Bab 4 Sistem Kontrol pada

ANALISA RESPONS TRANSIENT

Respons transient : Kondisi awal Kondisi akhir

Respons steady-state : t 

SISTEM ORDE PERTAMA

1

Ts

1

R(s)

C(s)





1. INPUT : UNIT-STEP

r(t) = 1

s

1

R(s)



s

1

.

1

Ts

1

C(s)





1

Ts

T

s

1

C(s)







)

0

t

(

e

1

c(t)

_

_



tT

_

………..(*)

KURVA RESPONS

- Kondisi awal adalah 0 dan kondisi akhir adalah 1

T = time constant sistem

Time constant lebih kecil, respons sistem lebih cepat.

- Slope pada t = 0 adalah 1/T

Slope c(t) berkurang : 1/T pada t = 0 0 pada t = 

- t = T : 0 – 63,2%

t = 2T : 0 – 86,5% t = 3T : 0 – 95% t = 4T : 0 – 98,2% t = 5T : 0 – 99,3%

- t =  steady state 2. INPUT : UNIT-RAMP

r(t) = t ₂

s

1

R(s)



)

0

t

(

T.e

T

t

c(t)

1

Ts

T

s

T

s

1

C(s)

s

1

.

1

Ts

1

C(s)

T t

2

2

2























Kurva Respons

T

)

e(

)

e

T(1

e(t)

c(t)

r(t)

e(t)

T t















- Time constant lebih kecil ( T ) steady state error lebih kecil

r(t) = S(t)  R(s) = 1

C(s) = 1

Ts + 1

C(t) = 1 e– t / T _{(t  0)}

T

KURVA RESPONS

Respons turunan/derivatif suatu signal input dapat diperoleh dengan men- defferensiasi-kan

respons dari sinyal input semula.

SISTEM ORDE KEDUA

R(s) E(s) C(s)

+

C(s) n2

=

R(s) S2 _{+ 2 ζ }

n S + n2

n = frekuensi sudut natural undamped

ζ = faktor redaman

Sistem orde dua sangat tergantung pada faktor redaman (ζ). Bila 0 < ζ < 1, sistem

dinamakan underdamp. Bila ζ = 1, sistem disebut critically damp, dan bila ζ > 1, sistem

disebut overdamp.

n2

Untuk mengetahui respons sistem orde dua, ketiga keadaan tersebut akan dibahas untuk

input yang berbentuk unit step, impuls, maupun ramp.

1 Input Unit Step

R(s) = 1

S

Untuk sistem yang UNDERDAMP

n2 1

C(s) =

S2 _{+ 2 ζ }

n S + n2 S

1 S + 2 ζ n

C(s) =

S S2 _{+ 2 ζ }

n S + n2

d = n 1 – ζ2

= frekuensi natural teredam (damped natural frequency)

1 S + 2 ζn

C(s) =

S S2 _{+ 2 ζ }

n S + ζ2n2 - ζ2n2 + d2

1 – ζ2

1 S + 2 ζn

=

S (S + ζn)2 + d2 - n2 + + d2

1 – ζ2

1 S + 2 ζn

=

S (S + ζn)2 + (1 - ζ2) d2 – (1 – ζ2) n2 + d2

1 – ζ2

1 S + 2 ζn

=

S (S + ζn)2 + d2

1 S + ζn ζn

=

S (S + ζn)2 + d2 (S + ζn)2 + d2

C(t) = 1 - e –ζn t _{cos }

dt - e –ζn t sin dt ζ

1 – ζ2

C(t) = 1 - e –ζn t _{( cos }

dt + ζ sin dt ) (t  0)

1 – ζ2

e(t) = r(t) - c(t) = e–ζn t _{( cos }

dt + ζ sin dt ) (t  0)

Frekuensi osilasi transient adalah d, dan berubah dengan faktor redaman

(ζ)

Sinyal error berkelakuan seperti osilasi sinusoidal yang teredam. Pada steady-state error (t = ~), error = 0

