Besaran dan Pengukuran BAHAN AJAR DI KEL

BAHAN AJAR

Mata Pelajaran : FISIKA

Kelas/Semester : X / 1 (satu)

Standar Kompetensi : 1. Menerapkan konsep besaran Fisika dan pengukurannya

Kompetensi Dasar : 1.1 Mengukur besaran Fisika (panjang, massa dan waktu)

1.2 Melakukan penjumlahan vektor

A. BESARAN

Besaran adalah segala sesuatu yang mempunyai nilai dan satuan. besaran dibedakan menjadi dua, yaitu besaran pokok dan besaran turunan.

1. Besaran pokok

Besaran pokok adalah besaran yang tidak di turunkan dari besaran lain. Besaran pokok bersifat bebas, artinya tidak bergantung pada besaran pokok yang lain. Ada tujuh macam besaran pokok, seperti tertera pada tabel 1.1.

besaran pokok, simbol dan satuan.

No Besaran Pokok Satuan SI

Nama Besaran Simbol Besaran Nama Satuan Simbol Satuan 1 Dua besaran tambahan dalam satuan internasional, diantaranya:

Nama Satuan SI Symbol

satuan

Sudut datar Radian Rad

Sudut ruang Steradian Sr

Besaran Turunan

Besaran Lambang

besaran Nama satuan Lambangsatuan Simboldimensi

Kecepatan V Meter/sekon m/s [LT-1_]

Percepatan A Meter/sekon2 _m/s2 _[LT-2_]

Luas A Meter2 _m2 _[L2_]

Volume V Meter3 _m3 _[L3_]

Gaya F Newton N [MLT-2_]

Usaha W Joule J [ML2_T-2_]

Tekanan P pascal Pa [ML-1_T-2_]

Massa jenis Ρ Kilogram/meter3 Kg/m3 [ML-3]

2. Satuan

Satuan adalah sesuatu yang dapat digunakan sebagai pembanding dalam pengukuran. Setiap besaran dapat dinyatakan dengan berbagai macam satuan diantaranya Sistem Internasional. Satuan Internasional adalah satuan yang diakui penggunaannya secara internasional serta memiliki standar yang sudah baku.

Pada sistem metrik, satuan yang lebih besar dan lebih kecil didefinisikan

dalam kelipatan 10 dari satuan standar. Awalan “centi”, “kilo”, “mili”, dan yang

lainnya dapat diterapkan tidak hanya pada satuan panjang, tetapi juga satuan volume, massa, atau metrik lainnya. Berikut tabel yang menunjukan awalan –

awalan metrik yang sering digunakan dalam berbagai satuan.

Awalan Singkatan Nilai Awalan Singkatan Nilai

Exa E 1018 _{deci d 10}18

Peta P 1015 _{centi c 10}15

Tera T 1012 _{mili m 10}12

Giga G 109 _{micro 10}9

Mega M 106 _{nano n 10}6

Kilo K 103 _{pico p 10}3

Hecto H 102 _{femto f 10}2

Deka Da 101 atto a 101

Konversi satuan

Faktor konversi merupakan perbandingan dua satuan besaran sehingga sama dengan satu. Konversi satuan dilakukan dengan menyisipkan faktor konversi yang cocok yang membuat satuan lain ditiadakan, kecuali satuan yang kita kehendaki. Berikut ini beberapa contoh konversi satuan untuk besaran panjang, massa, waktu

