan nilai

y

x

,

dan

z

sebagai berikut :

. Untuk menentukan nilai

x

, maka kita beri nilai

y



0

dan

z



0 y

x



0

dan

z



0 z

x



0

dan

y



0

Sehingga akan diperoleh ketiga titik potong yaitu

P



x

,

0 ,

0 

,

Q



0 ,

y

,

0 

dan

R



0 ,

z



Gambarkan grafik dari persamaan

3 x



4 y



2 z



12

Untuk menentukan ke tiga titik potong terhadap sumbu-sumbu koordinat, maka kita tentukan nilai-nilai

x

,

y

dan

z

, yaitu :

x

y



0

dan

z



0

dan kita substitusikan ke persamaan

3 x



4 y



2 z



12

, maka diperoleh



3 x



4 (

0 )



2 (

0 )



12



3 x



0 

0 

12



3 x



12



x



4

sehingga titik potong sumbu-x adalah

P



4 ,

0 ,

0 

y

x



0

dan

z



0

3 x



4 y



2 z



12

, maka diperoleh



3 (

0 )



4 y



2 (

0 )



12



0 

4 y



0 

12



4 y



12



y



3

sehingga titik potong sumbu-y adalah

Q



0 ,

3 ,

0 

z

x



0

dan

y



0

dan kitasubstitusikan ke persamaan

3 x



4 y



2 z



12

, maka diperoleh



3 (

0 )



4 (

0 )



2 z



12



0 

2 z



12 Contoh 4.10 :

(15)



2 z



12



z



6

sehingga titik potong sumbu-z adalah

R



0 ,

6 

Sehingga kita peroleh titik-titik potong terhadap ke tiga sumbu yaitu



4 ,

0 ,

0 

P

,

Q



0 ,

3 ,

0 

dan

R



0 ,

6 

jika kita letakkan ketiga titik tersebut pada sistem koordinat dimensi tiga, maka akan terlihat pada Gambar 4.9

4 x



6 y



12

Karena persamaannya

4 x



6 y



12

dimana tidak mengandung variable

z

, maka grafiknya sebuah bidang yang sejajar dengan sumbu-

z

, artinya tidak memiliki titik potong terhadap sumbu-

z

, Untuk menentukan ke dua titik potong terhadap sumbu-sumbu koordinat, maka kita tentukan nilai-nilai

x

dan

y

, yaitu :

x

y



0

4 x



6 y



12

, maka diperoleh



4 x



6 (

0 )



12



4 x



0 

12



4 x



12



x



3 P



3 ,

0 ,

0 

12

2

4

3 x



y



z







4 ,

0 ,

0 

P



Q



0 ,

3 ,

0 



R



0 ,

6 

Z

X

Y

Gambar 4.9. Bidang dari sebuah persamaan

Contoh 4.11 :

(16)

y

x



0

4 x



6 y



12

, maka diperoleh



4 x



6 y



12



4 (

0 )



6 y



12



6 y



12



y



2

sehingga titik potong sumbu-y adalah

Q



0 ,

2 ,

0 

Karena dalam persamaan

4 x



6 y



12

tidak ada variabel

z

, maka berarti bidang datar tersebut sejajar dengan sumbu-z, sehingga tidak ada titik potong sumbu-z, kita hanya memperoleh titik potong terhadap sumbu-x yaitu

P



3 ,

0 ,

0 

, dan titik potong sumbu-y yaitu



0 ,

2 ,

0 

Q

jika kita letakkan kedua titik tersebut pada sistem koordinat dimensi tiga, maka akan terlihat pada Gambar 4.10

2 x



4 z



8

Karena persamaannya

2 x



4 z



8

dimana tidak mengandung variable

y

, maka grafiknya sebuah bidang yang sejajar dengan sumbu-

y

, artinya tidak memiliki titik potong terhadap sumbu-

y

,



_P

_

₃

_,

₀

_,

₀

_



Q



0 ,

2 ,

0 

12

6

4 x



y



Z

X

Y

Gambar 4.10. Bidang Sejajar Sumbu-z

Contoh 4.12 :

(17)

Untuk menentukan ke dua titik potong terhadap sumbu-sumbu koordinat, maka kita tentukan nilai-nilai

x

dan

z

, yaitu :

x

z



0

2 x



4 z



8

, maka diperoleh



2 x



4 (

0 )



8



2 x



0 

8



2 x



8



x



4 P



4 ,

0 ,

0 

z

x



0

2 x



4 z



8

, maka diperoleh



2 x



4 z



8



2 (

0 )



4 z



8



4 z



8



z



2

sehingga titik potong sumbu-z adalah

R



0 ,

2 

Karena dalam persamaan

2 x



4 z



8

_{tidak ada variabel}

y

, maka berarti bidang datar tersebut sejajar dengan sumbu-y, sehingga tidak ada titik potong sumbu-y, kita hanya memperoleh titik potong terhadap sumbu-x yaitu

P



4 ,

0 ,

0 

, dan titik potong sumbu-z yaitu



0 ,

2 

R

jika kita letakkan kedua titik tersebut pada sistem koordinat dimensi tiga, maka akan terlihat pada Gambar 4.11



Q



0 ,

2 

Z

X

Y





4 ,

0 ,

0 

P

8

4

2 x



z



(18)

4.1.5. Soal-Soal Latihan

1. Tentukan jarak titik

P



6 ,



1 ,

3 

ke titik

Q



2 ,



2 ,



5 

2. Diketahui titik-titik



4 ,

5 ,

2 

,



1 ,

7 ,

3 

dan



2 ,

4 ,

5 

merupakan titik sudut suatu segitiga, perlihatkan bahwa segitiga tersebut adalah segitiga sama sisi

3. Diketahui titik-titik



1 ,

0 ,

5 

,



3 ,

6 ,

8 

dan



7 ,

4 ,



7 

merupakan titik-titik sudut suatu segitiga, perlihatkan bahwa segitiga tersebut adalah segitiga siku-siku dengan bantuan teorema Phytagoras

4. Sebuah kotak persegipanjang sisi-sisinya sejajar bidang-bidang koordinat dan sebagai titik ujung diagonal utamanya adalah



2 ,

3 ,

4 

dan



5 ,



2 ,

0 

, Gambarkan kotak itu dan cari koordinat ke delapan titik sudutnya

5. Tuliskan persamaan bola yang titik pusatnya dan jari-jarinya sebagai berikut :