Bila ζ = 0  c(t) = 1 – cos nt (t  0) respons menjadi undamped dan

osilasi terus menerus tidak terbatas

Untuk Sistem yang CRITICALLY DAMPED n2

C(s) =

(S + n)2 S

= 1 - e–n t _{( 1 + }

nt ) (t  0)

Respons transient tidak berosilasi

Untuk Sistem yang OVERDAMPED

n2

C(s) =

( S + ζn + n 1 – ζ2 ) ( S + ζn - n 1 – ζ2 ) S

1

c(t) = 1+ e –( ζ + ζ2 – 1) n t _-

2 ζ2 _{– 1 (ζ + ζ}2 _{– 1 )}

1

e –( ζ + ζ2 – 1) n t

2 ζ2 _{– 1 (ζ + ζ}2 _{– 1 )}

Untuk mendapatkan C(s) di atas :

C(s) n2

=

R(s) S2 _{+ 2 ζ }

n S + n2

C(s) n2

=

R(s) (S + ζn + ζd) (S + ζn - ζd)

d = n 1 – ζ2

d = n j2 (ζ2 - 1)

d = n j ζ2 - 1

C(s) n2

=

R(s) (S + ζn - n ζ2 – 1) (S + ζn +n ζ2 – 1)

n e –S1t e-S2t

2 ζ2 _{– 1 S}

1 S2

dimana : S1 = (ζ + ζ2 – 1) n

S2 = (ζ - ζ2 – 1) n

- Salah satu dari komponen yang dikandung c(t) akan menghilang lebih cepat

dalam respons. Dengan demikian komponen eksponensial tersebut dapat diabaikan.

- Bila –S2 diletakkan lebih dekat terhadap sumbu j daripada –S1 (|S2| << |S1|),

maka solusi pendekatan -S1 diabaikan. Pengaruh -S1 pada respons lebh kecil,

karena komponen yang mengandung S1 lebih cepat menghilang. Bila salah satu

komponen eksponensial hilang, respons sama dengan sistem orde pertama, dan C(s) ζn - n ζ2 – 1 S2

= =

R(s) S + ζn - n ζ2 – 1 S + S2

C(s) = ζn - n ζ2 – 1

(S + ζn - n ζ2 – 1) S

c(t) = 1 – e –(ζ- ζ2 – 1) nt _{(t  0)}

KURVA RESPONS

Kurva respons

o ζ = 0,5 – 0,8 lebih cepat mencapai steady state daripada sistem overdamped atau critically damped

o Sistem tanpa osilasi, sistem critically damped memiliki respons paling cepat

o Harga ζ sama, tetapi harga n berbeda akan berkelakuan overshoot dan

pola osilasi yang sama

DEFINISI SPESIFIKASI RESPONS TRANSIENT

1. Delay time (td)

2. Rise time (tr)

3. Peak time (tp)

4. Maximum overshoot (Mp)

KURVA RESPONS – UNIT STEP

Delay time (td) : waktu yang diperlukan untuk mencapai setengah dari nilai akhir pada

waktu pertama kali

Rise time (tr) : waktu yang diperlukan untuk naik dari 10 – 90%, 5 – 55%, atau 0 – 100%

dari nilai akhirnya.

Untuk sistem underdamped : 0 – 100% Untuk sistem overdamped : 10 – 90%

Peak time (tp) : waktu yang diperlukan untuk mencapai peak pertama dari overshoot.

Maximum overshoot (Mp,%) : nilai puncak (peak) maksimum dari kurva respons yang diukur

dari satu.

Maximum per cent overshoot = c(tp) – c(~) x 100% c(~)

Settling time : waktu yang diperlukan untuk mencapai dan tetap di dalam sebuah range nilai akhir yang ditetapkan oleh persentase absolut dari nilai akhir (biasanya 5% atau 2%).