Panjang

1 inci = 2,54 cm

1 sentimeter (cm) = 0,394 inci

1 meter (m) = 3,28 ft

1 yard (yd) = 3 ft = 0,9144m 1 angstrom (Å) =10-10_m

1 tahun cahaya (ly) = 9,46 1015

1 parsec = 3,09 1016 m

1 fermi = 10-15 m

1 mil =1,609 Km

1 tahun cahaya =9,461x1015_m

Massa

1 satuan massa atom (sma) = 1,6605 10-27_kg 1 kilogram (kg) = 103_{g = 2,205 lb}

1 slug = 14,59 kg

1 ton = 1.000 kg

Waktu

1 menit = 60 s

1 jam = 3.600 s

1 hari = 24 jam= 1,44x103_{menit= 8,64 10}4_s

1 tahun = 3,1536x107_s

faktor pengali dalam SI

Nama akhir simbol Faktor pengali Nama akhir simbol Faktor pengli

Yotta Y 1024 _{Desi d 10}-1

Zetta Z 1021 _{Centi c 10}-2

Exa E 1018 _{Milli m 10}-3

Peta P 1015 _{Mikro µ 10}-6

Tera T 1012 _{Nano n 10}-9

Giga G 109 _{Poko p 10}-12

Mega M 106 _{Femto f 10}-15

Kilo K 103 _{Atto a 10}-18

Hekto H 102 _{Zepto z 10}-21

Deka da 10 yokko y 10-24

Contoh soal

1. Ubahlah Km/jam ke m/s

1 = =0,2778m/s

2. Pada perlombaan lari cepat jarak pendek seorang pelari menempuh jarak 100 m. Berapa jarak lari 100 m jika dinyatakan dalam yard?

Penyelesaian

1 yard = 3 ft = 36 inci

= 36 ,

= 91,44cm = 0,9144

Sehingga 1m =

=1,094 yard

Jadi, 100m = 100m x , =109,4 yard

3. Dimensi

Dimensi adalah cara penulisan suatu besaran dengan menggunakan simbol (lambang) besaran pokok. Hal ini berarti dimensi suatu besaran menunjukkan cara besaran itu tersusun dari besaran-besaran pokok. Pada sistem Satuan Internasional (SI), ada tujuh besaran pokok yang berdimensi, sedangkan dua besaran pokok tambahan tidak berdimensi. Cara penulisan dimensi dari suatu besaran dinyatakan dengan lambang huruf tertentu dan diberi tanda kurung persegi. Perhatikan tabel 1.3 berikut.

Tabel 1.3a besaran pokok,simbol,satuan dan dimensi.

No Besaran Pokok Dimensi

Nama Besaran Simbol Besaran Nama Satuan Dimensi

1

Tabel 1.3b besaran turunan,simbol,satuan dan dimensi

No Besaran turunan Dimensi

Nama Besaran Simbol Besaran Nama Satuan Dimensi 1

Tentukan dimensi besaran-besaran turunan berikut ini. 1. Luas

2. Kecepatan

Penyelesaian:

1. Luas merupakan hasil kali panjang dan lebar, keduanya memiliki dimensi panjang [ L]

= [ panjang] X [ lebar] = [ L] [ L] = [ L]2

2. Kecepatan merupakan hasil bagi jarak terhadap waktu. Dimensi jarak adalah [L], sedangkan waktu memiliki dimensi [ T ]. Jadi dimensi kecepatan adalah

Kecepatan =

[kecepatan =[ ]

[ ]= [ L][ T ] -1

4. Angka Penting

Angka penting adalah semua angka yang diperoleh dari hasil pengukuran, yang terdiri dari angka eksak/pasti dan satu angka terakhir yang ditaksir/diragukan. Makin banyak jumlah angka penting yang dapat diketahui, maka makin teliti pengukuran tersebut.

Bilangan eksak adalah bilangan yang sudah pasti (tidak diragukan nilainya) yang diperoleh dari kegiatan membilang. Bilangan penting adalah bilangan yang diperoleh dari hasil pengukuran yang terdiri angka – angka penting yang sudah

pasti (terbaca pada alat ukur) dan satu angka terakhir yang ditaksir atau diragukan. Aturan–aturan angka penting

- Semua angka bukan nol adalah angka penting.

Contoh : 3752,8 cm (mempunyai 5 angka penting) 27,6 kg (mempunyai 3 angka penting)

- Angka nol yang terletak di antara dua angka bukan nol termasuk angka penting.

Contoh : 5,002 kg (mempunyai 4 angka penting) 202,015 s (mempunyai 6 angka penting)

- Semua angka nol yang terletak pada deretan akhir dan angka – angka

yang ditulis di belakang koma desimal termasuk angka penting. Contoh : 0,0051 m (mempunyai 2 angka penting)

0,00325 gr (mempunyai 3 angka penting)

- Angka- angka nol yang digunakan hanya untuk tempat titik desimal bukan termasuk angka penting.

Contoh : 0,009 m (mempunyai 1 angka penting) 0,0012 m (mempunyai 2 angka penting)

- Bilangan – bilangan puluhan, ratusan, ribuan, dan seterusnya yang

memiliki angka – angka nol pada deretan akhir harus dituliskan dalam

notasi ilmiah agar jelas bahwa angka–angka nol tersebut adalah angka

penting atau bukan.

Aturan operasi angka penting • Pembulatan

Ketika angka – angka ditiadakan dari suatu bilangan, nilai dari angka

terakhir yang dipertahankan ditentukan dengan suatu proses yang disebut pembulatan bilangan.

Aturan pembulatan bilangan :

- Angka lebih kecil daripada lima dibulatkan ke bawah. - Angka lebih besar daripada lima dibulatkan ke atas.

- Angka 5 dibulatkan ke atas jika sebelum angka 5 adalah ganjil dan dibulatkan ke bawah jika sebelum angka 5 adalah angka genap.

Contoh : 65,665 dibulatkan menjadi 65,66 (angka 5 dibulatkan ke bawah)

65,675 dibulatkan menjadi 65,68 (angka 5 dibulatkan ke atas)

• Aturan penjumlahan dan pengurangan bilangan–bilangan penting

Jika kita melakukan operasi penjumlahan atau pengurangan, maka hasilnya hanya boleh mengandung satu angka taksiran. Banyaknya angka penting pada hasil penjumlahan dan pengurangan ditentukan oleh banyaknya bilangan dengan angka yang paling sedikit di belakang koma.

Contoh :

- Jumlahkan 357,139 gr, 13,4 gr, dan 7,61 gr! - Kurangkan 541,79 m dengan 352 m!

Penyelesaian :

- 357,139 9

13,4 4

7,61 + 1

378,149

Dibulatkan menjadi 378,1 karena hanya boleh mengandung satu angka taksiran.

- 541,79 9

352 + 2 s

189,79

• Aturan perkalian atau pembagian

Jika kita melakukan operasi perkalian atau pembagian, maka hasilnya hanya boleh memiliki angka penting sebanyak bilangan yang jumlah

angka pentingnya paling sedikit. Maksudnya adalah “jika kita

mengalikan bilangan I (memiliki 3 angka penting) dengan bilangan II (memiliki 2 angka penting), maka hasilnya haruslah memiliki angka

penting sebanyak bilangan II, yaitu 2 angka penting”.

Contoh : hitunglah operasi perkalian atau pembagian bilangan –

bilangan berikut. - 0,5628 cm× 2,5

- 5,729 × 10 5,7 × 10² ³ Penyelesaian :

- 0,5628 4

2,5 × 2

1,407 ²

Dibulatkan menjadi 1,4 cm² (2 angka penting)

- 5,729 × 10 4

5,7 × 10² ˉ ³ 2

1,005 × 10³

Dibulatkan menjadi 1,0× 10³ ˉ ³(2 angka penting)

Contoh perkalian atau pembagian bilangan penting dengan bilangan eksak.

- Tinggi sebuah batu bata 7,89 cm. Tentukan tinggi lima belas tumpukan batu bata!

Penyelesaian :

7,89 cm → 3 angka penting

15 cm × → 2 angka penting

118,35cm²

Hasil dibulatkan menjadi 118 cm (tiga angka penting) agar sama dengan banyak angka penting pada bilangan penting 7,89 cm.

- Empat anak diukur tingginya. Hasil pengukuran adalah 152 cm, 157 cm, 160 cm, dan 158 cm. Hitung tinggi rata – rata keempat anak

tersebut! Penyelesaian : Tinggi rata–rata=

= 637 4

Hasil dibulatkan sampai tiga angka penting, yaitu 159 cm agar sama dengan banyak angka penting pada hasil pengukuran tinggi.

B. PENGUKURAN

1. Pengertian Pengukuran

Pengukuran adalah aktivitas membandingkann suatu besaran dengan besaran standart yang sudah ditetapkan terlebih dahulu. Dalam fisika, kita mengenal beberapa alta ukur, antara lain adalah ukuran panjang, massa, waktu, kuat arus, tegangan listrik, suhu, dan lai-lain.