 Diinginkan respons transient : - cukup cepat

- cukup memiliki redaman (aplikasi : osilasi tidak dapat ditoleransi)

 Respons transient yang diinginkan dari sistem orde kedua :

faktor redaman : antara 0,4 dan 0,8

Mendapatkan nilai dari tr, tp, Mp, dan ts

A. RISE TIME (tr) :

c(t) = 1 – e -ζn t_{( cos}

dt+ ζ sin d t)

1 – ζ2

t = tr  c(tr) = 1, maka:

c(tr) = 1 – e -ζn tr( cosdtr + ζ sin d tr)

1 – ζ2

karena e -ζn tr_{ 0 maka :}

1 – ζ2

atau

tan d tr = - 1 – ζ2 ζ

DEFINISI SUDUT  :

atau

tan d tr = _ d



Jadi,

tr =

d ω

β π ) σ d ω ( 1 tan d ω

1 

  

POLE-POLE KOMPLEKS :

GARIS-GARIS FAKTOR REDAMAN KONSTAN

ζ = cos 

B. PEAK TIME (tp) :

dt t = tp 1 - ζ

sin d tp = 0

d tp = 0, , 2, 3, …

d tp = 

tp = 

d

C. MAXIMUM OVERSHOOT (Mp) :

Mp = c(tp) – 1

= - e-ζn( / d) _{(cos  + ζ sin )}

1 – ζ2

= e-( / d)

= e-(ζ/ 1-ζ2 )

Maximum Overshoot (%) = e-( / d) _{x 100%}

D. SETTLING TIME :

e-ζnt

c(t) = 1 - sin (dt + tan-1 1 - ζ2 ) (t  0)

1 - ζ2 _ζ

Kurva-kurva 1  ( e-ζnt _{/ 1 - ζ}2 _{) :}

Menutupi kurva respons transient untuk sebuah input unit-step.

 Time constant (T) dari kurva-kurva tersebut adalah 1

KURVA SETTLING TIME ts vs ζ

 untuk 0 < ζ < 0,9 : ts = 4T = 4 = 4 (band toleransi 2%)

 ζn

ts = 3T = 3 = 3 (band toleransi 5%)

 ζn

 untuk nilai ζ lebih besar, ts meningkat hampir linier; dan nilai ζmin = 0,76

o Nilai ζ biasanya ditentukan dari syarat maksimum overshoot yang diijinkan.

Sedangkan settling time (ts) ditentukan terutama oleh undamped natural

frequency (n).

o Hal ini berarti, durasi periode transient dapat tanpa mengubah overshoot

maksi-mum, yaitu dengan mengatur n.

o Untuk mendapatkan respons yang cepat : n harus besar. Untuk membatasi

overshoot maksimum (Mp) dan membuat ts kecil : ζ seharusnya tidak terlalu

kecil.

o Faktor redaman di antara 0,4 dan 0,8, maka overshoot maksimum (%) untuk

step respons adalah di antara 25% dan 2,5%.

Kurva Mp versus  :

Contoh :

R(s) E(s) C(s)

+

Sistem orde ke dua memiliki harga :  = o,6 dan n = 5 rad/sec

Apabila sistem diberikan input unit step, carilah rise time (tr), peak time (tp), maksimum

overshoot (Mp), dan settling time (ts) !

Penyelesaian :

d ω_n 1 ζ2

2 (0,6) 1

5  

) n ω ζ 2 s ( s

2 n ω

= 4

 =  . n = 0,6 . 5 = 3

Rise time (tr)

d ω

β x 

= tan -1

σ d ω

= tan-1 _{(4 / 3)}

= 0,93 rad

tr=

4 93 , 0 14 , 3 

= 0,55 sec

Peak Time (tp) = d ω

π

= 0,785

4 14 , 3

 sec

Maximum Overshoot (Mp) = e (/d)π

= _e (3/4)x3,14

= 0,095

= 0,095 x 100% = 95 %

Setting time (Ts) = 1,33

3 4 σ 4



 sec (u/ kriteria 2%)

= 1

3 3 3

 



sec (untuk kriteria 5%)

2 Input : unit –impulse

baca halaman 239-240 3 Input : unit-ramp

baca halaman 240-242

KRITERIA KESTABILAN ROUTH STABILITAS SISTEM

Stabilitas suatu sistem closed-loop linier dapat ditentukan dari lokasi pole pole close loop pada bidang s.