2. Alat–alat ukur

Alat untuk mengukur besaran panjang

Alat-alat ukur panjang yang dipakai untuk mengukur panjang suatu benda antara lain mistar, rollmeter, jangka sorong, dan mikrometer sekrup. Setiap alat ukur memiliki ketelitian yang berbeda, sehingga Anda harus bisa memilih alat ukur yang tepat untuk sebuah pengukuran. Pemilihan alat ukur yang kurang tepat akan menyebabkan kesalahan pada hasil pengukuran.

a) Mistar ( penggaris)

Mistar/penggaris berskala terkecil 1 mm mempunyai ketelitian 0,5 mm. Ketelitian pengukuran menggunakan mistar/penggaris adalah setengah nilai skala terkecilnya. Dalam setiap pengukuran dengan menggunakan mistar,usahakan kedudukan pengamat (mata) tegak lurus dengan skala yang akan diukur. Hal ini untu menghindari kesalahan penglihatan (paralaks). Paralaks yaitu kesalahan yang terjadi saat membaca skala suatu alat ukur karena kedudukan mata pengamat tidak tepat

a. Skala pada mistar ukur.

posis benar

posisi salah posisi salah

b.

b) Rollmeter (meter kelos)

Rollmeter merupakan alat ukur panjang yang dapat digulung, dengan panjang 25 - 50 meter. Meteran ini dipakai oleh tukang bangunan atau pengukur lebar jalan. Ketelitian pengukuran denganrollmetersampai 0,5 mm.

Gambar1.2. Rollmeter c) Jangka sorong

Jangka sorong adalah alat yang digunakan untuk mengukur panjang, tebal, kedalaman lubang, dan diameter luar maupun diameter dalam suatu benda dengan batas ketelitian 0,1 mm. Jangka sorong mempunyai dua rahang, yaitu rahang tetap dan rahang sorong. Pada rahang tetap dilengkapi dengan skala utama, sedangkan pada rahang sorong terdapat skala nonius atau skala vernier. Skala nonius mempunyai panjang 9 mm yang terbagi menjadi 10 skala dengan tingkat ketelitian 0,1 mm.

Gambar1.3 jangka sorong Contoh soal :

Gambar di bawah ini menunjukkan pembacaan skala jangka sorong yang digunakan untuk mengukur diameter tabung kayu. Tentukan pembacaan

skala jangka sorong yang sesuai dengan gambar di bawah ini!

2 3 4

Jawab :

Berdasarkan gambar, pembacaan skala utama yang berhimpit dengan skala nonius nol adalah diantara 2,5 cm dam 2,6 cm, sedangkan skala nonius yang berhimpit tegak dengan skala utama adalah skala ketiga.

Jadi, diameter silinder kayu tersebut adalah (2,5 cm + 0,02 cm) = 2,52 cm

d) Mikrometer sekrup

Mikrometer sekrup sering digunakan untuk mengukur tebal bendabenda tipis dan mengukur diameter benda-benda bulat yang kecil seperti tebal kertas dan diameter kawat. Mikrometer sekrup terdiri atas dua bagian, yaitu poros tetap dan poros ulir. Skala panjang yang terdapat pada poros tetap merupakan skala utama, sedangkan skala panjang yang terdapat pada poros ulir merupakanskala nonius. Skala utama mikrometer sekrup mempunyai skala dalam mm, sedangkan skala noniusnya terbagi dalam 50 bagian. Satu bagian pada skala nonius mempunyai nilai 1/50 × 0,5 mm atau 0,01 mm. Jadi, ikrometer sekrup mempunyai tingkat ketelitian paling tinggi dari kedua alat yang telah disebutkan sebelumnya, yaitu 0,01 mm. Perhatikan gambar berikut

Gambar1.4. mikrometer skrup Contoh soal :

Tentukan pembacaan skala mikrometer sekrup yang sesuai dengan gambar di bawah ini:

Jawab :

Berdasarkan gambar, pembacaan skala utama yang berhimpit dengan tepi selubung luar adalah diantara 3,5 mm dam 3,6 mm, sedangkan garis selubung luar yang berhimpit tepat dengan garis mendatar skala utama adalah garis ke-44.

Jadi, bacaan mikrometer sekrup tersebut adalah (3,5 mm + 0,44 mm) = 3,94 mm

Alat–alat untuk mengukur massa

Dalam SI, massa menggunakan satuan dasar kilogram (kg). Satu kilogram standar sama dengan massa sebuah silinder yang terbuat dari campuran platinum-iridium.

Bila satuan SI untuk massa adalah kilogram (kg), maka satuan SI untuk berat adalah newton (N). Massa diukur dengan neraca lengan, berat diukur dengan neraca pegas.

Besaran massa diukur menggunakan neraca. Neraca dibedakan menjadi beberapa jenis, seperti neraca analitis dua lengan, neraca Ohauss, neraca lengan gantung, dan neraca digital.

a) Neraca analitis dua lengan

Neraca ini berguna untuk mengukur massa benda, misalnya emas, batu, kristal benda, dan lain-lain. Batas ketelitian neraca analitis dua lengan yaitu 0,1 gram.

Gambar1.5 Neraca analitis dua lengan b) Neraca ohauss

Neraca ini berguna untuk mengukur massa benda atau logam dalam praktek aboratorium. Kapasitas beban yang ditimbang dengan menggunakan neraca ini adalah 311 gram. Batas ketelitian neraca Ohauss yaitu 0,1 gram.

c) Neraca lengan gantung

Neraca ini berguna untuk menentukan massa benda, yang cara kerjanya dengan menggeser beban pemberat di sepanjang batang.

Gambar1.7Neraca lengan gantung

d) Neraca digital

Neraca digital (neraca elektronik) di dalam penggunaanya sangat praktis, karena besar massa benda yang diukur langsung ditunjuk dan terbaca pada layarnya. Ketelitian neraca digital ini sampai dengan 0,001 gram.

Gambar1.8 Neraca digital Alat–alat untuk mengukur waktu

Waktu merupakan besaran yang menunjukkan lamanya suatu peristiwa berlangsung. Berikut ini beberapa alat untuk mengukur besaran waktu.

- Stopwatch, dengan ketelitian 0,1 detik karena setiap skala pada stopwatch dibagi menjadi 10 bagian. Alat ini biasanya digunakan untuk pengukuran waktu dalam kegiatan olahraga atau dalam praktik penelitian.

- Arloji, umumnya dengan ketelitian 1 detik.

- Penunjuk waktu elektronik, mencapai ketelitian 1/1000 detik.

- Jam atom Cesium, dibuat dengan ketelitian 1 detik tiap 3.000 tahun, artinya kesalahan pengukuran jam ini kira-kira satu detik dalam kurun waktu 3.000 tahun.

3. Ketidakpastian Pengukuran

• Aspek ketelitian (presisi)

Ketelitian atau presisi didefenisikan sebagai kemampuan proses pengukuran untuk mendapatkan hasil yang sama, khususnya pada pengukuran yang dilakukan secara berulang-ulang dengan cara yang sama.

• Aspek kalibrasi alat

Kalibrasi atau peneraan adalah mencocokkan harga-harga yang tercantum pada skala alat ukur dengan harga-harga standar (atau yang dianggap benar).

• Aspek ketepatan (akurasi)

Ketepatan atau akurasi didefenisikan sebagai kesesuaian antara hasil pengukuran dan nilai yang sebenarnya.

• Aspek kepekaan (sensitivitas)

Kepekaan atau sensitivitas didefenisikan sebagai kemampuan alat ukur untuk mendapatkan suatu perbedaan yang relatif kecil dari harga hasil pengukuran.

Ada tiga sumber utama yang menimbulkan ketidakpastian pengukuran, yaitu : • Ketidakpastian sistematik

Ketidakpastian ini bersumber dari alat ukur yang digunakan atau kondisi yang menyertai saat pengukuran. Bila sumber ketidakpastian adalah alat ukur, maka setiap alat ukur tersebut digunakan akan memproduksi ketidakpastian yang sama. Yang termasuk ketidakpastian sistematik antara lain sebagai berikut :

- Ketidakpastian alat - Kesalahan nol

- Waktu respon yang tidak tepat - Kondisi yang tidak sesuai

• Ketidakpastian random (acak)

Ketidakpastian random umumnya bersumber dari gejala yang tidak mungkin dikendalikan secara pasti atau tidak dapat diatasi secara tuntas. Gejala tersebut umumnya merupakan perubahan yang sangat cepat dan acak hingga pengaturan atau pengontrolannya di luar kemampuan kita.

- Fluktasi pada besaran listrik - Getaran landasan

• Ketidapastian pengamatan

Merupakan ketidakpastian yang bersumber dari kekurang terampilan manusia saat melakukan kegiatan pengukuran.

Besarnya ketidakpastian berpotensi menghasilkan produk yang tidak berkualitas, sehingga harus selalu diusahakan untuk memperkecil nilainya, di antaranya dengan kalibrasi, menghindar gangguang luar, dan hati –hati

dalam melakukan pengukuran.