Sistem tidak stabil, apabila pole-pole tsb terletak di sebelah kanan bidang s. Sistem stabil, apabila pole-pole terletak di sebelah kiri bidang s.

Contoh :

R(s) C(s)

+ s(s 2)

10

Sistem di atas stabil atau tidak ?? Penyelesaian :

2)

karena pole-pole terletak di sebelah kiri sumbu imajinair, maka Sistem stabil

KRITERIA STABILITAS ROUTH

KRITERIA STABILITAS ROUTH

Menentukan jumlah pole closed-loop yang terletak di sebelah kanan bidang s tanpa harus memfaktorkan polynomial.

F(s) = 1+ G(s) H(s)

= a0sn + a1sn-i + …….. +an s + an = 0

ARRAY ROUTH

sN _a

dimana :

:

Sistem stabil bila

Kolom pertama pada array Routh Semuanya bertanda positif.

Contoh :

1 a0s3 + a1s2 + a2s + a3 = 0

Array Routh :

s3 _a

Array Routh :

s4 _{1 3 5}

s3 _{2 4 0}

s2 _{1 5}

s1 _-6

s0 ₅

 sistem tidak stabil

Tentukan range K agar sistem diatas stabil ! Penyelesaian :

Transfer function closed-loop

K 2) )(s 1 s 2 s ( s

K R(s)

C(s)

    

persamaan karakteristik : 1+ G(s)H(s) = 0 s4 _{+ 3s}3 _{+ 3s}2 _{+ 2s + K = 0}

Array Routh :

s4 _{1 3 K}

s3 _{3 2 0}

s2 _{7/3 K}

s1 _-9/7K

s0 _K

agar sistem stabil : 14/9 > K > 0

ANALISIS ERROR (KESALAHAN)

Selain stabil, hal lain yang perlu mendapat perhatian adalah mengenai error yang terjadi apabila suatu sistem kontrol diberi input tertentu.

E(s) = R(s) – G(s).H(s) C(s) = E(s).G(s)

Dari kedua persamaan diatas diperoleh : E(s) = R(s) – E(s).G(s).H(s)

Atau [1+G(s).H(s)] E(s) = R(s)

 Kesalahan statis atau steady-state error :

G(s).H(s) 1

R(s) E(s)

 

Transfer function open-loop G(s) H(s) secara umum dituliskan sbb :

1 KOEFISIEN KESALAHAN STATIS

G(s)H(s)

Kesalahan steady-state:

e(t)

Untuk input benbentuk unit step : R(s) = 1/s

_{1 G(s)H(s)}s _s1

Bila didefinisikan :

Kp = _slim_{ 0}G(s)H(s)

2 Koefisien Kesalahan Kecepatan Statis

G(s)H(s)

Kesalahan steady-state

e(t)

Bila di definisikan :

s.G(s)H(s)

Kv = koefisien kesalahan kecepatan statis

    

u/ Input Berbentuk Unit-Parabolik :

2

Bila didentifikasikan :

d c u/ sistem tipe > 2

.G(s)H(s) 2

s 0 slim a

K

 

 

 



 



 

1) s p T 1)...( s

2 1)(T s 1 (T 3 s

1) s m 1)...(T s

b 1)(T s a K(T 2 s

0 slim

 e( ) 1 0

ss

e 

   

Latihan Soal : (1)

R(s) C(s)

+

Hitunglah kesalahan steady-state, bila input berbentuk : a) step

b) ramp c) parabolik (2)

bila input r(t) = a.t (a > 0), maka tunjukkan bahwa e() dapat dibuat sama dengan 0

(nol) dengan mengubah harga KI !

2) 1)(s s(s