C. VEKTOR

Vektor adalah jenis besaran yang mempunyai nilai dan arah. Besaran yang termasuk besaran vektor antara lain perpindahan, gaya, kecepatan, percepatan, dan lainlain. Sebuah vektor digambarkan sebagai sebuah ruas garis berarah yang mempunyai titik tangkap (titik pangkal) sebagai tempat permulaan vektor itu bekerja. Panjang garis menunjukkan nilai vektor dan arah panah menunjukkan arah vektor itu bekerja. Garis yang melalui vektor tersebut dinamakangaris kerja.

Sifat-sifat vektor

+ = + sifat komutatif

+( + ) =( + ) + sifat assosiatif

a ( + ) = + )

+ ≥ +

Vektor digambarkan dengan sebuah garis dengan anak panah di salah satu ujungnya, yang menunjukan arah perpindahan/pergeseran dari partikel tersebut.

1. Besaran Vektor dan Besaran Skalar

Pergeseran suatu partikel adalah perubahan posisi dari partikel tersebut. Jika sebuah partikel berpindah dari posisi A ke posisi B, maka pergeserannya dapat dinyatakan dengan vektor AByang memiliki anak panah di B yang menunjukkan bahwa pergeseran tersebut mulai dariAkeB(gambar a). Dengan cara yang sama, perubahan posisi partikel dari posisi B ke posisi C dapat dinyatakan vektor BC (gambar b). Hasil total kedua pergeseran ini sama dengan pergeseran dari AkeC, sehingga vektor ACdisebut sebagai jumlah atau resultan dari pergeseran AB dan BC.

B C C

B

A B A

Notasi vektor dapat ditulis dengan dua cara, yaitu :

 Dengan menggunakan huruf tebal, seperti :b

 Dengan memberi tanda anak panah di atas, seperti :→

2. Vektor Posisi dan Vektor Satuan

Y (cm) y

5

4 P (3,4) j

3 i x

2 k

1 z

0 X (cm)

1 2 3 4

Gambar: a (vektor posisi) Gambar: b(vektor satuan)

Dengan menggunakan sistem sumbu ini, kita dapat menentukan koordinat titik P dengan titik acuan O. Posisi P terhadap titik acuan O dapat dinyatakan sebagai vektor posisi yang dituliskan sebagai→( ).

Sebuah vektor satuan adalah vektor tak berdimensi yang didefinisikan mempunyai besar 1 dan menunjuk ke suatu arah tertentu. Dalam sistem koordinat biasanya digunakan lambang khusus i, j, dan k untuk menyatakan vektor satuan dalam arah sumbu x, y, dan z positif berturut–turut.

y

Ayj

A x

Axi

Vektor Axi adalah hasil kali komponen Ax dengan vektor satuan i. Vektor ini adalah vektor sejajar dengan sumbu x. Sehingga vektor A dapat ditulis sebagai jumlahan tiga vektor yang masing–masing sejajar terhadap sumbu koordinat :

Axi + Ayj + A2k = A

3. Komponen Vektor

Komponen sebuah vektor adalah proyeksi vektor itu pada garis dalam ruang yang diperoleh dengan menarik garis tegak lurus dari kepala vektor tersebut ke garis tadi.

y

A

Ax

x

Ax

Berdasarkan gambar diatas vektor A berada pada bidang xy. Vektor ini mempunyai komponen Axdan Ay. Secara umum komponen–komponen ini dapat

bernilai positif atau negatif. Jika adalah sudut antara vektorAdengan sumbu x, maka :

tan = , = , =

Dimana A adalah besar dari vektor A, sehingga komponen–komponen vektorA dapat diperoleh :

Contoh :

Sebuah mobil menempuh 20 km dengan arah 30° ke utara terhadap arah barat. Dengan menganggap sumbu x menunjukkan arah timur dan sumbu y menunjukkan arah utara, carilah komponen x dan y dari vektor perpindahan mobil itu!

U U

A

B 30° T B 30° Ax T

Ay

S S

Jika vektor A merupakan vektor perpindahan mobil sejauh 20 km dengan arah 30° ke utara terhadap arah barat. Kemudian vektor A diproyeksikan terhadap sumbu x dan y seperti gambar di atas, sehingga diperoleh komponen vektor Ax

berada pada sumbu x negatif maka komponen vektor Ax bernilai negatif, dan

komponen vektor Ay berada pada sumbu y positif maka komponen vektor Ay

bernilai positif.

= − = − 20 cos 30°= − 17,32

= − = 20 sin 30° = 10

Penjumlahan dan pengurangan vektor

1. Penjumlahan dan pengurangan vektor dengan metode grafis

Dua buah vektor masing-masing A dan B dapat dijumlahkan dan menghasilkan sebuah vektor baru yang disebut resultan. Penjumlahan dua buah vektor dinyatakan

dengan persamaan sebagai berikut : A+B=R

Penjumlahan vektor mempunyai arti yang berbeda dengan penjumlahan bilangan skalar, tetapi penjumlahan vektor memenuhi hukum komutatif penjumlahan dan hukum asosiatif penjumlahan

B A B A

D = A + B + C A

B

C

Hukum komutatif penjumlahan adalah

A B B A+ = +

Hukum asosiatif penjumlahan adalah

(

B C

) (

A B

)

C

A+ + = + +

Sedangkan pengurangan vektor adalah penjumlahan vektor dengan mendefenisikan vektor negatif sebagai vektor lain yang sama besar tetapi arahnya berlawanan

( )

B A

B

A− = + −

Contoh : Penjumlahan dan pengurangan vektor dengan metode grafis ada dua yaitu dengan metode poligon dan metode jajar genjang

a. Metode poligon

Aturan melukis vektor resultan dengan metode poligon :

 Lukis salah satu vektor (sebut vektor pertama)

 Lukis vektor kedua dengan pangkalnya diujung vektor pertama dan yakinkan bahwa anda telah melukis arah vektor kedua dengan tepat; lukis vektor ketiga dengan pangkalnya diujung vektor kedua; dan seterusnya sampai semua vektor yang akan dijumlahkan telah dilukis

 Vektor resultan (vektor hasil penjumlahan) diperoleh dengan menghubungkan pangkall vektor pertama ke ujung vektor terakhir

Perhatikan gambar :

Gambar penjumlahan vektor Gambar pengurangan vektor

Contoh soal :

Dua buah vektor kecepatan mempunyai titik pangkal berhimpit, yaitu v1 = 3 m/s dan v2= 4 m/s. Jika α = 60°, tentukan besar dan arah resultan vektor tersebut!

Jawab :

Besar resultan vektor

A

B _C D = A + (-B) + C

A -B

C

(

) (

)

(

)(

)

Arah resultan vektor terhadap vektor v2

Perkalian Vektor

Seperti halnya skalar, vektor dengan macam yang berlainan dapat dikalikan satu dengan yang lainnya, sehingga menghasilkan besaran fisis baru dengan dimensi yang baru. Aturan perkalian vektor tidaklah sama dengan perkalian skalar, karena vektor memiliki besar dan arah. Ada tiga macam operasi perkalian dengan vektor, yaitu :

Perkalian Vektor dengan Skalar

Perkalian antara vektor dan skalar adalah hasil kali suatu skalar k dengan sebuah vektor A, sehingga dapat dituliskan kA dan didefinisikan sebagai sebuah vektor baru yang besarnya adalah besar k dikalikan dengan besar A. Arah vektor yang baru ini sama dengan arah vektorAjika k positif dan berlawanan arah dengan vektorAjika k negatif.

Perkalian Titik(Dot Product)

Perkalian titik diantara dua vektor A dan B dapat ditulisA . B (dibaca A dot B). Pada perkalian vektor ini ada ketentuan, yaitu :

 Perkalian komponen vektor yang sejenis (searah) akan menghasilkan nilai 1, seperti :

i . i = j . j = k . k = 1

 Perkalian komponen vektor yang tidak sejenis (saling tegak lurus) akan menghasilkan nilai 0, seperti :

i . j = j . k = k . i = 0 Secara matematis dirumuskan

A . B = A B cos α

A . B = AxBx+ AyBy+ AzBz

Perkalian Silang(Cross Product)

Perkalian silang diantara dua vektor A dan B dapat ditulis A × (dibaca A cross B). Pada perkalian vektor ini ada ketentuan sebagai berikut :

i × i = 0 i × j = k j × i = - k

j × j = 0 j × k = i k × j = - i

k × k = 0 k × i = j i × k = -j

Secara matematis dirumuskan

A × B = A B sinα

Dengan menuliskan vektor ke dalam vektor satuan, maka penghitungan hasil perkalian vektor antara dua buah vektor dapat dirumuskan :